數(shù)學(xué)優(yōu)化訓(xùn)練：7柱、錐、臺(tái)和球的體積

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精1。1。7柱、錐、臺(tái)和球的體積5分鐘訓(xùn)練（預(yù)習(xí)類訓(xùn)練，可用于課前）1。充滿氫氣的氣球飛艇可以供游客旅行.現(xiàn)有一個(gè)飛艇,若要它的半徑擴(kuò)大為原來的4倍，那么它的體積應(yīng)增大到原來的（）A。4倍B。8倍C.64倍D。16倍解析：設(shè)氣球原來半徑為R，則現(xiàn)在半徑為4R，此時(shí)體積V=π(4R）3=64×。故選C。答案:C2.圓臺(tái)的軸截面等腰梯形的腰長為a,下底邊長為2a,對(duì)角線長為,則這個(gè)圓臺(tái)的體積是（）A.B.C.D.解:由AD=a,AB=2a，BD=a知∠ADB=90°，分別過D點(diǎn)、C點(diǎn)作DH⊥AB,CG⊥AB。知DH=a，∴HB=.∴DE=HF=a?！郪圓臺(tái)=(a2+a2+a2)·.答案：D3.一個(gè)圓柱的底面直徑和高都等于一個(gè)球的直徑，則這個(gè)圓柱的體積與球的體積的比值為______________。解析：代入圓柱和球的體積公式求比即可。設(shè)球的半徑為r，則圓柱的底面半徑是r，高是2r，∴V球=πr3，V柱=πr2·2r=2πr3.∴V柱∶V球=2πr3∶πr3=3∶2.答案：3∶210分鐘訓(xùn)練(強(qiáng)化類訓(xùn)練，可用于課中）1。已知正方體外接球的體積是，那么正方體的棱長等于(）A.B。C.D.解：設(shè)正方體的棱長為x，則正方體的對(duì)角線長為，由題設(shè)有，解得x=。所以選D。答案：D2.半徑為R的半圓卷成一個(gè)圓錐，這個(gè)圓錐的體積是（）A。B.C。D。解：設(shè)圓錐的底面半徑為r，則2πr=l=π·R?！鄏=R。∴圓錐的高h(yuǎn)=?！郪錐=πr2·h=··。答案：A3。表面積為的正八面體的各個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則此球的體積為（)A.πB.C。D。解：正八面體是每個(gè)面的邊長均為a的正三角形，所以由8×知a=1.則此球的直徑為2，故選A.答案：A4.如圖1—1-7—1，在四面體ABCD中,截面AEF經(jīng)過四面體的內(nèi)切球（與四個(gè)面都相切的球）球心O，且與BC、DC分別截于E、F，如果截面將四面體分成體積相等的兩部分，設(shè)四棱錐A-BEFD與三棱錐A-EFC的表面積分別是S1、S2，則必有(）圖1-1-7—1A.S1〈S2B.S1〉S2C。S1=S2D。S1、S2的大小關(guān)系不能確定解：連結(jié)OA、OB、OC、OD,則VA—BEFD=VO—ABD+VO—ABE+VO—BEFD,VA—EFC=VO—ADC+VO—AEC+VO—EFC。又VA—BEFD=VA—EFC而每個(gè)三棱錐的高都是原四面體的內(nèi)切球的半徑,故S△ABD+S△ABE+S四邊形BEFD=S△ADC+S△AEC+S△EFC又面AEF公共，故選C。答案：C5.正方形ABCD的邊長為1，分別取邊BC、CD的中點(diǎn)E、F，連結(jié)AE、EF、AF，以AE、EF、FA為折痕，折疊這個(gè)正方形，使B、C、D重合于一點(diǎn)P，得到一個(gè)三棱錐如圖1—1—7-2.求此三棱錐的體積。圖1—1—7—2解:∵∠D=∠C=∠B=90°，∴翻折后∠APE=∠EPF=∠APF=90°?！郣t△PEF可以看作底面，而AP可以看作是高.比較發(fā)現(xiàn)：AP=1，PE⊥PF，PE=PF=.∴VA—PEF=S△PEF·AP=××××1=(立方單位)。30分鐘訓(xùn)練(鞏固類訓(xùn)練,可用于課后)1。正方體形容器有相鄰兩面中心各有一小孔，則此封閉容器最多盛水量是正方體總?cè)萘康模?A。B。C.D.解析：設(shè)正方體棱長為2a，則最多盛水容積為(2a)3-a2·2a=7a3。又總?cè)莘e為8a3.故選B。答案:B2.若圓錐、圓柱的底面直徑和它們的高都等于一個(gè)球的直徑，則圓錐、圓柱、球的體積之比為(）A。1∶3∶4B。1∶3∶2C.1∶2∶4D。1∶4∶2解：設(shè)球半徑為R,則V圓錐=πR2（2R)=πR3，V圓柱=πR2·2R=2πR3，V球=πR3.∴V錐∶V柱∶V球=∶2∶=1∶3∶2.答案：B3。OA是圓錐底面中心O到母線的垂線,OA繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得曲面將圓錐分成體積相等的兩部分，則母線與軸的夾角的余弦值為()A.B。C。D.解析：如圖,設(shè)圓錐的高為h,母線與軸的夾角為θ,則圓錐的底面半徑r=h·tanθ.∴V圓錐=πr2h=πh3tan2θ.又OA=h·sinθ，故O1A故曲面將圓錐分成兩部分的上部分體積為V1=πO1A2（DO1+O1O)=πh3sin2θcos2θ.所剩另一部分的體積為V2=V圓錐-V1=πh3tan2θ-πh3sin2θcos2θ.又V1=V2，故πh3sin2θcos2θ=πh3tan2θ—πh3sin2θcos2θ。解之，得cos4θ=，cosθ=.答案：D4。已知各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上的正四棱柱高為4，體積為16，則這個(gè)球的表面積是(）A。16πB。20πC。24πD。32π解析：由V=Sh得S=4，即正四棱柱底面邊長為2.該正四棱柱的主對(duì)角線即為球的直徑，所以球的表面積V′=4πr2=4π（）2=D2π=(22+22+42)π=24π,選C。答案:C5.在棱長為1的正方體上,分別用過共頂點(diǎn)的三條棱中點(diǎn)的平面截該正方體,則截去8個(gè)三棱錐后,剩下的幾何體的體積是()A.B.C。D.解析：截去的每個(gè)小三棱錐的體積為××××=×（）4，則剩余部分體積V=1—×（)4×8=.答案：D6.已知球面上的四點(diǎn)P、A、B、C，且PA、PB、PC兩兩互相垂直,PA=PB=PC=2,則此球的體積為（)A。πB.C.D.解析:以PA、PB、PC為三邊作一個(gè)正方體,則此球是正方體的外接球,其直徑等于正方體的對(duì)角線長,即2R=，所以R=.因此，球的體積為πR3=π.故選A。答案：A7。圓臺(tái)的體積為52cm3,上、下底面積之比為1∶9，則截得該圓臺(tái)的圓錐體積為_____________.解：設(shè)圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為r、R,則r∶R=1∶3。而V臺(tái)=πh（r2+Rr+R2)=52,設(shè)圓錐高為h′,則,∴h=h′.∴h·()=52。∴×h′·R2=52.∴πR2h′==162?！郪錐=πR2h′=×162=54.答案:548。圓錐的母線長是它的高的2倍，過頂點(diǎn)的最大的截面交底面得一條弦，底面圓心到弦的距離為2cm,求圓錐的體積.解：設(shè)PO=x，則PA=2x，OA=,最大截面為PAD(∠APD=90°）.設(shè)OC⊥AD,則OC=2,AC=.由OC2+CA2=OA2可得x=2?！郪=（)2·x=8π。9。將半徑為72cm的扇形OAB剪去小扇形OCD,余下扇環(huán)ABCD的面積為648πcm2,圍成圓臺(tái)后，其上、下底半徑差為6cm。求該圓臺(tái)的體積。解:設(shè)圓臺(tái)上、下底面半徑、母線、高分別為r、R、l、h，