甘肅省蘭州市2023-2024學年高一上學期1月期末考試 數學

高一第一學期期末學業(yè)質量監(jiān)測卷數學考生注意：1.答卷前，考生務必將自己的姓名?準考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號框涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號框.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.“”是“”的A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充分且必要條件 D.既不充分也不必要條件3.函數的定義域是A.(0,1] B.C. D.4.若，則關于的不等式的解集是（）A. B.C. D.5.如果，那么函數的圖象在A.第一、二、三象限 B.第一、三、四象限C.第二、三、四象限 D.第一、二、四象限6.已知函數，下列結論正確的是（）A.函數的最小正周期為B.函數在區(qū)間上是增函數C.函數的圖象關于直線對稱D.函數是奇函數7已知函數，則（）A. B. C.0 D.8.設，則（）A. B.C. D.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下列敘述中正確的是（）A.B.若集合是全集的兩個子集，且，則C.命題“”的否定是“”D.命題“”的否定是“”10.下列計算正確的是（）A. B.C. D.11.已知函數的部分圖象如圖所示，下列說法正確的是（）A.函數的圖象關于點對稱B.函數的圖象關于直線對稱C.函數在單調遞減D.該圖象向右平移個單位可得圖象12.已知函數，則下列結論正確的是（）A.存在實數，函數無最小值B.對任意實數，函數都有零點C.當時，函數在上單調遞增D.對任意，都存在實數，使關于的方程有3個不同的實根三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.__________．14.青少年視力是社會普遍關注問題，視力情況可借助視力表測量.通常用五分記錄法和小數記錄法記錄視力數據，五分記錄法的數據和小數記錄法的數據的滿足.已知某同學視力的小數記錄法數據為，則其視力的五分記錄法的數據約為______.15.寫出一個同時具有下列三個性質的函數：___________.①函數為指數函數；②單調遞增；③.16.對于函數，若存在，使，則稱點與點是函數的一對“隱對稱點”.若函數的圖象存在“隱對稱點”，則實數的取值范圍是__________.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.已知（1）求的值；（2）若是第三象限角，化簡，并求值.18.已知.（1）求證：；（2）若，求的最小值.19.已知函數是的一個零點.（1）求；（2）當時，求的值域.20.“宸宸”“琮琮”“蓮蓮”是2023年杭州亞運會吉祥物，組合名為“江南憶”，出自唐朝詩人白居易的名句“江南憶，最憶是杭州”，它融合了杭州的歷史人文?自然生態(tài)和創(chuàng)新基因.某中國企業(yè)可以生產杭州亞運會吉祥物“宸宸”“琮蹤”“蓮蓮”，根據市場調查與預測，投資成本x（百萬元）與利潤y（百萬元）的關系如下表：（百萬元）2412（百萬元）0.412.8當投資成本不高于12（百萬元）時，利潤（百萬元）與投資成本（百萬元）關系有兩個函數模型與可供選擇.（1）當投資成本不高于12（百萬元）時，選出你認為最符合實際的函數模型，并求出相應的函數解析式；（2）當投資成本高于12（百萬元）時，利潤（百萬元）與投資成本（百萬元）滿足關系，結合第（1）問的結果，要想獲得不少于一千萬元的利潤，投資成本（百萬元）應該控制在什么范圍.（結果保留到小數點后一位）（參考數據：）21.已知函數，且的圖象過點.（1）求的值及的定義域；（2）求在上的最小值；（3）若，比較與的大小.22.已知函數．（1）若是偶函數，求值；（2）若對任意，不等式恒成立，求的取值范圍．2023~2024學年高一第一學期期末學業(yè)質量監(jiān)測卷數學考生注意：1.答卷前，考生務必將自己的姓名?準考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號框涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號框.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由交集的定義求解即可【解析】因為，，所以，故選：C2.“”是“”A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充分且必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據充分必要條件的定義判斷即可.【解析】當,則,則即充分性成立;當,時,不成立,即必要性不成立,即“”是“”的充分不必要條件.故選:A.【小結】本題考查了充分必要條件的定義,考查不等式性質,難度容易.3.函數的定義域是A.(0,1] B.C. D.【答案】D【解析】【解析】由題意知，則函數的定義域是.故選D.4.若，則關于的不等式的解集是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據t的范圍，判斷，解一元二次不等式可得答案.【解析】因為，所以，即,所以,即，解得.故選：D5.如果，那么函數的圖象在A.第一、二、三象限 B.第一、三、四象限C第二、三、四象限 D.第一、二、四象限【答案】B【解析】【解析】∴y=的圖象過第一、第二象限,且是單調增函數,經過(0,1)，的圖象可看成把y=的圖象向下平移?b(?b>1)個單位得到的，故函數圖象經過第一、第三、第四象限，不經過第二象限，故選B.6.已知函數，下列結論正確的是（）A.函數的最小正周期為B.函數在區(qū)間上是增函數C.函數的圖象關于直線對稱D.函數是奇函數【答案】C【解析】【分析】根據給定的函數，結合正切函數的圖象、性質逐項判斷即得.【解析】對于A，由于，，因此，A錯誤；對于B，當時，，則函數在區(qū)間上是減函數，B錯誤；對于C，，因此函數的圖象關于直線對稱，C正確；對于D，由于，因此函數是偶函數，不是奇函數，D錯誤.故選：C7.已知函數，則（）A. B. C.0 D.【答案】A【解析】【分析】利用給定的函數關系，依次代入計算即得.【解析】函數，所以.故選：A8.設，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據給定條件，利用指數函數、對數函數單調性，借助媒介數比較大小即得.【解析】由，得，由，得，即，而，所以.故選：B二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下列敘述中正確的是（）A.B.若集合是全集的兩個子集，且，則C.命題“”的否定是“”D.命題“”的否定是“”【答案】AC【解析】【分析】根據集合間的關系可判斷選項A，B；根據全稱量詞命題的否定形式可判斷選項C，D.【解析】對于選項A：因為，所以，故A正確；對于選項B：B錯誤，可舉特例說明，如，則，所以,故B錯誤；全稱量詞命題的否定是：，故選項C正確；選項D錯誤.故選：AC.10.下列計算正確的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】利用指數冪和對數的運算法則即可求解.【解析】對于選項A，，故選項A正確；對于選項B，，故選項B不正確；對于選項C，，故選項C正確；對于選項D，，故選項D不正確.故選：AC.11.已知函數的部分圖象如圖所示，下列說法正確的是（）A.函數的圖象關于點對稱B.函數的圖象關于直線對稱C.函數在單調遞減D.該圖象向右平移個單位可得的圖象【答案】BD【解析】【分析】根據給定的三角函數的圖象，得到函數的解析式為，結合三角函數的性質，以及三角函數的圖象變換，逐項判定，即可求解.【解析】解：根據函數的部分圖象，可得，可得，再根據五點作圖法，可得，解得，所以，對于A中，當，可得，所以不是函數的對稱中心，所以A錯誤；對于B中，當時，可得，即函數的最小值，所以函數的圖象關于直線對稱，所以B正確；對于C中，當，可得，根據余弦函數的性質，可得在函數在先減后增，所以C不正確；對于D中，將函數該圖象向右平移個單位，可得的圖象，所以D正確.故選：BD.12.已知函數，則下列結論正確的是（）A.存在實數，函數無最小值B.對任意實數，函數都有零點C.當時，函數在上單調遞增D.對任意，都存在實數，使關于的方程有3個不同的實根【答案】ABD【解析】【分析】取特值結合單調性判斷A；分段討論判斷B；舉特值分析單調性判斷C；分析函數性質，結合圖象判斷D.【解析】函數的定義域為R，函數圖象由函數的圖象向右平移1個單位而得，函數在R上是增函數，對于A，當時，函數在上單調遞增，當時，，當時，，此時函數無最小值，A正確；對于B，當時，由，得，解得，當時，由，得，解得，因此對任意實數，函數都有零點，B正確；對于C，取，當時，在上單調遞增，當時，在上單調遞增，而，此時函數在上不單調，C錯誤；對于D，對任意，函數在上單調遞減，函數值集合為，在上單調遞增，函數值集合為，在上單調遞增，函數值集合為，顯然恒有，當時，直線與函數的圖象有3個交點，因此方程有3個不同的實根，D正確.故選：ABD思路小結：涉及給定函數零點個數求參數范圍問題，可以通過分離參數，等價轉化為直線與函數圖象交點個數，數形結合推理作答.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.__________．【答案】【解析】【分析】利用誘導公式及特殊角的三角函數值計算可得.解析】.故答案為：14.青少年視力是社會普遍關注的問題，視力情況可借助視力表測量.通常用五分記錄法和小數記錄法記錄視力數據，五分記錄法的數據和小數記錄法的數據的滿足.已知某同學視力的小數記錄法數據為，則其視力的五分記錄法的數據約為______.【答案】4.9【解析】【分析】根據對數的運算法則及所給數據求出，最后代入所給公式計算可得.【解析】解：由，當時，，所以.故答案為：15.寫出一個同時具有下列三個性質的函數：___________.①函數為指數函數；②單調遞增；③.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根據給定條件①可得函數的解析式，再利用另兩個條件判斷作答.【解析】因函數是指數函數，則令，且，于是得，由于單調遞增，則，又，解得，取，所以.故答案為：（答案不唯一）16.對于函數，若存在，使，則稱點與點是函數的一對“隱對稱點”.若函數的圖象存在“隱對稱點”，則實數的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】結合奇函數的特征，區(qū)間轉化法求解析式，再根據新定義轉化為兩函數圖象的交點，進而轉化到方程根的問題，利用基本不等式即可解決.【解析】由“隱對稱點”的定義可知，的圖象上存在關于原點對稱的點，設的圖象與圖象關于原點對稱，設，則，，所以，，故的圖象與的圖象有交點，等價于方程有實根，故，當且僅當時，取得等號，所以，故實數的取值范圍是.故答案為：.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.已知（1）求的值；（2）若是第三象限角，化簡，并求值.【答案】17.2；18.詳見解析.【解析】【分析】（1）根據給定條件，利用齊次式法計算即得.（2）利用平方關系化簡給定式子，再結合（1）利用同角公式求值即得.【小問1解析】由，得，解得，所以值為2.【小問2解析】由（1）知，，即，而，于是，而是第三象限角，即，因此，所以.18.已知.（1）求證：；（2）若，求的最小值.【答案】（1）證明見解析；（2）8.【解析】【分析】（1）根據給定條件，利用基本不等式推理即得.（2）利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【小問1解析】，則，當且僅當時取等號，所以.【小問2解析】由，且，得，當且僅當，即時取等號，所以當時，取得最小值8.19.已知函數是的一個零點.（1）求；（2）當時，求的值域.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據給定的零點，結合特殊角的三角函數值求出.（2）由（1）求出的解析式，再利用正弦函數性質求出值域即得.【小問1解析】依題意，，即，則，而，所以.【小問2解析】由（1）知，，當時，，而正弦函數在上單調遞增，在上單調遞減，因此當，即時，取得最小值，當，即時，取得最大值1，則，，所以的值域是.20.“宸宸”“琮琮”“蓮蓮”是2023年杭州亞運會吉祥物，組合名為“江南憶”，出自唐朝詩人白居易的名句“江南憶，最憶是杭州”，它融合了杭州的歷史人文?自然生態(tài)和創(chuàng)新基因.某中國企業(yè)可以生產杭州亞運會吉祥物“宸宸”“琮蹤”“蓮蓮”，根據市場調查與預測，投資成本x（百萬元）與利潤y（百萬元）的關系如下表：（百萬元）2412（百萬元）0.412.8當投資成本不高于12（百萬元）時，利潤（百萬元）與投資成本（百萬元）的關系有兩個函數模型與可供選擇.（1）當投資成本不高于12（百萬元）時，選出你認為最符合實際的函數模型，并求出相應的函數解析式；（2）當投資成本高于12（百萬元）時，利潤（百萬元）與投資成本（百萬元）滿足關系，結合第（1）問的結果，要想獲得不少于一千萬元的利潤，投資成本（百萬元）應該控制在什么范圍.（結果保留到小數點后一位）（參考數據：）【答案】（1）最符合實際的函數模型為，解析式為（2）【解析】【分析】（1）根據題意，結合表格中的數據，將點，分別代入兩個函數的解析式，求得的值，結合時，求得的值，即可得到答案；（2）根據題意得到利潤與投資成本關系式，結合要獲得不少于一個億的利潤，得出不等式，分類討論，即可求解.【小問1解析】解：最符合實際的函數模型為，理由如下：若選函數，將點代入可得，解得，所以，當時，可得，與實際數據差別較大；若選函數，將點代入可得，解得，所以，當時，可得，符合題意，綜上可得，最符合實際的函數模型為.【小問2解析】解：由題意知，利潤與投資成本滿足關系式,要獲得不少于