新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講義專題17 空間幾何體的結(jié)構(gòu)和內(nèi)切 外切球問(wèn)題 （原卷版）

專題17空間幾何體的體積和內(nèi)切外切球問(wèn)題【考點(diǎn)專題】1．多面體的結(jié)構(gòu)特征名稱棱柱棱錐棱臺(tái)圖形含義①有兩個(gè)面互相平行且全等，其余各面都是平行四邊形．②每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形的多面體用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的部分側(cè)棱平行且相等相交于一點(diǎn)但不一定相等延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)側(cè)面形狀平行四邊形三角形梯形2.旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征名稱圓柱圓錐圓臺(tái)球圖形母線互相平行且相等，垂直于底面相交于一點(diǎn)延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)軸截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形圓側(cè)面展開(kāi)圖矩形扇形扇環(huán)3.三視圖與直觀圖三視圖畫(huà)法規(guī)則：長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等直觀圖斜二測(cè)畫(huà)法：(1)原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中x′軸、y′軸的夾角為45°或135°，z′軸與x′軸和y′軸所在平面垂直．(2)原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段在直觀圖中仍平行于坐標(biāo)軸，平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長(zhǎng)度不變，平行于y軸的線段在直觀圖中長(zhǎng)度為原來(lái)的一半.4.多面體的表面積、側(cè)面積因?yàn)槎嗝骟w的各個(gè)面都是平面，所以多面體的側(cè)面積就是所有側(cè)面的面積之和，表面積是側(cè)面積與底面面積之和．5．圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖及側(cè)面積公式圓柱圓錐圓臺(tái)側(cè)面展開(kāi)圖側(cè)面積公式S圓柱側(cè)＝2πrlS圓錐側(cè)＝πrlS圓臺(tái)側(cè)＝π(r1＋r2)l6.柱、錐、臺(tái)、球的表面積和體積名稱幾何體表面積體積柱體(棱柱和圓柱)S表面積＝S側(cè)＋2S底V＝Sh錐體(棱錐和圓錐)S表面積＝S側(cè)＋S底V＝eq\f(1,3)Sh臺(tái)體(棱臺(tái)和圓臺(tái))S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR3【方法技巧】1．多面體與球接、切問(wèn)題求解策略(1)截面法：過(guò)球心及多面體中的特殊點(diǎn)(一般為接、切點(diǎn))或線作截面，利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系．(2)補(bǔ)形法：“補(bǔ)形”成為一個(gè)球內(nèi)接長(zhǎng)方體，則利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．2．球的切、接問(wèn)題的常用結(jié)論(1)長(zhǎng)、寬、高分別為a，b，c的長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)等于外接球的直徑，即eq\r(a2＋b2＋c2)＝2R.(2)若直棱柱(或有一條棱垂直于一個(gè)面的棱錐)的高為h，底面外接圓半徑為x，則該幾何體外接球半徑R滿足R2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(h,2)))eq\s\up16(2)＋x2.(3)外接球的球心在幾何體底面上的投影，即為底面外接圓的圓心．(4)球(半徑為R)與正方體(棱長(zhǎng)為a)有以下三種特殊情形：一是球內(nèi)切于正方體，此時(shí)2R＝a；二是球與正方體的十二條棱相切，此時(shí)2R＝eq\r(2)a；三是球外接于正方體，此時(shí)2R＝eq\r(3)a.【核心題型】題型一：利用三視圖求直視圖的體積問(wèn)題1．（2023·四川·校聯(lián)考一模）如圖，網(wǎng)格紙上繪制的是一個(gè)四棱臺(tái)的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長(zhǎng)為1，則該多面體的體積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．72．（2023·廣西桂林·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知某個(gè)幾何體的三視圖，根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸（單位：mm），可得這個(gè)幾何體的體積是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．（2023秋·廣西河池·高三統(tǒng)考期末）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0題型二：利用三視圖求直視圖的面積問(wèn)題4．（2022·四川雅安·統(tǒng)考一模）如圖，網(wǎng)格紙上繪制的是一個(gè)多面體的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長(zhǎng)為1，則構(gòu)成該多面體的面中最大的面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．9 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．（2022·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）下圖為某四面體的三視圖，則該幾何體的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．（2021秋·江西撫州·高三?？计谀┮粋€(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積SKIPIF1<0（

）A．26 B．36 C．48 D．35題型三：幾何體的體積的求法7．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）《九章算術(shù)·商功》中記載：“斜解立方，得兩塹堵.斜解塹堵，其一為陽(yáng)馬，一為鱉臑，不易之率也.”我們可以翻譯為：取一長(zhǎng)方體，分成兩個(gè)一模一樣的直三棱柱，稱為塹堵.再沿塹堵的一頂點(diǎn)與相對(duì)的棱剖開(kāi)，得一個(gè)四棱錐和一個(gè)三棱錐，這個(gè)四棱錐稱為陽(yáng)馬，這個(gè)三棱錐稱為鱉臑.現(xiàn)已知某個(gè)鱉臑的體積是1，則原長(zhǎng)方體的體積是（

）A．8 B．6 C．4 D．38．（2023·湖北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）截角四面體是一種半正八面體，可由四面體經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)慕亟嵌玫剑鐖D，將棱長(zhǎng)為6的正四面體沿棱的三等分點(diǎn)作平行于底面的截面截角得到所有棱長(zhǎng)均為2的截角四面體，則該截角四面體的體積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<09．（2023·江西南昌·統(tǒng)考一模）對(duì)食道和胃粘膜有刺激性的粉末或顆粒，或口感不好、易于揮發(fā)、在口腔中易被唾液分解，以及易吸入氣管的藥需要裝入膠囊，既保護(hù)了藥物藥性不被破壞，也保護(hù)了消化器官和呼吸道．在數(shù)學(xué)探究課中某同學(xué)設(shè)計(jì)一個(gè)“膠囊形”的幾何體，由一個(gè)圓柱和兩個(gè)半球構(gòu)成，已知圓柱的高是底面半徑的4倍，若該幾何體表面積為SKIPIF1<0，則它體積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0題型四：幾何體的表面積求法10．（2023春·廣東惠州·高三?？茧A段練習(xí)）河南博物院主展館的主體建筑以元代登封古觀星臺(tái)為原型，經(jīng)藝術(shù)夸張演繹成“戴冠的金字塔”造型，冠部為“方斗”形，上揚(yáng)下覆，取上承“甘露”、下納“地氣”之意．冠部以及冠部下方均可視為正四棱臺(tái)．已知一個(gè)“方斗”的上底面與下底面的面積之比為SKIPIF1<0，高為2，體積為SKIPIF1<0，則該“方斗”的側(cè)面積為（

）A．24 B．12 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<011．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖1是一棟度假別墅，它的屋頂可近似看作一個(gè)多面體，圖2是該屋頂?shù)慕Y(jié)構(gòu)示意圖，其中四邊形ABFE和四邊形DCFE是兩個(gè)全等的等腰梯形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0是兩個(gè)全等的正三角形.已知該多面體的棱BF與平面ABCD所成的角為45°，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則該屋頂?shù)谋砻娣e為（

）A．100 B．SKIPIF1<0 C．200 D．SKIPIF1<012．（2023·河南平頂山·葉縣高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四面體ABCD中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則四面體ABCD外接球的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0題型五：幾何體的內(nèi)切（外切）球問(wèn)題13．（2023·廣東·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知四棱錐SKIPIF1<0的五個(gè)頂點(diǎn)都在球面O上，底面ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，平面SKIPIF1<0平面ABCD，且SKIPIF1<0，則球面O的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<014．（2023·河南焦作·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為等邊三角形，若三棱柱SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0，則該三棱柱外接球表面積的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<015．（2023·山西晉中·統(tǒng)考二模）我國(guó)古代《九章算術(shù)》將底面為矩形的棱臺(tái)稱為芻童．若一芻童為正棱臺(tái)，其上、下底面分別是邊長(zhǎng)為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的正方形，高為1，則該芻童的外接球的表面積為（

）A．16π B．18π C．20π D．25π【高考必刷】一、單選題16．（2023春·重慶沙坪壩·高三重慶八中?？茧A段練習(xí)）某藥廠制造一種藥物膠囊，如圖所示，膠囊的兩端為半球形，半徑SKIPIF1<0，中間可視為圓柱，若該種膠囊的表面積為SKIPIF1<0，則該種膠囊的體積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<017．（2023春·四川成都·高三四川省成都市玉林中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知三棱錐SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0是正三角形且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0的外接球的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<018．（2023·河北邢臺(tái)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在四棱臺(tái)SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是邊長(zhǎng)為4的正方形，其余各棱長(zhǎng)均為2，設(shè)直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0的交點(diǎn)為SKIPIF1<0，則四棱錐SKIPIF1<0的外接球的體積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<019．（2023·湖南·模擬預(yù)測(cè)）在意大利，有一座滿是“斗笠”的灰白小鎮(zhèn)阿爾貝羅貝洛，這些圓錐形屋頂?shù)钠嫣匦∥菝蠺rullo，于1996年被收入世界文化遺產(chǎn)名錄，現(xiàn)測(cè)量一個(gè)Trullo的屋頂，得到母線SA長(zhǎng)為6米（其中S為圓錐頂點(diǎn)，O為圓錐底面圓心），C是母線SA的靠近點(diǎn)S的三等分點(diǎn)．從點(diǎn)A到點(diǎn)C繞圓錐頂側(cè)面一周安裝燈帶，若燈帶的最短長(zhǎng)度為SKIPIF1<0米，則圓錐的SO的體積為（

）A．SKIPIF1<0立方米 B．SKIPIF1<0立方米 C．SKIPIF1<0立方米 D．SKIPIF1<0立方米20．（2023·福建福州·統(tǒng)考二模）已知三棱錐SKIPIF1<0的四個(gè)頂點(diǎn)都在球SKIPIF1<0的球面上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則球SKIPIF1<0的體積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<021．（2023·安徽·統(tǒng)考一模）在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0外接球的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<022．（2023·江西贛州·統(tǒng)考一模）古希臘數(shù)學(xué)家帕普斯在《數(shù)學(xué)匯編》第三卷中記載著一個(gè)確定重心的定理：“如果同一平面內(nèi)的一個(gè)閉合圖形的內(nèi)部與一條直線不相交，那么該閉合圖形圍繞這條直線旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體的體積等于閉合圖形面積乘以該閉合圖形的重心旋轉(zhuǎn)所得周長(zhǎng)的積”，即SKIPIF1<0（V表示平面圖形繞旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)的體積，S表示平面圖形的面積，SKIPIF1<0表示重心繞旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周的周長(zhǎng)）.已知Rt△ACB中，SKIPIF1<0，則△ACB的重心G到AC的距離為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．223．（2023·遼寧阜新·校考模擬預(yù)測(cè)）已知矩形ABCD中，AB=8，取AB、CD的中點(diǎn)E、F，沿直線EF進(jìn)行翻折，使得二面角SKIPIF1<0的大小為120°，若翻折后A、B、C、D、E、F都在球SKIPIF1<0上，且球SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0，則AD=（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<024．（2023·陜西咸陽(yáng)·陜西咸陽(yáng)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知三棱錐SKIPIF1<0的所有頂點(diǎn)都在球SKIPIF1<0的球面上，SKIPIF1<0，二面角SKIPIF1<0的大小為SKIPIF1<0，若球SKIPIF1<0的表面積等于SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0的體積等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<025．（2023春·河南·高三洛寧縣第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在很多人的童年中都少不了折紙的樂(lè)趣，而現(xiàn)如今傳統(tǒng)意義上的手工折紙與數(shù)學(xué)聯(lián)系在一起，并產(chǎn)生了許多需要縝密論證的折紙問(wèn)題.有一張直角梯形紙片ABCD,ADSKIPIF1<0BC，∠A=90°，AD=1，BC=2，E為AB的中點(diǎn)，將△ADE和△BCE分別沿DE，CE折起，使得點(diǎn)A，B重合于P，構(gòu)成三棱錐P-CDE，且三棱錐P-CDE的底面和側(cè)面PCD均為直角三角形.若三棱錐P-CDE的所有頂點(diǎn)都在球O的表面上，則球O的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、多選題26．（2023·廣東江門(mén)·統(tǒng)考一模）勒洛FranzReuleaux（1829～1905），德國(guó)機(jī)械工程專家，機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)的創(chuàng)始人.他所著的《理論運(yùn)動(dòng)學(xué)》對(duì)機(jī)械元件的運(yùn)動(dòng)過(guò)程進(jìn)行了系統(tǒng)的分析，成為機(jī)械工程方面的名著.勒洛四面體是一個(gè)非常神奇的“四面體”，它能在兩個(gè)平行平面間自由轉(zhuǎn)動(dòng)，并且始終保持與兩平面都接觸，因此它能像球一樣來(lái)回滾動(dòng).勒洛四面體是以正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)為球心，以正四面體的棱長(zhǎng)為半徑的四個(gè)球的相交部分圍成的幾何體.如圖所示，設(shè)正四面體SKIPIF1<0的棱長(zhǎng)為2，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．勒洛四面體能夠容納的最大球的半徑為SKIPIF1<0B．勒洛四面體被平面SKIPIF1<0截得的截面面積是SKIPIF1<0C．勒洛四面體表面上交線SKIPIF1<0的長(zhǎng)度為SKIPIF1<0D．勒洛四面體表面上任意兩點(diǎn)間的距離可能大于227．（2023·山東泰安·統(tǒng)考一模）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，M，N分別為BC，CD的中點(diǎn)，將正方形沿對(duì)角線AC折起，使點(diǎn)D不在平面ABC內(nèi)，則在翻折過(guò)程中，以下結(jié)論中正確的是（

）A．異面直線AC與BD所成的角為定值B．三棱錐SKIPIF1<0的外接球的表面積為SKIPIF1<0C．存在某個(gè)位置，使得直線AD與直線BC垂直D．三棱錐SKIPIF1<0體積的最大值為SKIPIF1<028．（2023·福建泉州·統(tǒng)考三模）在長(zhǎng)方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0在底面SKIPIF1<0內(nèi)，直線SKIPIF1<0與該長(zhǎng)方體的每一條棱所成的角都相等，且SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0B．點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡長(zhǎng)度為SKIPIF1<0C．三棱錐SKIPIF1<0的體積為定值D．SKIPIF1<0與該長(zhǎng)方體的每個(gè)面所成的角都相等29．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知正方體SKIPIF1<0的棱長(zhǎng)為2，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)，且SKIPIF1<0與正方體的內(nèi)切球SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為球心）交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．線段SKIPIF1<0的長(zhǎng)為SKIPIF1<0B．過(guò)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三點(diǎn)的平面截正方體SKIPIF1<0所得的截面面積為SKIPIF1<0C．三棱錐SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0D．設(shè)SKIPIF1<0為球SKIPIF1<0上任意一點(diǎn)，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的范圍是SKIPIF1<0D．平面SKIPIF1<0截正方體所得截面的面積為定值31．（2023·湖南株洲·統(tǒng)考一模）已知三棱錐SKIPIF1<0的所有棱長(zhǎng)均相等，其外接球的球心為O．點(diǎn)E滿足SKIPIF1<0，過(guò)點(diǎn)E作平行于SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別與棱SKIPIF1<0相交于點(diǎn)SKIPIF1<0，則（

）A．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，平面SKIPIF1<0經(jīng)過(guò)球心OB．四邊形SKIPIF1<0的周長(zhǎng)隨SKIPIF1<0的變化而變化C．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，四棱錐SKIPIF1<0的體積取得最大值D．設(shè)四棱錐SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<032．（2023春·湖北·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）在棱長(zhǎng)為2的正方體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點(diǎn)，SKIPIF1<0為四邊形SKIPIF1<0內(nèi)一點(diǎn)（含邊界），若SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則下列結(jié)論正確的是（

）A．SKIPIF1<0 B．三棱錐SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0C．線段SKIPIF1<0最小值為SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0三、填空題33．（2023春·全國(guó)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）中國(guó)某些地方舉行婚禮時(shí)要在吉利方位放一張桌子，桌子上放一個(gè)裝滿糧食的升斗，斗面用紅紙糊住，斗內(nèi)再插一桿秤、一把尺子，寓意糧食滿園、稱心如意、十全十美，下圖為一種婚慶升斗的規(guī)格，該升斗外形是一個(gè)正四棱臺(tái)，上、下底邊邊長(zhǎng)分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，側(cè)棱長(zhǎng)為SKIPIF1<0，忽略其壁厚，則該升斗的容積為_(kāi)________SKIPIF1<0．34．（2023·遼寧·校聯(lián)考一模）正四面體SKIPIF1<0的棱SKIPIF1<0中點(diǎn)為O，平面SKIPIF1<0截球SKIPIF1<0所得半徑為SKIPIF1<0的圓與SKIPIF1<0相切，則球SKIPIF1<0的表面積為_(kāi)_____.35．（2023·河南焦作·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在正四棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0