江蘇省宿遷市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末調(diào)研測試數(shù)學(xué)試卷

高二年級調(diào)研測試數(shù)學(xué)本試卷共4頁，19小題，滿分150分，考試用時120分鐘.注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.將條形碼橫貼在答題卡上“條形碼粘貼處”.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號.3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上.如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案.不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答無效.4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知直線過點，，則直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先求直線的斜率，再求直線的傾斜角.【解析】由條件可知，直線的斜率，設(shè)直線的傾斜角為，則，.故選：D2.已知橢圓的離心率為，則橢圓的長軸長為（）A. B. C. D.6【答案】B【解析】【分析】根據(jù)離心率的公式，求解，再根據(jù)方程求橢圓的長軸長.【解析】由條件可知，，，則，由條件可知，，得，所以，橢圓的長軸長.故選：B3.設(shè)正項等比數(shù)列滿足，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題可設(shè)公比為，然后根據(jù)得出，通過計算求出，最后通過即可得出結(jié)果.【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因為，，所以，即，，解得或（舍去），，則，故選：C.4.“”是“方程表示雙曲線”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出方程表示雙曲線的充要條件，再利用充分條件、必要條件的定義判斷即得.【解析】方程表示雙曲線，則，解得或，當(dāng)時，方程表示雙曲線，所以“”是“方程表示雙曲線”的充分不必要條件.故選：A5.我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾經(jīng)說過：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休.”事實上有很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，根據(jù)上述觀點，當(dāng)取得最小值時，實數(shù)的值為（）A. B.3 C. D.4【答案】C【解析】【分析】根據(jù)兩點距離公式，結(jié)合直線方程即可求解.【解析】，表示平面上點與點，的距離和，連接，與軸交于，此時直線方程為，令，則的最小值為，此時故選：C．6.已知橢圓與雙曲線有相同的焦點，，且橢圓與雙曲線在第一象限的交點為，則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)雙曲線以及橢圓的定義可得，，即可利用余弦定理求解.【解析】如圖：在雙曲線中，且焦點在軸上，橢圓和雙曲線的相同焦點為，，它們在第一象限的交點為，故橢圓中，故，，，，，，由余弦定理可得．故選：C7.已知點在圓：的外部，若圓上存在點使，則正數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】令過點的圓的切線與圓相切的切點為，由點在圓外及列出不等式組并求解即得.【解析】圓：的圓心，半徑為2，顯然，令過點的圓的切線與圓相切的切點為，由圓上存在點使，得，即，則，又，解得，所以正數(shù)的取值范圍為.故選：B8.函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，對任意實數(shù)恒有，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】首先構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合選項，依次判斷.解析】設(shè)，則，由條件可知，，所以，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，因為函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則，即，故A錯誤；由函數(shù)的單調(diào)性可知，，得，故B正確；由，得，故C錯誤；由，得，故D錯誤.故選：B【小結(jié)】關(guān)鍵點小結(jié)：本題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，從而可以根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，判斷選項.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知數(shù)列前項和，則下列說法正確的是（）A.數(shù)列為遞減數(shù)列B.數(shù)列為等差數(shù)列C.若數(shù)列為遞減數(shù)列，則D.當(dāng)時，則取最大值時【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)題意，由數(shù)列前項和求出數(shù)列的通項公式，即可得數(shù)列，即可根據(jù)等差數(shù)列的定義求解AB,根據(jù)作差法結(jié)合數(shù)列單調(diào)性即可判斷C，根據(jù)數(shù)列的正負(fù)項即可求解D．【解析】根據(jù)題意，數(shù)列的前項和，當(dāng)時，，當(dāng)時，，也符合，，故為常數(shù)，故數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，故A正確，由于，則，故，故為等差數(shù)列，B正確，由于，則，，若為遞減數(shù)列，則，故對任意的恒成立，故，即，C正確，當(dāng)時，，則，當(dāng)故取最大值時，D錯誤，故選：ABC．10.已知拋物線：（）的焦點為，過拋物線上一點作兩條斜率之和為0的直線，與的另外兩個交點分別為，，則下列說法正確的是（）A.的準(zhǔn)線方程是B.直線的斜率為定值C.若圓與以為半徑的圓相外切，則圓與直線相切D.若的面積為，則直線的方程為【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出拋物線的方程，結(jié)合斜率坐標(biāo)公式及拋物線定義，逐項計算判斷得解.【解析】依題意，，解得，即拋物線：，焦點，準(zhǔn)線方程，A正確；設(shè)，顯然，直線的斜率，同理直線的斜率，由，得，解得，因此直線的斜率，B錯誤；圓，令圓的半徑為，由圓與圓相外切，得，而，于是，即圓的圓心到y(tǒng)軸的距離為圓的半徑，則圓與直線相切，C正確；由消去得：，，，，，而點到直線距離，則的面積，D錯誤.故選：AC11.已知圓：，過圓外一點作圓的切線，切點為，，直線與直線相交于點，則下列說法正確的是（）A.若點在直線上，則直線過定點B.當(dāng)取得最小值時，點在圓上C.直線，關(guān)于直線對稱D.與的乘積為定值4【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)垂直關(guān)系可得四點共圓，進(jìn)而可得以為直徑的圓的方程，兩圓相減可得直線的方程，即可得定點坐標(biāo)，根據(jù)數(shù)量積的運算律，結(jié)合基本不等式即可求解最值，進(jìn)入可得點的軌跡，根據(jù)直線，關(guān)于直線對稱，而與直線垂直,即可判斷C，根據(jù)銳角三角函數(shù)即可求解D.【解析】設(shè)，由四點，，，共圓，且以為直徑，可得圓的方程為，化簡得，聯(lián)立圓，可得直線的方程為，即，令，且，解得，即直線恒過定點，故A正確，,由于，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時等號成立，故此時點在圓上，故B錯誤，由于直線，關(guān)于直線對稱，而方程為，由于直線與垂直，故直線，關(guān)于直線對稱，C正確，設(shè),則，，所以，故D正確，故選：ACD【小結(jié)】方法小結(jié)：求圓的切點弦所在直線的方法如下：（1）求出兩切線與圓的切點坐標(biāo)，利用兩點式方程可得出切點弦所在直線的方程；（2）寫出兩圓在切點（在圓上）處的切線方程，將兩切點的公共點代入兩切線方程，通過說明兩切點的坐標(biāo)滿足某直線方程，可得出切點弦方程；（3）寫出圓外一點為圓心，以圓外一點到切點的距離為半徑的圓的方程，將兩圓方程作差可得出切點弦所在直線的方程.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為______.【答案】【解析】【分析】首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性和零點，即可求解函數(shù)的增區(qū)間.【解析】函數(shù)，，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，所以單調(diào)遞增，當(dāng)時，，所以當(dāng)時，，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.故答案為：13.古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名，他發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個定點，的距離之比為定值（且）的點所形成的圖形是圓，后來，人們把這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知點到兩個定點，的距離之比為2，則的取值范圍為______.【答案】【解析】【分析】首先求點的軌跡方程，再根據(jù)的幾何意義，轉(zhuǎn)化為直線與圓有交點，即可求解.【解析】由題意可知，，，整理為，所以點的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓，表示圓上的點與定點連線的斜率，設(shè)，即，如圖可知，直線與圓有交點，則，解得：.故答案為：14.已知數(shù)列的前項和為，，（），則為______.【答案】【解析】分析】根據(jù)給定條件，利用變形，再利用構(gòu)造法求出.【解析】數(shù)列的前項和，當(dāng)時，，整理得，即，顯然當(dāng)時，數(shù)列是常數(shù)列，因此，所以.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù)的圖象在點處的切線方程是.（1）求，的值；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)切線方程可得，即可求解，（2）求導(dǎo)，得函數(shù)的單調(diào)性，即可比較端點值以及極值點處的函數(shù)值得最值.【小問1解析】，，所以，解得，【小問2解析】由（1）得，當(dāng)，令，解得或，故在和單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，又，，，由于，，所以16.設(shè)數(shù)列滿足：，且對任意的，都有.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）由已知條件，結(jié)合等比數(shù)列的定義，即可求得；（2）根據(jù)題意，由條件可得，然后結(jié)合錯位相減法，代入計算，即可得到結(jié)果.【小問1解析】由題意可得，又，則，其中所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，則，即，.【小問2解析】令，由（1）可知，則，則，，兩式相減可得所以.17.某學(xué)校為創(chuàng)建高品質(zhì)示范高中，準(zhǔn)備對校園內(nèi)某一墻角進(jìn)行規(guī)劃設(shè)計.如圖所示，墻角線和互相垂直，墻角內(nèi)有一景觀，到墻角線、的距離分別為20米、10米，學(xué)校欲過景觀修建一條直線型走廊，其中的兩個端點分別在這兩墻角線上.（1）為了使三角形花園的面積最小，應(yīng)如何設(shè)計直線型走廊？（2）考慮到修建直線型走廊的成本，怎樣設(shè)計，才能使走廊的長度最短？【答案】（1），，此時（2），，此時最短.【解析】【分析】（1）首先表示直線方程，并求點的坐標(biāo)，并表示三角形的面積，結(jié)合基本不等式，即可求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果表示，同時構(gòu)造函數(shù)，并利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并求函數(shù)的最值.【小問1解析】如圖，以，所在直線為軸和軸建立平面直線坐標(biāo)系，并由條件可知，點，設(shè)直線的方程，當(dāng)時，，當(dāng)時，，即，，,當(dāng)時，即時，等號成立，所以面積的最大值為平方米；此時直線的方程為，即，，此時【小問2解析】由（1）可知，，，設(shè)，，，，令，則，當(dāng)時，，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，函數(shù)取得最小值，所以當(dāng)，，此時最短.18.已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時，求的值域；（2）若對任意，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)性，即可求解端點以及極值點處的函數(shù)值求解，（2）構(gòu)造，求導(dǎo)，結(jié)合分類討論，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求解最值即可求解.【小問1解析】當(dāng)時，，則，令，由于，解得；令，解得；所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，故的值域為.【小問2解析】若對任意，不等式恒成立，則，故，當(dāng)時，，顯然不滿足題意，舍去，當(dāng)時，記，則，由于，令，則；令，則或；故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，由于，當(dāng)時，即，此時在上單調(diào)遞增，故滿足題意，當(dāng)時，即，此時在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，要使恒成立，則且，解得，綜上可得【小結(jié)】方法小結(jié)：1.導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．2.利用導(dǎo)數(shù)解決含參函數(shù)的單調(diào)性問題時，一般將其轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，解題過程中要注意分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.3.證明不等式，構(gòu)造一個適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效.19.已知雙曲線：（，）的左、右頂點分別為，，右焦點到漸近線的距離為1，且離心率為.（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點的直線（直線的斜率不為0）與雙曲線交于，兩點，若，分別為直線，與軸的交點，記，的面積分別記為，，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析