數(shù)值分析方法 課件 4-8 數(shù)值微分

數(shù)值分析方法面向“四新”人才培養(yǎng)普通高等教育系列教材主編

李冬果李林高磊首都醫(yī)科大學(xué)生物醫(yī)學(xué)工程學(xué)院智能醫(yī)學(xué)工程學(xué)學(xué)系第四章

數(shù)值積分基礎(chǔ)目錄/Contents4.1數(shù)值積分的基本思想

4.2機(jī)械求積公式

4.3二、三節(jié)點(diǎn)的高斯求積公式

4.4機(jī)械求積公式的誤差估計(jì)

4.5牛頓-科茨公式

4.6復(fù)合求積公式及其誤差估計(jì)

4.7積分區(qū)間逐次分半求積方法

4.8數(shù)值微分

4.8數(shù)值微分1.差商求導(dǎo)公式

存在，則稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，記作：

上面三式分別被稱為一階導(dǎo)數(shù)的向前差商公式，向后差商公式和中心差商公式，中心差商公式也被稱作中點(diǎn)公式.

借助Taylor展開式，取步長h為參數(shù)，將一階展開：

則有：即于是有：

公式(4.8.2)計(jì)算導(dǎo)數(shù)時(shí)截?cái)嗾`差的與公式(4.8.1)的結(jié)論相同

將兩式相減得

類似于一階導(dǎo)數(shù)的中心差商公式，可以得到二階導(dǎo)數(shù)的中心差商計(jì)算公式:2.插值型求導(dǎo)公式

基于插值方法的數(shù)值微分做法是，由已知建立拉格朗日插值多項(xiàng)式或Newton插值多項(xiàng)式，即或則有余項(xiàng)：

則有余項(xiàng)：

對余項(xiàng)公式兩端求導(dǎo)得：

略去誤差項(xiàng)有類似的有幾種常用的求導(dǎo)公式(1)兩點(diǎn)公式當(dāng)n=1時(shí)，數(shù)據(jù)表如下表：則有插值公式

這正是一階導(dǎo)數(shù)的向前差商公式和向后差商公式。下面考慮兩點(diǎn)公式的截?cái)嗾`差，為了計(jì)算余項(xiàng)導(dǎo)數(shù)，先計(jì)算

此時(shí)截?cái)嗾`差分別為：

(2)三點(diǎn)公式當(dāng)n=2時(shí)，數(shù)據(jù)表如下表：則有插值公式

則在插值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為：一階導(dǎo)數(shù)的中心差商公式考慮三點(diǎn)公式的截?cái)嗾`差，計(jì)算

則截?cái)嗾`差分別為：

例已知函數(shù)由如下數(shù)據(jù)表給出，求各點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值。

x-4-3-2-101234y0.05880.10.20.510.50.20.10.0588解：在Python中可以通過定義一個(gè)函數(shù)fun_diff_3points以實(shí)現(xiàn)三點(diǎn)插值型求導(dǎo)公式：例4.9.4角膜是眼球前部的透明組織，具有保護(hù)眼睛和屈光作用。角膜的屈光力約占全部眼球屈光力的70%，作為類似于旋轉(zhuǎn)拋物面的角膜，其屈光力與角膜前后表面曲率密切相關(guān)。已知角膜前表面沿水平方向曲線弧的數(shù)據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)，求角膜前表面水平方向頂點(diǎn)的曲率和以頂點(diǎn)為中心3mm范圍內(nèi)的平均曲率。x(mm)y(mm)x(mm)y(mm)x(mm)y(mm)-1.9980.4144-0.6540.61330.6900.5761-1.9140.4342-0.5700.61780.7740.5659-1.8300.4529-0.4860.62140.8580.5547-1.7460.4706-0.4020.62400.9420.5426-1.6620.4873-0.3180.62581.0260.5295-1.5780.5030-0.2340.62671.1100.5155-1.4940.5177-0.1500.62671.1940.5005-1.4100.5315-0.0660.62571.2780.4844-1.3260.54430.0180.62391.3620.4674-1.2420.55620.1020.62121.4460.4494-1.1580.56720.1860.61751.5300.4304-1.0740.57710.2700.61291.6140.4104-0.9900.58620.3540.60741.6980.3894-0.9060.59440.4380.60101.7820.3673-0.8220.60160.5220.59361.8660.3442-0.7380.60790.6060.58531.9500.3201解：

xydy_dxd2y_dx2kfp1_yfp2_yK_fit-1.9980.4140.242-0.1700.1560.237-0.1320.122-1.9140.4340.229-0.1560.1440.226-0.1320.122-1.830.4530.217-0.1420.1320.215-0.1320.123……1.7820.367-0.269-0.1420.128-0.262-0.1320.1191.8660.344-0.281-0.1420.126-0.273-0.1320.1181.9500.320-0.293-0.1420.125-0.284-0.1320.117數(shù)值微分與擬合曲線計(jì)算對比圖原始數(shù)據(jù)與擬合數(shù)據(jù)對比圖一階數(shù)值導(dǎo)數(shù)與擬合曲線導(dǎo)數(shù)對比圖二階數(shù)值導(dǎo)數(shù)與擬合曲線二階導(dǎo)數(shù)對比圖基于數(shù)值導(dǎo)數(shù)計(jì)算的曲率與