數(shù)學(xué)優(yōu)化訓(xùn)練：曲邊梯形的面積定積分

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精1.5定積分1。5.1曲邊梯形的面積1。5。2定積分5分鐘訓(xùn)練(預(yù)習(xí)類訓(xùn)練，可用于課前）1.在求由x=a，x=b（a<b)，y=f(x）[f（x）≥0］及y=0圍成的曲邊梯形的面積S時，在區(qū)間［a,b］上等間隔地插入n-1個分點,分別過這些分點作x軸的垂線,把曲邊形分成n個小曲邊形，下列說法中正確的個數(shù)是…（）①n個小曲邊形的面積和等于S②n個小曲邊形的面積和小于S③n個小曲邊形的面積和大于S④n個小曲邊形的面積和與S之間的大小關(guān)系無法確定A。1B。2C.3答案：A解析:根據(jù)“化整為零”“積零為整”的思想，知①是正確的。2。函數(shù)f（x）=x2在區(qū)間［,］上,則（）A。f(x)的值變化很小B.f(x）的值變化很大C.f（x)的值不變化D。當(dāng)n很大時，f(x)的值變化很小答案：D解析：因為分割得越細，越接近原函數(shù)值，所以當(dāng)n很大時，f（x)的值變化很小.3。定積分的性質(zhì)（1)(x）dx=____________dx。(2）dx=(x)dx____________。（3)dx=dx+____________(a〈c〈b）。答案:（1)k·(2)±(x)dx(3)dx10分鐘訓(xùn)練（強化類訓(xùn)練，可用于課中）1。設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b］上連續(xù)，用分點a=x0〈x1〈…<xi-1〈xi〈…〈xn=b，把區(qū)間[a,b］等分成n個小區(qū)間，在每個小區(qū)間［xi-1，xi］上任取一點ξi(i=1，2，…，n),作和式In=Δx（其中Δx為小區(qū)間的長度)那么In的大?。?A。與f（x）和區(qū)間［a，b]有關(guān)，與分點的個數(shù)n和ξi的取法無關(guān)B.與f(x)、區(qū)間[a，b］和分點個數(shù)n有關(guān),與ξi的取法無關(guān)C。與f（x)、區(qū)間［a,b]和ξi的取法有關(guān),與分點的個數(shù)n無關(guān)D。與f(x）、區(qū)間［a，b］、分點的個數(shù)n、ξi的取法都有關(guān)答案：D解析：根據(jù)定積分的定義可知n越大即分點越多，與f(x)的值越接近，與ξi的取法也有關(guān)。2.∫10dx等于（）A。0B。1C.答案:B解析：=x，故=1。3.下列等式成立的是（）A.=b-aB.=C.dx=2dxD.dx=答案：C解析:根據(jù)定積分的定義可知dx=2dx.4。當(dāng)n很大時，函數(shù)f（x)=x2在區(qū)間［，］上的值，可以用____________近似代替（）A。f()B.f()C.f()D。f（0)答案：C5.定積分dx的大?。ǎ〢。與f（x)和積分區(qū)間［a,b］有關(guān)，與ξi的取法無關(guān)B。與f(x）有關(guān)，與區(qū)間［a,b］以及ξi的取法無關(guān)C。與f（x)以及ξi的取法有關(guān)，與區(qū)間［a,b］無關(guān)D.與f(x）、區(qū)間［a,b］和ξi的取法都有關(guān)答案：A6.證明dx=dx+dx。證明：dx=====dx+dx.30分鐘訓(xùn)練（鞏固類訓(xùn)練，可用于課后）1.下列結(jié)論中成立的個數(shù)是（）①dx=·②dx=·③dx=·A。0B。1C.2答案：C2.下列等式成立的個數(shù)是(）①dx=（ξi）②dx=f(ξi）③dx=（ξi)A。0B.1C.2答案：B3。已知dx=6,則dx等于（）A。6B。6(b-a)C。36D。不確定答案：C4.已知dx=56,則(）A.dx=28B。dx=28C.dx=56D。dx+∫32f(x）dx=56答案:D5。計算x2dx.解:x2dx=dx=·==.6.求拋物線y=x2與直線x=0，x=1,y=0所圍成的平面圖形的面積S。解:(1）分割在區(qū)間[0,1］上等間隔地插入n-1個點，將它等分成n個小區(qū)間：［0，]，［，］,…,［，1］,記第i個區(qū)間為［，］（i=1，2,…,n）,其長度為Δx==。分別過上述n-1個分點作x軸的垂線，把曲邊梯形分成n個小曲邊梯形,它們的面積記作：ΔS1，ΔS2，…，ΔSn.S=。（2）近似代替記f（x）=x2.當(dāng)n很大，即Δx很小時，在區(qū)間［,］上，可以認為f（x）=x2的值變化很小，近似地等于一個常數(shù)，不妨認為它近似地等于左端點處的函數(shù)值f()，就是用平行于x軸的直線段近似地代替小曲邊梯形的曲邊。這樣,在區(qū)間［,]上，用小矩形的面積ΔSi′近似地代替ΔSi，即在局部小范圍內(nèi)“以直代曲”，則有ΔSi≈ΔSi′=f(）Δx=(）2·Δx=（）2·(i=1,2,…,n）。①（3）求和由①，得Sn==()Δx=·=[0·+()2·+…+（）2·］=［12+22+…+（n-1）2］==（1)（1）.從而得到S的近似值S≈Sn=（1)（1).（4)取極限分別將區(qū)間［0，1］等分成8,16，20，…等份,可以看到，隨著n的不斷增大，即Δx越來越小時，Sn=(1)·（1）越來越趨向于S,從而有S=Sn=f（）=(1）（1)=.7.某物體做變速直線運動，設(shè)該物體在時刻t的速度為v（t)=7—t2，試計算這個物體在0≤t≤1這段時間內(nèi)運動的路程s.解：s=(）Δt==［7］=7=.8。利用定積分的定義，計算的值.解：(1)分割:在區(qū)間［