2022年新高考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)訓(xùn)練第05講 指對(duì)冪函數(shù)運(yùn)算與性質(zhì)(提升訓(xùn)練)(解析版)

第05班指對(duì)累函數(shù)運(yùn)算與性質(zhì)

【提升訓(xùn)練】

一、單選題

L已知〃=10832/=卜24=8%吟3,則。c的大小關(guān)系為（）

A.a<b<cB,b<c<a

C.c<a<bD.b<a<c

【答案】A

【分析】

利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得到0<log2^<log23,利用換底公式轉(zhuǎn)化可得到a<b<\,利用指數(shù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則將

化簡得到3為底的累，可以判定c>l,從而得到ahc的大小關(guān)系.

【詳解】

11

解：V0<log26,<log23,--------------,HPIn2>log32,*,a<b<\,

log2elog23

?/c=88口=Q喝3）1=3：〉3。=i,

?'.a<b<c.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值的大小，屬于基礎(chǔ)題.關(guān)于不同底數(shù)的對(duì)數(shù)的大小比較，

常常是利用換底公式轉(zhuǎn)化為同底數(shù)的對(duì)數(shù)進(jìn)行比較，對(duì)于指數(shù)，對(duì)數(shù)式之間的比較大小，常常是利用中間

值，比如常見的1,0等比較大小.

2.若等比數(shù)列｛%｝中的《，。2017，是方程/-dr+BuO的兩個(gè)根，則Iog34+log34+log3a3+

…+log3〃2021=（）

20222021

A.-----B.1010C.-----D.1011

32

【答案】C

【分析】

根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)求出Q2,再利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡對(duì)數(shù)即得解.

U10ll=3。

【詳解】

由題得％。2017=3，

根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)知：=。2a2020=…=4010。1012=《0114）11=3,

于是叫=31

12021

100

則%+log3%+晦％+??+log3出⑼=噫（4詠???%）=log33'?3萬=亍，

故選：C

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵有兩點(diǎn)，其一，是求出々=3；：其二是化簡對(duì)數(shù)式.

￡*1011J

3.數(shù)字通信的研究中，需要解決在惡劣環(huán)境（噪聲和干擾導(dǎo)致極低的信噪比）下的網(wǎng)絡(luò)信息正常傳輸問題.

根據(jù)香農(nóng)（舫刖咐公式C=Wlog20+J式中W是信道帶寬（赫茲）.s是信道內(nèi)所傳信號(hào)的平均

功率（瓦），C是數(shù)據(jù)傳送速率的極限值，單位bit/s一是為信號(hào)與噪聲的功率之比，為無量綱單位（如：

N

CC

7=1000,即信號(hào)功率是噪聲功率的1000倍）,討論信噪比時(shí)，常以分貝（dB）為單位即SNR=101gR（信

噪比，單位為dB）.在信息最大速率C不變的情況下，要克服惡劣環(huán)境影響，可采用提高信號(hào)帶寬（W）的

方法來維持或提高通信的性能.現(xiàn)在從信噪比SNR=3MB的環(huán)境轉(zhuǎn)到SNR=0dB的環(huán)境，則信號(hào)帶寬

（W）大約要提高（）

（附：42。0.3）

A.10倍B.9倍C.2倍D.1倍

【答案】B

【分析】

依題意，分別求出力=10'#=1,進(jìn)而可得叱alOW「

【詳解】

S/VR=30dB=l°lg今=>lg今=3=>今=1。3

S/VR=0dB=1。愴*=但去=0=￡=1?！?1,

所以,

C=^log21+^-3

=^log2(l+10)

=叱log?(1+10°)=嗎

C=W,log21+

IVz、lg(l+10。

所以京=log20+l03)=?—=10*所以w,*0叱，即大約提高9倍.

坨20.3

故選：B.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：在求費(fèi)時(shí)，館(1+103)°吆1()3=3是解決本題的一個(gè)關(guān)鍵

4.若〃=&,b=log420,c=log630,則()

A.a<b<cB.c<b<a

C.c<a<bD.a<c<b

【答案】D

【分析】

根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算得b=log420=l+log45〉2,c=log630=l+log65<2,l+log65>

1+log6R=\5>?,故b>c>a.

【詳解】

依題意,Z?=log420=l+log45>2,c=log630=l+log65<2,故b>c,

又1+Iog65>l+k)g6#=L5>VL故c>〃，

所以Z?>C>4.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查對(duì)數(shù)式的大小比較，對(duì)數(shù)運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.本題解題的關(guān)鍵在于根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算

化簡，并借助中間量L5,2實(shí)現(xiàn)大小比較.

5.若正實(shí)數(shù)。，〃滿足log2。一一—=21ogZ?-----,則()

〃+142b+1

A.a>2bB.a<2bC.b>2aD.b<2a

【答案】R

【分析】

構(gòu)造函數(shù)f(x)=log2X--L，根據(jù)其在xe(。，”)上單調(diào)遞增，將條件變成函數(shù)值關(guān)系，從而求得自變

x+1

量大小關(guān)系.

【詳解】

由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性知，/(X)=10g,X一一在XW(0,48)上單調(diào)遞增，

X+1

則/(〃)=log,4-一，/(2Z?)=log22/?--!—=21og4+1,

。+12^+12b+l

又log2a-----；=2log4b-——

因此/(。)</(2/，則〃<2Z?

故選：B

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：將條件變成函數(shù)f(x)=log,x--匚的兩個(gè)變量的大小比較，則只需判斷出函數(shù)單調(diào)性即可.

6.已知函數(shù)〃若Qu/jlogA,/?=/(log56),c=/(log64),則。，瓦c的大小關(guān)系正確

的是()

A.b>a>CB.a>b>c

C.c>b>aD.c>a>b

【答窠】B

【分析】

先判斷函數(shù)的奇偶性，再利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，最后根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合基本不等式、比較

法進(jìn)行判斷即可.

【詳解】

因?yàn)椤耙涣?1+"=，(%)，所以/⑶為偶函數(shù)，

r(…一

當(dāng)x〉0時(shí)，r(x)>0,函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)x<0時(shí)，/'(x)vO,函數(shù)單調(diào)遞減,

a=/0og4[=/(-log45)=/(log45),Z?=/(log56),c=/(log64),

因?yàn)镮g4+lg6>2，lg4」g6,

故Ig41g6<J=等<]竽j=(lg5)2

lg5lg6Ig25-lg41g6

log5-log6>0

45ig4運(yùn)一—Ig41g5

所以log45>log56>1>log64>0,則a>Z?>c.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：對(duì)于判斷函數(shù)值大小問題一般從判斷函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性、對(duì)稱性入手.

7.設(shè)實(shí)數(shù)a,b滿足5“+11〃=18“，7"+9"=15"，則〃，b的大小關(guān)系為()

A.a<hB.a=bC.a>hD.無法比較

【答案】A

【分析】

從選項(xiàng)A或C出發(fā)，分析其對(duì)立面，推理導(dǎo)出矛盾結(jié)果或成立的結(jié)果即可得解.

【詳解】

假設(shè)則11。之1-,7"之7”，

由5"+1代=18。得5"+11”N18"n(4)"+(—)a21，

1818

因函數(shù)/(x)=(―)'+(2)”在R上單調(diào)遞減，又/⑴=7^+7^=u<1,則/(。)21>/(0，所以〃<1；

1010101010

7o

由7"+y=15“得7"+9'Y15〃=(—/+(—/<1,

797916

因函數(shù)g(x)=(?)'+(?)'在H匕單調(diào)遞減，又且6=6+?=?>1,則83)?1<8(1),所以人>1；

即有avl<b與假設(shè)矛盾，所以。<人，

故選：A

【點(diǎn)睛】

思路點(diǎn)睛：應(yīng)用反證法解決問題時(shí)必須先否定結(jié)論，把結(jié)論的反面作為條件，且必須根據(jù)這一條件進(jìn)行推

理，否則，僅否定結(jié)論，不從結(jié)論的反面出發(fā)進(jìn)行推理，就不是反證法.

8.已知函數(shù)/（力是定義在區(qū)間（Y）,0）U（0，f8）上的偶函數(shù)，且當(dāng)無?0,48）時(shí)，

21Tn<v<2I

/（x）=.二,；，則方程/（力+3/=2根的個(gè)數(shù)為（）

x>28

A.3B.4C.5D.6

【答案】D

【分析】

v2

將問題轉(zhuǎn)化為f（x）與y=2■的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，由解析式畫出在（0,+8）上的圖象，再結(jié)合偶函數(shù)的對(duì)稱性即

可知定義域上的交點(diǎn)個(gè)數(shù).

【詳解】

12

要求方程〃力+三%2=2根的個(gè)數(shù)，即為求/（"）與y=2-二的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，

88

???在（?？，0）上也有3個(gè)交點(diǎn)，故一共有6個(gè)交點(diǎn).

故選：D.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：將問題轉(zhuǎn)化為/3）與y=2的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合思想及偶函數(shù)的對(duì)稱性求交點(diǎn)的

個(gè)數(shù).

9.生物體死亡后，它機(jī)體內(nèi)原有的碳14含量尸會(huì)按確定的比率衰減（稱為衰減率），尸與死亡年數(shù)f之間的

函數(shù)關(guān)系式為P=g）1其中。為常數(shù)），大約每經(jīng)過5730年衰減為原來的一半，這個(gè)時(shí)間稱為“半衰期”.若

2021年某遺址文物出土?xí)r碳14的殘余量約占原始含量的79%,則可推斷該文物屬于（）參考數(shù)據(jù)：

log20.79?-0.34.

參考時(shí)間軸：

A.戰(zhàn)國B.漢C.唐D.宋

【答案】B

【分析】

I

根據(jù)“半衰期”得。=5730,進(jìn)而解方程079=（小麗得八一1948.2,進(jìn)而可推算其所處朝代.

【詳解】

5730

由題可知，當(dāng)1=5730時(shí)，P=—，故2_=門_]丁，解得a=5730,

22⑴

所以P=（gj73。，所以當(dāng)p=o.79時(shí)，解方程0.79=（小.，

兩邊取以2為底的對(duì)數(shù)得log20.79=log[g）573°=-±-?-0.34*解得，*一1948.2,

所以2021—1948.2=72.8￡（—202,220）,

所以可推斷該文物屬于漢朝.

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查指數(shù)運(yùn)算與對(duì)數(shù)運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.本題解題的關(guān)鍵在于根據(jù)半衰期計(jì)算得

〃=5730,進(jìn)而解方程0.79=(口疝

(1Y1，則旗+噌卜同+f電的值為(

10.已知函數(shù)/(x)=l+ln——(。＞0),若/)

1-x

A.2B.4C.0D.-2

【答案】B

【分析】

由=求出f(x)=l+ln」.

1—x

利用看,超>。且內(nèi)+占=1時(shí)，/(X)+/(Z)=2+Inf即可求解.

【詳解】

由=1,可得l+lna=l,故a=l,即〃x)=l+ln」一

1—x

中2

注意到當(dāng)司占＞0且%+七=1時(shí)，fM+f(X2)=2+ln=2,所以

故選：B.

【點(diǎn)睹】

對(duì)于多個(gè)函數(shù)值求和問題，先研究函數(shù)的性質(zhì)再整體計(jì)算.

11.定義在(0,+e)上的函數(shù)/(力滿足^'(工)一1>0,/(4)=21。2,則不等式/(/)</的解集為()

A.(0,2In2)B.(―,21n2)C.(21n2,-H?)D.(L21n2)

【答案】B

【分析】

構(gòu)造函數(shù)g(x)=/(x)—lnx,xe(0,-Ko),先判斷其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，來確定該函數(shù)的單調(diào)性，再化簡不

等式為gS)<g(4)，根據(jù)單調(diào)性解不等式即可.

【詳解】

設(shè)g(x)=/(x)Tnx,XG(O,+<X>),則g<x)=八力」="("-1>0,

XX

故g(%)在(0,+巧上單調(diào)遞增，g(4)=/(4)-ln4=21n2-21n2=0,

不等式O<x,即-Ine'vO,即g(e")<g(4),根據(jù)單調(diào)性知0<然<4，

即,<4=*4,得4<ln4，即x<21n2,故解集為(9,21n2).

故選：B.

【點(diǎn)睛】

思路點(diǎn)睛：

利用導(dǎo)數(shù)解不等式時(shí)，常常要構(gòu)造新函數(shù)，新函數(shù)一方面與已知不等式有關(guān)，一方面與待求不等式有關(guān),

再結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，利用單調(diào)性解不等式.

/1V

--4X<-1「r

12.已知函數(shù)/(司=八2；1'_,若/[〃切<0,則工的取值范圍為()

ln(x+l),x>-1

A.(-2,0)B.卜

C.12/一1D.

【答窠】D

【分析】

先由『[/(X)]〈?？傻贸鲆?</(工)<0,然后再分xK—1、x>—l兩種情況解不等式一2v/(x)<0,

即可得解.

【詳解】

(I、/(X)

則/[/("]=目一4<0,解得。(力>-2,此時(shí)，-2</(x)<-l；

若〃力>-1,則/[/(切=ln[f(x)+l]vO,可得Ov/(x)+lvl,解得一lv〃x)vO.

綜上，—2vf(x)v0.

若xw-l,由一2</(x)<0可得一一4<0,可得<4,解得-2VXV-1,此時(shí)-2VXVT；

12J12J

若%>-1,由-2v/(x)v0可得一2vln(x+l)v0,可得勺<1+1<1,解得，■一1cx<0,此時(shí)，

—2—1<x<0.

e

綜上，滿足/[/(力]<0的工的取值范圍為(一2,-1)^(5-1,01

故選：D.

【點(diǎn)睛】

思路點(diǎn)睛：涉及與分段函數(shù)有關(guān)的不等式問題，主要表現(xiàn)為解不等式，當(dāng)自變量的取值不確定時(shí)，往往要

分類討論求解；當(dāng)自變量的取值確定但分段函數(shù)中含有參數(shù)時(shí)，只需根據(jù)自變量的情況直接代入相應(yīng)解析

式求解.

13.已知實(shí)數(shù)。，b,。滿足0.4"=2,0.2'=5,0.5*=0.4,則4+力+c+'+?+!=()

abc

A.2B.1C.-2D.-1

【答案】C

【分析】

先利用指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化關(guān)系表示出。，b,c,進(jìn)而得到,，7,再根據(jù)換底公式和對(duì)數(shù)的運(yùn)

abc

算法則即可得結(jié)果.

【詳解】

???0.4“=2,0.2"=5,0.5。=0.4,

a=log042,b=log025,c=log050.4,

A-=log0.4,-=log0.2,-=log0.5,

a2b5c04

**?a++---1---1—=log。42+log。,5+log。50.4+log20.4+logs0.2+log。4。.5

abc

=log”2+log040.5-1+log20.4+logos。-4-1=log04=

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查指數(shù)與對(duì)數(shù)互化，對(duì)數(shù)運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力、邏輯思維能力，試中檔題.需要指出，涉及指數(shù)

式與對(duì)數(shù)式的運(yùn)算時(shí)，常常進(jìn)行指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化，然后利用指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、換

底公式進(jìn)行化簡，要注意對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的正確運(yùn)用.

14.已知xw(l,2),a=2',力=(2、/，。=22*,則仇c的大小關(guān)系為()

A.a>b>cB.b>c>aC.b>a>cD.c>a>b

【答案】B

【分析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，將問題轉(zhuǎn)化為比較當(dāng)xt(l,2)時(shí)f,2x,2'的大小，利用特值法即可求得結(jié)果.

【詳解】

因?yàn)榱?(2'丫=22',函數(shù)y=2"是單調(diào)增函數(shù)，

所以比較小b,c的大小，只需比較當(dāng)xw(1.2)時(shí)父,2蒼2工的大小即可.

用特殊值法，取x=1.5,容易知Y=2.25,2x=3,2'=2’，

再對(duì)其均平方得(Y丫=2.252=5.0625,[2x)2=9,(2?=23=8,

顯然(2x)2=9>(2V)2=23=8>(X2)2=2.252=5.0625,

所以2x>2'>x?,所以6>。。

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較指數(shù)式的大小關(guān)系，屬基礎(chǔ)題.本題解題的關(guān)鍵在于將問題轉(zhuǎn)化為比較

當(dāng)工￡(1,2)時(shí)f,2x,2'的大小，再通過特殊值法即可得答案.

15.已知〃=0.3-臉叱/?=log32,c=log3020,則()

A.a<b<CB.a<c<b

C.b<c<aD.b<a<c

【答案】A

【分析】

先利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì)比較?？诘拇笮?，再作差比較加c大小即得解.

【詳解】

-,O8aje

?.?a=0.3b=log32>log36=一，

e22

:.a<b\

lg2lg20l+lg2

???b=log2==

3lg3lg30-l+lg3

一錯(cuò)告法備。:.b<c,

:.a<b<c,

故選：A.

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：比較實(shí)數(shù)的大小，一般先和“0”比，再和“3”比，再和特殊值比較，最后利用作差法比較.要根

據(jù)已知條件靈活選擇方法求解.

16.函數(shù)f(x)=x+ln|x|的圖象大致是()

【答案】D

【分析】

確定函數(shù)的奇偶性，排除兩個(gè)選項(xiàng)，再由x>0時(shí)的單調(diào)性排除一個(gè)選項(xiàng)，得正確選項(xiàng).

【詳解】

易知/(x)=x+ln|x|是非奇非偶函數(shù)，所以排除選項(xiàng)A,C；

當(dāng)Q。時(shí)，/㈤單調(diào)遞填所以排除選項(xiàng)B.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

思路點(diǎn)睛：函數(shù)圖象的辨識(shí)可從以下方面入手：

(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置.

(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢(shì)；

(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱性；

(4)從函數(shù)的特征點(diǎn)，排除不合要求的圖象.

22

17.設(shè)。=log48,6=21n2,c=----+-----,則()

3”+13-'+1

A.c>a>bB.a>c>b

C.b>a>cD.b>c>a

【答案】A

【分析】

根據(jù)指數(shù)運(yùn)算與對(duì)數(shù)運(yùn)算得c=2,a=|,6=ln4vln/=2,再根據(jù)

-==—=log16/>log1616=1即可判斷a，進(jìn)而得答案.

b21n4lnl61616

【詳解】

2222-3x

因?yàn)閏H-----------1-----=2>

3"3-x+l3X+13X+1

33

32

a=嘀8=log222=1log22=pZ?=21n2=ln4<lne=2>

所以色=3Ine3

log16e>logl616=l,

b21n4lnl6

所以C>4>6

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查指數(shù)運(yùn)算與對(duì)數(shù)運(yùn)算比較大小，考查運(yùn)算求解能力，化歸轉(zhuǎn)化思想，是中檔題.本題解題的關(guān)鍵在

3

于根據(jù)指數(shù)運(yùn)算與對(duì)數(shù)運(yùn)算化簡得c=2,。=7，匕=ln4vln/=2,再作商法比較凡b大小即可.

2

18.已知函數(shù)/（幻=,2'工"，若對(duì)于任意一個(gè)正數(shù)。，不等式|/*）一/（0）|＞［在（-。,幻上都有

kx+b,x＜03

解，則％出的取值范圍是（）

24

A.kGR,Z?GB.k<O,bw

3,3

C.keR,he—,+coID.k＜0,Z?G^-oo,—I

【答案】A

【分析】

49

由小等式可知，或結(jié)合圖象，分析可得比,。的取值范圍.

【詳解】

當(dāng)工20時(shí)，,一1卜；，得2、之：，Vx￡（一。,。），不能滿足2■1都有解;

當(dāng)％＜0時(shí),|〃力一1卜;,得〃力＞：或〃力＜'|,

如圖，當(dāng)ANO或女＜0時(shí)，只需滿足匕或人＜3,滿足條件.

33

(2\(4]

所以AeR,be-oo-(J-,+oo時(shí)，滿足條件.

故選：A

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查根據(jù)不等式成立，求參數(shù)的取值范圍，本題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合理解，分析

19.已知/(無)為定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)尤“時(shí)，有〃工+1)=-/(同，且xw[O』)時(shí)；

/(x)=log2(x+l),給出下列命題：①/(2013)+/(-2014)=0：②函數(shù))(力在定義域R上是周期為

2的周期函數(shù)；③直線丁=工與函數(shù)y=/(冗)的圖象有1個(gè)交點(diǎn)；④函數(shù)/(x)的值域?yàn)?一1,1),其中正

確命題有()

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

【答案】D

【分析】

由函數(shù)關(guān)系式及偶函數(shù)的性質(zhì)可知/(x)在xNO、上分別是周期為2的函數(shù)，并可寫出其對(duì)應(yīng)的函數(shù)

解析式，結(jié)合函數(shù)圖象，即可判斷各項(xiàng)的正誤.

【詳解】

由題設(shè)，/(x+2)=-/U+l)=/W，卻/*)是周期為2的函數(shù)，

令l?xv2,則而工￡[0,1)時(shí)；/(x)=log2(x+l).

?,*/(x)=-/(x-l)=-log2x.

log2(x+l),0<x<1

?二綜上：/(%)=<且在xNO上周期為2.

-log2x,1<x<2

???/(元)為定義在/?上的偶函數(shù),

log(l-x),-l<x<0

???在xWO上周期為2且/*)=<2

-log2(-x),-2<x<-l

①/(2013)+“一2014)=/(2013)+42014)=/(1)+/(0)=0,正確:

②函數(shù)/(力在定義域R上是周期為2的周期函數(shù)，錯(cuò)誤；

③直線y=x與函數(shù)y=/(x)的圖象如下圖示，只有I個(gè)交點(diǎn)，正確;

④函數(shù)/(力如下圖示，其值域?yàn)?一1』)，正確；

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用函數(shù)關(guān)系及偶函數(shù)性質(zhì)，判斷函數(shù)的周期性及相應(yīng)區(qū)間上的解析式，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的方

法判斷各項(xiàng)的正誤即可.

20.若存在TF數(shù)x使，成立,則。的取值范圍是()

A.(-co,4-oo)B.C.卜8」-1)D.(-oo,-l)

【答案】B

【分析】

令y=x+〃，y=e-x,將問題轉(zhuǎn)化為3^>0使y<凹，結(jié)合函數(shù)圖象，即可確定。的取值范圍.

【詳解】

由題設(shè)，知：3c>0使成立，令y=x+a,x,

???僅需avl時(shí)，在小>0,使得e]*+a)<l成立.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：令丁=%+",將問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)在第一象限內(nèi)存在yvy,應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的

思想求參數(shù)范圍.

21.函數(shù)/(x)=sin7ix-logs%的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【分析】

在同一-坐標(biāo)系中畫出兩個(gè)函數(shù)的圖像可得它們交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，此數(shù)即為函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

【詳解】

函數(shù)/(X)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是丁二京口?與y=k>gsX的圖像交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，在同一直角坐標(biāo)系中作圖，如下，

它們共有5個(gè)不同的交點(diǎn)，故/(?零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為5,

故選：C.

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)判斷，可以依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn)存在定理，如果函數(shù)/(無)比較復(fù)雜，則

可以把外力的零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為S(x)=7(力的方程的解問題，其中/(力=5(力一丁(耳，而后者又可以

看成兩個(gè)函數(shù)y=S(x),y=T(x)圖像的交點(diǎn)問題，注意y=S(x),y=T(x)都是常見函數(shù).

/\

22.函數(shù)f(x)=ln2-上一小■，則使得“2x)v/(l-x)成立的x的取值范圍是()

1

A.B.—00,—

1-43

-00,-11甲,+8

C.UD.

4J(2“撲453；

【答案】D

【分析】

由函數(shù)定義域的求解方法可求得“力定義域，由奇偶性定義可知/（x）為偶函數(shù)，由單調(diào)性性質(zhì)和復(fù)合函

數(shù)單調(diào)性的判斷方法可確定當(dāng)X；，+8，由偶函數(shù)性質(zhì)知其在（-8,一；）上單調(diào)遞

時(shí)，/（X）單調(diào)遞增

減，由此可得自變量的大小關(guān)系，結(jié)合函數(shù)定義域可構(gòu)造不等式組求得結(jié)果.

【詳解】

2-白＞。

1A(1

國得:或x>L1

由，??./（1）定義域?yàn)?、一-(J-

222八12

|%|工0

11=ln2-吉-J,

v/(-x)=ln2-x=f（x），，/（4）為偶函數(shù);

\-\)l+(r『I\A)i+x

當(dāng)X￡(g,+811

時(shí)，/(x)=ln2

xl+x2

又y=2」1在惇+oo］上單調(diào)遞增，在佶,+oo］上單調(diào)遞增,

xx)2

在（；,+8）上單調(diào)遞減,+8）上單調(diào)遞增,

???〃力在

又"白

???/（》）為偶函數(shù),「ja）在18,-g|

上單調(diào)遞減;

由〃2力＜/（1_力得：|2才〈|1_元|,解得：-Ivxc；；

(1)(1加D1

又2xe-00,--U一,+00,1-XG-00,-

\2)1212

或u

443

即使得/（2x）</（1-x）成立的x的取值范圍為1-1,

45>

故選：D.

【點(diǎn)睛】

易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性求解函數(shù)不等式的問題，解題關(guān)鍵是能夠通過對(duì)函數(shù)單

調(diào)性的判斷，將函數(shù)值大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為自變量的大小關(guān)系；易錯(cuò)點(diǎn)是忽略函數(shù)定義域的要求，造成取值范

圍求解錯(cuò)誤.

23.已知/（功是定義在（-8,長。）上的偶函數(shù)，且在（-8,0］上是減函數(shù)，設(shè)。=/,b=flog,4,

\/\2>

c=f（亞）,則a,b,C的大小關(guān)系是（）

A.c<a<bB.c<b<aC.b<c<aD.a<b<c

【答窠】D

【分析】

（\

由偶函數(shù)得函數(shù)在。+8）上遞增，b=7|log,4=/（-2）=/⑵，比較自變量的大小后可得函數(shù)值大小.

、27

【詳解】

因?yàn)?“）是定義在（-OO,+8）上的偶函數(shù)，且在（YO,0］上是減函數(shù)，所以/（X）在［。,+8）上遞增，且

b=flog,4=/(-2)=/(2)

22<>/5所以acbvc.

2

故選：D.

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：本題考查奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用，考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，幕的運(yùn)算法則.這類問題常常由

奇偶性得出函數(shù)的單調(diào)性，同時(shí)由奇偶性化函數(shù)值中自變量的值到同一單調(diào)區(qū)間上，然后根據(jù)指數(shù)函數(shù)、

對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等的性質(zhì)比較自變量的大小，然后由單調(diào)性得出結(jié)論.

24.下表中給出的常用對(duì)數(shù)值有一個(gè)是錯(cuò)誤的，它是（）

X0.271.5358

1gX6a-3b-23a-b+c2a-ba+c3-3a-3c

A.lgl.5B.Ig3C.Ig5D.Ig8

【答案】A

【分析】

根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算后判斷.

【詳解】

因?yàn)橐阎街兄挥幸粋€(gè)對(duì)數(shù)式錯(cuò)誤，

若lg8=3—3a—3c,則lg2=l—。-c,又Ig2+lg5=l—a-c+a+c=l=lglO,正確，

因此1g8,1g5均正確，lg2+lgl.5=l—〃-c+3〃一人+c=2a—力+1,但I(xiàn)g2+lgl.5=lg3,

因此lgl.5和lg3中有一個(gè)錯(cuò)誤，

27

lg0.27=lg—=31g3-2=6a-3Z?-2,這樣愴0.271g3都不錯(cuò)，只有l(wèi)gl.5錯(cuò).

故選：A.

【點(diǎn)睛】

思路點(diǎn)睛：本題考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，因此在已知式中兩個(gè)對(duì)數(shù)式運(yùn)算的結(jié)果是正確的，這兩個(gè)對(duì)數(shù)一定

正確，這樣利用對(duì)數(shù)運(yùn)算可得結(jié)論.

【答案】D

【分析】

根據(jù)函數(shù)的定義域，排除C,根據(jù)x>l時(shí)，令/(x)=0,可排除A；根據(jù)x-±1時(shí)，函數(shù)的取值情況,

可排除B,即可求解.

【詳解】

由不等式=9~~D(x+1)〉0解得一1vxvO或4>1,

XX

即函數(shù)“X)的定義域?yàn)?-I,O)U(L+8)，可排除C；

當(dāng)x>l時(shí)，令/(6=0,解得冗=母1,肛2肛…，可排除A；

當(dāng)x->T時(shí)，sinxvO』n(x-,)<0,圻以sinxln(x-,)>0,排除B,

xx

故選：D.

w

26.已知/(x)=x-2,^-/(log3>/5),b-/^log3-ij,c-/(ln3),貝ija,〃，c的大小關(guān)系為()

A.c>b>aB.b>c>aC.a>b>cD.c>a>b

【答案】D

【分析】

當(dāng)xvO時(shí)，八幻=匯出<°，據(jù)此可得b<o,當(dāng)K..0時(shí)，/(x)=x-2\求出導(dǎo)函數(shù)，分析可得f(x)在

[0,48)上為增函數(shù)，由此可得進(jìn)而可得答案.

【詳解】

x-2\x.O

解：根據(jù)題意，/(x)=x-2w=?

,x<0

當(dāng)X<0時(shí)，/(x)=x?<0,又Iog3：=-log32<0,所以6v0,

當(dāng)X..0時(shí)，f(x)=x-2\導(dǎo)函數(shù)/。)=2、%2/〃2>0,所以/(%)在［0,+8)上為增函數(shù)，

又1(0)=0,則當(dāng)％>0時(shí),/(x)>0；

因?yàn)镺vlogaV歷3,所以

綜上，c>a>b,

故選：D.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：當(dāng)X.0時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)/(X)的單調(diào)性，進(jìn)而利用單調(diào)性比較函數(shù)值大小是本題解題的

關(guān)鍵.

27.已知函數(shù)/(力=3^1，則不等式〃”)+/(/)>0的解集為()

A.(^O,-I)u(l,+QO)B.(-oo,-2)u(2,+oo)c.(^o,-l)U(2,+oo)D.(^?,-2)u(l,+oo)

【答案】D

【分析】

將f(x)+/(f)>0代入解析式翻譯出來化簡即可轉(zhuǎn)化為常規(guī)的一元二次不等式問題.

【詳解】

戶卜(會(huì)十(

?(小得“I禺I+蕓?=’1-1)6—17)+6/)>°

即-l)(ej+l)+(e?_1卜-1+1)>0

整理得：25十》一2>0,即/+*-2>1=火

所以，/+工一2>0,解得M一2或

故選D.

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：在處理函數(shù)與不等式相關(guān)問題時(shí)，根據(jù)題設(shè)條件對(duì)不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為我們熟悉的問題，

如二次不等式，指對(duì)數(shù)不等式等，或者運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性做出函數(shù)圖像根據(jù)圖像，通過

圖像去解決問題.

28.奇函數(shù)/(可滿足/(2-力=〃司，當(dāng)x?O,l］時(shí)，〃x)=log2(x+a),則/(2021)=()

A.0B.1C.2D.-1

【答案】B

【分析】

由"0)=0計(jì)算得出實(shí)數(shù)。的值，推導(dǎo)出函數(shù)〃力的周期為4,可得出〃2021)=〃1),即可得解.

【詳解】

因?yàn)楹瘮?shù)/(x)為奇函數(shù)，則/(0)=log2a=0,解得。=1,

所以，當(dāng)*二［0,1］時(shí),/(x)=log2(X+1),

由已知條件可得/(1)=/(2_工)=_/(工_2)=/(%-4),

所以，函數(shù)“X)是以4為周期的周期函數(shù)，則〃2021)=〃l)=log22=l.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

結(jié)論點(diǎn)睛：對(duì)稱性與周期性之間的常用結(jié)論：

(1)若函數(shù)“力的圖象關(guān)于直線工=〃和x=b對(duì)稱，則函數(shù)/(力的周期為丁二2,一小

(2)若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(。,0)和點(diǎn)伍,0)對(duì)稱,則函數(shù)“力的周期為T=2|a-小

(3)若函數(shù)“X)的圖象關(guān)于直線工=。和點(diǎn)伍,0)對(duì)稱，則函數(shù)/(x)的周期為丁=4,一班

29.碳-14測(cè)年法是由美國科學(xué)家馬丁?卡門與同事塞繆爾?魯賓于1940年發(fā)現(xiàn)的一種測(cè)定含碳物質(zhì)年齡的

方法，在考古中有大量的應(yīng)用放射性元素的衰變滿足規(guī)律N=Noe"’(表示的是放射性元素在生物體中最

初的含量N。與經(jīng)過時(shí)間，后的含量N間的關(guān)系，其中a=竽(丁為半衰期),已知碳-14的半衰期為5730

年，狐=1.2x10上,經(jīng)測(cè)量某地出土的生物化石中碳一14含量為4x10』，據(jù)此推測(cè)該化石活體生物生

活的年代距今約(結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)k)g23=1.585)()

A.7650年B.8890年C.9082年D.10098年

【答案】c

【分析】

利用取對(duì)數(shù)，結(jié)合題中所給的數(shù)據(jù)進(jìn)行求解即可.

【詳解】

InA

Tin生

由題意知：N==>義"=e"-力==>7=N°——必,把數(shù)據(jù)代入得:

&N°In2In2

斤

Tin必5730xIn1.2xlQ-12

4Xi。*_5730In3故詵?C

N二________________

=5730log23?5730x1.585=9082.05?9082,

In2In2In2

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：指數(shù)方程可以通過取對(duì)數(shù)進(jìn)行求解.

30.已知。=萬3/=31。二加\下列說法正確的是（）

A.b>a>cB.h>c>a

C.c>a>bD.c>b>a

【答案】D

【分析】

利用塞函數(shù)單調(diào)性可比較Ac的大小，構(gòu)造函數(shù)/（x）=電土，利用單調(diào)性可比較〃，力的大小.

【詳解】

解：???幕函數(shù)y=/?在（0,+8）上單調(diào)遞增，又3<%,

"，即bvc,

^iS/（x）=—,則r（x）=l^^,當(dāng)工￡（e,y）時(shí)，r（x）<0；

XX

???〃工）在上單調(diào)遞減,

In3In4…

—>----，I'P7rln3>31n^r?

37t

??ln3”>In/，

3">乃3,即b>。,

綜上，c>b>a,

故選：D.

【點(diǎn)睛】

InY

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：構(gòu)造函數(shù)/（幻=一:，利用單調(diào)性比較4b的大小是本題的解題關(guān)鍵.

31.若公比為g的無窮等比數(shù)列｛〃/滿足：對(duì)任意正整數(shù)i,都存在正整數(shù)3使得4=4?%,

貝U（）

A.4有最大值1B.%有最大值2C.《有最小值1D.4有最小值2

【答案】B

【分析】

由題得?力，得到4%》卜2,即得解.

【詳解】

因?yàn)椤?《?勺，

所以4x（g）i=qx（g）ixqx（g），T,

所以4=（；產(chǎn)旬，

因?yàn)閷?duì)于任意正整數(shù)i,j”j,都存在正整數(shù)Z,使得4=4?〃八

所以?=（g產(chǎn)，

因?yàn)榕甽,kwN*,

所以q有最大值g）f=2.

故選：B

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：最值問題的求解常用的解法有：（1）函數(shù)法；（2）導(dǎo)數(shù)法；（3）數(shù)形結(jié)合法；（4）基本不等式

法.要根據(jù)已知條件靈活選擇方法求解.

32.已知。、b、c均為不等于1的正實(shí)數(shù)，且lna=cln8,lnc=blna,則。、b、c的大小關(guān)系是（）

A.c>a>bB.b>c>aC.a>b>cD.a>c>b

【答案】A

【分析】

分析可知，Ina、Inh、Inc同號(hào)，分。、b、?！辏?,1）和。、b、C￡（l,+00）兩種情況討論，結(jié)合對(duì)數(shù)函

數(shù)的單調(diào)性可得出〃、b、c的大小關(guān)系.

【詳解】

,/\na=c\nb,\nc=b\na,且。、b、c均為不等于1的正實(shí)數(shù)，

則Ina與In6同號(hào)，Inc與Ina同號(hào)，從而In。、Inb、Inc同號(hào).

①若〃、bCG（0,1）,則Ina、In/?、Inc均為負(fù)數(shù)，

lna=clnb>lnb,可得a>人，lnc=Z?lna>lna,可得c>。，此時(shí)

②若。、b、ce（l,+oo）,貝Ulna、Inb、Inc均為正數(shù)，

\na=c\nb>\nb?可得a>