課時作業(yè)28 數(shù)列求和常用方法（教師版）

課時作業(yè)28數(shù)列求和的常用方法一、單選題1．(2024·平羅中學)已知數(shù)列的通項公式：，則它的前項和是()A． B． C． D．【答案】B【解析】，其前項和.故選：B.2(2024·全國高三專題練習)已知函數(shù)，則()A．2018 B．2019C．4036 D．4038【答案】A【解析】，，令，則，兩式相加得：，.故選：.3．(2024·全國高三專題練習)設函數(shù)，利用課本(蘇教版必修)中推導等差數(shù)列前項和的方法，求得的值為()A． B． C． D．【答案】B【解析】，，設，則，兩式相加得，因此，.故選：B.4．(2019·江蘇省前黃高級中學高二月考)設，利用課本中推導等差數(shù)列前n項和的公式的方法，可求得_________．【答案】【解析】，，因此，所以.故答案為：.5．(2024·寶雞市渭濱中學高三月考)已知為等差數(shù)列，前項和為.(1)求的通項公式及前項和；(2)若，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)，；(2).【解析】(1)設數(shù)列的公差為d，由，得，則，所以，；(2)由(1)得，所以.6．(2024·四川成都市·高三其他模擬)已知數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，且是的等比中項.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)當時，求數(shù)列的前n項和.【答案】(1)當時，；當時，；(2).【解析】(1)是的等比中項，，即，整得，解得或，當時，，當時，；(2)由(1)知，當時，，).7．(2024·靜寧縣第一中學高三月考)已知為數(shù)列的前項和，且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)；(2).【解析】(1)當時，，∴當時，因為①所以②①－②得，∴.所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列.∴.由(1)得，∴.8．(2024·寧夏銀川市·銀川一中高三月考)已知數(shù)列為遞增的等差數(shù)列，其中，且成等比數(shù)列.(1)求的通項公式；(2)設記數(shù)列的前n項和為.【答案】(1)；(2).【解析】(1)在等差數(shù)列中，設公差為d≠0，由題意，得，解得.∴an＝a1+(n﹣1)d＝1+2(n﹣1)＝2n﹣1；(2)由(1)知，an＝2n﹣1.則，∴.9．(2024·全國高三月考)已知數(shù)列的前項和為，且．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和．【答案】(1)，；(2).【解析】(1)當時，；當時，若時，故，．(2)依題意，故．10．(2024·江蘇南通市·高三期中)已知等差數(shù)列的首項為，公差為，前n項的和為，且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設數(shù)列的前n項的和為Tn，求Tn.【答案】(1)；(2).【解析】(1)由題意,等差數(shù)列中，因為，可得，因為，可得，所以數(shù)列的通項公式為.(2)由(1)可得，所以.11．(2024·云南昆明市·昆明一中高三月考)已知數(shù)列的前項和.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)令，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)；(2).【解析】(1)由得：，因為，當時，，而，所以數(shù)列的通項公式.(2)因為，所以，所以，，.12．(2024·全國高三月考)已知等差數(shù)列的前項和為，且，.(1)求數(shù)列的通項公式以及前項和；(2)求數(shù)列的前項和.【答案】(1)，；(2).【解析】(1)依題意，，解得，故①，而，故，故②，聯(lián)立①②兩式，解得，，故，；(2)依題意，，故.13．(2024·江蘇鎮(zhèn)江市·高三期中)已知等差數(shù)列的前項和為，若，.(1)求數(shù)列的通項公式及；(2)若，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)，；(2).【解析】(1)解：設等差數(shù)列首項為，公差為，，，得：，解得：，，；(2)，.14．(2024·湖南衡陽市一中高三期中)設數(shù)列的前n項和為，從條件①，②，③中任選一個，補充到下面問題中，并給出解答.已知數(shù)列的前n項和為，，____.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前n和.【答案】(1)答案見解析；(2)答案見解析.【解析】選條件①時，(1)時，整得，所以.(2)由(1)得：，設，其前項和為，所以①，②，①②得：，故，所以.選條件②時，(1)由于，所以①，當時，②，①②得：，，整得，所以.(2)由(1)得：，設，其前項和為，所以①，②，①②得：，故，所以.選條件③時，由于，①②①②時，，整得(常數(shù))，所以數(shù)列是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列.所以.(2)由(1)得：，設，其前項和為，所以①，②，①②得：，故，所以.15．(2024·商河縣第二中學高三期中)已知數(shù)列前項和為，，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)；(2).【解析】(1)由題知，即，即，∵，∴，∴，∴數(shù)列是首項為3，公比為3的等比數(shù)列，∴，∴；(2)由(1)知，，∴，①∴，②①②得，，∴.16．(2024·山西高三月考)已知數(shù)列中，，(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)證明見解析；(2).【解析】(1)證明：由，知又，∴是以為首項，3為公比的等比數(shù)列(2)解：由(1)知，∴，兩式相減得∴17．(2024·黑龍江鶴崗市·鶴崗一中)記是正項數(shù)列的前n項和，是6和的等比中項，且.(1)求的通項公式；(2)若等比數(shù)列的公比為，且成等差數(shù)列，求數(shù)列的前n項和.【答案】(1)；(2).【解析】(1)因為是6和的等比中項，所以，當時，，由得，化簡得，即或者(舍去)，故，數(shù)列為等差數(shù)列.因為，解得或(舍去)，所以數(shù)列是首項為1、公差為3的等差數(shù)列，所以.(2)由成等差數(shù)列，可得，可得，又，所以，所以.由(1)得，所以，，兩式相減得，所以.18．(2024·深州長江中學高三期中)在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，，(Ⅰ)求數(shù)列的通項公式；(Ⅱ)記，求數(shù)列的前n項和．【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).【解析】(Ⅰ)設等比數(shù)列的首項為，公比為q()，由己知得，則解得，所以數(shù)列是以3為首項，3為公差的等差數(shù)列，即.(Ⅱ)由(Ⅰ)得所以(1)(2)由(1)(2)，得∴．19．(2024·廣東肇慶市·高三月考)已知數(shù)列的前n項和為，．(1)求；(2)若，求數(shù)列的前n項和．【答案】(1)；(2).【解析】(1)由題意，數(shù)列滿足，當時，可得，兩式相減，可得，整得，即，當時，可得，解得，所以數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，所以，所以.(2)由(1)知，則設，數(shù)列的前項和分別為，則，兩式相減得，所以，又由，所以數(shù)列的前n項和.20．(2024·沙坪壩區(qū)·重慶一中高三月考)已知數(shù)列滿足：，且對任意的，都有1，成等差數(shù)列.(1)證明數(shù)列等比數(shù)列；(2)已知數(shù)列前n和為，條件①：，條件②：，請在條件①②中僅選擇一個條件作為已知條件來求數(shù)列前n和.【答案】(1)證明見解析；(2)答案不唯一，具體見解析.【解析】(1)由條件可知，即，∴，且∴是以為首項，為公比的等比數(shù)列，∴，∴(2)條件①：，利用錯位相減法:化簡得條件②：利用錯位相減法:化簡得21．(2024·河北衡水市·衡水中學高三月考)已知等差數(shù)列滿足，數(shù)列是以1為首項，公差為1的等差數(shù)列.(1)求和；(2)若，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)，；(2).【解析】(1)因為，所以，，，因為等差數(shù)列，所以，即，解得，所以，，．因為數(shù)列是以1為首項，公差為1的等差數(shù)列，所以，．(2)由(1)得，所以，①，②①-②得，所以．22．(2024·廣東深圳市·福田外國語高中)已知數(shù)列的前n項和為，點在直線，上．(1)求的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前n項和．【答案】(1)；(2)．【解析】(1)∵點在直線上，，∴．當時，，則，當時，，．兩式相減，得，所以．所以是以首項為2，公比為2等比數(shù)列，所以．(2)，，所以．23．(2024·稷山縣稷山中學高三月考())已知等差數(shù)列，為其前項和，(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)；(2).【解析】(1)設數(shù)列的首項為，公差為，則根據(jù)題意得：由，解得，所以.(2)，則.24．(2024·江蘇無錫市)在等差數(shù)列中，已知，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若________，求數(shù)列的前項和．在①，②這兩個條件中任選一個補充在第(2)問中，并對其求解．【答案】(1)；(2)答案不唯一，見解析.【解析】(1)設等差數(shù)列的公差為，由題意得，，解得．；(2)選條件①：，；選條件②：，，，當為正偶數(shù)時，；當為正奇數(shù)時，為偶數(shù)，.．25．(2024·全國高三專題練習)在等差數(shù)列中，已知，.在①；②；③這三個條件中任選一個補充在第(2)問中，并對其求解.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若______，求數(shù)列的前項和.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.【答案】(1)；(2)答案見解析.【解析】(1)設等差數(shù)列的公差為，則，即，解得，故.(2)選①，由得，.選②，.當為偶數(shù)時，；當為奇數(shù)時，.故選③，由得，，①，②①-②得，，故.26．(2024·江蘇揚州市)在等差數(shù)列中，，再從條件①?條件②設數(shù)列的前項和為，這兩個條件中選擇一個作為已知，求：(1)求的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和.注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.【答案】條件選擇見解析；(1)；(2).【解析】(1)若選①設數(shù)列公差為，由，則即，∴.若選②設數(shù)列公差為，因為，則，所以，則，.所以.(2)由題得數(shù)列是以3為首項，1為公差的等差數(shù)列，數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以.27．(2024·長春市第五中學高三期中)已知數(shù)列的前項和，，數(shù)列是等差數(shù)列，且，．(1)求數(shù)列和