課時作業(yè)47 直線與曲線的最值問題（教師版）

課時作業(yè)47直線與曲線的最值問題1．(2024·天津高三月考)已知橢圓的左焦點為F，離心率，長軸長為4.(Ⅰ)求橢圓的方程；(Ⅱ)過點F的直線l與橢圓交于M，N兩點(非長軸端點)，的延長線與橢圓交于P點，求面積的最大值，并求此時直線l的方程.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)2，或.【解析】(Ⅰ)因為橢圓長軸長為4，所以，因為橢圓的離心率為，所以，又，解得，所以橢圓C的方程為；(Ⅱ)法一：設(shè)的方程為，聯(lián)立方程組，，原點到直線的距離點P到直線的距離為，，令，，當(dāng)時，面積取到最大值2，此時，直線l的方程為或.法二：當(dāng)k不存在時，；②當(dāng)k存在且時，設(shè)直線方程為，與橢圓方程聯(lián)立，可得，顯然，，∴，∴，，令，∴上式，∴上式，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取到最值.綜上，當(dāng)時，取得最大值2.此時，直線l的方程為或.2．(2024·湖北武漢市)已知橢圓過點，離心率.(1)求橢圓的方程；(2)過點的直線與橢圓相交于，兩點.①當(dāng)直線，的斜率之和為時(其中為坐標原點)，求直線的斜率；②求的取值范圍.【答案】(1)；(2)①；②．【解析】(1)由題意得，解得，.設(shè)橢圓E的方程為，又因為點在橢圓E上，所以，，所以橢圓E的方程為；(2)①設(shè)直線l方程為：，代入橢圓E的方程可得，因為直線l與橢圓E有兩個交點，所以，即.設(shè)，，則，，.又解得，經(jīng)檢驗成立.所以，直線l的斜率；②當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線l的方程為，將代入，解得，則，，當(dāng)直線l的斜率存在時，由(2)①得因為，所以的范圍為．綜上，得的取值范圍是．3．(2024·內(nèi)蒙古高三月考())已知橢圓的離心率，其左，右集點為，過點的直線與橢圓交于兩點?的周長為.(1)求橢圓的標準方程：(2)過右焦點的直線互相垂直，且分別交橢圓于和四點，求的最小值【答案】(1)；(2)最小值為.【解析】(1)由橢圓的定義知，的周長為，由，即，得，故橢圓的方程為：(2)由(1)得，橢圓右焦點為，設(shè)，，，①當(dāng)直線的斜率為0，直線的斜率不存在時，直線，此時；直線，此時；②當(dāng)直線的斜率為0，直線的斜率不存在時，；③當(dāng)直線，的斜率都存在，設(shè)直線的方程為，則直線的方程為聯(lián)立，整得恒成立，則同可得則令，則當(dāng)時，，則所以綜上可知，，的最小值為4．(2024·江西上高二中)已知拋物線：，過點的動直線與拋物線交于不同的兩點，分別以為切點作拋物線的切線、，直線、交于點.(1)求動點的軌跡方程；(2)求面積的最小值，并求出此時直線的方程.【答案】(1)；(2)1，.【解析】(1)設(shè)，，，則以A為切點的切線為，整得：，同：以為切點的切線為：，聯(lián)立方程組：，解得，設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立方程組，整得：，恒成立，由韋達定得：，，故，所以點的軌跡方程為；(2)由(1)知：，到直線的距離為：，∴，∴時，取得最小值，此時直線的方程為.5．(2024·浙江)如圖，點在拋物線外，過點作拋物線的兩切線，設(shè)兩切點分別為、，記線段的中點為．(1)證明：線段的中點在拋物線上；(2)設(shè)點為圓上的點，當(dāng)取最大值時，求點的縱坐標．【答案】(1)證明見解析；(2).【解析】(1)設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，可得，，，所以，直線的方程為，即，同可知直線的方程為.聯(lián)立，解得，即點，線段的中點為，所以，線段的中點為，因此，，因此，線段的中點在拋物線上；(2)由(1)知，，，，令，則，所以，，所以，當(dāng)時，即當(dāng)時，取最大值，此時，解得，因此，當(dāng)取最大值時，點的縱坐標為.7．(2024·深州長江中學(xué))已知直線：與軸交于點，且，其中為坐標原點，為拋物線：的焦點.(1)求拋物線的方程；(2)若直線與拋物線相交于，兩點(在第一象限)，直線，分別與拋物線相交于，兩點(在的兩側(cè))，與軸交于，兩點，且為中點，設(shè)直線，的斜率分別為，，求證：為定值；(3)在(2)的條件下，求的面積的取值范圍.【答案】(1)；(2)證明見解析；(3).【解析】(1)由已知得，且為的中點，所以.所以，解得，故拋物線的方程為.(2)證明：聯(lián)立，解得，，由為的中點得.不妨設(shè)，，其中.則，.所以，即為定值.(3)由(2)可知直線的方程為，即，與拋物線聯(lián)立，消x可得，解得或(舍)，所以，即，故點到直線的距離.設(shè)過點的拋物線的切線方程為，聯(lián)立得，由，得，所以切線方程為，令，得，所以要使過點的直線與拋物線有兩個交點，，則有，又，所以，即，故的面積的取值范圍為.8(2024·浙江高三其他模擬)已知橢圓：的左、右焦點分別是，，且經(jīng)過點，直線與軸的交點為，的周長為．(1)求橢圓的標準方程；(2)若是坐標原點，，兩點(異于點)是橢圓上的動點，且直線與直線的斜率滿足，求面積的最大值．【答案】(1)；(2)．【解析】(1)∵的周長為，∴，∴．將代入，得，解得．∴橢圓的標準方程是．(2)由題意知直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線的方程為，，，將與聯(lián)立并消去，整得，則，．∵，∴，∴，化簡得，∴或(舍去)．當(dāng)時，，則，得．，原點到直線的距離，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，經(jīng)驗證，滿足題意．∴面積的最大值是．9．(2024·全國高三月考())如圖，已知橢圓的右焦點為，原點為，橢圓的動弦過焦點且不垂直于坐標軸，弦的中點為，橢圓在點處的兩切線的交點為.(1)求證：三點共線；

(2)求的最小值.【答案】(1)證明見解析；(2).【解析】(1)橢圓的右焦點為，設(shè)所在的直線的方程為，且聯(lián)立方程組可得：則，，點的坐標為，所在的直線的方程為，設(shè)在點處的切線為：，與橢圓聯(lián)立后由，可得，整得：橢圓在處的切線方程為，，聯(lián)立方程組，解得點的坐標為，，故三點共線.(2)由(1)可知，，當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立.10．(2024·浙江高三其他模擬)設(shè)為坐標原點，是軸上一點，過點的直線交拋物線：于點，，且．(1)求點的坐標；(2)求