數(shù)學(xué)優(yōu)化訓(xùn)練：弧度制

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精§3弧度制5分鐘訓(xùn)練(預(yù)習(xí)類訓(xùn)練，可用于課前)1.下列諸命題中，真命題是（）A.一弧度是一度的圓心角所對的弧B.一弧度是長度為半徑的弧C.一弧度是一度的弧與一度的角之和D.一弧度是長度等于半徑長的弧所對的圓心角，它是角的一種度量單位解析：由1弧度的意義可知，選D。答案：D2.下列諸命題中，假命題是（）A.“度"與“弧度”是度量角的兩種不同的度量單位B。1度的角是周角的，1弧度的角是周角的C。根據(jù)弧度的定義,180°一定等于π弧度D.不論用角度制還是用弧度制度量角，它們與圓的半徑長短有關(guān)解析：由角和弧度的定義，可知無論是角度制還是弧度制,角的大小與半徑的長短無關(guān),而是與弧長與半徑的比值有關(guān)。故應(yīng)選Ｄ。答案:D3.單位圓中，長為2個單位長度的弧所對的圓心角的弧度數(shù)為___________rad.解析：由α=，可得圓心角α的弧度為=2rad.答案：24。-300°化為弧度是，弧度化為角度是____________。解析：-300°=×（—300）rad=,rad=180°×=288°.答案：rad288°10分鐘訓(xùn)練(強(qiáng)化類訓(xùn)練，可用于課中)1。在直角坐標(biāo)系中，集合S={β｜β=k·，k∈Z｝的元素所表示的角的終邊在（）A。第一象限B。x軸上C。y軸上D.坐標(biāo)軸上解析：終邊落在坐標(biāo)軸上的角的集合應(yīng)為{β｜β=，k∈Z}易知當(dāng)整數(shù)k為偶數(shù)時，β的終邊落在x軸上；當(dāng)k為奇數(shù)時，β的終邊落在y軸上。所以β角的終邊應(yīng)落在坐標(biāo)軸上。答案:D2.下列兩組角中,終邊不相同的是(）A。+kπ與+kπ（k∈Z)B。+2kπ與（k∈Z）C。+2kπ與+2kπ(k∈Z）D。+2kπ與+2kπ（k∈Z）解析：對整數(shù)k的取值進(jìn)行分類討論。一一驗(yàn)證，易知B、C中兩組角終邊相同.A中,kπ+和kπ-（k∈Z）的終邊相同；D中,由于和不在一個象限，所以它們的終邊不相同.答案：D3。化為度應(yīng)是_____________。解析:∵πrad=180°，∴rad=×180°=144°.答案：144°4。把下列各角化為2kπ+α（0≤α＜2π)的形式，并指出所在的象限。(1）；(2）。解:（1）=6π+，在第二象限;(2)的終邊落在y軸的正半軸上。5。某飛輪直徑為1。2m，每分鐘按逆時針方向旋轉(zhuǎn)300圈,求：（1）飛輪每分鐘轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)；(2）輪周上的一點(diǎn)每秒鐘經(jīng)過的弧長。解:（1）因?yàn)轱w輪每分鐘按逆時針方向旋轉(zhuǎn)300圈，而逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周的弧度數(shù)為2π,所以飛輪每分鐘轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)是300×2π=600πrad.（2）∵飛輪每分鐘按逆時針方向旋轉(zhuǎn)300圈，∴每秒鐘轉(zhuǎn)5圈.又飛輪直徑為1。2m，∴一圈的長（即圓的周長）為1.2πm。因此輪周上的一點(diǎn)每秒鐘經(jīng)過的弧長是5×1.2πm=6πm。30分鐘訓(xùn)練(鞏固類訓(xùn)練，可用于課后)1。下列各命題中正確的是（）A。地球到太陽的距離y與時間t構(gòu)成的函數(shù)是周期函數(shù)B。用弧度制表示的角都是正角C.大圓中1弧度角比小圓1弧度角大D。圓心角為1弧度的扇形的弧長相等解析:據(jù)物理學(xué)知識，任何一時刻，地球與太陽的距離y是唯一確定的，且每經(jīng)過一年地球繞太陽旋轉(zhuǎn)一周，無論哪個時刻t，經(jīng)過一年，地球又回到原來的位置，所以我們有f（T+t）=f（t），故y=f（t）是周期函數(shù)。所以A正確;對于弧度制,定義為弧長等于1個單位長度所對的圓心角大小為1弧度，與圓的大小無關(guān).大小不同的圓1弧度的扇形的弧長不等,所以C、D均不正確.又采用弧度制表示的角，是任意角,可正可負(fù)，所以B不正確.答案:A2.圓的一段弧長等于這個圓的內(nèi)接正三角形的一條邊長，那么這段弧所對的圓心角是弧度。解析：設(shè)圓的半徑為r,則圓內(nèi)接正三角形的邊長為，即弧長為，所以所求圓心角的弧度數(shù)為|α｜=.答案：3。地球赤道的半徑是6370km，赤道上1°的弧長是__________km。（可用計算器）解析：由于1°=≈0.01745rad，所以赤道上1°的弧長是0.01745×6370km=111.1565km.答案：111。15654.已知α∈(），β∈(，π),求α+2β,α-2β的范圍。解：∵〈α<，<β〈π，則<2β〈2π,—2π<—2β<，∴，。5。將下列各角從弧度化為度：（1）；(2)—20.解：（1)rad=×180°=-75°；（2)—20rad≈57.3°×（-20）=-1146°。6。將下列角度數(shù)化為弧度數(shù)：(1)-12°45′；（2)112°30′.解：(1）-12°45′=-1275°=-12。75×；（2)112°30′=112.5°=112.5×rad.7.已知一扇形的周長是40cm，當(dāng)它的半徑和圓心角取什么值時，才能使扇形的面積最大?最大面積是多少？解：設(shè)扇形的圓心角為θ，半徑為r,弧長為l，面積為S，則l+2r=40，∴l(xiāng)=40-2r.∴S=×（40—2r)r=20r—r2=-(r-10)2+100.∴當(dāng)半徑r=10cm時,扇形的面積最大，這個最大值為100cm2,這時θ=rad=2rad。8。已知圓中一段弧長正好等于該圓外切正三角形的邊長，求這段弧所對的圓心角。解:設(shè)圓的半徑為r，則圓的外切正三角形的邊長為,由題意知弧長為，所以這段弧所對的圓心角的弧度數(shù)為rad.9。已知圓上一點(diǎn)A(1，0)按逆時針方向做勻速圓周運(yùn)動，1秒鐘時間轉(zhuǎn)過θ(0＜θ≤π）角，經(jīng)過2秒鐘到達(dá)第三象限,經(jīng)過14秒鐘轉(zhuǎn)到與最初位置重合的位置,求θ角的弧度數(shù)。解：∵0〈θ≤π，可得0〈2θ≤2π.又∵2θ在第三象限,∴π<2θ≤.由14θ=2kπ（k∈