課時(shí)作業(yè)33 空間幾何體的外接球（教師版）

課時(shí)作業(yè)33空間幾何體的外接球1．(2024·江西高三其他模擬())在三棱錐中，，，，，則該三棱錐的外接球的表面積為()A． B． C． D．【答案】A【解析】在中，，即，又，∴為等邊三角形根據(jù)題意，有如下示意圖：如圖，設(shè)的外接圓的圓心為，連接，，，連接PH.由題意可得，且，.∴由上知：且，又，∴，由，平面ABC.設(shè)O為三棱錐外接球的球心，連接，，OC過O作，垂足為D，則外接球的半徑R滿足，，，代入解得，即有，∴三棱錐外接球的表面積為.故選：A.2．(2024·四川瀘州市·高三一模)已知四棱錐中，平面，底面是邊長為2的正方形，且，則該四棱錐外接球的表面積為()A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意，四棱錐中，四邊形是邊長為2的正方形，且平面，可把四棱錐放置在如圖所示的一個(gè)長方體內(nèi)，其中長方體的長、寬、高分別為，則四棱錐的外接球和長方體的外接球表示同一個(gè)球，設(shè)四棱錐的外接球的半徑為，可得，解得，所以該四棱錐外接球的表面積為.故選：C.3．(2024·四川宜賓市·高三一模)已知點(diǎn)P，A，B，C在同一個(gè)球的球表面上，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PB=，BC=，PC=，則該球的表面積為()A．6π B．8π C．12π D．16π【答案】A【解析】如圖，三棱錐補(bǔ)體在長方體中，三棱錐的外接球就是補(bǔ)體后長方體的外接球，長方體的外接球的直徑，即，則該球的表面積.故選：A4．(2024·廣東廣州市·高三月考)在長方體中，，，點(diǎn)在正方形內(nèi)，平面，則三棱錐的外接球表面積為()A． B． C． D．【答案】C【解析】長方體中，平面，平面，∴，又平面，平面，∴，∵，∴平面，而平面，∴，是正方形，∴是與交點(diǎn)，即為的中點(diǎn)，也是的中點(diǎn)．是直角三角形，設(shè)是中點(diǎn)，是中點(diǎn)，則由可得平面(長方體中棱與相交面垂直)，是的外心，三棱錐的外接球球心在直線上(線段或的延長線上)．設(shè)，則，解得，∴外接球半徑為，表面積為．故選：C．5．(2024·全國高三月考)三棱柱中，平面，，，，，則該三棱柱的外接球的體積為()A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖，取中點(diǎn)，連交于點(diǎn)，，為的外接圓圓心，，，，外接圓半徑為,，平面，平面，又，點(diǎn)為三棱柱的外接球球心，外接球半徑，外接球體積.故選：B.6．(2024·江西贛州市·高三)四面體中，底面，，，則四面體的外接球表面積為()A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖，在四面體中，底面，，，可得，補(bǔ)形為長方體，則過一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱長分別為1，1，，則長方體的對角線長為，則三棱錐的外接球的半徑為1．其表面積為．故選：B．7．(2024·天津?yàn)I海新區(qū)·高三月考)直三棱柱的所有頂點(diǎn)都在同一球面上，且，，，則該球的表面積為()A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖所示，直三棱柱的所有頂點(diǎn)都在同一球面上，且，，，可將直三棱柱補(bǔ)成長方體，其中，，長方體的對角線，即為球的直徑，則球的半徑為.球的表面積為.故選:A.8．(2024·江蘇南通市·高三期中)正三棱錐中，，，則該棱錐外接球的表面積為()A． B． C． D．【答案】C【解析】正三棱錐中，，,所以,故,同可得,,以為棱構(gòu)造正方體，則該棱錐外接球即為該正方體的外接球，如圖，所以，故球的表面積為,故選：C9．(2024·安徽宣城市·高三期末())在三棱錐中，平面，則三棱錐的外接球的表面積是()A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖所示，，取BC中點(diǎn)M，連接AM并延長到N使AM=MN，則四邊形ABNC是兩個(gè)等邊三角形組成的菱形，AN=BN=CN，點(diǎn)N是的外接圓圓心，過N作平面ABC的垂線NG，則球心一定在垂線NG上，因?yàn)槠矫妫瑒tPA//NG，PA與NG共面，在面內(nèi)作PA的中垂線，交NG于O，則O是外接球球心，半徑R=OA，中，，，故，故外接球的表面積.故選:D.10．(2024·江蘇南京市第二十九中學(xué)高三期中)已知直三棱柱的頂點(diǎn)都在球上，且，，，則此直三棱柱的外接球的表面積是()A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖所示：設(shè)點(diǎn)為外接圓的圓心，因?yàn)椋?，又，所以是等邊三角形，所以，又直三棱柱的頂點(diǎn)都在球上，所以外接球的半徑為，所以直三棱柱的外接球的表面積是，故選：C11．(2024·平?jīng)鍪星f浪縣第一中學(xué)高三其他模擬())已知，平面ABC，若，則四面體PABC的外接球(頂點(diǎn)都在球面上)的體積為()A． B． C． D．【答案】D【解析】取PC的中點(diǎn)O，連接OA，OB，由題意得，又因?yàn)?，所以平面，所以，在，同，所以，因此P，A，B，C四點(diǎn)在以O(shè)為球心的球面上，在中，在中，，球O的半徑，所以球的體積為，故選：D.12．(2024·甘肅省民樂縣第一中學(xué)高三其他模擬())在四棱錐中，，，，，，，則三棱錐外接球的表面積為()A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖，取的兩個(gè)三等分點(diǎn)、，連接、、，設(shè)，連接、.則，，又，，所以，四邊形為平行四邊形，，為的中點(diǎn)，所以，，由勾股定可得，則，在中，，，，，又，則為等邊三角形，，則是的外接圓的圓心.因?yàn)?，為的中點(diǎn)，，，，，，，，又，，平面，且.設(shè)為三棱錐外接球的球心，連接、、，過作，垂足為，則外接球的半徑滿足，設(shè)，則，解得，從而，故三棱錐外接球的表面積為.故選：D.13．(2024·固原市第五中學(xué)高三期末())已知一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上，若這個(gè)正方體的表面積為24，則這個(gè)球的體積為____________.【答案】【解析】設(shè)正方體邊長，正方體外接球的半徑為R，由正方體的表面積為24，所以，則，又，所以，所以外接球的體積為：.故答案為：.14．(2024·安徽池州市·高三期末())已知四棱錐的底面是邊長為2的正方形，平面，，，則四棱錐的外接球的表面積為___________.【答案】【解析】如圖所示：∵平面，平面，∴，則有，解得，又，構(gòu)造正三棱柱，其上下底面邊長為2，高為2，則其外接球的球心是上下中心連線的中點(diǎn)，設(shè)外接球半徑，則，所以外接球的表面積為.故答案為：15．(2024·吉林四平市·高三期末)已知直三棱柱其外接球的體積為____.【答案】【解析】已知AB=AC,∴三角形為等腰三角形，取M為BC的中點(diǎn)，連接AM,則AM⊥BC,由已知得BC=,,又,∴，再由正弦定,(r為三角形外接圓半徑)，r=2,設(shè)兩底面的外接圓的圓心分別為，外接球球心為的中點(diǎn)，外接球的半徑,所以球的體積為,故答案為：.16．(2024·河南鄭州市·高三一模)已知是球的內(nèi)接三棱錐，則球的表面積為_______________________．【答案】【解析】取，的中點(diǎn)，因?yàn)樗裕?，所以平面，既是，又是的垂直平分線，所以三棱錐的外接球的球心在上，且平面平面，點(diǎn)是的中心，，，且，，，所以，，所以，解得：，則三棱錐外接球半徑，則球的表面積.故答案為：17．(2024·石嘴山市第三中學(xué)高三月考)在三棱錐中，底面ABC，，則此三棱錐的外接球的表面積為______.【答案】【解析】因?yàn)榈酌鍭BC，所以，，又，所以三棱錐的外接球就是以為棱的長方體的外接球，其直徑為長方體的對角線，因?yàn)?，，所以外接球的直徑，所以外接球的表面積為.故答案為：18．(2024·梅河口市第五中學(xué)高三月考)已知三棱錐中，，，若該三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則此球的體積為__________.【答案】【解析】由題可知，該三棱錐是由長方體的面對角線構(gòu)成，如圖，

設(shè)長方體的棱長分別為，則，則，設(shè)球半徑為，則，即，則球的體積為.故答案為：.19．(2024·山西高三月考())已知正三棱柱的體積為54，，記三棱柱的外接球?yàn)榍?，則外接球的表面積是__________．【答案】【解析】因?yàn)檎庵牡酌娣e，底面外接圓半徑，所以正三棱柱的高，所以外接球的半徑，則，故答案為：．20．(20