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高一上期期末考試數(shù)學試題本試卷共4頁,22小題,滿分150分.考試用時120分鐘.第I卷選擇題(60分)一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.已知命題:,,則它的否定為()A., B.,C., D.,【答案】D【解析】【分析】結(jié)合已知條件,利用命題否定的定義即可求解.【解析】由全稱命題的否定的概念可知,命題的否定為:,.故選:D.2.設(shè)集合,若,則集合()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用集合的交并補混合運算即可得解.【解析】因為,而,,所以,所以.故選:D.3.已知冪函數(shù)的圖象過,則下列求解正確的是()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用冪函數(shù)過的點求出冪函數(shù)的解析式即可逐項判斷正誤【解析】∵冪函數(shù)y=xα的圖象過點(2,),∴2α,解得α,故f(x),即,故選A【小結(jié)】本題考查了冪函數(shù)的定義,是一道基礎(chǔ)題.4.不等式的解集是()A.或 B.C或 D.【答案】A【解析】【分析】直接解分式不等式即可.【解析】由或,所以不等式的解集為:或,故選:A.5.已知函數(shù)的最小正周期是,當時,函數(shù)取得最小值,則()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由函數(shù)的最小正周期可求得的值,由當時,函數(shù)取得最小值,可求出的值,可得出函數(shù)的解析式,然后代值計算可得的值.【解析】因為函數(shù)的最小正周期是,則,則,當時,函數(shù)取得最小值,則,所以,,所以,,其中,因此,.故選:B.6.若且,則的最小值是A.6 B.12 C.24 D.16【答案】D【解析】【解析】試題分析:,當且僅當時等號成立,所以最小值為16考點:均值不等式求最值7.中國茶文化博大精深.茶水口感與茶葉類型和水的溫度有關(guān).經(jīng)驗表明,某種綠茶用的水泡制,再等到茶水溫度降至時飲用,可以產(chǎn)生最佳口感.已知室內(nèi)的溫度為,設(shè)茶水溫度從開始,經(jīng)過x分鐘后的溫度為.y與x的函數(shù)關(guān)系式近似表示為,那么在室溫下,由此估計,剛泡好的茶水大約需要放置多少分鐘才能達到最佳口感(參考數(shù)據(jù):)()A.8 B.7 C.6 D.5【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意代入數(shù)據(jù),列出等量關(guān)系式,利用對數(shù)的運算性質(zhì)化簡即可求得.【解析】由題意降至時口感最佳,即,帶入函數(shù)關(guān)系式即得,即,兩邊同時取對數(shù),得,所以.故選:B8.已知是定義域為的奇函數(shù),滿足,若,則()A.50 B.2 C.0 D.-50【答案】B【解析】【分析】根據(jù)條件可判斷函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù),從而求得.【解析】解:是定義域為的奇函數(shù),的圖象關(guān)于原點對稱,,的圖象關(guān)于對稱,是以4為周期的周期函數(shù),又,,,,,故選:.二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分.9.已知集合,,若,則實數(shù)的值可以是()A.1 B. C. D.3【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)題意,分別討論與,然后代入檢驗,即可得到結(jié)果.【解析】因為,,且,當時,即,此時,,滿足;當時,解得或,當時,,,滿足;當時,,,滿足;綜上所述,實數(shù)的值可以是.故選:ABD10.關(guān)于的不等式對任意恒成立的充分不必要條件有()A. B.C. D.【答案】AB【解析】【分析】先求二次不等式恒成立的充要條件,得解集,則充分不必要條件是集合的非空真子集,驗證選項即可.【解析】當不等式對任意恒成立時,有,解得,記.當?shù)娜≈捣秶羌系姆强照孀蛹瘯r,即為不等式對任意恒成立的充分不必要條件,AB選項中的范圍滿足題意.故選:AB11.將函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標縮小為原來的,縱坐標不變,再將圖象向右平移個單位,得到函數(shù)的圖象,則下列結(jié)論正確的是()A. B.是圖象的一條對稱軸C.是圖象的一個對稱中心 D.在上單調(diào)遞減【答案】BD【解析】【分析】利用三角函數(shù)圖象變換得出函數(shù)的解析式,利用整體代入法結(jié)合正弦函數(shù)的基本性質(zhì)可判斷B、C、D的正誤,計算的值可判斷A選項的正誤.綜合可得出結(jié)論.【解析】由題意知.所以,故A項錯誤;因為,所以是函數(shù)圖象的一條對稱軸,B項正確;因為,故不是函數(shù)圖象的對稱中心,C項錯誤;當時,,因為在上單調(diào)遞減,所以在上單調(diào)遞減,D項正確.故選:BD.【小結(jié)】本題考查利用三角函數(shù)圖象變換求函數(shù)解析式,同時也考查了正弦型函數(shù)對稱性與單調(diào)性的判斷,一般利用整體代入法結(jié)合正弦函數(shù)的基本性質(zhì)進行判斷,考查推理能力與計算能力,屬于中等題.12.定義在上的函數(shù)滿足,函數(shù)為偶函數(shù),且當時,,則()A.的圖象關(guān)于點對稱 B.的圖象關(guān)于直線對稱C.的值域為 D.的實數(shù)根個數(shù)為6【答案】BC【解析】【分析】利用可判斷A;根據(jù)函數(shù)滿足的性質(zhì)推得直線和皆為的圖象的對稱軸,可判斷B;數(shù)形結(jié)合判斷C;數(shù)形結(jié)合,將的實數(shù)根個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點問題,判斷D.【解析】對A,由題意可知當時,,故,則,即的圖象不關(guān)于點對稱,A錯誤;由于函數(shù)滿足,故4為函數(shù)的周期;對B,函數(shù)為偶函數(shù),則的圖象關(guān)于直線對稱,即有,則,故的圖象也關(guān)于直線對稱,由于4為函數(shù)的周期,故直線和皆為的圖象的對稱軸,當時,,故B正確;對C,由函數(shù)性質(zhì)作出函數(shù)的圖象如圖,可知函數(shù)值域為,C正確;對D,方程的根即與的圖象的交點的橫坐標,因為當時,,當時,,當時,,所以與的圖象共有7個交點,即方程的實數(shù)根個數(shù)為7,故D錯誤.故選:.【小結(jié)】方法小結(jié):(1)抽象函數(shù)的奇偶性以對稱性結(jié)合問題,往往要采用賦值法,推得函數(shù)周期性;(2)方程根的個數(shù)問題,往往采用數(shù)形結(jié)合,將根的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點問題.第II卷非選擇題(90分)三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.扇形的圓心角為,它所對的弧長是,則此扇形的面積為__________.【答案】【解析】【解析】14.函數(shù)的值域為________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)解析式分段求出函數(shù)的值域,即可得解.【解析】解:因為,當時,則,當時,則,綜上可得,故答案為:.15.已知函數(shù)滿足,當時,函數(shù),則__________.【答案】【解析】【分析】由得函數(shù)的周期為2,然后利用周期和對化簡可得,從而可求得結(jié)果【解析】解:由題意,函數(shù)滿足,化簡可得,所以函數(shù)是以2為周期的周期函數(shù),又由時,函數(shù),且,則.故答案為:.【小結(jié)】方法小結(jié):函數(shù)的周期性有關(guān)問題的求解策略:(1)求解與函數(shù)的周期性有關(guān)問題,應根據(jù)題目特征及周期定義,求出函數(shù)的周期;(2)解決函數(shù)周期性、奇偶性和單調(diào)性結(jié)合問題,通常先利用周期性中為自變量所在區(qū)間,再利用奇偶性和單調(diào)性求解.16.已知函數(shù)且在上單調(diào)遞增,且關(guān)于的方程恰有兩個不相等的實數(shù)解,則的取值范圍是___________.【答案】【解析】【分析】由題意可知在兩段上均為增函數(shù),且在上的最小值大于或等于,作出和的圖象,根據(jù)交點個數(shù)判斷與3的大小關(guān)系,以及直線和拋物線相切的條件,列出不等式組解出.【解析】是上的單調(diào)遞增函數(shù),在,上單調(diào)遞增,可得,且,即,作出和的函數(shù)草圖如圖所示:由圖象可知在上有且只有一解,可得,或,即有△,即有或;由,解得,即時,有且只有一解.則的范圍是,.故答案為,.【小結(jié)】本題考查分段函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)零點的個數(shù)判斷,結(jié)合函數(shù)圖象判斷端點值的大小是關(guān)鍵,屬于中檔題.四、解答題:本題共6小題,共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.求值:(1);(2).【答案】(1)(2)2【解析】【分析】(1)利用有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)求解即可;(2)利用指數(shù)的運算性質(zhì)求解即可.【小問1解析】【小問2解析】18.已知.(1)求;(2)求的值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)上下同除,將正余弦化成正切即可計算;(2)借助,將原式化為齊次分式后上下同除,將正余弦化成正切后借助的值即可計算.【小問1解析】,,解得;【小問2解析】19.已知集合A=,.(1)當m=1時,求AB,(A)B;(2)若AB=A,求實數(shù)m的取值范圍.試從以下兩個條件中任選一個補充在上面的問題中,并完成解答.①函數(shù)的定義域為集合B;②不等式的解集為B.注:如果選擇多個條件分別解答,按第一個解答計分.【答案】(1);(2)【解析】【分析】(1)利用集合的運算求解即可.(2)通過AB=A得出,計算時注意討論A為空集的情況.【小問1解析】選條件①:(1)當時,,選條件②:此時集合與①相同,其余答案與①一致;【小問2解析】若,則當時,,解得當時,,即,解得綜上,實數(shù)m的取值范圍為20.定義在上的函數(shù),滿足,,當時,(1)求的值;(2)證明在上單調(diào)遞減;(3)解關(guān)于的不等式.【答案】(1)0(2)證明見解析(3)【解析】【分析】(1)取,計算即可.(2)取任意且,則,得到,得到證明.(3)計算,不等式轉(zhuǎn)化為,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合定義域得到答案.【小問1解析】當時,,則.【小問2解析】取任意且,則,則所以.又因為時,所以,所以在上單調(diào)遞減.【小問3解析】因為,又,故,.不等式可化為,即,因為是上的減函數(shù),故,解得,故不等式的解集為.21.已知某工廠要設(shè)計一個部件(如圖陰影部分所示),要求從圓形鐵片上進行裁剪,部件由三個全等的矩形和一個等邊三角形構(gòu)成,設(shè)矩形的兩邊長分別為,(單位:cm),且要求,部件的面積是.(1)求y關(guān)于x的函數(shù)表達式,并求定義域;(2)為了節(jié)省材料,請問x取何值時,所用到的圓形鐵片面積最小,并求出最小值.【答案】(1),;(2)時,面積最小,.【解析】【分析】(1)利用已知條件求出,然后求解函數(shù)的定義域即可.(2)設(shè)圓形鐵片半徑為R,則面積S=πR2,過圓心O作CD的垂線,垂足為E,交AB于點F,連結(jié)OD,求出R的表達式,然后利用基本不等式求解最小值即可.【解析】(1)由題意,利用矩形面積和正三角形的面積公式,可得,整理得,又由,解得,即函數(shù)的定義域為,即,.(2)設(shè)圓形鐵片半徑為R,則面積S=πR2,過圓心O作CD垂線,垂足為E,交AB于點F,連結(jié)OD,則,所以=,因為x2>0,由基本不等式,可得,當且僅當,即時,取等號,所以圓形鐵片的最小面積為(cm2),答:當x=2時,所用圓形貼片的面積最小,最小面積為(cm2).【小結(jié)】本題主要考查了函數(shù)的實際應用,列出函數(shù)的解析式,通過基本不等式求解最小值是解題的關(guān)鍵,考查分析問題解決問題的能力,是中檔題.22.設(shè)函數(shù).(1)判斷函數(shù)的奇偶性;(2)證明函數(shù)在上是增函數(shù);(3)若是否存在常數(shù),,使函數(shù)在上的值域為,若存在,求出a的取值范圍;若不存在,請說明理由.【答案】(1)偶函數(shù),理由見解析(2)證明見解析(3)不存在,理由見解析【解析】【分析】(1)利用偶函數(shù)的定義判斷即可;(2)證明內(nèi)層函數(shù)的單調(diào)性,再根據(jù)
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