數(shù)學(xué)優(yōu)化訓(xùn)練：平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2.3。2平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算5分鐘訓(xùn)練(預(yù)習(xí)類訓(xùn)練，可用于課前)1。在△ABC中，設(shè)=m，=n，D、E是邊BC上的三等分點，則=_______，=___________。思路解析:由D、E是邊BC上的三等分點，可得=,=，轉(zhuǎn)化為已知向量即可.答案：m+nm+n2。下列所給向量共線的有(）A。(1，5)，(5，—5)B。（2，-3），（,-）C。（1，0)，（0，1）D。（1,—3），（8，）思路解析:本題考查平面向量共線的條件，只需將所給坐標(biāo)代入公式，看“x1y2-x2y1=0”答案:B10分鐘訓(xùn)練（強(qiáng)化類訓(xùn)練,可用于課中）1。已知向量a=（1，2),b=（2,3),c=(3，4)且c=λ1a+λ2b，則λ1、λ2A。—2，1B。1，-2C。2,—1D?！?，2思路解析:因為c=λ1a+λ2b,則有(3，4）=λ1（1，2）+λ2(2，3)=(λ1+2λ2，2λ1+3λ2∴解得λ1=-1,λ2=2.答案：D2。已知|a|=10，b=（3,4),a∥b,則向量a=_____________.思路解析：首先設(shè)a=（x,y）,然后利用|a｜=10,a∥b，列出含x、y的兩個等式，解出x、y.答案:(6，8)或(-6，-8）3。已知點A（，1）、B（0，0）、C(，0）。設(shè)∠BAC的平分線AE與BC相交于E，那么有=λ，其中λ等于()A。2B.C?！?D.-思路解析：∵AE為∠BAC的平分線，∴∴=—2.∴=-=-2—=—3。答案:C4.平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，已知兩點A(3,1）、B（—1，3），若點C滿足=α+β，其中α、β∈R,且α+β=1,則點C的軌跡方程為_________________。思路解析:將點C所滿足的向量式條件轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)的方程式即為點C的軌跡方程。答案:x+2y—5=05.用坐標(biāo)法證明++=0.思路解析:本題沒有給出向量的坐標(biāo)，需要將各向量的坐標(biāo)設(shè)出來,然后進(jìn)行向量運(yùn)算。證明：設(shè)A（a1,a2)、B（b1，b2)、C(c1,c2）,則=（b1—a1，b2-a2），=（c1-b1,c2—b2)，=(a1-c1,a2—c2）.∴++=（b1-a1,b2—a2)+（c1-b1,c2-b2）+（a1—c1，a2—c2）=（b1—a1+c1—b1+a1-c1,b2-a2+c2-b2+a2—c2)=（0,0）=0.∴++=0.6。平面內(nèi)給定三個向量:a=（3,2）,b=(—1，2），c=(4，1)。（1)求3a+b—(2）求滿足a=mb+nc的實數(shù)m和n；（3）若（a+kc）∥(2b—a)，求實數(shù)k；(4）設(shè)d=(x，y)滿足(d—c）∥(a+b)且｜d-c｜=1，求d。思路解析:根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則及兩個向量平行的充要條件、模的計算公式，建立方程組求解.解:（1)3a+b—2c=3(3,2)+（—1，2)—（2)∵a=mb+nc,m、n∈R，∴(3，2)=m(—1,2）+n（4，1)=（—m+4n，2m+n）?！啵?）∵（a+kc）∥（2b—a)且a+kc=（3+4k，2+k）2b—a=（—5，2），∴（3+4k）×2-(—5)×（2+k）=0?！鄈=-.(4)∵d—c=(x—4，y-1)，a+b=(2，4)，且(d-c)∥（a+b)且|d—c｜=1,∴∴d=(）或d=（).志鴻教育樂園聰明的學(xué)生物理課上，老師正在講振動和共鳴，為了讓學(xué)生更好地理解它們的物理原理，老師提問道：“如果我朝魚塘扔一塊石頭，會發(fā)生什么現(xiàn)象？……"學(xué)生異口同聲地回答：“罰款5元!"30分鐘訓(xùn)練（鞏固類訓(xùn)練，可用于課后)1.在△ABC中，已知A(2，3)、B（8，-4），G(2，—1）是中線AD上的一點，且｜|=2｜｜,則點C的坐標(biāo)為(）A.（-4,2）B.（-4，—2）C.(4，—2)D.(4，2)思路解析：設(shè)C點坐標(biāo)為（x，y)，由于G是△ABC的重心，則2=，∴x=—4?！?=，∴y=—2。答案:B2.已知A、B、C三點共線,且A(3,-6)、B(-5，2)，若C點橫坐標(biāo)為6，則C點的縱坐標(biāo)為（)A.-13B.9C.—9D。13思路解析：設(shè)C（6，y），則∥.又=(-8，8),=(3，y+6)，∴—8(y+6）-3×8=0。∴y=—9。答案:C3.已知A（-2,4）、B（3，-1)、C（—3，-4）且=3,=2，試求點M、N和的坐標(biāo)。解：∵A(-2，4)，B(3，-1),C(-3，—4),∴=(—2+3，4+4)=（1，8），=(3+3，-1+4）=（6，3）。于是=3=3(1，8）=(3，24），=2=2(6，3）=（12，6）.設(shè)M（x，y）,則有=（x+3，y+4)，∴即M點的坐標(biāo)為(0，20）.同理，可求得N（9，2）。因此=（9-0，2-20)=(9,—18)。故所求的點M、N的坐標(biāo)分別為(0，20)，（9，2）,的坐標(biāo)為(9，—18）.4。O是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三個點，動點P滿足=+λ（+），λ∈[0，+∞）,則P的軌跡一定通過△ABC的（）A.外心B.內(nèi)心C.重心D。垂心思路解析：此題之所以答得不好，主要原因是很多考生看不明白用向量表述的問題,理不清題意。實際上，與分別表示與、同向的單位向量，設(shè)1=λ，2=λ,則當(dāng)λ=0時，P與A重合；當(dāng)λ＞0時，為菱形AP1PP2的對角線，故點P在∠BAC的平分線或其延長線上。答案：B5。若a=（3,4），b∥a且b的起點為(1,2）,終點為（x，3x)，則b=___________.思路解析:∵b=（x，3x)—（1，2）=（x—1，3x-2)，且b∥a,∴3（3x—2）-4(x-1)=0.∴x=.∴b=（—，—)。答案:（—，—)6.已知點M（x，y)在向量=（1，2)所在的直線上，則x、y所滿足的條件為________.思路解析:∵M(jìn)在所在的直線上，∴∥.又=(x，y)，=(1，2），∴2x-y=0，即y=2x。答案:y=2x7。如圖2—3-7所示，已知△ABC中A（7,8)、B（3，5)、C（4，3），M、N是AB、AC的中點,D是BC的中點，NM與AD交于點F.求圖2解：∵A(7,8)、B（3,5）、C（4，3），∴=(3—7，5-8）=(—4，-3），=(4-7，3-8）=(-3，—5）.又∵D是的中點，∴=(+）=(—,—4）.又∵M(jìn)、N分別為AB、AC的中點，∴F為AD的中點?！?—=(,2）。8.已知點A(2，3)、B(5，4）、C(7,10),若=+λ(λ∈R),則λ為何值時，點P在第一、三象限的角平分線上，點P在第三象限內(nèi)？解:設(shè)點P的坐標(biāo)為（x，y），則=（x,y)-（2，3)=(x—2，y—3），+λ=(5，4）-（2，3）+λ[（7，10）—(2，3）］=（3,1)+λ（5，7）=（3，1)+（5λ，7λ)=（3+5λ，1+7λ）?！?+λ，∴(x—2，y—3)=(3+5λ，1+7λ）。∴∴P點的坐標(biāo)為（5+5λ，4+7λ)。(1）若點P在一、三象限的角平分線上，則5+5λ=4+7λ，∴λ=。（2）若點P在第三象限內(nèi)，則∴∴λ＜-1,即只要λ＜-1時，點P就在第三象限內(nèi).9.如圖2—3—圖2思路解析：本題沒有指明所構(gòu)成的平行四邊形的頂點順序，故應(yīng)分三種情形分別求解。解:（1）當(dāng)平行四邊形為ABCD時，因為=，所以(4，1）=(x+2，y-1)，所以x=2,y=2，即D(2,2).(2)當(dāng)平行四邊形為ACDB時,因為=，所以（-1，-2）=(3—x，4—y），所以x=4，y=6，即D(4，6).（3)當(dāng)平行四邊形為DACB時,因為=，所以(—2—x，1—y）=（4,1），所以x=—6,y=0,即D（—6，0）.10.已知向量=（6,1)，=（x,y）,=（-2，—3)，當(dāng)∥時，求實數(shù)x、y應(yīng)滿足的關(guān)系。解:=-=—(++)=-［（6,1）+(x,y）+(-2，-3)］=(—x-4，-y+2）,=(x，y)。當(dāng)∥時，x（-y+2）-y(-x-4)=0，化簡得y=-x。所以當(dāng)∥時,x、y應(yīng)滿足y=—x.11.已知a=(1，2），b=（—3，2)，當(dāng)k為何值時，ka+b與a-3b平行？平行時它們是同向還是反向?解法一:ka+b=k(1,2)+(-3，2)=(k—3，2k+2)，a-3b=(1，2）—3(-3，2)=(10，-4)。當(dāng)ka+b與a—3b平行時，存在唯一實數(shù)λ使ka+b=λ（a-3b)。由（k—3，2k+2）=λ（10，-4），∴解之，得k=—,λ=—。當(dāng)k=—時，ka+b與a—3b平行，這時ka+b=—a+b.∵λ=-＜0，∴—a+b與a-3b反向.解法二：由解法一知ka+b=(k—3，2k+2），a-3b=(10，—4)，∵(ka+b）∥（a-3b），∴（k—3)×（-4）—10×（2k+2）=0.解得k=-,此時ka+b=(-—3，—+2）=(-，）=-(10，—4)=—(a—3b）.∴當(dāng)k=—時，ka+b與a—3b平行并且反向.12.已知A、B、C、D四點坐標(biāo)分別為A(1,0）、B(4,3)、C（2,4）、D（0，2)。證明四邊形ABCD是梯形.證明：∵=（4，3)-(1,0)=(3，3），=（0，2)—（2，4)=（-2，-2)，∴=—，故與共線，即∥?！郃B∥CD.∵=(0，2)-（1，0）=（-1，2)，=（2，4）-（4，3)=（-2，1)，又∵（—1）×1—2×（—2)≠0，∴AD不平行于BC?！嗨倪呅蜛BCD是梯形。13.(2005上海）已知函數(shù)f（x）=kx+b的圖象與x、y軸分別相交于點A、B