第09講 二次根式的加減（解析版）-八年級數(shù)學(xué)

第09講二次根式的加減1.理解同類二次根式的定義；1.掌握合并化簡后被開方數(shù)相同的最簡二次根式的方法2.掌握二次根式的加減法則，會運(yùn)用法則進(jìn)行二次根式的加減運(yùn)算3.能應(yīng)用運(yùn)算律及乘法公式熟練地進(jìn)行二次根式的混合運(yùn)算知識點1：同類二次根式同類二次根式概念：化簡后被開方數(shù)相同的二次根式叫做同類二次根式。合并同類二次根式的方法：把根號外的因數(shù)（式）相加，根指數(shù)和被開方數(shù)不變，合并的依據(jù)式乘法分配律，如知識點2：二次根式的加減二次根式加減法則：先將二次根式化成最簡二次根式，再將被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并。二次根式加減運(yùn)算的步驟：①化：將各個二次根式化成最簡二次根式；②找：找出化簡后被開方數(shù)相同的二次根式；③合：合并被開方數(shù)相同的二次根式——將”系數(shù)”相加作為和的系數(shù)，根指數(shù)與被開方數(shù)保持不變。知識點3：二次根式的混合運(yùn)算二次根式的混合運(yùn)算順序與整式的混合運(yùn)算順序一樣：先乘方，再乘除，最后加減，有括號的先算括號里面的（或先去掉括號）考點一：同類二次根式的判斷例1．（2023春?白云區(qū)期中）下列二次根式中與是同類二次根式的是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：A．，與不是同類二次根式，故本選項不符合題意；B．與是同類二次根式，故本選項符合題意；C．，與不是同類二次根式，故本選項不符合題意；D．，與不是同類二次根式，故本選項不符合題意；故選：B．【變式1-1】（2023春?海珠區(qū)校級期中）下列二次根式中，與是同類二次根式的是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：A、＝3，與不是同類二次根式，故A不符合題意；B、＝2，與不是同類二次根式，故B不符合題意；C、＝，與是同類二次根式，故C符合題意；D、＝，與不是同類二次根式，故D不符合題意；故選：C．【變式1-2】（2023春?潛江月考）下列二次根式中，不能與合并的是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：A、＝4，故A符合題意；B、﹣＝﹣3，故B不符合題意；C、＝2，故C不符合題意；D、＝，故D不符合題意．故選：A．【變式1-3】（2023?嘉定區(qū)二模）下列根式中，與為同類二次根式的是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：＝3，所以，與為同類二次根式的是．故選：A．考點二：求同類二次根式中的參數(shù)例2.（2023春?潮陽區(qū)校級期中）已知最簡二次根式與可以合并，則a的值為（）A．2 B．5 C．11 D．14【答案】B【解答】解：∵最簡二次根式與可以合并，∴a﹣2＝3，∴a＝5，故選：B．【變式2-1】（2023春?廬陽區(qū)校級期中）若最簡二次根式與是同類二次根式，則a的值為（）A．0 B．8 C．2 D．2或8【答案】C【解答】解：由題意得：2a﹣1＝9﹣3a，2a+3a＝9+1，5a＝10，a＝2，故選：C．【變式2-2】（2023春?淮北月考）已知二次根式與是同類二次根式，則a的值可以是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解答】解：，A、當(dāng)a＝2時，，所以與不是同類二次根式；B、當(dāng)a＝3時，，所以與是同類二次根式；C、當(dāng)a＝4時，，所以與不是同類二次根式；D、當(dāng)a＝5時，＝，所以與不是同類二次根式．故選：B．【變式2-3】（2023春?伊犁州期中）如果最簡二次根式與是同類根式，那么a的值是（）A．a(chǎn)＝5 B．a(chǎn)＝3 C．a(chǎn)＝﹣5 D．a(chǎn)＝﹣3【答案】B【解答】解：由題意可知：＝2，3a﹣7＝2a＝3故選：B．考點三：二次根式加減運(yùn)算例3.計算下列各題：（1）4+3﹣6﹣5；（2）﹣++．【答案】（1）﹣4；（2）．【解答】解：（1）原式＝﹣4；（2）原式＝3+＝．【變式3-1】（2023春?海淀區(qū)校級期中）計算：．【答案】．【解答】解：＝2＝．【變式3-2】（2023春?上海期中）計算：3﹣﹣（）．【答案】．【解答】解：3﹣﹣（）＝3﹣﹣＝．【變式3-3】（2022春?賀州期中）計算：+2．【答案】4+6．【解答】解：+2＝4﹣2+6+2＝4+6．考點四：二次根式的混合運(yùn)算例4.（2023春?東麗區(qū)校級期中）計算：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）4；（2）﹣1；（3）；（4）6．【解答】解：（1）＝2﹣+3＝4；（2）＝﹣＝2﹣3＝﹣1；（3）＝2﹣+＝；（4）＝16﹣5﹣（9﹣6+2）＝16﹣5﹣9+6﹣2＝6．【變式4-1】（2023春?海淀區(qū)校級期中）計算：（1）|﹣|+﹣3；（2）（2+）（2﹣）﹣÷．【答案】（1）2；（2）﹣2．【解答】解：（1）|﹣|+﹣3；＝+2﹣＝2；（2）＝22﹣﹣3＝4﹣3﹣3＝﹣2．【變式4-2】（2023春?東城區(qū)期中）計算下列各題：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）．【解答】解：（1）＝＝；（2）＝＝．考點五：已知字母的值化簡求值例5.（2023春?朝陽區(qū)校級期中）先化簡，再求值：，其中：a＝3，b＝2．【答案】a﹣b，1．【解答】解：原式＝﹣?a+a﹣b＝﹣+a﹣b＝a﹣b，當(dāng)a＝3，b＝2時，原式＝3﹣2＝1．【變式5-1】（2023春?上杭縣校級月考）先化簡，再求值：，其中a＝2，b＝3．【答案】2，2．【解答】解：原式＝﹣2+3＝2，當(dāng)a＝2，b＝3時，原式＝2．【變式5-2】（2023春?潛江月考）先化簡，再求值：，其中x＝，y＝﹣8．【答案】，20．【解答】解：＝＝，當(dāng)x＝，y＝﹣8，原式＝＝10×2＝20．考點六：已知條件化簡求值例6.（2023春?南昌期中）已知，，求下列各式的值．（1）a+b和ab；（2）a2+ab+b2．【答案】（1）；2；（2）18．【解答】解：（1）a+b＝++﹣＝2；ab＝（+）（﹣）＝（）2﹣（）2＝5﹣3＝2；（2）a2+ab+b2＝（a+b）2﹣ab＝（2）2﹣2＝20﹣2＝18．【變式6-1】（2023春?拱墅區(qū)期中）已知，，求下列各式的值：（1）x2﹣2xy+y2；（2）x2﹣y2．【答案】（1）144；（2）24．【解答】解：（1）∵x＝+6，y＝﹣6，∴x﹣y＝（+6）﹣（﹣6）＝12，x+y＝（+6）+（﹣6）＝2，∴x2﹣2xy+y2＝（x﹣y）2＝122＝144；（2）x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝2×12＝24．【變式6-2】（2022秋?北塔區(qū)期末）已知，求的值．【答案】﹣．【解答】解：∵x＝，y＝，∴＝＝＝＝＝﹣．【變式6-3】（2023春?中山市期中）已知a＝+2，b＝﹣2，求下列代數(shù)式的值：（1）a2﹣2ab+b2；（2）a2﹣b2．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵a＝+2，b＝﹣2，∴a+b＝+2+﹣2＝2，a﹣b＝（+2）﹣（﹣2）＝4，（1）a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2＝42＝16；（2）a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝2×4＝8．考點七：二次根式的新定義運(yùn)算例7.（2021春?科左中旗期末）對于任意不相等的兩個實數(shù)a，b，新定義一種運(yùn)算“※”如下：a※b＝，則2※6＝．【答案】2．【解答】解：2※6＝＝＝＝＝2，故答案為：2．【變式7-1】對于任意不相等的兩個正實數(shù)a，b，新定義一種運(yùn)算“*”如下：a*b＝，那么2*6＝．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：2*6＝＝＝2．故答案為：2．【變式7-2】對于實數(shù)a、b作新定義：a@b＝ab，a※b＝ab，在此定義下，計算：（﹣）@﹣（﹣4）※2＝．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（﹣）@﹣（﹣4）※2＝（﹣）×﹣（﹣4）2＝（4﹣3）﹣3＝1﹣3．故答案為：1﹣3．考點八：二次根式的應(yīng)用例8.（2022春?海滄區(qū)校級期末）有一塊矩形木板，木工采用如圖沿虛線在木板上截出兩個面積分別為12dm2和27dm2的正方形木板．（1）求原矩形木板的面積；（2）如果木工想從剩余的木塊（陰影部分）中裁出長為1.5dm，寬為1dm的長方形木條，估計最多能裁出多少塊這樣的木條，請你計算說明理由．【解答】解：（1）∵兩個正方形的面積分別為12dm2和27dm2，∴這兩個正方形的邊長分別為2dm和3dm，∴原矩形木板的面積為3（2+3）＝45（dm2）；（2）最多能裁出3塊這樣的木條．理由如下：∵2≈3.464，≈1.732，3.46÷1≈3（塊），1.73÷1.5≈1（塊），3×1＝3（塊）．∴從剩余的木塊（陰影部分）中裁出長為1.5dm，寬為1dm的長方形木條，最多能裁出3塊這樣的木條．【變式8-1】（2022秋?新蔡縣校級月考）如圖，有一張面積為50cm2的正方形紙板，現(xiàn)將該紙板的四個角剪掉，制作一個有底無蓋的長方體盒子，剪掉的四個角是面積相等的小正方形，此小正方形的邊長為cm．（1）求長方體盒子的容積；（2）求這個長方體盒子的側(cè)面積．【解答】解：（1）由題意可知：長方體盒子的容積為：（cm3），答：長方體盒子的容積為18cm3；（2）長方體盒子的側(cè)面積為：（cm2），答：這個長方體盒子的側(cè)面積為24cm2．【變式8-2】（2022秋?社旗縣期中）高空拋物嚴(yán)重威脅著人們的“頭頂安全”，即便是常見小物件，一旦高空落下，也威力驚人，而且用時很短，常常避讓不及．據(jù)研究，高空物體自由下落到地面的時間t（單位：s）和高度h（單位：m）近似滿足公式（不考慮風(fēng)速的影響，g≈9.8t/s2）．已知一幢大樓高78.4m，若一個雞蛋從樓頂自由落下，求落到地面所用時間．【解答】解：將h＝78.4，g＝9.8代入公式t＝，得：t＝＝4，答：落到地面所用時間為4s．【變式8-3】（2022春?云南期末）某居民小區(qū)有塊形狀為矩形ABCD的綠地，長BC為米，寬AB為米，現(xiàn)在要矩形綠地中修建兩個形狀大小相同的長方形花壇（即圖中陰影部分），每個長方形花壇的長為米，寬為米．（1）求矩形ABCD的周長．（結(jié)果化為最簡二次根式）（2）除去修建花壇的地方，其它地方全修建成通道，通道上要鋪上造價為6元/平方米的地磚，要鋪完整個通道，則購買地磚需要花費(fèi)多少元？【解答】解：（1）（+）×2＝（8+5）×2＝13×2＝26（米），答：矩形ABCD的周長為26米；（2）×﹣2×（+1）×（﹣1）＝8×5﹣2×（13﹣1）＝80﹣24＝56（平方米），6×56＝336（元），答：購買地磚需要花費(fèi)336元．1．（2021?泰州）下列各組二次根式中，化簡后是同類二次根式的是（）A．與 B．與 C．與 D．與【答案】D【解答】解：A、＝2和不是同類二次根式，本選項不合題意；B、＝2與不是同類二次根式，本選項不合題意；C、與不是同類二次根式，本選項不合題意；D、＝5，＝3是同類二次根式，本選項符合題意．故選：D．2．（2022?寧夏）下列運(yùn)算正確的是（）A．﹣2﹣2＝0 B．﹣＝ C．x3+x3＝2x6 D．（﹣x3）2＝x6【答案】D【解答】解：A．﹣2﹣2＝﹣4，故此選項不合題意；B．﹣＝，故此選項不合題意；C．x3+x3＝2x3，故此選項不合題意；D．（﹣x3）2＝x6，故此選項符合題意；故選：D．3．（2020?綏化）化簡|﹣3|的結(jié)果正確的是（）A．﹣3 B．﹣﹣3 C．+3 D．3﹣【答案】D【解答】解：∵，∴|﹣3|＝＝．故選：D．4．（2022?安順）估計（+）×的值應(yīng)在（）A．4和5之間 B．5和6之間 C．6和7之間 D．7和8之間【答案】B【解答】解：原式＝2+，∵3＜＜4，∴5＜2+＜6，故選：B．5．（2022?湖北）下列各式計算正確的是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：A、與不屬于同類二次根式，不能運(yùn)算，故A不符合題意；B、，故B不符合題意；C、，故C不符合題意；D、，故D符合題意；故選：D．6．（2021?包頭）若x＝+1，則代數(shù)式x2﹣2x+2的值為（）A．7 B．4 C．3 D．3﹣2【答案】C【解答】解：∵x＝+1，∴x﹣1＝，∴（x﹣1）2＝2，即x2﹣2x+1＝2，∴x2﹣2x＝1，∴x2﹣2x+2＝1+2＝3．故選：C．7．（2022?德州）﹣＝．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：原式＝3﹣2＝，故答案為：．8．（2022?荊州）若3﹣的整數(shù)部分為a，小數(shù)部分為b，則代數(shù)式（2+a）?b的值是．【答案】2．【解答】解：∵1＜＜2，∴1＜3﹣＜2，∵若3﹣的整數(shù)部分為a，小數(shù)部分為b，∴a＝1，b＝3﹣﹣1＝2﹣，∴（2+a）?b＝（2+）（2﹣）＝2，故答案為：2．9．（2022?天津）計算（+1）（﹣1）的結(jié)果等于．【答案】18．【解答】解：原式＝（）2﹣12＝19﹣1＝18，故答案為：18．10．（2022?內(nèi)蒙古）已知x，y是實數(shù)，且滿足y＝++，則的值是．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵y＝++，∴x﹣2≥0，2﹣x≥0，∴x＝2，y＝，則原式＝×＝＝，故答案為：11．（2022?陜西）計算：5×（﹣2）+×﹣（）﹣1．【答案】﹣9．【解答】解：原式＝﹣10+﹣3＝﹣10+4﹣3＝﹣9．12．（2022?襄陽）先化簡，再求值：（a+2b）2+（a+2b）（a﹣2b）+2a（b﹣a），其中a＝﹣，b＝+．【答案】6ab，6．【解答】解：原式＝a2+4b2+4ab+a2﹣4b2+2ab﹣2a2＝6ab，∵a＝﹣，b＝+，∴原式＝6ab＝6×（﹣）（+）＝6．13．（2022?濟(jì)寧）已知a＝2+，b＝2﹣，求代數(shù)式a2b+ab2的值．【答案】﹣4．【解答】解：∵a＝2+，b＝2﹣，∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝（2+）（2﹣）（2++2﹣）＝（4﹣5）×4＝﹣1×4＝﹣4．1．（2023春?上思縣月考）下列各式與是同類二次根式的是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：，與不是同類二次根式，故A不符合題意；，與不是同類二次根式，故B不符合題意；，與不是同類二次根式，故C不符合題意；，與是同類二次根式，故D符合題意，故選：D．2．（2022秋?淥口區(qū)期末）是經(jīng)過化簡的二次根式，且與是同類二次根式，則x為（）A．1 B．﹣5 C．﹣1 D．5【答案】A【解答】解：∵是經(jīng)過化簡的二次根式，且與是同類二次根式，∴7﹣2x＝5，解得x＝1．故選：A．3．（2023春?仁化縣期中）計算：（1）計算：；（2）計算：．【答案】（1）0；（2）．【解答】解：（1）原式＝＝＝0；（2）原式＝＝＝．4．（2023春?北京期中）計算：．【答案】．【解答】解：＝＝＝．5．（2022?長安區(qū)校級開學(xué)）計算：（）﹣3（）．【答案】5﹣11．【解答】解：原式＝4﹣10×﹣3（3﹣）＝4﹣2﹣9+＝5﹣11．6．（2023春?拱墅區(qū)校級期中）計算：（1）．