天津市河西區(qū)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末試題 數(shù)學(xué)

第一學(xué)期高二年級期末質(zhì)量調(diào)查數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.觀察數(shù)列，（），，（）的特點，則括號中應(yīng)填入的適當(dāng)?shù)臄?shù)為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用觀察法可得，即得.【解析】由題可得數(shù)列的通項公式為，∴.故選：D2.設(shè)函數(shù)，當(dāng)自變量t由2變到2.5時，函數(shù)的平均變化率是（）A.5.25 B.10.5 C.5.5 D.11【答案】B【解析】【分析】利用平均變化率的公式即得.【解析】∵，∴.故選：B.3.若數(shù)列滿足，，則該數(shù)列的前2021項的乘積是（）A. B. C.2 D.1【答案】C【解析】【分析】先由數(shù)列滿足，，計算出前5項，可得，且，再利用周期性即可得到答案.【解析】因為數(shù)列滿足，，所以，同理可得，…所以數(shù)列每四項重復(fù)出現(xiàn)，即，且，而，所以該數(shù)列的前2021項的乘積是.故選：C.4.《萊茵德紙草書》是世界上最古老的數(shù)學(xué)著作之一．書中有這樣一道題目：把個面包分給個人，使每個人所得成等差數(shù)列，且使較大的三份之和的是較小的兩份之和，則最小的一份為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)5人分到的面包數(shù)量從小到大記為，設(shè)公差為，可得，，求出，根據(jù)等差數(shù)列的通項公式，得到關(guān)于關(guān)系式，即可求出結(jié)論.【解析】設(shè)5人分到的面包數(shù)量從小到大記為，設(shè)公差為，依題意可得，，，，解得，.故選:A.【小結(jié)】本題以數(shù)學(xué)文化為背景，考查等差數(shù)列的前項和、通項公式基本量的計算，等差數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.5.已知函數(shù)的圖象如圖所示，則其導(dǎo)函數(shù)的圖象大致形狀為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用f(x)先單調(diào)遞增的速度由快到慢,再由慢到快，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷即可.【解析】由f(x)的圖象可知，函數(shù)f(x)先單調(diào)遞增的速度由快到慢,再由慢到快，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，先減后增，且恒大于0，故符合題意的只有選項A.故選：A.6.在等差數(shù)列中，，且，，，構(gòu)成等比數(shù)列，則公差（）A.0或2 B.2 C.0 D.0或【答案】A【解析】【分析】根據(jù)等比中項的性質(zhì)和等差數(shù)列的通項公式建立方程，可解得公差d得選項.【解析】解：因為在等差數(shù)列中，，且，，，構(gòu)成等比數(shù)列，所以，即，所以，解得或，故選：A.7.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為（）A.B.CD.【答案】B【解析】【分析】由導(dǎo)數(shù)運算法則可求出.【解析】，.故選：B.8.已知定義在區(qū)間上的函數(shù)，，若以上兩函數(shù)的圖像有公共點，且在公共點處切線相同，則m的值為（）A.2 B.5 C.1 D.0【答案】C【解析】【分析】設(shè)兩曲線與公共點為，分別求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)兩函數(shù)的圖像有公共點，且在公共點處切線相同，列出等式，求得公共點的坐標(biāo)，代入函數(shù)，即可求解.【解析】根據(jù)題意，設(shè)兩曲線與公共點為，其中，由，可得，則切線的斜率為，由，可得，則切線斜率為，因為兩函數(shù)的圖像有公共點，且在公共點處切線相同，所以，解得或（舍去），又由，即公共點的坐標(biāo)為，將點代入，可得.故選：C.9.將數(shù)列中的各項依次按第一個括號1個數(shù)，第二個括號2個數(shù)，第三個括號4個數(shù)，第四個括號8個數(shù)，第五個括號16個數(shù)，…，進(jìn)行排列，，，…，則以下結(jié)論中正確的是（）A.第10個括號內(nèi)的第一個數(shù)為1025 B.2021在第11個括號內(nèi)C.前10個括號內(nèi)一共有1025個數(shù) D.第10個括號內(nèi)的數(shù)字之和【答案】D【解析】【分析】由第10個括號內(nèi)的第一個數(shù)為數(shù)列的第512項，最后一個數(shù)為數(shù)列的第1023項，進(jìn)行分析求解即可【解析】由題意可得，第個括號內(nèi)有個數(shù)，對于A，由題意得前9個括號內(nèi)共有個數(shù)，所以第10個括號內(nèi)的第一個數(shù)為數(shù)列的第512項，所以第10個括號內(nèi)的第一個數(shù)為，所以A錯誤，對于C，前10個括號內(nèi)共有個數(shù)，所以C錯誤，對于B，令，得，所以2021為數(shù)列的第1011項，由AC選項的分析可得2021在第10個括號內(nèi)，所以B錯誤，對于D，因為第10個括號內(nèi)的第一個數(shù)為，最后一個數(shù)為，所以第10個括號內(nèi)的數(shù)字之和為，所以D正確，故選：D【小結(jié)】關(guān)鍵點小結(jié)：此題考查數(shù)列的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是由題意確定出第10個括號內(nèi)第一個數(shù)和最后一個數(shù)分別對應(yīng)數(shù)列的哪一項，考查分析問題的能力，屬于較難題二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．試題中包含兩個空的，答對1個的給3分，全部答對的給5分．10.已知數(shù)列都是等差數(shù)列，公差分別為，數(shù)列滿足，則數(shù)列的公差為__________．【答案】##【解析】【分析】利用等差數(shù)列的定義即得.【解析】∵數(shù)列都是等差數(shù)列，公差分別為，數(shù)列滿足，∴.故答案為：.11.已知，若三個數(shù)成等差數(shù)列，則_________；若三個數(shù)成等比數(shù)列，則__________．【答案】①.4②.【解析】【分析】由等差中項與等比中項計算即可.【解析】若a，b，c三個數(shù)成等差數(shù)列.所以.若a，b，c三個數(shù)成等比數(shù)列.所以故答案為：4，.12.函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為函數(shù)，則__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)解析式，可求得解析式，代入數(shù)據(jù)，即可得答案.解析】∵，∴，∴.故答案為：.13.已知數(shù)列的前n項和為，且滿足通項公式，則________．【答案】【解析】【分析】由時，，可得，利用累乘法得，從而即可求解.【解析】因為，所以時，，即，化簡得，又，所以，檢驗時也成立，所以，所以，故答案：.14.函數(shù)在點處的切線方程是_________．【答案】【解析】【分析】求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到且，再結(jié)合直線的點斜式，即可求解.【解析】由題意，函數(shù)，可得，則且，所以在點處切線方程是，即．故答案為：.15.已知數(shù)列的前n項和為，則取得最大值時n的值為__________________．【答案】①.13②.##3.4【解析】【分析】由題可得利用函數(shù)的單調(diào)性可得取得最大值時n的值，然后利用，即求.【解析】∵，∴當(dāng)時，單調(diào)遞減且，當(dāng)時，單調(diào)遞減且，∴時，取得最大值，∴.故答案為：13；.三、解答題：本大題共3小題，共34分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．16.已知數(shù)列中，，且滿足．（1）求證數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前n項和．【答案】（1）證明見解析；；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的定義證明為常數(shù)即可；（2）利用錯位相減法即可求和.【小問1解析】由得，，∴數(shù)列是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，∴，∴；【小問2解析】①，②，①－②得：，.17.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足．（1）求及的值；（2）求在點處的切線方程．【答案】（1）；；（2）.【解析】【分析】（1）由題可得，進(jìn)而可得，然后可得，即得；（2）由題可求，，再利用點斜式即得.【小問1解析】∵，∴，，∴，，∴.【小問2解析】∵，，∴，，∴在點處的切線方程為，即.18.已知等差數(shù)列的前項和為，數(shù)列是等比數(shù)列，，，，.(1)求數(shù)列和的通項公式；(2)若，設(shè)數(shù)列的前項和為，求.【答案】（1），；（2）