山東省棗莊市滕州市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試卷

高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知A，B，C，D是空間中互不相同的四個(gè)點(diǎn)，則AB?DB?A.AD B.CD C.BC D.DA2.直線3x+y+2=0的傾斜角為(

)A.150° B.120° C.60° D.30°3.橢圓x29+yA.3 B.6 C.9 D.44.已知圓C1：(x?2)2+(y+4)A.1 B.2 C.3 D.45.在等差數(shù)列{an}中，a3+aA.20 B.15 C.10 D.56.若離心率為5的雙曲線C：x2a2?yA.±12 B.±52 7.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=100?3n，若bn=anan+2A.29 B.32 C.33 D.348.已知三棱錐P?ABC中，AP=BC=BP=AC=3，AB=PC=2，則異面直線AP與BC所成角的余弦值為(

)A.13 B.23 C.二、多選題：本題共4小題，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.在等差數(shù)列中，已知a4=8，a12=?8，Sn是其前A.d=?2 B.a8=0 C.S1510.已知直線l：kx?y?k+1=0(k≠1)與圓O：x2+y2=9交于A，A.直線l恒過(guò)定點(diǎn)(1,1)

B.使得AB=42的直線l有2條

C.△OAB面積的最大值為14

D.圓O在A，B11.如圖，已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)M為CCA.滿足CP/?/平面BDA1的點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為2

B.存在唯一的點(diǎn)P滿足AP⊥PM

C.滿足MP⊥AM的點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為24

D.12.如圖，F(xiàn)為拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)y軸左側(cè)一點(diǎn)P作拋物線C的兩條切線，切點(diǎn)為A、B，PA、PB分別交y軸于M、N兩點(diǎn)，則下列結(jié)論一定正確的是(

)A.∠APB+∠MFN=180°

B.∠AFB+∠APB=180°

C.|OM||ON|=|FA|三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.已知等比數(shù)列{an}中，a1+a2=214.過(guò)定點(diǎn)(1,2)且與直線x?3y+1=0平行的直線的一般式方程為_(kāi)_____．15.在三棱錐P?ABC中，N在線段PA上，滿足PA=3PN，M是平面ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，4PM=5PN+xPB+216.已知雙曲線x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)，過(guò)點(diǎn)A(2a,0)作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為M四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。17.(本小題10分)

已知正項(xiàng)數(shù)列{an}滿足a12+a22+a32+…+an2=n218.(本小題12分)

已知以點(diǎn)A(?1,2)為圓心的圓與直線m：x+2y+7=0相切，過(guò)點(diǎn)B(?2,0)的動(dòng)直線l與圓A相交于M、N兩點(diǎn)

(1)求圓A的方程．

(2)當(dāng)|MN|=219時(shí)，求直線l19.(本小題12分)

已知數(shù)列{an}滿足a1=1，a2=2，an+2?an=3．

(1)求a2n20.(本小題12分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點(diǎn)，作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F．

(1)求證：PA//平面EDB；

(2)求證：PB⊥平面EFD．21.(本小題12分)

如圖，四棱錐P?ABCD的底面ABCD是正方形，平面PBC⊥平面ABCD，O，E分別是BC，PA的中點(diǎn)，平面α經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，D，E與棱PB交于點(diǎn)F，PB=PC=CD=2．

(Ⅰ)求PFFB的值；

(Ⅱ)求直線AF與平面CDE所成角的余弦值．22.(本小題12分)

已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)過(guò)點(diǎn)A(?2,?1)，焦距為26．

(Ⅰ)求橢圓C的方程；

(Ⅱ)直線l：y=kx+m與橢圓C交于異于A的兩點(diǎn)M，N，直線AM，AN分別與直線x=?4交于點(diǎn)P答案和解析1.【答案】B

【解析】解：AB?DB?AC=AB+BD?2.【答案】B

【解析】解：∵直線3x+y+2=0的斜率k=?3

∴直線的傾斜角α滿足tanα=?3，

結(jié)合0°≤α<180°，可得α=120°

故選：B．3.【答案】B

【解析】解：由橢圓x29+y24=1可知，橢圓焦點(diǎn)在x軸上，

長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a=6，

4.【答案】B

【解析】解：圓C1：(x?2)2+(y+4)2=16，圓C2：x2+y2+2x?3=0，

所以C1(2,?4)，C2(?1,0)，且r1=4，5.【答案】A

【解析】解：在等差數(shù)列{an}中，a3+a4+a5=3a4=30，

則6.【答案】C

【解析】解：∵e=1+(ba)2=5，∴ba=2，∴漸近線方程為y=±2x，

∵其中一條漸近線與直線x+my+1=0垂直，

∴±2?(?1m)=?1，得m=±2．

7.【答案】C

【解析】解：令an=100?3n>0，則n<1003，

所以當(dāng)n≤33時(shí)，an>0；當(dāng)n≥34時(shí)，an<0，

由bn=anan+2an+4知，當(dāng)n≤33時(shí)，bn>0；當(dāng)n≥34時(shí)，bn<0，

要使Sn取最大值，則需取到數(shù)列{bn8.【答案】A

【解析】解：根據(jù)三棱錐P?ABC中，相對(duì)的棱的棱長(zhǎng)相等，將三棱錐P?ABC補(bǔ)成長(zhǎng)方體，

設(shè)該長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為a、b、c，則a2+c2=4a2+b2=3b2+c2=3，解得a=2b=1c=2，

以P為原點(diǎn)，分別以PE、PF、PH所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

可得A(1,0,2)，P(0,0,0)，B(1,2,0)，C(0,2,29.【答案】ABD

【解析】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，

由a4=8，a12=?8，可得a1+3d=8a1+11d=?8，

解得d=?2a1=14，

∴a8=a1+7d=14?7×2=0，故A，B正確，

∴S15=15×14+15×142×(?2)=0，故C錯(cuò)誤，

∴S77=10.【答案】ACD

【解析】解：對(duì)于A，直線l：k(x?1)?(y?1)=0恒過(guò)定點(diǎn)(1,1)，故A正確；

對(duì)于B，由|AB|=42得，弦心距d=1，

∴|?k+1|k2+1=1，解得k=0，只有1條，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C，設(shè)圓心到直線的距離為d，則|AB|=29?d2，0≤d≤(1?0)2+(1?0)2=2，

△OAB的面積S=12|AB|?d=d?9?d2=?d4+9d2=?(d2?92)2+81411.【答案】ABC

【解析】解：選項(xiàng)A，如圖：

在正方體ABCD?A1B1C1D1中，CD1//BA1，

因?yàn)镃D1?平面BDA1，BA1?平面BDA1，

所以CD1/?/平面BDA1，同理可得：CB1//平面BDA1，

又CD1∩CB1=C，所以平面CB1D1//平面BDA1，

又平面CB1D1∩平面A1B1C1D1=B1D1，

故滿足CP/?/平面BDA1的點(diǎn)P的軌跡為線段B1D1，

由題意知，B1D1=2，故選項(xiàng)A正確；

選項(xiàng)B，在正方體中，建立如圖所示坐標(biāo)系，

則A(1,0,0)，M(0,1,12)，設(shè)P(x,y,1)，其中0≤x≤1，0≤y≤1，

則AP=(x?1,y,1)，MP=(x,y?1,12)，

由AP⊥MP，可得x(x?1)+y(y?1)+12=0，

即(x?12)2+(y?12)2=0，故x=y=12，

即P(12,12,1)，故選項(xiàng)B正確；

選項(xiàng)C，AM=(?1,1,12)，MP=(x,y?1,12)，

12.【答案】AD

【解析】解：如圖，

由題，設(shè)M(x0,y0)，則y02=2px0，

過(guò)點(diǎn)M(x0,y0)的切線方程為y?y0=k(x?x0)，

聯(lián)立方程組y?y0=k(x?x0)y2=2px，消去x得y2?2pky?2pk+y12=0，

令Δ=0，解得k=py1，即過(guò)拋物線上一點(diǎn)的切線的斜率為py1，

對(duì)于A，設(shè)A(y122p,y1),B(y222p,y2),(y1≠y2)，

所以過(guò)點(diǎn)A的切線方程為y=py1x+y12，令x=0，可得y=y12，即M(0,y12)，

又F(p2,0)，所以kMF=?y1p，則kMFkAP=?1，

所以MF⊥PM，即∠PMF=π2，同理可得∠PNF=π2，

則P，N，F(xiàn)，M四點(diǎn)共圓，所以∠APB+∠MFN=π，故A正確；

對(duì)于B，若點(diǎn)P在準(zhǔn)線x=?p2上，則直線AB的方程為y0y=p(x?p2)，

此時(shí)直線過(guò)焦點(diǎn)F(p2,0)，則∠AFB=π，所以∠AFB+∠APB>π，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C，由M(0,y12)，13.【答案】8

【解析】解：在等比數(shù)列{an}中，a1+a2，a3+a4，a5+a6也成等比數(shù)列，

∵a1+a2=2，a3+a14.【答案】x?3y+5=0

【解析】解：設(shè)所求直線方程為x?3y+m=0，

代入點(diǎn)(1,2)，得1?3×2+m=0，解得m=5，

故所求直線方程為x?3y+5=0．

故答案為：x?3y+5=0．

根據(jù)題意，利用兩條直線平行與方程的關(guān)系加以解答，可得答案．

本題主要考查直線的方程、兩條直線平行與方程的關(guān)系等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．15.【答案】13【解析】解：由PA=3PN，可得PN=13PA，

由4PM=5PN+xPB+2PC，

可得PM=54PN+x4PB+12PC=51216.【答案】15【解析】解：不妨設(shè)雙曲線的漸近線為y=bax，則直線AM為y=?ab(x?2a)，

由y=baxy=?ab(x?2a)，得x=2a3c2y=2a2bc2，即M(2a3c2,2a2bc2)，

設(shè)點(diǎn)N(x0,y017.【答案】解：(1)因?yàn)閍12+a22+a32+…+an2=n2+n2(n∈N?)，

當(dāng)n≥2時(shí)，a12+a22+a32【解析】(1)利用數(shù)列通項(xiàng)和前n項(xiàng)和的關(guān)系求解；

(2)由(1)得到bn=18.【答案】解：(1)意知A(?1,2)到直線x+2y+7=0的距離為圓A半徑r，

∴r=|?1+4+7|5=25，

∴圓A方程為(x+1)2+(y?2)2=20(5分)

(2)垂徑定理可知∠MQA=90°.且MQ=19，

在Rt△AMQ中由勾股定理易知AQ=AM2?MQ2=1

設(shè)動(dòng)直線l方程為：y=k(x+2)或x=?2，顯然x=?2【解析】(1)利用圓心到直線的距離公式求圓的半徑，從而求解圓的方程；

(2)根據(jù)相交弦長(zhǎng)公式，求出圓心到直線的距離，設(shè)出直線方程，再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式確定直線方程．

本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及直線與圓的相交弦長(zhǎng)問(wèn)題，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．19.【答案】解：(1)因?yàn)閍n+2?an=3，所以數(shù)列a2，a4，?，a2n構(gòu)成首項(xiàng)為a2=2，公差為3的等差數(shù)列，

所以a2n=a2+(n?1)?3=3n?1；

(2)由an+2?an=3，所以數(shù)列a1，a3，?，a【解析】(1)根據(jù)條件an+2?an=3，得出數(shù)列a2，a4，?，a2n為等差數(shù)列，即可求出結(jié)果；

(2)根據(jù)條件得出20.【答案】解：(1)證明：連接AC，交BD于點(diǎn)O，連接OE，

∵底面ABCD是正方形，∴O是AC的中點(diǎn)，

∵E是PC的中點(diǎn)，∴OE/?/PA，

∵PA?平面BDE，OE?平面BDE，

∴PA/?/平面EDB．

(2)證明：∵底面ABCD是正方形，∴CD⊥BC，

∵側(cè)棱PD⊥底面ABCD，BC?平面ABCD，∴PD⊥BC，

∵PD=DC，E是PC的中點(diǎn)，∴DE⊥PC，

∵PD∩CD=D，PD,CD?平面PCD，∴BC⊥平面PDC，

∵DE?平面PDC，∴BC⊥DE，

∵BC∩PC=C，BC,PC?平面PBC，∴DE⊥平面PBC，

∵PB?平面PBC，∴DE⊥PB，

∵EF⊥PB，DE∩EF=E，DE,EF?平面EFD，

∴PB⊥平面EFD．

【解析】本題考查線面平行、線面垂直的證明，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．

(1)連接AC，交BD于點(diǎn)O，連接OE，則OE/?/PA，由此能證明PA//平面EDB．

(2)推導(dǎo)出PD⊥BC，CD⊥BC，DE⊥PC，從而B(niǎo)C⊥平面PDC，BC⊥DE，DE⊥平面PBC，DE⊥PB，EF⊥PB，由此能證明PB⊥平面EFD．21.【答案】解：(1)過(guò)點(diǎn)P作直線l與BC平行，則l/?/AD，所以l，AD共面，延長(zhǎng)DE與l交于點(diǎn)G，

連接OG，OG與PB的交點(diǎn)即為點(diǎn)F，

因?yàn)锳BCD為正方形，O是BC的中點(diǎn)，

所以AD//BC，AD=2OB，又l/?/BC，所以l/?/AD，

因?yàn)镋是PA的中點(diǎn)，所以PG=AD，則PG=2OB，

又△PGF～△BOF，所以PFFB=PGOB=2．

(2)連接OP，取AD的中點(diǎn)M，連接OM，因?yàn)镻B=PC=CD=2，所以PO⊥BC，且PO=PC2?OC2=3，

又平面PBC⊥平面ABCD，平面PBC∩平面ABCD=BC，OP?平面PBC，

所以O(shè)P⊥平面ABCD，

如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則O(0,0,0),C(0,1,0),D(2,1,0),A(2,?1,0),E(1,?12,32),F(0,?23,33)，

所以CE=(1,?32,32),AF=(?2,【解析】(1)過(guò)點(diǎn)P作直線l與BC平行，則l/?/AD，所以l與AD共面，延長(zhǎng)DE與l交于點(diǎn)G，連接OG，OG與PB的交點(diǎn)即為點(diǎn)F，再利用三角形相似計(jì)算可得；

(2)連接OP，取AD的中點(diǎn)M，連接OM，即可證明OP⊥平面ABCD，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算可得．

本題主要考查直線和平面所成的角，屬于中檔題．22.【答案】解：(Ⅰ)因?yàn)闄E圓C過(guò)點(diǎn)A(?2,?1)，焦距為26，

所以2c=264a2+1b2=1a2=b2+c2，

解得a2=8，b2=2