藝考生專題講義42 圓與方程

考點(diǎn)42圓與方程知識(shí)梳理一．求圓的方程1．圓的定義：在平面內(nèi)，到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡叫做圓．2．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)若圓的圓心為C(a,b),半徑為r，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：．(2)方程表示圓心為C(a,b),半徑為r的圓．3．圓的一般方程(1)任意一個(gè)圓的方程都可化為：.這個(gè)方程就叫做圓的一般方程．(2)對(duì)方程：.①若，則方程表示以，為圓心,為半徑的圓；②若，則方程只表示一個(gè)點(diǎn)，；③若，則方程不表示任何圖形．4.點(diǎn)與⊙C的位置關(guān)系(1)|AC|<r?點(diǎn)A在圓內(nèi)?；(2)|AC|＝r?點(diǎn)A在圓上?；(3)|AC|>r?點(diǎn)A在圓外?.二．圓與圓的位置關(guān)系設(shè)兩圓的圓心分別為、，圓心距為，半徑分別為、().(1)兩圓相離：無(wú)公共點(diǎn)；，方程組無(wú)解.(2)兩圓外切：有一個(gè)公共點(diǎn)；，方程組有一組不同的解.(3)兩圓相交：有兩個(gè)公共點(diǎn)；，方程組有兩組不同的解.(4)兩圓內(nèi)切：有一公共點(diǎn)；，方程組有一組不同的解.(5)兩圓內(nèi)含：無(wú)公共點(diǎn)；，方程組無(wú)解.特別地，時(shí)，為兩個(gè)同心圓.三．直線與圓位置關(guān)系(或交點(diǎn)個(gè)數(shù))的解題思路把圓化成圓的標(biāo)準(zhǔn)方程找出圓心和半徑r利用點(diǎn)到直線到距離公式求圓心到直線的距離d與r比較大小四．直線與圓弦長(zhǎng)解題思路---垂定定理(1)把圓化成圓的標(biāo)準(zhǔn)方程找出圓心和半徑r(2)利用點(diǎn)到直線到距離公式求圓心到直線的距離(3)利用弦長(zhǎng)公式五．圓上的點(diǎn)到直接距離最值的解題思路(1)把圓化成圓的標(biāo)準(zhǔn)方程找出圓心和半徑r(2)利用點(diǎn)到直線到距離公式求圓心到直線的距離(3)判斷位置關(guān)系精講精練題型一圓的方程【例1】(1)(2024·浙江杭州市·學(xué)軍中學(xué))圓的圓心坐標(biāo)和半徑分別是()A．(-1，0)，3 B．(1，0)，3C． D．(2)(2024·河南洛陽(yáng)市)已知圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，，三點(diǎn)，則圓的方程為()A． B．C． D．【答案】(1)D(2)D【解析】(1)根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得，的圓心坐標(biāo)為，半徑為，故選：D.(2)設(shè)圓的方程為，把點(diǎn)，，代入得，解得，，，所以圓的方程是．故選：D．【舉一反三】1．(2024·河北區(qū))圓的圓心和半徑分別是()A．；1 B．；C．；1 D．；【答案】D【解析】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是：，所以圓的圓心和半徑分別是；.故選：D2．(2024·河南周口市)圓的半徑和圓心坐標(biāo)分別為()A． B． C． D．【答案】D【解析】半徑和圓心坐標(biāo)分別為,選D3．(2024·全國(guó)課時(shí)練習(xí))若方程x2＋y2＋2λx＋2λy＋2λ2―λ＋1＝0表示圓，則λ的取值范圍是()A．(1，＋∞) B．C．(1，＋∞)∪ D．R【答案】A【解析】因?yàn)榉匠蘹2＋y2＋2λx＋2λy＋2λ2―λ＋1＝0表示圓，所以D2＋E2―4F＞0，即4λ2＋4λ2―4(2λ2―λ＋1)＞0，解不等式得λ＞1，即λ的取值范圍是(1，＋∞)．故選：A.4．(2024·內(nèi)蒙古包頭市)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，．則外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_____．【答案】【解析】設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)，，所以解得則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為故答案為：題型二點(diǎn)與圓的位置關(guān)系【例2】(1)(2024·福建廈門(mén)市·大同中學(xué))點(diǎn)與圓的的位置關(guān)系是()A．在圓外 B．在圓內(nèi) C．在圓上 D．不確定(2)(2024·黑龍江哈爾濱市)已知圓，則圓上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的最大值為()A． B． C． D．【答案】(1)A(2)D【解析】(1)，因此，點(diǎn)在圓外.故選：A.(2)由得：，圓心，半徑，圓心到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離，圓上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的最大值為.故選：D.【舉一反三】1．(2024·山東省濟(jì)南回民中學(xué))若圓的方程是，則點(diǎn)()A．是圓心 B．在圓上 C．在圓內(nèi) D．在圓外【答案】C【解析】圓心，半徑，圓心到點(diǎn)距離，故點(diǎn)在圓內(nèi)，故選：C.2．(2024·江蘇省蘇州中學(xué)園區(qū)校)點(diǎn)在圓上，點(diǎn)，則的最大值為()A． B． C． D．【答案】C【解析】由于，所以在圓外，圓的圓心為，半徑，則的最大值為.故選：C3．(2024·四川宜賓市)若點(diǎn)在圓的內(nèi)部，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______________.【答案】【解析】因?yàn)辄c(diǎn)在圓的內(nèi)部，所以，即，解得故答案為：題型三直線與圓的位置關(guān)系【例3】(1)(2024·天津高三月考)已知直線與圓相切，則正實(shí)數(shù)k的值為_(kāi)__________.(2)2024·黑龍江哈爾濱市·哈爾濱三中高三一模(文))直線：與圓：交于、兩點(diǎn)，則______.【答案】(1)(2)【解析】(1)，，圓心為，，直線與圓相切可得，解得或，所以正實(shí)數(shù)k的值為故答案為：(2)圓心到直線的距離為，故，故答案為：.【舉一反三】1．(2024·黑龍江哈爾濱市)若過(guò)點(diǎn)的直線與曲線有公共點(diǎn)，則直線的斜率的取值范圍為()A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意，易知，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，即曲線表示圓心，半徑為1的圓，圓心到直線的距離應(yīng)小于等于半徑，，即，解得.故選：C.2．(2024·林芝市第二高級(jí)中學(xué))直線與圓相交于，兩點(diǎn)，則的長(zhǎng)度等于__________.【答案】【解析】圓心，半徑為，圓心到直線的距離為，.故答案為：.3．(2024·寧夏吳忠市·高三其他模擬(文))若直線與圓相交于兩點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)________.【答案】或【解析】直線與圓相交于兩點(diǎn)，且，圓心到直線的距離為：，即，解得或.故答案為：或題型四圓與圓的位置關(guān)系【例4】(2024·沙坪壩區(qū)·重慶八中)圓與圓的位置關(guān)系是()A．相離 B．外切 C．相交 D．內(nèi)切【答案】D【解析】圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，，因此，兩圓內(nèi)切.故選：D.【舉一反三】1．(2024·云南省大姚縣第一中學(xué))圓與圓的位置關(guān)系是()A．相交 B．相離 C．內(nèi)含 D．內(nèi)切【答案】D【解析】圓即，則圓心為，半徑為1圓即，則圓心為，半徑為3兩圓心間的距離，所以兩圓的位置關(guān)系為內(nèi)切，故選：D．2．(2024·重慶)已知圓和圓，那么這兩個(gè)圓的位置關(guān)系是()A．相離 B．外切 C．相交 D．內(nèi)切【答案】C【解析】由已知的，所以，，所以，故兩圓相交.故選：C.3．(2024·河南洛陽(yáng)市)已知圓，圓，兩圓公切線的條數(shù)為()A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】圓，圓心，半徑，圓，圓心，半徑，圓心距