（新教材適用）2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)綜合測評（A）北師大版選擇性

綜合測評(A)(時間:120分鐘滿分:150分)一、選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)1.數(shù)列0,1,0,1,0,1,0,1,…的一個通項公式是an=().A.(-1)n+1C.cosn+12π D.cos答案D2.函數(shù)f(x)=x3+1x在區(qū)間[1,4]上的平均變化率n與f(x)在x=1處的瞬時變化率mA.m>n B.m<nC.m=n D.無法比較解析平均變化率n=f(4)-又f(x)=13x12+x1,∴f'(x)=∴m=f'(1)=161=56.∴答案B3.當(dāng)用數(shù)學(xué)歸納法證明“凸n邊形的內(nèi)角和等于(n2)π”時,n取第一個值n0等于().A.1 B.2 C.3 D.4答案C4.已知曲線y=f(x)在點(diǎn)(5,f(5))處的切線方程是y=x+5,則f(5)與f'(5)分別為().A.5,1 B.1,5 C.1,0 D.0,1解析由題意可知f(5)=5+5=0,f'(5)=1.答案D5.已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,公差d>0,a1+a5=6,a2a4=8,則a6=().A.2 B.4 C.6 D.8解析因為數(shù)列{an}是等差數(shù)列,a1+a5=6,所以a2+a4=6.又a2a4=8,公差d>0,所以a2=2,a4=4,d=1.所以a6=a4+2d=6.故選C.答案C6.在由正數(shù)組成的等比數(shù)列{an}中,若a4a5a6=2,則a1a2…a8a9的值為().A.2 B.4 C.8 D.16解析根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得,a1a2…a8a9=a59=(a53)3=(a4a5a6)3=2答案C7.函數(shù)f(x)的圖象如圖所示,則下列關(guān)系正確的是().(第7題)A.0<f'(2)<f'(3)<f(3)f(2)B.0<f'(2)<f(3)f(2)<f'(3)C.0<f'(3)<f(3)f(2)<f'(2)D.0<f(3)f(2)<f'(2)f'(3)解析由題圖可知曲線在點(diǎn)B處的切線的斜率大于其在點(diǎn)A處的切線的斜率,且大于0,則有0<f'(3)<f'(2).函數(shù)f(x)從2到3的平均變化率為f(3)-f(2)由題圖可知0<f'(3)<f(3)f(2)<f'(2).故選C.答案C8.已知函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo),F(x)=f(x21)+f(1x2),則F'(1)=().A.4 B.2 C.0 D.4解析因為F'(x)=2xf'(x21)2xf'(1x2),所以F'(1)=2f'(0)2f'(0)=0.故選C.答案C二、選擇題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分)9.函數(shù)f(x)=exx在區(qū)間(0,+∞)上(A.有最大值,無最小值B.有最小值,無最大值C.存在唯一的零點(diǎn)D.存在唯一的極值點(diǎn)解析因為f(x)=exx,x∈(0,+∞),所以f'(x)=(x-1)exx2.令f'(x)>0,則x>1,令f'(x)<0,則0<x<1,所以f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增,所以函數(shù)在x=1處取得極小值即最小值,所以f(x)min=f(1)=e,即函數(shù)有最小值,無最大值,存在唯一的極值點(diǎn).又x∈(0,+∞),所以ex∈(1,+∞),所以f(答案BD10.已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和,且S6>S7>S5,則下列說法正確的是().A.S11>0B.S12<0C.數(shù)列{Sn}中最大項為S11D.|a6|>|a7|解析∵S6>S7>S5,∴a6>0,a7<0,a6+a7>0.∴S11=11a6>0,S12=12(a6+a7)>0,由a6>0,a7<0知,數(shù)列{Sn}中最大項為S6,因為a6>a7>0,所以|a6|>|a7|.答案AD11.已知數(shù)列{an}的首項為4,且滿足2(n+1)annan+1=0(n∈N+),則下列結(jié)論正確的是().A.anB.{an}為遞增數(shù)列C.{an}的前n項和Sn=(n1)·2n+1+4D.an2n+1的前n項和解析由2(n+1)annan+1=0得an+1n+1=所以ann是以a11=a1=4為首項,2為公比的等比數(shù)列,故A錯誤;因為ann=4×2n1=2n+1,所以an因為Sn=1×22+2×23+…+n·2n+1,2Sn=1×23+2×24+…+n·2n+2,兩式作差得Sn=1×22+23+…+2n+1n·2n+2=22(1-2n)1-2n·2n+2,故Sn=(n1)×2n+2+4,故C錯誤;因為an2答案BD12.已知函數(shù)f(x)=xlnx,若0<x1<x2,則下列說法正確的是().A.x2f(x1)<x1f(x2)B.x1+f(x1)<x2+f(x2)C.f(xD.當(dāng)lnx>1時,x1f(x1)+x2f(x2)>2x2f(x1)解析設(shè)g(x)=f(x)x=lnx,函數(shù)單調(diào)遞增,則g(x2)>g(x1),即f(x2)x2>f(x1)設(shè)h(x)=f(x)+x,h'(x)=lnx+2不恒大于零,故h(x)不一定是增函數(shù),故B錯誤;f(x)=xlnx,f'(x)=lnx+1不恒大于零,故f(x)不一定是增函數(shù),故C錯誤;lnx>1,故f'(x)=lnx+1>0,函數(shù)單調(diào)遞增.故(x2x1)[f(x2)f(x1)]=x1f(x1)+x2f(x2)x2f(x1)x1f(x2)>0,即x1f(x1)+x2f(x2)>x2f(x1)+x1f(x2).f(x2)x2=lnx2>f(x1)x1=lnx1,x1即x1f(x1)+x2f(x2)>2x2f(x1),D正確.故選AD.答案AD三、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分.把答案寫在題中的橫線上)13.函數(shù)y=f(x)=|x|在x=1處的導(dǎo)數(shù)f'(1)=,在區(qū)間[1,1]上的平均變化率為.

解析∵當(dāng)x<0時,f(x)=|x|=x,∴f'(x)=1.∴f'(1)=1.在區(qū)間[1,1]上的平均變化率為|1|-|-1答案1014.已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,若a4+a7+a10=15,2a6=a3+7,且ak=13,則k=.

解析由題意知a4+a7+a10=3a7=15,∴a7=5.由a3+a9=2a6=a3+7,得a9=7,所以數(shù)列{an}的公差d=a9-a又aka9=(k9)d,∴137=k9,解得k=15.答案1515.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若首項為1,且滿足an+1=Sn1,則Sn=.

解析因為an+1=Sn1,所以Sn+1Sn=Sn1,即Sn+1=2Sn1,所以Sn+11=2(Sn1).又S1=a1=1,所以數(shù)列{Sn1}是以2為首項,2為公比的等比數(shù)列,所以Sn1=(2)·2n1=2n,所以Sn=12n.答案12n16.若函數(shù)f(x)=ax3+x恰有3個單調(diào)區(qū)間,則實數(shù)a的取值范圍為.

解析由函數(shù)f(x)=ax3+x,得f'(x)=3ax2+1.若a≥0,則f'(x)>0恒成立,此時f(x)在(∞,+∞)上為增函數(shù),不滿足題意;若a<0,由f'(x)>0,得-13a由f'(x)<0,得x<-13a或故當(dāng)a<0時,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為-13a,-13a,單調(diào)遞減區(qū)間為∞,-13a,-故a的取值范圍為(∞,0).答案(∞,0)四、解答題(本大題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17.(10分)已知{an}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列,a1=2,a3=2a2+16.(1)求{an}的通項公式;(2)設(shè)bn=log2an,求數(shù)列{bn}的前n項和.解(1)設(shè){an}的公比為q,由題設(shè)得2q2=4q+16,即q22q8=0.解得q=2(舍去)或q=4.因此{(lán)an}的通項公式為an=2×4n1=22n1.(2)由(1)得bn=(2n1)log22=2n1,因此數(shù)列{bn}的前n項和為1+3+…+2n1=n2.18.(12分)已知函數(shù)f(x)=x+1x(x>0),記函數(shù)f(x)從x=12到x=2的平均變化率為(1)求r的值.(2)是否存在x0∈12,2,使得f'(x0)=r?若存在,求出x0的值;若不存在,請說明理由.解(1)由f(x)=x+1x(x>0),得r=f(2)假設(shè)存在x0∈12,2,使得f'(x0)=r.∵f'(x)=11x∴f'(x0)=11x由f'(x0)=r=0,得11x02=0,解得x0又x0∈12,2,于是x0=1.故存在x0=1∈12,2,使得f'(x0)=r.19.(12分)某數(shù)列的第一項為1,并且對所有的自然數(shù)n≥2,數(shù)列的前n項之積為n2.(1)寫出這個數(shù)列的前五項;(2)求出這個數(shù)列的通項公式.解(1)已知a1=1,由題意得a1·a2=22,∴a2=22.∵a1·a2·a3=32,∴a3=32同理可得a4=4232,a5因此這個數(shù)列的前五項為1,4,94(2)當(dāng)n≥3時,a1·a2·…·an=n2,a1·a2·…·an1=(n1)2,兩式相除,得an=n2又a2=22滿足上式,∴這個數(shù)列的通項公式為an=120.(12分)某品牌電視生產(chǎn)廠家有A,B兩種型號的電視機(jī)參加了家電下鄉(xiāng)活動,若廠家對A,B兩種型號的電視機(jī)的投放金額分別為p萬元、q萬元,農(nóng)民購買電視機(jī)獲得的補(bǔ)貼分別為110p萬元、25lnq萬元,已知A,B兩種型號的電視機(jī)的投放總額為10萬元,且A,B兩種型號的電視機(jī)的投放金額均不低于1萬元,請你制訂一個投放方案,使得在這次活動中農(nóng)民得到的補(bǔ)貼最多,最多補(bǔ)貼多少萬元?(結(jié)果精確到0.1萬元,參考數(shù)據(jù):ln4≈1解設(shè)B型號的電視機(jī)的投放金額為x(1≤x≤9)萬元,則A型號的電視機(jī)的投放金額為(10x)萬元,又設(shè)農(nóng)民得到的補(bǔ)貼為y萬元.由題意得y=110(10x)+25lnx=25lnx110x+1(1≤x≤9),令y'=0,得x=4.令y'>0,得1≤x<4;令y'<0,得4<x≤9.∴函數(shù)y=25lnx110x+∴當(dāng)x=4時,y取得最大值,且ymax=25ln4110×4+1≈1.2,這時,10x=即廠家對A,B兩種型號的電視機(jī)的投放金額分別為6萬元和4萬元時,農(nóng)民得到的補(bǔ)貼最多,最多補(bǔ)貼約為1.2萬元.21.(12分)已知函數(shù)f(x)=2x3ax2+8.(1)若f(x)<0對任意x∈[1,2]恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.(2)是否存在整數(shù)a,使得函數(shù)g(x)=f(x)+4ax212a2x+3a38在區(qū)間(0,2)上存在極小值?若存在,求出所有整數(shù)a的值;若不存在,請說明理由.解(1)當(dāng)x∈[1,2]時,由f(x)<0,得a>2x3+8x2設(shè)h(x)=2x+8x2,x∈[1,2],則h'(x)=2∵h(yuǎn)'(x)≤0,∴h(x)在區(qū)間[1,2]上是減函數(shù),∴h(x)max=h(1)=10.∵f(x)<0對任意x∈[1,2]恒成立,即a>2x+8x2對任意x∴a>10,即實數(shù)a的取值范圍為(10,+∞).(2)假設(shè)存在整數(shù)a,使得函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,2)上存在極小值.∵g(x)=2x3+3ax212a2x+3a3,∴g'(x)=6x2+6ax12a2=6(xa)(x+2a),①若a=0,則g'(x)≥0,g(x)單調(diào)遞增,無極值.②若a>0,則當(dāng)x<2a或x>a時,g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增;當(dāng)2a<x<a時,g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減.∴當(dāng)x=a時,g(x)取得極小值.∵g(x)在區(qū)間(0,2)內(nèi)有極小值,∴0<a<2.∴存在整數(shù)a=1滿足題意.③若a<0,則當(dāng)x<a或x>2a時,g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增;當(dāng)a<x<2a時,g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減.∴當(dāng)x=2a時,g(x)取得極小值.∵g(x)在區(qū)間(0,2)上有極小值,∴0<2a<2,得1<a<0,不滿足a∈Z.綜上,存在整數(shù)a=1,使得函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,2)上存在極小值.22.(12分)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=n2+2n.設(shè)集合M={a12,a22,a32,…,an12},集合A={x|x=x1+x2q+…+xnqn1,xi∈M,i=1,2,…,n},n∈N+.(1)求數(shù)列{an}的通項公式;(2)當(dāng)q=2,n=3時,求集合A中所有元素的和;(3)設(shè)Tn=a1+a2q+…+anqn1,當(dāng)q=3時,求Tn.解(1)∵Sn=n2+2n,n∈N+,∴當(dāng)n≥2時,an=SnSn1=2n+1.當(dāng)n=1時,a1=S1=3滿足上式,故數(shù)列{an}的通項公式為an=2n+1.(2)當(dāng)n=3時,a12=1