課時(shí)作業(yè)28 數(shù)列求和常用方法（教師版）

課時(shí)作業(yè)28數(shù)列求和的常用方法一、單選題1．(2024·平羅中學(xué))已知數(shù)列的通項(xiàng)公式：，則它的前項(xiàng)和是()A． B． C． D．【答案】B【解析】，其前項(xiàng)和.故選：B.2(2024·全國(guó)高三專題練習(xí))已知函數(shù)，則()A．2018 B．2019C．4036 D．4038【答案】A【解析】，，令，則，兩式相加得：，.故選：.3．(2024·全國(guó)高三專題練習(xí))設(shè)函數(shù)，利用課本(蘇教版必修)中推導(dǎo)等差數(shù)列前項(xiàng)和的方法，求得的值為()A． B． C． D．【答案】B【解析】，，設(shè)，則，兩式相加得，因此，.故選：B.4．(2019·江蘇省前黃高級(jí)中學(xué)高二月考)設(shè)，利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式的方法，可求得_________．【答案】【解析】，，因此，所以.故答案為：.5．(2024·寶雞市渭濱中學(xué)高三月考)已知為等差數(shù)列，前項(xiàng)和為.(1)求的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)，；(2).【解析】(1)設(shè)數(shù)列的公差為d，由，得，則，所以，；(2)由(1)得，所以.6．(2024·四川成都市·高三其他模擬)已知數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，且是的等比中項(xiàng).(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)當(dāng)時(shí)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】(1)當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；(2).【解析】(1)是的等比中項(xiàng)，，即，整得，解得或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；(2)由(1)知，當(dāng)時(shí)，，).7．(2024·靜寧縣第一中學(xué)高三月考)已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)；(2).【解析】(1)當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，因?yàn)棰偎寓冖伲诘?，?所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.∴.由(1)得，∴.8．(2024·寧夏銀川市·銀川一中高三月考)已知數(shù)列為遞增的等差數(shù)列，其中，且成等比數(shù)列.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)記數(shù)列的前n項(xiàng)和為.【答案】(1)；(2).【解析】(1)在等差數(shù)列中，設(shè)公差為d≠0，由題意，得，解得.∴an＝a1+(n﹣1)d＝1+2(n﹣1)＝2n﹣1；(2)由(1)知，an＝2n﹣1.則，∴.9．(2024·全國(guó)高三月考)已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)，；(2).【解析】(1)當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，若時(shí)，故，．(2)依題意，故．10．(2024·江蘇南通市·高三期中)已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，前n項(xiàng)的和為，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)的和為Tn，求Tn.【答案】(1)；(2).【解析】(1)由題意,等差數(shù)列中，因?yàn)?，可得，因?yàn)?，可得，所以?shù)列的通項(xiàng)公式為.(2)由(1)可得，所以.11．(2024·云南昆明市·昆明一中高三月考)已知數(shù)列的前項(xiàng)和.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)；(2).【解析】(1)由得：，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，而，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式.(2)因?yàn)椋?，所以，?12．(2024·全國(guó)高三月考)已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式以及前項(xiàng)和；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)，；(2).【解析】(1)依題意，，解得，故①，而，故，故②，聯(lián)立①②兩式，解得，，故，；(2)依題意，，故.13．(2024·江蘇鎮(zhèn)江市·高三期中)已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式及；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)，；(2).【解析】(1)解：設(shè)等差數(shù)列首項(xiàng)為，公差為，，，得：，解得：，，；(2)，.14．(2024·湖南衡陽(yáng)市一中高三期中)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，從條件①，②，③中任選一個(gè)，補(bǔ)充到下面問(wèn)題中，并給出解答.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，____.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前n和.【答案】(1)答案見(jiàn)解析；(2)答案見(jiàn)解析.【解析】選條件①時(shí)，(1)時(shí)，整得，所以.(2)由(1)得：，設(shè)，其前項(xiàng)和為，所以①，②，①②得：，故，所以.選條件②時(shí)，(1)由于，所以①，當(dāng)時(shí)，②，①②得：，，整得，所以.(2)由(1)得：，設(shè)，其前項(xiàng)和為，所以①，②，①②得：，故，所以.選條件③時(shí)，由于，①②①②時(shí)，，整得(常數(shù))，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列.所以.(2)由(1)得：，設(shè)，其前項(xiàng)和為，所以①，②，①②得：，故，所以.15．(2024·商河縣第二中學(xué)高三期中)已知數(shù)列前項(xiàng)和為，，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)；(2).【解析】(1)由題知，即，即，∵，∴，∴，∴數(shù)列是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列，∴，∴；(2)由(1)知，，∴，①∴，②①②得，，∴.16．(2024·山西高三月考)已知數(shù)列中，，(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).【解析】(1)證明：由，知又，∴是以為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列(2)解：由(1)知，∴，兩式相減得∴17．(2024·黑龍江鶴崗市·鶴崗一中)記是正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和，是6和的等比中項(xiàng)，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若等比數(shù)列的公比為，且成等差數(shù)列，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】(1)；(2).【解析】(1)因?yàn)槭?和的等比中項(xiàng)，所以，當(dāng)時(shí)，，由得，化簡(jiǎn)得，即或者(舍去)，故，數(shù)列為等差數(shù)列.因?yàn)?，解得?舍去)，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1、公差為3的等差數(shù)列，所以.(2)由成等差數(shù)列，可得，可得，又，所以，所以.由(1)得，所以，，兩式相減得，所以.18．(2024·深州長(zhǎng)江中學(xué)高三期中)在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，，(Ⅰ)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(Ⅱ)記，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).【解析】(Ⅰ)設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為q()，由己知得，則解得，所以數(shù)列是以3為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，即.(Ⅱ)由(Ⅰ)得所以(1)(2)由(1)(2)，得∴．19．(2024·廣東肇慶市·高三月考)已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，．(1)求；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)；(2).【解析】(1)由題意，數(shù)列滿足，當(dāng)時(shí)，可得，兩式相減，可得，整得，即，當(dāng)時(shí)，可得，解得，所以數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，所以，所以.(2)由(1)知，則設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和分別為，則，兩式相減得，所以，又由，所以數(shù)列的前n項(xiàng)和.20．(2024·沙坪壩區(qū)·重慶一中高三月考)已知數(shù)列滿足：，且對(duì)任意的，都有1，成等差數(shù)列.(1)證明數(shù)列等比數(shù)列；(2)已知數(shù)列前n和為，條件①：，條件②：，請(qǐng)?jiān)跅l件①②中僅選擇一個(gè)條件作為已知條件來(lái)求數(shù)列前n和.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)答案不唯一，具體見(jiàn)解析.【解析】(1)由條件可知，即，∴，且∴是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，∴，∴(2)條件①：，利用錯(cuò)位相減法:化簡(jiǎn)得條件②：利用錯(cuò)位相減法:化簡(jiǎn)得21．(2024·河北衡水市·衡水中學(xué)高三月考)已知等差數(shù)列滿足，數(shù)列是以1為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列.(1)求和；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)，；(2).【解析】(1)因?yàn)?，所以，，，因?yàn)榈炔顢?shù)列，所以，即，解得，所以，，．因?yàn)閿?shù)列是以1為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列，所以，．(2)由(1)得，所以，①，②①-②得，所以．22．(2024·廣東深圳市·福田外國(guó)語(yǔ)高中)已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，點(diǎn)在直線，上．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)；(2)．【解析】(1)∵點(diǎn)在直線上，，∴．當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，．兩式相減，得，所以．所以是以首項(xiàng)為2，公比為2等比數(shù)列，所以．(2)，，所以．23．(2024·稷山縣稷山中學(xué)高三月考())已知等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)；(2).【解析】(1)設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，則根據(jù)題意得：由，解得，所以.(2)，則.24．(2024·江蘇無(wú)錫市)在等差數(shù)列中，已知，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若________，求數(shù)列的前項(xiàng)和．在①，②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在第(2)問(wèn)中，并對(duì)其求解．【答案】(1)；(2)答案不唯一，見(jiàn)解析.【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意得，，解得．；(2)選條件①：，；選條件②：，，，當(dāng)為正偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為正奇數(shù)時(shí)，為偶數(shù)，.．25．(2024·全國(guó)高三專題練習(xí))在等差數(shù)列中，已知，.在①；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在第(2)問(wèn)中，并對(duì)其求解.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若______，求數(shù)列的前項(xiàng)和.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】(1)；(2)答案見(jiàn)解析.【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，即，解得，故.(2)選①，由得，.選②，.當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，.故選③，由得，，①，②①-②得，，故.26．(2024·江蘇揚(yáng)州市)在等差數(shù)列中，，再?gòu)臈l件①?條件②設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求：(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】條件選擇見(jiàn)解析；(1)；(2).【解析】(1)若選①設(shè)數(shù)列公差為，由，則即，∴.若選②設(shè)數(shù)列公差為，因?yàn)?，則，所以，則，.所以.(2)由題得數(shù)列是以3為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以.27．(2024·長(zhǎng)春市第五中學(xué)高三期中)已知數(shù)列的前項(xiàng)和，，數(shù)列是等差數(shù)列，且，．(1)求數(shù)列和