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文檔簡介
第五章三角函數(shù)5.2.2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系教學(xué)目標(biāo)
理解并掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系;(重點)01
會用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系進(jìn)行三角函數(shù)式的求值、化簡和證明;
(重點、難點)02
通過對同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的探究學(xué)習(xí),讓學(xué)生學(xué)會用聯(lián)系的觀點,化歸與轉(zhuǎn)化的思想,數(shù)形結(jié)合的思想分析解決問題,培養(yǎng)探究精神和創(chuàng)新意識.03學(xué)科素養(yǎng)
理解并掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系;
數(shù)學(xué)抽象
直觀想象
用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系進(jìn)行三角函數(shù)式的求值、化簡和證明;邏輯推理
用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系進(jìn)行三角函數(shù)式的求值、化簡和證明;數(shù)學(xué)運算
數(shù)據(jù)分析
數(shù)學(xué)建模
(x≠0).復(fù)習(xí)回顧
任意角α的三角函數(shù)值僅與α有關(guān),而與點P在角的終邊上的位置無關(guān).三角函數(shù)第二定義(任意點定義)三角函數(shù)sinαcosαtanα定義域象限角三角函數(shù)值符號
公式一:sin(α+2kπ)=sinαcos(α+2kπ)=cosαtan(α+2kπ)=tanα其中k∈Z
因為三個三角函數(shù)值都是由角的終邊與單位圓的交點坐標(biāo)所唯一確定的,所以它們之間一定有內(nèi)在聯(lián)系.由公式一可知,我們不妨討論同一個角的三個三角函數(shù)值之間的關(guān)系.
公式一表明,終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等.那么,終邊相同的角的三個三角函數(shù)之間是否也有某種關(guān)系呢?探究新課導(dǎo)入過P作x軸的垂線,交x軸于M,則?OMP是直角三角形.由勾股定理,有MP2+OM2=OP2
問題2
當(dāng)角α的終邊不在坐標(biāo)軸時,正弦、余弦之間的關(guān)系是什么?Oxy問題3當(dāng)角α的終邊在坐標(biāo)軸上時,關(guān)系式是否還成立?
結(jié)論:這就是說,同一個角α的正弦、余弦的平方和等于1.新知探究同角三角函數(shù)的平方關(guān)系思考
這個商的關(guān)系對任意角都成立嗎?
問題4
觀察并思考任意角α的sinα、cosα、tanα這三者有什么樣的關(guān)系?
這就是說,同一個角α的正弦、余弦的商等于角α的正切.同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系
對同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的理解
【解析】因為sinα<0,sinα≠-1,所以α是第三或第四象限角.由sin2α+cos2α=1得cos2α=1-sin2α=
;如果α是第三象限角,那么cosα<0.于是cosα=
,從而.如果α是第四象限角,那么cosα>0.于是cosα=
,從而.先定位(判象限、定正負(fù))后定量(定公式)分類討論!典例解析:求值(一)步驟:第一步,先根據(jù)條件判斷角所在的象限;第二步,確定各三角函數(shù)值的符號;第三步,利用基本關(guān)系求解.
利用同角三角函數(shù)的兩個基本關(guān)系式,“知一個求其二”.題型一.已知sinα(或cosα),求cosα(或sinα),tanα.題型二.已知tanα,求cosα,sinα.
典例解析:恒等式證明
證法1:
所以,原式成立今后,除特殊注明外,我們假定三角恒等式是在使兩邊都有意義的情況下的恒等式.證法2:
還有其它證明方法嗎?證法3:所以原式成立三角函數(shù)恒等式證明方法:(2)證明等式的等價關(guān)系:證明等式左右兩邊之差為零。注:要注意兩邊都有意義的條件下才恒等(1)從一邊開始證明它等于另一邊(由繁到簡)(3)證明左、右兩邊等于同一式子(兩邊歸一)
典例解析:求值(二)
法1:分別求sinα,cosα代入法2:同除以cosα或cos2α分子為1暗含:分母為1先求tanα答案:解題感悟
三角“三劍客”反映三角函數(shù)的“和”、“差”、“積”,它們聯(lián)系的紐帶是平方關(guān)系.注意:角
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