藝考生專題講義37 二項(xiàng)式定理

考點(diǎn)37二項(xiàng)式定理知識(shí)梳理一．二項(xiàng)式定理(1)二項(xiàng)式定理：(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)(2)通項(xiàng)公式：Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－kbk，它表示第k＋1項(xiàng)(3)二項(xiàng)式系數(shù)：二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)的系數(shù)為Ceq\o\al(0,n)，Ceq\o\al(1,n)，…，Ceq\o\al(n,n)(4)項(xiàng)數(shù)為n＋1，且各項(xiàng)的次數(shù)都等于二項(xiàng)式的冪指數(shù)n，即a與b的指數(shù)的和為n二．二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)指定項(xiàng)的系數(shù)或二項(xiàng)式系數(shù)1.解題思路：通項(xiàng)公式2.常見指定項(xiàng)：若二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為Tr＋1＝g(r)·xh(r)(r＝0,1,2，…，n)，g(r)≠0，則有以下常見結(jié)論：(1)h(r)＝0?Tr＋1是常數(shù)項(xiàng)(2)h(r)是非負(fù)整數(shù)?Tr＋1是整式項(xiàng)(3)h(r)是負(fù)整數(shù)?Tr＋1是分式項(xiàng)(4)h(r)是整數(shù)?Tr＋1是有理項(xiàng)三．系數(shù)和---賦值法1．賦值法的應(yīng)用(1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b∈R)的式子，求其展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和，只需令x＝1即可．(2)形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子，求其展開式各項(xiàng)系數(shù)之和，只需令x＝y(tǒng)＝1即可．2．二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)的確定方法(1)如果n是偶數(shù)，則中間一項(xiàng)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(第\f(n,2)＋1項(xiàng)))的二項(xiàng)式系數(shù)最大；(2)如果n是奇數(shù)，則中間兩項(xiàng)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(第\f(n＋1,2)項(xiàng)與第\f(n＋1,2)＋1項(xiàng)))的二項(xiàng)式系數(shù)相等并最大．精講精練題型一二項(xiàng)展開式中特定項(xiàng)及系數(shù)【例1】(1)(2024·長(zhǎng)春市第八中學(xué)高三)二項(xiàng)式的展開式中的系數(shù)為(2)(2024·上海高三一模)在的二項(xiàng)展開式中，常數(shù)項(xiàng)等于____.(3)(2024·全國(guó)高三)在的展開式中，有理項(xiàng)共有項(xiàng)(4)(2024·云南省個(gè)舊市第一高級(jí)中學(xué)高三)展開式中x的系數(shù)為80，則a等于。【答案】(1)(2)240(3)5(4)-2【解析】(1)由二項(xiàng)式定理可知，令，得，所以的展開式中的系數(shù)為.故選：C(2)在的二項(xiàng)展開式中，通項(xiàng)公式為，令，求得，可得展開式的常數(shù)項(xiàng)為，故答案為：240．(3)由題意可得二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)根據(jù)題意可得，為整數(shù)時(shí)，展開式的項(xiàng)為有理項(xiàng)，則r＝0，6，12，18，24，共有5項(xiàng)，(4)展開式的通項(xiàng)公式為的系數(shù)為，解得.【舉一反三】1．(2024·上海奉賢區(qū)·高三一模)在展開式中，常數(shù)項(xiàng)為__________.(用數(shù)值表示)【答案】【解析】展開式的通項(xiàng)為，令，可得，所以常數(shù)項(xiàng)為，故答案為：2．(2024·四川成都市·高三一模)的展開式中的系數(shù)是______．(用數(shù)字作答)【答案】【解析】由題設(shè)二項(xiàng)式知：，∴項(xiàng)，即，∴系數(shù)為，故答案為：.3．(2024·全國(guó)高三專題練習(xí))的展開式中的系數(shù)為()A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意，根據(jù)二項(xiàng)式定理展開式的通項(xiàng)公式，得展開式的通項(xiàng)為，則展開式的通項(xiàng)為，由，得，所以所求的系數(shù)為.故選：C.4．(2024·全國(guó)高三)二項(xiàng)式的展開式中的系數(shù)是，則()A．1 B． C． D．【答案】B【解析】展開式的通項(xiàng)為，因?yàn)榈南禂?shù)是，所以，即，，解得，故選：B.5．(2024·山東高三專題練習(xí))的展開式中的系數(shù)是-10，則實(shí)數(shù)()A．2 B．1 C．-1 D．-2【答案】C【解析】二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為，令，得，則，所以，解得.故選：C6．(2024·廣東高三一模)當(dāng)為常數(shù)時(shí)，展開式中常數(shù)項(xiàng)為，則________．【答案】【解析】的第項(xiàng)為，令，得，所以，解得．故答案為：題型二二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)【例2】(1)(2024·黑龍江大慶市·高三三模)若的展開式中只有第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中含項(xiàng)的系數(shù)是()A． B．C． D．(2)．(2024·江西高三其他)已知的展開式的第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則展開式中的系數(shù)為()A．80 B．40 C． D．【答案】(1)D(2)A【解析】(1)∵的展開式中只有第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，∴為偶數(shù)，展開式共有項(xiàng)，則.的展開式的通項(xiàng)公式為，令，得.∴展開式中含項(xiàng)的系數(shù)是，故選D．(2)由題意，所以，解得，則的展開式的通項(xiàng)為，由得，所以的系數(shù)為.故選：A．【舉一反三】1．(2024·四川綿陽(yáng)市·高三三模)在二項(xiàng)式的展開式中，僅第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中常數(shù)項(xiàng)為()A．﹣360 B．﹣160 C．160 D．360【答案】B【解析】∵展開式中，僅第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，∴展開式共有7項(xiàng)，則n＝6，則展開式的通項(xiàng)公式為Tk+1＝Cx6﹣k()k＝(﹣2)kCx6﹣2k，由6﹣2k＝0得k＝3，即常數(shù)項(xiàng)為T4＝(﹣2)3C160，故選：B．2．(2024·全國(guó)高三專題練習(xí))在的展開式中，只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中的系數(shù)為()A． B． C． D．7【答案】D【解析】因?yàn)樵诘恼归_式中，只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大所以所以的展開式的通項(xiàng)令，得所以展開式中的系數(shù)為故選：D3．(2024·永豐縣永豐中學(xué)高三)若的展開式中只有第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中含項(xiàng)的系數(shù)是().A．132 B． C． D．66【答案】D【解析】因?yàn)檎归_式中只有第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，所以為偶數(shù)，展開式有13項(xiàng)，，所以二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為由得，所以展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為.故選：D題型三二項(xiàng)式系各項(xiàng)系數(shù)和【例3】(1)(2024·四川省瀘縣第二中學(xué)高三)的展開式的各項(xiàng)系數(shù)和是()A． B． C． D．(2)(2024·四川宜賓市·高三一模)若展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為1，則其展開式中的系數(shù)為()A． B． C． D．(3)(2024·江西高三)若，則()A．0 B．2 C． D．1(4)(2024·安徽高三)已知，則()A． B． C． D．【答案】(1)D(2)D(3)D(4)B【解析】(1)令，則展開式的各項(xiàng)系數(shù)和是.故選：D(2)令，則展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為，故，展開式的通項(xiàng)公式為，令，解得，故的系數(shù)為，故選：D．(3)由，令，可得；令，可得所以.故選：D.(4)令有，又由題意可得，故選：．【舉一反三】1．(2024·全國(guó)高三)在的展開式中，若二項(xiàng)式系數(shù)的和為128，常數(shù)項(xiàng)為14，則()A． B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】因?yàn)榈恼归_式中，二項(xiàng)式系數(shù)和為128，所以，即，所以的展開式的通項(xiàng)為，令，則．因?yàn)檎归_式常數(shù)項(xiàng)為14，即常數(shù)項(xiàng)是，解得．故選：B．2．(2024·全國(guó)高三其他模擬)已知的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和為32，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為______.【答案】270【解析】令，的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和為，所以，解得，所以展開式的通項(xiàng)，令，得，所以常數(shù)項(xiàng)為.故答案為：270.3．(2024·全國(guó)高三專題練習(xí))的展開式中，的奇次冪項(xiàng)的系數(shù)之和為()A． B． C． D．1【答案】A【解析】設(shè)，令，則，令，則，兩式相減，整理得.故選：A4．(2024·湖北黃岡市·黃岡中學(xué)高三)若，則的值是()A． B． C．126 D．【答案】C【解析】令，得.又，所以.故選：C5．(2024·全國(guó)高三專題練習(xí))已知，則()A．2 B．6 C．12 D．24【答案】C【解析】因?yàn)?，此二?xiàng)式的展開式的通項(xiàng)為，當(dāng)時(shí)，所以.故選：C.6.(2024·江蘇省南通中學(xué)高三一模)已知，則________；________；________；________.【答案】－2－109410932187【解析】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；故；；；由展開式可知均為負(fù)值，均為正值，故答案為：－2；－1094；1093；2187.題型四多項(xiàng)式展開式中特定項(xiàng)系數(shù)【例4】(1)(2024·河南鄭州市·高三一模)式子的展開式中，的系數(shù)為()A． B． C． D．(2)．(2024·全國(guó)高三其他模擬(理))在的展開式中的系數(shù)為()A．50 B．20 C．15 D．(3)(2024·安徽省泗縣第一中學(xué)高三其他模擬(理))的展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為5，則該展開式中x項(xiàng)的系數(shù)為()A．-66 B．-18 C．18 D．66【答案】(1)B(2)B(3)D【解析】(1)，的展開式通項(xiàng)為，的展開式通項(xiàng)為，由，可得，因此，式子的展開式中，的系數(shù)為.故選：B.(2)∵(2x﹣1)(x﹣y)6＝(2x﹣1)(?y6?x5y?x4y2?x3y3?x2y4xy5y6)，故展開式中x3y3的系數(shù)為，故選：B．(3)令，可得，∴．又的通項(xiàng)公式為，在的展開式中x的系數(shù)為．故選：D．【舉一反三】1．(2024·廣西高三)的展開式中，含的項(xiàng)的系數(shù)是()A． B． C．25 D．55【答案】B【解析】二項(xiàng)式的展開式中的通項(xiàng)，含的項(xiàng)的系數(shù)為故選B.2．(2024·福建高三二模)的展開式中的系數(shù)為()A． B． C． D．【答案】D【解析】將展開，得，則原展開式中含的項(xiàng)為，整理可知其系數(shù)為98．故選：D．3．(2024·長(zhǎng)春市第八中學(xué)高三一模)的展開式的常數(shù)項(xiàng)為()A． B． C． D．【答案】B【解析】的展開式的通項(xiàng)公式為：Tr+1＝()6﹣r=()6﹣r=．令6﹣2r＝﹣2，或6﹣2r＝0，分別解得r＝4，或r＝3．所以的展開式的常數(shù)項(xiàng)為+2×