河北省承德市2023-2024學年高二上學期期末數(shù)學試題

第一學期高二年級期末考試數(shù)學試卷注意事項：1．答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．4，本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版選擇性必修第一冊，選擇性必修第二冊第四章．一、選擇題：本大題共8小題，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知數(shù)列的前4項分別為，，，，則該數(shù)列的一個通項公式可以為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】觀察數(shù)列的項的特點，找到各項之間的規(guī)律，即可寫出一個通項公式，結合選項，即得答案.【解析】觀察可知，該數(shù)列的前面整數(shù)部分為奇數(shù)，后面分數(shù)部分正負相間，首項的分數(shù)部分為負，分母為，分子為，故該數(shù)列的一個通項公式可以為，故選：D2.已知直線，直線.若，則（）A.4 B.-2 C.4或-2 D.3【答案】A【解析】【分析】由直線平行的必要條件列出方程求解參數(shù)，并注意回代檢驗是否滿足平行而不是重合.【解析】因為，所以，即，得或.當時，，，符合題意；當時，，，，重合.故.故選：A.3.已知等比數(shù)列的前項和為，若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，求得，結合等比數(shù)列的定義，得到，即可求解.【解析】由，當時，，可得，當時，，因為數(shù)列為等比數(shù)列，可得，解得.故選：D.4.已知橢圓的左、右焦點分別為，P為橢圓C上一點，的最小值為1，且的周長為34，則橢圓C的標準方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用焦點三角形的周長為，及，結合橢圓的知識求解出橢圓方程即可.【解析】因為的最小值為1，所以．因為的周長為34，所以，所以．因為，所以，所以橢圓C的標準方程為．故選：C.5.在三棱錐中，為的中點，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】連接，根據(jù)空間向量的運算法則，準確化簡，即可求解.【解析】連接，根據(jù)向量的運算法則，可得.故選：B.6.某學習小組研究一種衛(wèi)星接收天線（如圖①所示），發(fā)現(xiàn)其曲面與軸截面的交線為拋物線，在軸截面內(nèi)的衛(wèi)星波束呈近似平行狀態(tài)射入形為拋物線的接收天線，經(jīng)反射聚焦到焦點處（如圖②所示）.已知接收天線的口徑（直徑）為，深度為，則該拋物線的焦點到頂點的距離為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】建立平面直角坐標系，得到，代入拋物線方程，求出，從而得到答案.【解析】如圖所示，建立平面直角坐標系，則，將代入，故，解得，所以該拋物線的焦點到頂點的距離為m.故選：B7.在三棱錐中，平面分別是棱的中點，，則直線與平面所成角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】建系，求出平面的法向量為，再代入線面角的公式求解即可.【解析】因為平面，都在面內(nèi)，所以，又，所以，所以兩兩垂直，以為坐標原點，的方向分別為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，．設平面的法向量為，則所以取，得．設直線與平面所成的角為，所以．故選：B8.已知直線與交于點，則的最大值為（）A.1 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)得點為圓上動點，用三角換元求的最大值.【解析】由題意可得直線恒過坐標原點，直線恒過定點，且，所以，所以與的交點在以為直徑的圓上，則點的坐標滿足（不含點）．可設，且，則，所以當時，的最大值為．故選：D二、選擇題：本大題共4小題，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.9.等差數(shù)列的前n項和為，若，，則（）A.的公差為1 B.的公差為2C. D.【答案】ACD【解析】【分析】列出方程組，求出等差數(shù)列的公差和首項，判斷A，B；根據(jù)等差數(shù)列通項公式以及前n項和公式即可判斷C，D.【解析】設的公差為d，由，，得，解得，故A正確，B錯誤；，，C，D正確.故選：ACD10.已知，在同一個坐標系下，曲線與直線的位置可能是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】先根據(jù)題意得到曲線為，直線為，再根據(jù)當，，，時，曲線及直線的橫截距與縱截距的關系即可逐項判斷．【解析】因為，所以曲線為，直線為，當時，曲線表示的是圓，直線的橫截距與縱截距相等，則A錯誤；當時，曲線表示焦點在軸上的橢圓，直線的橫截距比縱截距大，則B正確；當時，曲線表示焦點在軸上的橢圓，直線的橫截距比縱截距小，則C不正確；當時，曲線表示焦點在軸上的雙曲線，直線的橫截距為正，縱截距為負，則D正確．故選：BD．11.已知圓和圓是圓上一點，是圓上一點，則下列說法正確的是（）A.圓與圓有四條公切線B.兩圓的公共弦所在的直線方程為C.的最大值為12D.若，則過點且與圓相切的直線方程為【答案】BCD【解析】【分析】對于A，判斷兩圓的位置關系即可；對于B，兩圓方程相減即可；對于C，由驗算即可；對于D，點在圓上，利用垂直關系得切線斜率，進一步即可驗算.【解析】對于A，圓、的圓心、半徑依次分別為，圓心距滿足，所以兩圓相交，圓與圓有兩條條公切線，故A錯誤；對于B，兩圓、方程相減得，，化簡并整理得兩圓的公共弦所在的直線方程為，故B正確；對于C，由題意，當且僅當四點共線，取最大值，故C正確，對于D，，即點在圓上面，又，所以過點且與圓相切的直線方程為，化簡并整理得，過點且與圓相切的直線方程為，故D正確.故選：BCD.12.已知數(shù)列滿足，，為的前項和，則（）A.為等比數(shù)列B.的通項公式為C.為遞減數(shù)列D.當或時，取得最大值【答案】AC【解析】【分析】利用構造法得，判斷出為首項為，公比為的等比數(shù)列，判斷A選項；利用等比數(shù)列通項公式求出通項公式，得出，判斷B選項；根據(jù)函數(shù)是減函數(shù)，判斷C選項；令，解得，判斷D選項.【解析】因為，所以，即，，又因為，所以，所以為首項為，公比為的等比數(shù)列，A正確；，所以，B錯誤；因為函數(shù)是減函數(shù)，所以為遞減數(shù)列，C正確；令，即，解得，所以時，，時，，所以當或時，取得最大值，D錯誤.故選：AC三、填空題：本大題共4小題，把答案填在答題卡中的橫線上．13.若數(shù)列滿足，則__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)數(shù)列的遞推關系求得周期為3，運算得解.【解析】因，，所以，，，所以是周期為3的數(shù)列，故.故答案為：.14.已知雙曲線的一條漸近線方程為，則的焦距為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)漸近線方程得到雙曲線方程，求出，進而求出焦距.【解析】由題可知，解得，所以，故的焦距為.故答案為：15.在長方體中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為_________．【答案】【解析】【分析】以為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法可求得異面直線與所成角的余弦值.【解析】在長方體中，，，，以為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、、、，，，所以，.因此，異面直線與所成角的余弦值為.故答案為：.16.在數(shù)列與中，已知，則________．【答案】1【解析】【分析】由已知計算可得為常數(shù)列，進而可得結果.【解析】由題意知，，所以為常數(shù)列，即，所以．故答案為：1.四、解答題：本大題共6小題，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知數(shù)列的前項和為，且.（1）求的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用的關系式即可求得的通項公式為；（2）由（1）可得，利用裂項相消求和可得.【小問1解析】當時，，當時，.符合，所以的通項公式為.【小問2解析】由（1）可得，則，所以數(shù)列的前項和.18.一動圓經(jīng)過點且與直線相切，設該動圓圓心的軌跡為曲線C．（1）求C的方程；（2）若直線l與C交于A，B兩點，且線段AB的中點坐標為，求l的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)圓的性質結合拋物線定義，即可求得答案；（2）設，利用點差法求出直線l的斜率，即可求得直線方程.【小問1解析】依題意，該動圓的圓心到點與到直線的距離相等．又點不在直線上，根據(jù)拋物線的定義可知，該動圓圓心的軌跡是以為焦點，直線為準線的拋物線，所以曲線C的方程為．【小問2解析】設，由題意知直線l斜率存在，則，則，兩式相減得，即．因為線段AB的中點坐標為，所以，則，即直線l的斜率為，所以直線l的方程為，即．19.已知圓過點和，且圓心在直線上.（1）求圓的標準方程；（2）經(jīng)過點的直線與圓相切，求的方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）設出圓的標準方程，根據(jù)題意，列出方程組，即可求解；（2）根據(jù)題意，分直線的斜率不存在和存在，兩種情況討論，結合直線與圓的位置關系，列出方程，即可求解.【小問1解析】解：設圓的方程為，根據(jù)題意，可得，解得，所以圓的方程為.【小問2解析】解：當直線的斜率不存在時，直線的方程為，符合題意；當直線的斜率存在時，設直線的方程為，由圓心到直線的距離等于圓的半徑，可得，解得，則直線的方程為，即.故直線的方程為或.20.如圖，在三棱錐中，平面，，，F(xiàn)是的中點，且．（1）求的長;（2）求二面角的正弦值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）結合垂直關系，以B為坐標原點建立空間直角坐標系，利用計算出的長度即可；（2）利用向量法求出平面的法向量與平面的法向量，進而求出二面角的正弦值即可.【小問1解析】因為平面，，故以B為坐標原點，建立如下圖所示的空間直角坐標系．設，由，得，，，．因為F是中點，所以，則，．又，所以，解得，故．【小問2解析】由（1）可知，，則，，．設平面的法向量為，則，令，得．設平面的法向量為，則，令，得．所以，故二面角的正弦值為．21.已知正項數(shù)列滿足，數(shù)列的前n項和為，且．（1）求的通項公式；（2）證明：．【答案】（1），（2）證明見解析【解析】【分析】（1）利用對數(shù)運算，得，再運用累乘法可求，由與的關系可得，則時，數(shù)列是以為首項的常數(shù)列，可求的通項公式；（2）利用錯位相減法求，從而得證.【小問1解析】因為，且，所以，所以，即，所以．當時，所以，所以．因為，所以，所以．也符合上式，所以．當時，．因為，所以當時，，所以當時，，即，所以當時，數(shù)列是以為首項的常數(shù)列，即（），所以（），所以的通項公式為【小問2解析】因為，所以，兩式相減得，所以．【小結】數(shù)列求和的常用方法：（1）對于等差等比數(shù)列，利用公式法直接求和；（2）對于型數(shù)列，其中是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，利用錯位相減法求和；（3）對于型數(shù)列，利用分組求和法；（4）對于型數(shù)列，其中是公差為的等差數(shù)列，利用裂項相消法求和.22.已知橢圓經(jīng)過點和．（1）求的方程；（2）若點（異于點）是上不同的兩點，且，證明直線過定點，并求該定點的坐標．【答案】（1）（2）證明見解析，定點．【解析】【分析】（1）將點代入橢圓方程即可求解，（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，得到韋達定理，即可得坐標，進而根據(jù)點斜式求解直線方程即可求解定點，或者根據(jù)向量垂直滿足的坐標運算，代入韋達定理化簡即可求解，結合分類討論,進而得定點..小問1解析】由題意得，把點的坐標代入，得，解得，所以橢圓的方程為．【小問2解析】（方法一）由題意可知均有斜率且不為0，設直線的方程為，聯(lián)立方程組消去得，可得，解得，所以點坐標為．因為，所以直線的斜率為，同理可得點．當時，有，解得，直線的方程為．當時，直線的斜率，則直線的方程為，即，即，直線過定點．又當時，直線也過點．綜上，直線過定點．（方法二）當直線不垂直于軸時，設直線方程為，聯(lián)立方程組消去得，，即．設，則，．因為，所