2022屆 一輪復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué) 新高考版第五章 平面向量、復(fù)數(shù)

第五章平面向量、復(fù)數(shù)

第一節(jié)平面向量的概念及線性運(yùn)算

核心素養(yǎng)立意下的命題導(dǎo)向

1.結(jié)合平面向量的有關(guān)概念，考查對(duì)向量特性的理解，凸顯數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).

2.結(jié)合向量的線性運(yùn)算，考查用向量刻畫平面圖形的能力，凸顯邏輯推理的核心素養(yǎng).

3.結(jié)合向量的線性運(yùn)算的幾何意義，考查數(shù)形結(jié)合的思想，凸顯直觀想象的核心素養(yǎng).

基礎(chǔ)-在微點(diǎn)清障中全面落實(shí)

［理清主干知識(shí)］

1.向■的有關(guān)概念

名稱定義備注

既有大小又有方向的量;向量的大小平面向量是自由向量，可在平面

向量

叫做向量的K度（或稱模）內(nèi)自由平移

零向量長(zhǎng)度為0的向量記作0,其方向是任意的

a

單位向量長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量非零向量a的單位向量為±—

|a|

方向相同或相反的非零向量（又叫做

平行向量。與任一向量平行或共線

共線向量）

兩向量只有相等或不相等，不能

相等向量長(zhǎng)度相等且方向蛔的向量

比較大小

相反向量長(zhǎng)度相等且方向相反的向量0的相反向量為0

2.向■的線性運(yùn)算

向量

運(yùn)算定義法則（或幾何意義）運(yùn)算律

（1）交換律:a+b=b

會(huì)+a；

加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算三角形法則

⑵結(jié)合律：（a+b）

平行怖邊形法則

+c=a+（b+c）

求a與b的相反向量

減法-b的和的運(yùn)算叫做a—b=a4"(—b)

三角方法則

a與b的差

Ra|=|Z||a|,當(dāng)2>0時(shí)，za

的方向與a的方向相同；如a)=(i")a；

求實(shí)數(shù)2與向量a的

數(shù)乘當(dāng)心0時(shí)，xa的方向與aG+〃)a=2a+"a；

積的運(yùn)算

的方向相反;當(dāng)i=0時(shí)，；.ia+b)=za+2b

；.a=0

3.共線向■定理

向量a（aWO）與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)九使得b=Aa.

［澄清盲點(diǎn)誤點(diǎn)】

一、關(guān)鍵點(diǎn)練明

1.（向量的有關(guān)概念）下列說(shuō)法正確的是（）

A.方向相同的向量叫做相等向量

B.共線向量是在同一條直線上的向量

C.零向量的長(zhǎng)度等于0

D.無(wú)？〃員就是高所在的直線平行于W方所在的直線

解析：選C長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫做相等向量，故A不正確；方向相同或相

反的非零向量叫做共線向量，但共線向量不一定在同一條直線上，故B不正確；顯然C正

確；當(dāng)前〃百時(shí)，春所在的直線與a所在的直線可能重合，故D不正確.

2.（多選?向量線性運(yùn)算）下列各式中結(jié)果為零向量的為（）

A.~AB+BCVCA

B.^AB+MB+'BO+OM

C.~0A+0B+B0+CO

D.~AB-~AC￥BD-~CD

答案：AD

3.(共線向量定理)設(shè)a與b是兩個(gè)不共線向量，且向量a+xb與一(b-2a)共線，則工

答案：弓

二、易錯(cuò)點(diǎn)練清

1.（多選?忽視零向量）下列命題中，正確的是（）

A.向量瓶的長(zhǎng)度與向量前的長(zhǎng)度相等

B.向量a與b平行，則a與b的方向相同或相反

C.兩個(gè)有共同起點(diǎn)且相等的向量，其終點(diǎn)必相同

D.零向量與任意數(shù)的乘積都為零

答案：AC

2.（忽視向量相等的條件）若四邊形滿足前〃就且|前|=|反則四邊形

ABCD的形狀是.

解析：當(dāng)|入方|=|就|時(shí)，四邊形A8CD是平行四邊形；

當(dāng)|茄|工|就|時(shí)，四邊形4BC&是等腰梯形.

答案：平行四邊形或等腰梯形

能力—在題點(diǎn)全析中補(bǔ)齊短板

考點(diǎn)一平面向量的基本概念

［典例］(1)已知a,b是兩個(gè)非零向量，K|a+b|=|a|4-|b|,則下列說(shuō)法正確的是()

A.a+b=OB.a±b

C.a與b共線反向D.存在正實(shí)數(shù)九使a=2b

(2)下列說(shuō)法中，正確的是()

A.a與b共線，b與c共線，則a與c共線

B.任意兩個(gè)相等的非零向量的始點(diǎn)與終點(diǎn)總是一平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)

C.向量a與b不共線，則a與b都是非零向量

D.有相同起點(diǎn)的兩個(gè)非零向量不平行

［解析］(l)Va,b是兩個(gè)非零向量，且|a+b|=|a|+|b|,.?.向量a與b的方向相同，即

存在正實(shí)數(shù)2,使a=2b,故選D.

(2)A錯(cuò)，當(dāng)b=0時(shí)，由a與b共線，b與c共線推不出a與c共線；B錯(cuò)，任意兩個(gè)

相等的非零向量的始點(diǎn)與終點(diǎn)也可以在一條直線上；c正確，當(dāng)a與b中有零向量時(shí)，它

們一定共線；D錯(cuò)，有相同起點(diǎn)的兩個(gè)非零向量也可以平行，即可以共線.故選C.

［答案］(1)D(2)C

［方法技巧］解決向量問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn)

(1)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性.

(2)共線向量即平行向量，它們均與起點(diǎn)無(wú)關(guān).

(3)相等向量不僅模相等，而且方向也相同，所以相等向量一定是平行向量，但平行向

量未必是相等向量.

(4)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量.解題時(shí)，不要把它與函數(shù)圖象

的平移混為一談.

aa3

(5)非零向量a與一的關(guān)系：一是a方向上的單位向量，因此單位向量一與a方向相同.

|a||a||a|

(6)向量與數(shù)量不同，數(shù)量可以比較大小，向量則不能.但向量的模是非負(fù)實(shí)數(shù)，可以

比較大小.

(7)在解決向量的概念問(wèn)題時(shí)，要注意兩點(diǎn)：①不僅要考慮向量的大小，還要考慮向量

的方向；②考慮零向量是否也滿足條件.

［針對(duì)訓(xùn)練］

ab

1.設(shè)a,b都是非零向量，下列四個(gè)條件中，一定能使一十1=0成立的是（）

|a||b|

A.a=2bB.a/7b

C.a=—jbD.a±b

ababb

解析：lie由一4--=0得-------W0,即a=-------lal^O,則a與b共線且方向相

|a||b||a||b||b|

ab

反，因此當(dāng)向量a與向量b共線且方向相反時(shí)，能使一+—=0成立,對(duì)照各個(gè)選項(xiàng)可知，

|a||b|

選項(xiàng)A中a與b的方向相同；選項(xiàng)B中a與b共線，方向相同或相反；選項(xiàng)C中a與b

的方向相反；選項(xiàng)D中a與b互相垂直.

2.設(shè)a。為單位向量，下列命題中：①若a為平面內(nèi)的某個(gè)向量，則a=|a|a。；②若a

與a（）平行，則a=|a|a（）；③若a與ao平行且|a|=l,則a=a0,假命題的個(gè)數(shù)是（）

A.0B.1

C.2D.3

解析：選D向量是既有大小又有方向的量，a與|a|a。的模相同，但方向不一定相同，

故①是假命題；若a與a。平行，則a與a。的方向有兩種情況：一是同向，二是反向，反向

時(shí)a=一|a|a（）,故②③也是假命題.綜上所述，假命題的個(gè)數(shù)是3?

考點(diǎn)二平面向量的線性運(yùn)算

考法（一）平面向量的線性運(yùn)算

［例1］（1）（2020?新高等全國(guó)卷U）若。為的邊A"的中點(diǎn)，則而=（）

A.2CD-~CAB.2CA-7JD

C.2CD4-CAD.2C4+CD

點(diǎn)M是A3的中點(diǎn)，且前=喬小，/X

（2）如圖所示，在△ABC中,

5N與CM相交于點(diǎn)E,設(shè)防二=a,AC=b,則3等于（）

A./a+jbB.|a+|b

C.1a+|bD.^a+^b

［解析］(1)VD為△ABC的邊A3的中點(diǎn)，

/.CD=1(C44--CB),：JCB=2CD-~CAt故選A.

——>1——>1——>1——>I

(2)由題意得4N=3AC=中,AM=2^B=2^?

由N,E,8三點(diǎn)共線可知，存在實(shí)數(shù)機(jī)，滿足

AE=mAN+(V—m)AB=1/nb+(l—〃i)a.

由C,E,M三點(diǎn)共線可知，存在實(shí)數(shù)〃，滿足

AE=nAM+(l—n)AC=lna+(l—n)b,

所以&ib+(1—m)a=Ina+(1—n)b.

解叫

因?yàn)閍,b為基底，所以＜4

；m=］一

/，=5-

所以AE=|a+1b,故選A.

［答案］(DA(2)A

［方法技巧］

向量線性運(yùn)算的解題策略

(1)常用的法則是平行四邊形法則和三角形法則，一般共起點(diǎn)的向量求和用平行四邊形

法則，求差用三角形法則，求首尾相連的向量的和用三角形法則.

(2)找出圖形中的相等向量、共線向量，將所求向量與巳知向量轉(zhuǎn)化到同一個(gè)平行四邊

形或三角形中求解.

(3)用基本向量表示某個(gè)向量問(wèn)題的基本技巧：①觀察各向量的位置；②尋找相應(yīng)的三

角形或多邊形；③運(yùn)用法則找關(guān)系；④化簡(jiǎn)結(jié)果.

考法(二)利用向量的線性運(yùn)算求參數(shù)

［例2］如圖，一直線￡戶與平行四邊形ASC。的兩邊A5,AO分9

別交于E,尸兩點(diǎn)，且交其對(duì)角線AC于K,其中，~AE=fABr~AF=AE-一B

J

TAD,~AK=^ACt則7的值為()

A.|2

B.7

2

D.3

［解析］vAF=|AD,

：.'AB=^AEf~AD=2AF.

*：~AC=~AB+AD,：J~AK=iAC=z（AB++2AF^=|x4E+2x4F.

由E,F,K三點(diǎn)共線可得，|；.4-2z=l,解得故選A.

［答案］A

［方法技巧］

利用向■的線性運(yùn)算求參數(shù)的方法

與向量的線性運(yùn)算有關(guān)的參數(shù)問(wèn)題，一般是構(gòu)造三角形，利用向量線性運(yùn)算的三角形

法則進(jìn)行加法或減法運(yùn)算，然后通過(guò)建立方程組即可求得相關(guān)參數(shù).

［針對(duì)訓(xùn)練］

1.（2021?羯?建模擬）設(shè)M是△43C所在平面上的一點(diǎn)，而3+沐X+笳？=0,D是

4c的中點(diǎn)，標(biāo)=戲，則實(shí)數(shù)，的值為（）

1n1

A2B.3

C.2D.1

解析：選B因?yàn)?。是AC的中點(diǎn)，所以應(yīng)T+求=2詬，又因?yàn)閼?yīng)1+淑X+:求

［.A1->->［.>->］->->->->

=0,所以爹（AM+MC）=3/WB+MO=0,所以=因?yàn)閒Mb=OM,所以

1

t=y

2.（多選）如圖所示，在△A5C中，。是AB的中點(diǎn)，下列關(guān)于向量下方）/\

表示不正確的是（）

RC

A.~CD=~CA+~DBB.~CD^BC+DA

c.~CD=^ABYACD.~CD=^CA+^CB

解析：選BC對(duì)于A,因?yàn)椤Ｊ茿B的中點(diǎn)，所以下方=萬(wàn)不，

因?yàn)榱P=7才+茄，所以而=前十萬(wàn)方，所以A正確；

對(duì)于B,由三角形法則得，~CD=~CBVBD=~CB4-DA=-~BC+DA,所以B不正

確；

對(duì)于C,CD="C44-AD=1AB-AC,所以C不正確；

對(duì)于D,因?yàn)閰s是48的中點(diǎn)，所以而=笈彳+先萬(wàn)，

所以D正確.

3.在正六邊形4BCDE/中，對(duì)角線BO,C/相交于點(diǎn)P,若方則

x+j=.

解析：如圖，記正六邊形A6C&E"的中心為點(diǎn)O,連接05,

易證四邊形OBCO為菱形且P恰為其中心.

*

一2

3

-

2?

答案：I

考點(diǎn)三共線向量定理的應(yīng)用

［典例］(1)已知a,b是不共線的向量，AB=；.a-l-b,AC=a+//b(2,〃￡R),若A,

B,C三點(diǎn)共線，則九〃的關(guān)系一定成立的是()

A.2〃=1B.Aft=-\

C.x—//=-1D.2+〃=2

(2)(2021?石家莊模擬)設(shè)a與62是兩個(gè)不共線向量，9=3a+2e2,,=Aa+e2,而

=3?i-2Ae2,若A,B,〃三點(diǎn)共線，則A的值為.

［解析］(1),??封與就有公共點(diǎn)A,,??若A,B,C三點(diǎn)共線，則存在一個(gè)實(shí)數(shù)/使方

=tACt即ja+b=ra+〃/b,則消去參數(shù)，得，/=1；反之，當(dāng)時(shí)，~AB=

，+b,此時(shí)存在實(shí)數(shù)聲薪工故下9和N共線.丁京與就有公共點(diǎn)A,

B,。三點(diǎn)共線.故選A.

(2)由題意，A,B,。三點(diǎn)共線，故必存在一個(gè)實(shí)數(shù)九使得下背=大前.

又46=361+26,CB=Aei4-62,CD=3ei—2A:62,

所以BD=CD-CB=3ei-2Are2-(/tei+e2)

=(3—A)e1—(2k+1)62,

所以3ei+2e2=2(3-k)Qi—2(2〃+l)e2,

又a與金不共線，

9

解得

所4-

4

9

剽^-

1)A4

［方法技巧］平面向■共線定理的3個(gè)應(yīng)用

證明向

若存在實(shí)數(shù)九使a=2b,則a與非零向量b共線

量共線

證明三若存在實(shí)數(shù)心使三=7就，7方與就有公共點(diǎn)A,則A,BtC三點(diǎn)共

點(diǎn)共線線

求參數(shù)

利用向量共線定理及向量相等的條件列方程(組)求參數(shù)的值

的值

［針對(duì)訓(xùn)練］

1.(2021?南京、鹽城模擬)已知向量a=(l,3),b=(m,6),若2〃，貝lj〃尸.

解析：因?yàn)閍〃b,所以3Xm=6Xl,解得〃］=2.

答案：2

2.設(shè)兩個(gè)非零向量a與b不共線.

(1)若而=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b),求證：A,。三點(diǎn)共線;

⑵試確定實(shí)數(shù)上使&a+b和a+Ab共線.

解：(1)證明：V4B=a+b,-flC=2a+8b,CD=3(a-b),

/.BD="5C+CD=2a+8b4-3(a-b)=5(a+b)=5AB,

說(shuō)共線，又它們有公共點(diǎn)&

AA,B,&三點(diǎn)共線.

(2)；Aa+b與a+Ab共線，

，存在實(shí)數(shù)兒使Aa+b=2(a+Ab),即僅一2)a=qA-l)b.

又a,b是兩個(gè)不共線的非零向量,

k一2=0,

；?A2-I=O..?.A=±I.

x^-l=O.

素養(yǎng)—在科學(xué)思維中參悟提升

一、創(chuàng)新思維角度——融會(huì)貫通學(xué)妙法

結(jié)論“/=嬴萬(wàn)T+〃笳(tn,〃￡R),/w+〃=lOA,P,B三點(diǎn)共

線”的妙用.

1.如圖，在中，就=；就，尸是BN上的一點(diǎn)，若方=ni~AB

+帝才，則實(shí)數(shù)加的值為()

An

解析：選B注意到N,P,B三點(diǎn)共線，

因此A戶=mAB=111AB+^A2V,

從而加+寺=1,所以m=今.

2.A,B,。是圓0上不同的三點(diǎn)，線段CO與線段AB交于點(diǎn)9點(diǎn)。與點(diǎn)O不重合),

若&=2員+〃萬(wàn)聲U，〃WR),則2+〃的取值范圍是()

A.(0,1)B.(1,+8)

C.(1,y[2]D.(-1,0)

解析：選B設(shè)友:二帆萬(wàn)方，則，〃:>1,

因?yàn)?=zO4+〃而，

所以ni~OD=XOA+〃笳,

即萬(wàn)方=("涼+2蘇,

又知A,3,。三點(diǎn)共線，

所以5+5=1，即2+4=小，

所以幺+〃>1,故選B.

二、創(chuàng)新考查方式——領(lǐng)悟高考新動(dòng)向

1.已知平面上點(diǎn)。與線段A8,若線段A3上有〃(〃>1)個(gè)異于端點(diǎn)A,B的互異動(dòng)點(diǎn)

P|，P2，…，Pn，且滿足不了=為/萬(wàn)？+"而，"，"KWRJWKW",K￡Z,則

（九彳2…詞?（〃W2…“"）的取值范圍是（）

A.（0,羽B(yǎng).（0,/）

C.（0,D.擊+8）

…m且a+b,a2—2ab-}-b2（a-4一

解析：選B因?yàn)椋ǘ粦粢幻?~.>0,

所以GbW（小戶對(duì)任意叫OCR均成立，并且當(dāng)且僅當(dāng)。=力時(shí)等號(hào)成立.

由于人,4,8共線，所以加+〃A=1,

由于PA在線段AB上且異于端點(diǎn)A,B,結(jié)合而;=2而7+〃K蘇以及平行四邊形法

則可知公>0,〃/>0.若■〃“=；,此時(shí)'為線段A8的中點(diǎn)，僅有1點(diǎn)，但〃>1,所以

21+//I,七+〃2、幺"+〃”,1,,.

0<（九處…乙）31〃2???〃〃）=（4〃1）?（2盟2）.........（入心力<（—一聲（一耳—）2??…（—~了=萬(wàn)，故選

B.

2.趙爽是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，大約在公元222年，趙爽為《周

解算經(jīng)》一書作序時(shí)，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”（以弦為

邊長(zhǎng)得到的正方形由4個(gè)全等的直角三角形再加上中間的一個(gè)小正方形組

成的）.類比“趙爽弦圖”，可構(gòu)造如圖所示的圖形，它是由3個(gè)全等的三

角形與中間的一個(gè)小等邊三角形拼成的一個(gè)大等邊三角形，設(shè)DF=2AFt貝?）（）

A.AD=-^AC+^ABB.AD=|AC-\-^AB

C.AD=^AC+行篇D.AD=.A(?+石46

選

解析：C由題意知AD=3A產(chǎn)，CF=3CEtBE=3BD,

則罰=3AF=3(AC+-CF)=3AC+9銃=3AC+9CB+9笳

=3就+9（前一就）+27說(shuō)

=一6AC-18AB+27AO,

所以AC=AAC+4/4良

1DI，

3.窗的運(yùn)用是中式園林設(shè)計(jì)的重要組成部分，常常運(yùn)用象征、隱喻、

借景等手法，將民族文化與哲理融入其中，營(yíng)造出廣闊的審美意境.從

窗的外形看，常見的有圓形、菱形、正六邊形、正八邊形等.如圖，在

平面直角坐標(biāo)系X。），中，0為正八邊形PiP2…尸8的中心，PiA_Lx軸，

現(xiàn)用如下方法等可能地確定點(diǎn)M：點(diǎn)M滿足2就+萬(wàn)江+同=0（其中iWi,尺8且i,j

GN0,i關(guān)/）,則點(diǎn)M（異于點(diǎn)O）落在坐標(biāo)軸上的概率為（）

C.]2

D.

O7

解析：選D由題意可知。公+。?所有可能結(jié)果有：

就+就，OPi+OPifoFJ+oK,oH+oK,祐+就，成+旗，南+就,

OPi+OP3fOP2+OP4,曲+誠(chéng)旗+旗,OPi+OP^t市+砒就+晚，~OPi

+旗,o^+oK,存+成,證+福,市+旗,南+礫,就+話,話+祐,

旗+不￡,5K+成，不及+南，礫+正，礫+礫,南+濟(jì)，共有28種.

點(diǎn)M（異于點(diǎn)O）落在坐標(biāo)軸上的結(jié)果有:蘇；+蘇;，蘇;+就，吊+礫,成+旗，

萬(wàn)芯+砒，涼;+旗，萬(wàn)貫+蘇，砒+蘇，共有8種，

82

所以點(diǎn)M（異于點(diǎn)0）落在坐標(biāo)軸上的概率為尸===7?故選D?

I課時(shí)跟蹤檢測(cè)I

一、基礎(chǔ)練一練手感熟練度

L（多選）設(shè)a,b是非零向量,記a與b所成的角為&下列四個(gè)條件中，使合=1成

立的充要條件是（）

A.a/7bB.夕=0

C.a=2bD.0=n

解析：選BC合=1等價(jià)于非零向量a與b同向共線，即。=0,故B正確.對(duì)于選

項(xiàng)C,a=2b,則a與b同向共線，故C正確.

2.設(shè)0,E,尸分別為△A〃C的三邊BC,CAtA〃的中點(diǎn)，則無(wú)為+京=（）

A.ADB.

1—?

C.^BCD.~BC

解析：選A由題意得四+京=去南+王萬(wàn))+*大+/)=｝焉+就尸防.

3.設(shè)a是非零向量，2是非零實(shí)數(shù)，下列結(jié)論中正確的是()

A.a與檢的方向相反B.a與#a的方向相司

C.|-xa|^|a|D.|-2a|^|；.|-a

解析：選B對(duì)于A,當(dāng)久＞0時(shí)，a與2a的方向相同，當(dāng)2Vo時(shí)，a與2a的方向相反;

B正確；對(duì)于C,|一冽=|一川⑶，由于|一刁的大小不確定，故|一然|與⑶的大小關(guān)系不確定;

對(duì)于D,M|a是向量，而|一命|表示長(zhǎng)度，兩者不能比較大小.

4.如圖，在正六邊形ABCDE尸中，~BA+~CD+~EF=()

A.0B.BE

C.~ADD.~CF

解析：選D由題圖知/+司+/=畝+方+7方=7范+不咨=K.

5.在4A5c中，。為4A5c的重心，若50=248+〃AC,則幺-2"=()

-1

A.B.

D.

44

C--

3-3

解析：選D如圖，延長(zhǎng)BO交AC于點(diǎn)M,,??點(diǎn)。為〃。的重心,

???M是AC的中點(diǎn)，

???同=海=翡前+握)

1---->1---->1---->1---->---->

=§B4+qBC=—+§(AC—AB)

=—^AB4-|AC,

—>—>—>21

又30=746+〃AC,//=r,

4

.*.x-2//=—故選D.

二、綜合練一練思維敏銳度

1.己知兩個(gè)非零向量a,b互相垂直，若向量m=4a+5b與n=2a+2b共線，則實(shí)數(shù)

X的值為（）

A.5B.3

八5

C，2D.2

解析：選C???a,b是非零句量，且互相垂直,

??.4a+5bW0,mWO.

Vm,n共線，，n=〃m,即2a+2b=〃(4a+5b),

2=M,解得）.=*

'=5〃.

2.設(shè)平面向量a,b不共線，若焉=a+5b,就=-2a+8b,9=3（a-b）,貝ij（）

A.AfB,。三點(diǎn)共線B.A,B,C三點(diǎn)共線

C.B,C,。三點(diǎn)共線D.A,C,。三點(diǎn)共線

解析：選A*："AB=a+5b,~BC=-2a+8b,~CD=3(a-b),/.AD=~XSVBC4-CD

=(a+5b)+(-2a+8b)+3(a-b)=2(a+5b)=2A3,，A。與43共線，即A,B,。三點(diǎn)

共線.

3.已知點(diǎn)O,A,〃不在同一條直線上，點(diǎn)尸為該平面上一點(diǎn)，且2萬(wàn)7=2蒼T+京,

則（）

A.點(diǎn)尸在線段上

B.點(diǎn)尸在線段Ab的反向延長(zhǎng)線上

C.點(diǎn)尸在線段的延長(zhǎng)線上

D.點(diǎn)尸不在直線上

解析：選B因?yàn)?涼=2京+石彳，所以2方=京，所以點(diǎn)尸在線段A〃的反向

延長(zhǎng)線上.

4.（多選）在△A3C中，點(diǎn)E,尸分別是邊8c和AC的中點(diǎn)，。是AE與5尸的交點(diǎn)，

則有（）

A.AE=|AB+|ACB.~AB=2EF

，a1—?11>—>2>2—

C.CP=QCA+WCBD.CP=\CA+^CB

解析：選AC如圖，根據(jù)三角形中線性質(zhì)和平行四邊形法則知，泉

~AE=~AB+BE=~AB4-j-fiC=~AB+|（AC-AB）=1（AC+

AB

~AB)tA是正確的；因?yàn)镋戶是中位線，所以焉=2下聲，B是錯(cuò)誤的；設(shè)的中點(diǎn)為G,

則根據(jù)三角形重心性質(zhì)知，(7尸=2?6,所以|(7^4-TB)=3

(CA4-CB\所以C是正確的，D錯(cuò)誤.

5.設(shè)向量a,b不共線，7X=2a+pb,^BC=a+b,^D=a—2b,若4,B,。三點(diǎn)

共線，則實(shí)數(shù)p的值為()

A.-2B.—1

C.1D.2

解析：選B因?yàn)榫?a+b,CD=a-2b,所以說(shuō)=就+7^=22—〉又因?yàn)?,

Bt0三點(diǎn)共線，所以說(shuō)共線.設(shè)笈=幺詬，所以2a+pb="2a-b),所以2=2A,

P=-A.,即2=1,p=-1.

6.(多選)已知向量萬(wàn)才=(1,-3),而=(一2,1),0C=(/+3,r-8),若點(diǎn)A,B,C

能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)，可以為()

A.—2B.1

C.1D.-1

解析：選ABD若點(diǎn)4,B,。能構(gòu)成三角形，則A,B,C三點(diǎn)不共線，故向量其，

就不共線..由于向量萬(wàn)1=(1,-3),員=(-2,1),OC=U4-3,Z-8),故苗=前一百

=(-3,4),左=衣一前=(什5"-9),若A,8,C三點(diǎn)不共線，則一3(￡—9)-4(f+5)W0,

?【HL

7.已知點(diǎn)O為△A5C的外接圓的圓心，且萬(wàn)：+下不+/=0,貝必為。。的內(nèi)角A

等于()

A.30°B.45。

C.60°D.90°

解析：選A由京+加+而=0,得萬(wàn)^+而=/，由。是△ABC外接圓的圓

心，結(jié)合向量加法的幾何意義知，四邊形0AC3為菱形，且NC4O=60。，故NCAb=30。，

選A.

8.已知向量a,b不共線，且c=2a+b,d=a+(22-l)b,若c與d共線反向，則實(shí)

數(shù)幺的值為(

C.1或gD.-1或g

解析：選B由于c與d共線反向，則存在實(shí)數(shù)/HiLc=Ad(AvO),于是2a+b=A[a+

俗-1)6],

整理得2a+b=Aa+(2M—A)b.

2=A,

由于a,b不共線，所以有1

2xA—A=l,

整理得如一2一1=0,解得)=1或幺=一;.

又因?yàn)锳vO,所以7v0,故2=一：.

9.在△ABC中'&為叱所在平面內(nèi)一點(diǎn)'且9=透+菱AC,則就=()

B.§

D.1

解析：選B如圖，由已知得，點(diǎn)。在△4BC中與A3平行的中位

線上，且在靠近5C邊的三等分點(diǎn)處，從而有S^BD=y^ABCfSAACI)=

/△ABC,SgCD=11_“SABCD1

1t-2―所以

10.如圖，點(diǎn)。是正六邊形A3CDE尸的中心，在分別以正六邊形的頂點(diǎn)

和中心為始點(diǎn)或終點(diǎn)的向量中，與向量畝相等的向量有個(gè).

解析：根據(jù)正六邊形的性質(zhì)和相等向量的定義，易知與向量市相等的

向量有言，~DOt~EFt共3個(gè).

答案：3

11.如圖，在△A8C中，點(diǎn)。，E是線段6c上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，KAD4-AE=

XAB+JAC,貝的最小值為________.

Ry

解析：易知1,y均為正數(shù),

設(shè)防=/￡S^+/i/，3=2京+〃就，

?:R,C,O共線，???利+〃=1,同理，Ji+〃=1.

VAD+7E=X^4B+J7?=(/W+2)成+(〃+")就，

???x+y=〃2+〃+2+〃=2.

注+4KM)a+>)=l(5+"學(xué)學(xué)牛+2夠f)K，當(dāng)且僅當(dāng)產(chǎn)友時(shí)等號(hào)成

立，則十1+?4的最小值為9宗

xy，

fg9

答案：2

12.在△4BC中，P為BC的中點(diǎn),內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若c就十

aPA+b~PB=(h則△ABC的形狀為.

解析：二?在曲叱中，產(chǎn)為5c的中點(diǎn)，：J~PA=-\{AB+AC),

又,.,c*+a五彳前=0,"PB=^CB=|(7B-7c),

:.cAC-|a(AB4-AC)+%面-AC)=0,

(a+C—?a—b—?

..tc-----2~JAC—^~AB=0,

即=^-^AB,

'a-b

_>_>_2_=0?

又下方，AC不共緩，.,?<,解得。=》=c,

1c-a亍-rb=0,

???△4BC為等邊三角形.

答案：等邊三角形

13.在直角梯形A3C&中，ZA=90°,N3=30。，AB=2y[3tBC=2,點(diǎn)E在線段CD

上，若右=茄+〃/方，則〃的取值范圍是.

解析：由題意可求得AO=1,CD=V3,：.~AB=2DC.

V點(diǎn)E在線段C。上，

：.~DE=ADC(0WK1).

VAE=AD4-D￡,

又AE=AO+〃AB=AD+2〃DC=AD+-fDE，

AL乙

答案:[o,I]

14.如圖，O,At8三點(diǎn)不共線，7)C=2OAf~OD=3OBf

設(shè)了X=a,=b.

(1)試用a,b表示向量OE；

(2)設(shè)線段A3,OEfCD的中點(diǎn)分別為L(zhǎng),M,N,試證明：L,W,N三點(diǎn)共線.

解：(l)???b,EtC三點(diǎn)共線，

：JOE=x7)C+(1-x)OB=2.ra+(l-x)b,①

同理，VA,E,。三點(diǎn)共線，可得萬(wàn)百=ya+3(l-y)b,②

2x=yf24

由①②，得'解得X=g,y=M，

1一工=3。一力,

_—?a-\rb—?1—?4。+3力

(2)證明：VOL=—,OM=^OE=10,

—?1—>.—>2。+3b

ON=T(OC-^-OD)=-—,

—>—?—?6Q+12^—>—>—>Q+2b

：.MN=ON-OM=-—,ML=OL~

：.~MN=6MLt

又丁就與南有公共點(diǎn)M,:,L,MtN三點(diǎn)共線.

15.已知a,b不共線，O4=a,OB=b,OC=c,OD=d,~OE=ef設(shè)f￡R,如

果3a=c,2b=d,e=/(a+b),是否存在實(shí)數(shù)，使C,D,E三點(diǎn)在一釜直線上？若存在，求

出實(shí)數(shù)，的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解：由題設(shè)知，CD=d-c=2b-3a,~CE=e-c=(r-3)a+/b,C,D,E三點(diǎn)在一條

直線上的充要條件是存在實(shí)數(shù)A,使得益方，即3)a+/b=-3Aa+2Ab,

整理得(，-3+3A)a=(2A-f)b.

f-3+3A=0,￡

因?yàn)閍,b不共線，所以有，解得『與

［L2A=0,5

故存在實(shí)數(shù)，=/使C,D,E三點(diǎn)在一條直線上.

第二節(jié)平面向量基本定理及坐標(biāo)表示

核心素養(yǎng)立意下的命題導(dǎo)向

1.與向量線性運(yùn)算相結(jié)合，考查平面向量基本定理及其應(yīng)用，凸顯數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).

2.與向量的坐標(biāo)表示相結(jié)合，考查向量的線性運(yùn)算，凸顯數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).

3.與向量的坐標(biāo)表示相結(jié)合，考查向量共線，凸顯數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

基礎(chǔ)-在微點(diǎn)清障中全面落實(shí)

［理清主干知識(shí)］

1.平面向■基本定理

如果6,e?是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量,那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a,2

且只有一對(duì)實(shí)數(shù)的,右，使a=2向+右62.

其中，不共線的向量a,金叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一蛆基彘

2.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

(1)向■加法、減法、數(shù)乘及向■的模

設(shè)a=(x”yi),b=(x2,刃)，則

a+b=(xi+x2,yi+)‘2)，a-b=(xi-xz*yi~V2)*

2a=(Ari,刖i),\a\=yjxx+yi

(2)向量坐標(biāo)的求法

①若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo).

②設(shè)A(X1,J1),3(X2,J2),則工^=(工2—X1,力一力),\AB|=yl(X2—xi)2+(y2—yi)2.

3.平面向量共線的坐標(biāo)表示

設(shè)a=Cn,ji),b=(x2，yi)f則a〃bOxiy2-x2yi=0.

［澄清盲點(diǎn)誤點(diǎn)］

一、關(guān)鍵點(diǎn)練明

1.(基底的判斷)下列各組向量中，可以作為基底的是()

A.ei=(0,0),A=(L—2)

B.6i=(-1,2)?e2=(5,7)

C.61=(3,5),e>=(6,10)

D.61=(2,—3),e2=(j，一：)

答案：B

2.(數(shù)乘運(yùn)算)已知向量a=(T,3),b=(2,D，則3a—2b=()

A.(-7,7)B.(-3,-2)

C.(6,2)D.(4,-3)

答案：A

3.(向量共線的應(yīng)用)已知向量a=(叫4),b=(3,-2),且2〃也則血=.

答案：一6

二、易錯(cuò)點(diǎn)練清

L(混淆基底的選擇)如圖，在正方形A5CD中，E為。C的中點(diǎn)，若笈D\—//C

=；.AB4-//AC,則7+〃的值為()\//

11----------

A.zB.—z

C.1D.-1

解析：選A因?yàn)镋為OC的中點(diǎn)，所以就=前+詬=打了+V區(qū)+防=打9

1>>1>，>'>[A>]|

,即所以;一彳，所以；〃=子

+DE+AD=T/AB4-AEAE=-3/88+AC,1=///=1,1+/

2.(混淆單位向量的方向)已知A(-5,8),5(7,3),則與向量7G反向的單位向量為

解析：由已知得了密=(12,-5),所以|融|=13,因此與防反向的單位向量為一■^適

■1J

=(-13>S.

答案:(T，S

3.(忽視基向量不共線)給出下列三個(gè)向量：a