廣東省茂名市電白區(qū)2023-2024學年高二上學期期末質量監(jiān)測數學試題

廣東省茂名市電白區(qū)2023-2024學年高二上學期期末質量監(jiān)測數學試題姓名：__________班級：__________考號：__________題號一二三四總分評分一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．雙曲線經過點(?1，0)，焦點分別為F1A．x22?y2=1 B．x2．如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為1，設A．1 B．?1 C．0 D．23．若點P(a，b)在圓x2A．相切 B．相離 C．相交 D．無法確定4．在中國古代，人們用圭表測量日影長度來確定節(jié)氣，一年之中正午時刻日影最長的一天被定為冬至，從冬至算起，依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣，其日影長依次成等差數列，若冬至、立春、春分日影長之和為31.5尺，小寒、雨水、清明日影長之和為28.5尺，則大寒、驚蟄、谷雨日影長之和為（）A．25.5尺 B．34.5尺 C．37.5尺 D．96尺5．過拋物線y2=2x的焦點作直線l，交拋物線于A、B兩點．若線段AB的中點橫坐標為2，則A．3 B．4 C．5 D．66．如圖，正三棱柱ABC?A1B1C1的棱長都是1，M是BC的中點，CN=λA．12 B．13 C．147．已知數列{xn}滿足x1=1，x2=23A．(23)n?1 B．(328．定義：兩條異面直線之間的距離是指其中一條直線上任意一點到另一條直線距離的最小值。在棱長為1的正方體ABCD?A1B1CA．22 B．12 C．13二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．如果AB<0，BC>0，那么直線Ax+By+C=0經過的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限10．已知角α∈[?π2，A．橢圓 B．雙曲線 C．圓 D．兩條直線11．一條光線從點A(?2，3)射出，經x軸反射后，與圓C：A．4x+3y?1=0 B．4x?3y?1=0 C．3x?4y?6=0 D．3x+4y?6=012．數列{an}滿足：a1=1A．數列{aB．aC．數列{aD．{an}的前三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13．已知圓x2+y2?6x+4y+12=014．已知雙曲線x24?y212=1的兩個焦點分別為F1與F15．已知數列{an}滿足：a116．已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦點分別為F1、F2，點A在C上，點B四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知等比數列{an}的前n項和為Sn，若（1）求數列{a（2）若bn=log2a2n，求數列18．已知圓x2+y2?4=0與x（1）求AB的長；（2）求圓心在直線2x?y?3=0上，且經過A，B兩點的圓的方程。19．已知點P(2，3)和圓Q：(x+4)2+(y+2)2=9，過點P（1）求切線PA，PB的長；（2）求直線AB的方程。20．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PCL底面ABCD，四邊形ABCD是直角梯形，AD⊥DC，AB∥DC，PC=AB=2AD=2CD=2，點E在棱PB上．（1）證明：平面EAC⊥平面PBC；（2）當BE=2EP時，求二面角P-AC-21．已知某條河上有拋物線型拱橋，當水面距拱頂5米時，水面寬8米，一條木船寬4米，木船露出水面上的部分高為0.75米．（1）建立適當的坐標系，求拱橋所在拋物線的方程；（2）當水面上漲0.5米時，木船能否通行？（3）當水面上漲多少米時，木船開始不能通行？22．已知橢圓C1：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的上頂點為A，離心率為（1）求橢圓C1（2）過原點的直線l與C相交于B，C兩點，直線AB，AC分別與C1相交于P，Q①證明：直線AB與直線AC的斜率之積為定值；②記△ABC和△APQ的面積分別是S1，S2，求

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：因為雙曲線的焦點分別為F1(?2，0)、F2(2，0)，所以，設雙曲線的標準方程為

x2a2?y故答案為：D.

【分析】利用已知條件結合雙曲線的焦點坐標得出c的值，再利用雙曲線中a，b，c三者的關系式和代入法，進而解方程組得出a，b的值，從而得出雙曲線的標準方程。2．【答案】A【解析】【解答】解：因為正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為1，設AB=a，AD=b，AA1=c，

設AC→,B1C→的夾角為θ，連接AB1，

又因為AC=B1C=AB1，則?ACB13．【答案】B【解析】【解答】解：因為點P(a，b)在圓x2+y2=1內，所以，a2+b2<1，

故答案為：B.

【分析】利用已知條件結合點與圓的位置關系得出a2+b2<14．【答案】A【解析】【解答】解：依題意，設冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、

芒種這十二個節(jié)氣構成的日影長為等差數列an，公差為d，

則冬至、立春、春分日影長之和為31.5尺，則a1+a4+a7=31.5，

則a1+a1+3d+故答案為：A.

【分析】利用已知條件結合等差數列的定義，進而將問題轉化為等差數列的問題，再利用等差數列的通項公式，從而解方程組得出首項和公差的值，再利用等差數列的通項公式得出大寒、驚蟄、谷雨日影長之和。5．【答案】C【解析】【解答】解：過拋物線y2=2x的焦點作直線l，交拋物線于A、B兩點，若線段AB的中點橫坐標為2，

設點Ax1,y1故答案為：C.

【分析】利用已知條件結合拋物線的標準方程得出p的值，再結合中點坐標公式和拋物線的定義以及兩點距離公式，進而得出AB的長。6．【答案】C【解析】【解答】解：根據題意，建立空間直角坐標系如圖：

則A0,-12,0,B10,12,1,M-34,14,0,C-所以，-14+λ=0，則λ=

【分析】利用已知條件建立空間直角坐標系，再利用向量共線的坐標表示得出點的坐標，從而得出向量的坐標，再結合兩向量垂直數量積為0的等價關系和數量積的坐標表示，進而得出實數λ的值。7．【答案】A【解析】【解答】解：因為xn2xn?1xn+1=1（n∈N*，且n≥2），則xn?1xn+1=xn2，x故答案為：A.

【分析】利用已知條件結合遞推公式變形和等比數列的定義，進而判斷出數列{xn}是以首項為1，公比為28．【答案】D【解析】【解答】解：因為正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為1，建立以DA，DC，DD1為x，y，z軸建立空間直角坐標系，如圖：

則A1,0,0,C0,1,0,D0,0,0,A11,0,1,可得AC→=-1,1,0,DA1→=1,0,1,DA→故答案為：D.

【分析】利用已知條件建立空間直角坐標系從而得出點的坐標和向量的坐標，再結合兩向量垂直數量積為0的等價關系和數量積的坐標表示，進而得出法向量，再由數量積求投影的方法和異面直線的距離求解方法，進而得出異面直線AC與A19．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：因為AB<0，BC>0，則A，B異號，B，C同號，則A，C異號，

當A>0,B<0,C<0時，因為直線Ax+By+C=0?y=-ABx-CB，

所以，-AB>0，-CB<0，則直線恒過第一、三、四象限；

當A<0,B>0,C>0故答案為：ACD.

【分析】利用已知條件結合同號為正、異號為負的性質，再利用分類討論的方法結合直線的斜率與縱截距與直線的圖象的關系，進而判斷出直線Ax+By+C=0經過的象限。10．【答案】A,B,C,D【解析】【解答】解：因為角α∈[?π2，π2]，則-1≤sinα≤1，

當sinα=1時，則方程x2+y2sinα=1為x2+y2=1，此時方程x2+y2sinα=1可能表示圓；

當0<sinα<1時，則方程x2+故答案為：ABCD.

【分析】利用已知條件結合角的取值范圍和正弦函數的圖象，進而得出正弦函數的值域，再利用分類討論的方法和圓、橢圓、雙曲線和兩條直線的定義，進而判斷出方程x211．【答案】A,D【解析】【解答】解：因為圓心C3,2，半徑r為1，反射光線所在直線經過點A關于x軸對稱的點A'-2,-3，

根據題意，可知反射光線的斜率存在，設直線y+3=kx+2?kx-y+2k-3=0

與圓C：(x?3)2+(y?2)2=1相切，所以圓心C到直線kx-y+2k-3=0的距離等于圓的半徑長，

所以，3k-2+2k-3k故答案為：AD.

【分析】利用已知條件結合點與點關于x軸對稱的求解方法得出點A關于x軸對稱的點A'的坐標，再結合反射直線過點A'，從而設出直線的點斜式方程，再轉化為直線的一般式方程，再利用圓的標準方程得出圓心坐標和半徑長，再根據點到直線的距離公式和直線與圓相切位置關系判斷方法，進而對得出反射直線的斜率，從而得出反射光線所在直線方程，進而找出不是反射光線所在直線方程。12．【答案】A,B【解析】【解答】解：因為數列{an}滿足：a1=1，an+1?3an?1=0，n∈N*，

所以，an+1+12=3(an+12)，n∈N*，則數列{an+12}為首項為a1+故答案為：AB.

【分析】利用已知條件結合遞推公式變形和等比數列的定義，進而判斷出數列{an+12}為等比數列，從而判斷出選項A；利用等比數列的通項公式得出數列{a13．【答案】5【解析】【解答】解：圓x2+y2?6x+4y+12=0的圓心為C13,-2，半徑r1為1，

圓x故答案為：5.

【分析】利用已知條件結合圓的標準方程得出兩圓的圓心坐標和半徑長，再利用兩點距離公式得出兩圓心之間的距離。14．【答案】9【解析】【解答】解：因為雙曲線x24?y212=1中a>0,b>0,c>0,

所以a=4=2,b=12=23,c=a2+b2=22+232=4，故答案為：9.

【分析】利用已知條件結合雙曲線標準方程確定焦點的位置，進而得出a，b的值，再利用雙曲線中a，b，c三者的關系式，進而得出c的值，從而得出兩焦點坐標，再結合雙曲線的定義得出|MF15．【答案】2【解析】【解答】解：因為數列{an}滿足：a1+a221+a322+a423+?+an2n?1=2n，

令故答案為：2n

【分析】利用已知條件結合換元法和數列求和公式以及Sn,an的關系式，再利用分類討論的方法和檢驗法得出數列16．【答案】10【解析】【解答】解：因為橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦點分別為F1-c,0、F2c,0，

因為點A在橢圓C上，設Ax1,y1，又因為點B在y軸上，設B0,m故答案為：105

【分析】利用已知條件結合數量積為0兩向量垂直的等價關系和數量積的坐標表示，再利用向量共線的坐標表示和橢圓中a，b，c三者的關系式，從而解方程組和橢圓的離心率公式，進而得出橢圓C的離心率的值。17．【答案】（1）由題意可知a解得a所以數列{an}（2）b數列{bn}的前n【解析】【分析】（1）利用已知條件結合等比數列前n項和公式，從而解方程組求出等比數列的首項和公比，再利用等比數列的通項公式，從而求出數列{an}的通項公式。

（2）利用bn=log2a2n18．【答案】（1）解：解法1：兩圓方程相減得?4+4x?4y+12=0即x?y+2=0圓x2+y2?4=0的圓心為(0，0)，半徑為2，圓心解法2：由x2+y2?4=0x所以|AB（2）解：解法1：由x2+y2?4=0x2+AB的垂直平分線為y=?x，由y=?x2x?y?3=0得圓心坐標為M(1，?1)，半徑長為解法2：圓x2+y2?4=0的圓心為O(0，0)，x2+y2?4x+4y?12=0點N到AB的距離d=|1+1+2|2=22，半徑長為：r=解法3：設經過A，B兩點的圓的方程為x2x2+因為圓心在直線2x?y?3=0上，所以4λ1+λ?所以圓心在直線2x?y?3=0上，且經過A，B兩點的圓的方程為x【解析】【分析】（1）利用兩種方法求解。解法一：利用已知條件結合兩圓方程聯立作差法得出公共弦所在的直線方程，再由圓的標準方程得出圓心坐標和半徑長，再利用點到直線的距離公式得出圓心到直線的距離，從而由垂徑定理得出AB的長；解法二：聯立兩圓方程得出交點A，B的坐標，再利用兩點距離公式得出AB的長。

（2）利用三種方法求解。解法1：聯立兩圓方程得出交點A，B的坐標，再結合中點坐標公式和兩直線垂直斜率之積等于-1，進而得出直線AB的垂直平分線，再聯立兩直線方程得出圓心坐標，由兩點距離公式得出圓的半徑長，從而得出圓心在直線2x?y?3=0上，且經過A，B兩點的圓的方程；解法2：利用圓x2+y2?4=0得出圓心坐標，再利用圓x2+y2?4x+4y?12=0得出圓心坐標，從而得出經過兩圓交點的圓的圓心在這兩圓心所在直線OM方程，聯立兩直線方程得出圓心坐標，再將兩圓方程相減得出公共弦AB所在的直線方程，由點到直線的距離公式得出點N到AB的距離，再由勾股定理得出半徑長，從而得出圓心在直線2x?y?3=0上，且經過A，B兩點的圓的方程；解法3：設經過A，B兩點的圓的方程為19．【答案】（1）解：圓Q的圓心為Q(?4，?2)，半徑r=3，因為PA⊥QA，PB⊥QB所以，PA，PB（2）解：解法1：因為PA⊥QA，PB⊥QB，所以A、B都在以PQ為直徑的圓上，圓心為PQ的中點C(?1，12)，半徑長為|PQ|2(x+1)2+(y?由x2+y2+2x?y?14=0(x+4)2解法2：因為PA⊥QA，PB⊥QB，所以A、B都在以PQ為直徑的圓上，又知P(2，3)、Q(?4，?2)，故以x由x2+y2+2x?y?14=0(x+4)【解析】【分析】（1）利用圓Q的標準方程得出圓心坐標和半徑長，再結合勾股定理得出PQ的長，根據PA⊥QA，PB⊥QB結合勾股定理得出PA，PB的長。

（2）利用兩種方法求解。解法1：利用PA⊥QA，PB⊥QB，所以A、B都在以PQ為直徑的圓上，再利用中點坐標公式得出PQ的中點坐標，進而得出圓心坐標，再結合兩點距離公式和直徑與半徑的關系，進而得出圓的半徑長，從而得出圓解法2：利用PA⊥QA，PB⊥QB，所以A、B都在以PQ為直徑的圓上，再利用P(2，3)、Q(?4，?2)得出以20．【答案】（1）證明：因為PC⊥底面ABCD，AC?平面ABCD，所以PC⊥AC．因為AB=2，AD=CD=1，所以AC=BC=2所以AC2+B又因為PC∩BC=C，PC?平面PBC，BC?平面PBC，所以AC⊥平面PBC．又AC?平面EAC，所以平面EAC⊥平面PBC（2）解：解法一：以點C為原點，CB，CA，CP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則C(0，0，0)，B(2設點E的坐標為(x，y，z)，因為BE=2即x=23，y=0，z=4所以CA=(0，2設平面ACE的一個法向量為n=(x，y所以2y=023x+43z=0所以平面ACE的一個法向量為n=(2又因為BC⊥平面PAC，所以平面PAC的一個法向量為CB=(設平面PAC與平面ACE的夾角為θ，則cosθ=|所以，二面角P?AC?E的余弦值為22解法二：取AB的中點G，連接CG，以點C為原點，CG，CD，CP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則C(0，0，0)，B(1，?1，0)，所以BE=故CE設平面ACE的一個法向量為n=(x，y所以x+y=013x?13y+4所以，平面ACE的一個法向量為n=(3又因為BC⊥平面PAC，所以平面PAC的一個法向量為CB=(1設平面PAC與平面ACE的夾角為θ，則cosθ=|所以，二面角P?AC?E的余弦值為2【解析】【分析】（1）利用線面垂直的定義證出線線垂直，再結合勾股定理證出線線垂直，根據線線垂直證出線面垂直，再利用線面垂直證出面面垂直，從而證出平面EAC⊥平面PBC。

（2）利用兩種方法求解。解法一：以點C為原點，CB，CA，CP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，從而結合向量共線的坐標表示得出點的坐標和向量的坐標，再結合兩向量垂直數量積為0的等價關系和數量積的坐標表示以及線面垂直的性質定理，進而得出平面ACE的一個法向量和平面PAC的一個法向量，再利用數量積求向量夾角的余弦值的公式得出二面角P?AC?E的余弦值；解法二：取AB的中點G，連接CG，以點C為原點，CG，CD，CP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，再結合向量共線的坐標表示得出點的坐標和向量的坐標，結合兩向量垂直數量積為0的等價關系和數量積的坐標表示以及線面垂直的性質定理，進而得出平面ACE的一個法向量和平面PAC的一個法向量，再利用數量積求向量夾角的余弦值的公式得出二面角P?AC?E的余弦值。

21．【答案】（1）解：以拱頂為原點，拱橋的對稱軸為y軸建立直角坐標系．

設拋物線的方程為x2=?2py(p>0)，

則點B(4，?5)在拋物線上，代入方程得2p=???????（2）解：當水面上漲0.5米時，木船與拱頂的距離為3.75米，設F(a，?3.75)，代入方程得|EF|=2|a|=43（3）解：假設當水面上漲h米時，木船開始不能通行，此時木船與拱橋接觸，且與拱頂的距離為4