計算電磁學-第5章-時域有限差分法1

第5章時域有限差分法(1)

計算電磁學－時域有限差分法（FDTD）張洪欣電子工程學院

1主要內(nèi)容Maxwell偏微分方程的離散問題Yee元胞FDTD差分格式蛙跳格式FDTD穩(wěn)定性和數(shù)值色散FDTD截斷邊界條件FDTD激勵源一維仿真實例二維仿真實例23FDTD介紹時域有限差分法（Finite-DifferenceTime-Domain,FDTD）是直接離散時域Maxwell偏微分方程組的方法.計算電磁學領域的時域有限差分法起源于20世紀60年代美籍華人K.S.Yee提出Yee離散格式。K.S.YeeNumericalsolutionofinitialboundaryvalueproblemsinvolvingMaxwell'sequationsinisotropicmedia[K.S.Yee,IEEETrans.AntennasPropagat.Page(s):302-307,1966,Volume:AP-14]FDTD方法提出之后，隨著計算技術，特別是電子計算機技術的發(fā)展，F(xiàn)DTD方法得到了長足的發(fā)展，在電磁學，電子學，光學等領域都得到了廣泛的應用4為求解由偏微分方程定解問題所構造的數(shù)學模型，有限差分法是將定解區(qū)域（場區(qū)）離散化為網(wǎng)格離散節(jié)點的集合。并以各離散點上函數(shù)的差商來近似該點的偏導數(shù)，使待求的偏微分方程定解問題轉化為一組相應的差分方程。根據(jù)差分方程組解出各離散點處的待求函數(shù)值—離散解。5

能直接給出非常豐富的電磁場問題的時域信息。如果需要頻域信息，則只需對時域信息進行Fourier變換。也是一種頻域分析方法。

為獲得寬頻帶的信息，只需在寬頻譜的脈沖激勵下進行一次計算。67

任何問題只要能正確地對源和結構進行模擬，時域有限差分法就能夠給出正確的解答；不管是散射、輻射、傳輸、透入或吸收中的哪一種，也不論是瞬態(tài)問題還是穩(wěn)態(tài)問題。8計算電磁學方法的比較低頻方法：MoM、FEM，諧振點以下的問題；中頻方法：FDTD，第一諧振點附近4個量級；高頻：GTD幾何繞射，遠高于諧振點的問題；混合方法：例如，GTD＋FDTDFDTD最適于分析瞬態(tài)響應問題。FDTD用于分析低頻響應問題時計算時間很長，例如電力線傳輸；而矩量法在分析高頻響應時往往誤差過大，例如封閉金屬體內(nèi)接近諧振點問題，對于低頻響應問題則存在優(yōu)勢。91.

Maxwell偏微分方程的離散問題時域Maxwell偏微分方程組（理想介質(zhì)）Faraday’sEquationAmpère’sEquation5.1自由空間麥克斯韋方程的差分格式10Maxwell方程組各分量組成的6個方程

各場分量關于時間、空間的一階偏導的方程組，并且各場量相互嵌套。場分量是時間、空間的四個變量函數(shù)。11離散取樣根據(jù)有限差分法，對包含時間t、空間(x,y,z)的場分量偏導數(shù)采用中心差分法，進行差分離散。首先對連續(xù)場量進行離散，包含時間離散和空間離散。時間離散：假設在時間軸上均勻離散，離散的時間步長為Δt

，用字符

n分別表示時間

nΔt的時刻標示。用un上標時間取樣點。

12離散取樣空間離散：假設在各方向上均勻離散，網(wǎng)格步長

Δx,Δy,Δz，用字符

i,j,k分別表示x,y,z方向上的網(wǎng)格標示。這樣連續(xù)的空間

(x,y,z)離散為用(i,j,k)表示的離散空間點——空間取樣點。

13場量時空離散場量u(x,y,z,t)的時空離散通常表示為在一定體積內(nèi)和一段時間上對連續(xù)電磁場的數(shù)據(jù)離散取樣。

14場量偏導的中心差分場量u(x,y,z,t)對空間一階偏導的差分格式場量u(x,y,z,t)對時間一階偏導的差分格式

15場量方程的離散問題？是否可以把上面對空間、時間偏導的的差分格式代入6個Maxwell偏微分方程組？？？？6個場分量如何離散？？？？如果6個分量都在一個空間點、一個時間點上，有什么問題？？？？

162.Yee元胞在一個空間點上的離散比較復雜。有沒有更為簡便的離散方式？Yee元胞17Yee元胞場量分布6個場分量在Yee元胞的表面上進行離散。在空間上，各電場分量

Ex,Ey,Ez在Yee元胞的棱邊中間取樣，方向與棱邊一致；各磁場分量

Hx,Hy,Hz在Yee元胞表面的中間取樣，方向垂直元胞面。在時間上，電場分量在棱邊上，在整數(shù)網(wǎng)格線上，電場分量在整時刻離散；磁場分量在元胞面中間，在半網(wǎng)格位置，磁場分量在半時刻離散。（或者磁場整數(shù)取樣，電場半時刻取樣）18YEE元胞特點每一磁場分量由四個電場分量環(huán)繞；同樣，每個電場分量由四個磁場分量環(huán)繞.19YEE元胞特點這種空間取樣方式符合Faraday感應定律和Ampère環(huán)路定律的自然結構。能描述電生磁、磁生電的電磁場傳播特性202122電磁場量在YEE氏網(wǎng)格上的定義法：電場在棱上，磁場在面上：電場分量在相對應的坐標方向上少一個（例如Ex在x方向少一個），在其它兩個方向上多一個（即Ey，Ez在x方向上比Ex多一個）。磁場分量在各個方向上對應的個數(shù)正好相反。對于理想金屬表面場的模擬，在面上能直接滿足切向電場為零，法向磁場為零的條件。這是比較方便的。23磁場在棱上，電場在面上。磁場分量在相對應方向上少一個，在其它兩個方向上多一個。電場分量在各個方向上對應的個數(shù)正好相反。對于理想金屬表面的模擬，切向電場為零，法向磁場為零，要考慮半個空間的步長。這種情況對于計算表面電流比較方便。24YEE元胞網(wǎng)格編號Ex(i+1/2,j,k)Ey(i,j+1/2,k)Ez(i,j,k+1/2)Hx(i,j+1/2,k+1/2)Hy(i+1/2,j,k+1/2)Hz(i+1/2,j+1/2,k)半個網(wǎng)格編號問題?253.Yee元胞的Maxwell差分格式分析Maxwell的一偏微分方程26偏微分方程離散以場分量Hx的Yee元胞面為例，偏微分方程在YEE元胞上的離散方程離散問題，空間上以Hx在點(i,j+1/2,k+1/2)，時間整時刻n取樣27偏微分方程離散寫成場量的離散格式由中心差分法28偏微分方程離散整理后得同理，可以推導其他偏微分方程的差分格式2930315.2有耗媒質(zhì)麥克斯韋方程的差分格式假定媒質(zhì)為線性，各向同性，有耗媒質(zhì)，于是無源區(qū)內(nèi)Maxwell方程組中的兩個旋度方程為：式中

為介電常數(shù)（F/m）;μ為磁導率（H/m）;σ為電導率

；

σm為等效磁導率

，其引入是為使方程具有對稱性。32六個分量所滿足的方程33343536373839

任一網(wǎng)格點上的電場

分量只與其上一個時間步的值及周圍圍繞它的磁場分量有關；同樣，任一網(wǎng)格點上的磁場分量也只與其上一個時間步的值及周圍圍繞它的電場分量有關。40414243444546472.FDTD的蛙跳計算Maxwell兩個矢量方程48蛙跳格式FDTD的電場、磁場矢量是相差半個時間步長，兩個方程式顯示格式。FDTD步進計算過程如同青蛙上下跳躍向前步進的過程491.影響FDTD的因素單元尺寸、時間步長、入射場、散射體結構、場計算、吸收邊界條件、資源等；精度0.1dB－120dB由空間步長確定單元尺寸；粗網(wǎng)格、中網(wǎng)格、細網(wǎng)格。由穩(wěn)定性條件決定時間步長；邊界條件：Mur,PML時間步數(shù)足夠多，得到穩(wěn)定的周期解。估算存儲空間和總花費?！?.3FDTD的穩(wěn)定性50FDTD方程組是時間離散上的顯式格式，必須要滿足一定的穩(wěn)定條件才能計算，否則會發(fā)散如何分析時間偏導差分離散的穩(wěn)定性？任意場量u(x,y,z,t)

在時域上可以分解為各時諧場的疊加，因此這里考慮考慮時諧場情形一階偏導512.Courant穩(wěn)定條件中心差分離散定義數(shù)值時間增長因子q得到時間增長因子的方程52Courant穩(wěn)定條件增長因子q滿足|q|<1,那么時間步進不會發(fā)散一個場量對時間離散要滿足的穩(wěn)定性要求對于Maxwell方程組，包含6個場分量，如何分析穩(wěn)定性？通過等價的頻域波動方程來穩(wěn)定性分析平面波解53Courant穩(wěn)定條件中心差分離散平面波代入上式54Courant穩(wěn)定條件得到波動方程差分離散后的傳播常數(shù)k(kx,ky,kz)與頻率w

之間，即數(shù)值色散關系。當Δx,Δy,Δz為零時，由前面推導的時諧場量時間離散要求色散關系不等式（上式兩側同乘）55Courant穩(wěn)定條件式中得即時間、空間步長的穩(wěn)定條件，Courant穩(wěn)定條件56Courant穩(wěn)定條件假設均勻網(wǎng)格，即三維FDTD二維FDTD一維FDTD57FDTD空間步長要求Courant條件，是對FDTD離散的時間步長與空間步長之間的關系要求，那么空間步長如何確定？空間步長反映場量在空間上離散取樣的情況，由取樣定理可知，一個波長必須取樣兩個點以上采用還原信號，空間離散越緊密，越能還原信號。對于電磁場量離散滿足什么樣的取樣？還是用波動方程推導的色散關系進行分析討論一維情況58FDTD空間步長要求當寫為相速形式當也就是把代入上式，得對于寬帶時域信號，滿足信號最小波長(fmax)，那么其它小于最大頻率的波也都滿足，并且離散精度更高。593.數(shù)值色散物理色散：非線性媒質(zhì)中速度隨波長的變化。數(shù)值色散：Yee網(wǎng)格抽樣的間斷性，使得不同頻率的電磁波在網(wǎng)格傳播中表現(xiàn)不同的速度，并且與傳播方向有關。量化時各波列采用固定的步長，有的波長為整數(shù)倍關系，有的不是，則造成跳躍式傳播，在速度和方向上都造成誤差；Yee網(wǎng)格在網(wǎng)格節(jié)點處才有意義，與物理空間相比存在缺陷，只能近似表達物理規(guī)律和過程；60數(shù)值色散規(guī)律?s=λ/5時，比要求的標準網(wǎng)格大；?s=λ/10時，基本滿足要求的標準網(wǎng)格；?s=λ/20時，比要求的標準網(wǎng)格細；61相速度最大值出現(xiàn)在45度，最小值出現(xiàn)在0和90度；當網(wǎng)格空間步長?s減小時，網(wǎng)格中的速度與實際物理空間的速度偏差減??；相速度隨空間步長的增加而減小，直到為零；不同的入射角，相速度下降對應的?s不同；在45度，急劇下降的臨界步長值最大。一定頻率、入射角的平面波在Yee網(wǎng)格中有一空間步長極限，超過該極限電磁波將不能在此空間傳播。一個給定的Yee網(wǎng)格相當于一個低通濾波器，給寬頻脈沖的計算帶來困難。高頻分量被截至。

取?s=λ/10非均勻網(wǎng)格還會導致折射效應。62獲得理想色散關系的條件（1）：（2）：波沿網(wǎng)格的對角線方向傳播。63YEE元胞網(wǎng)格編號Ex(i+1/2,j,k)Ey(i,j+1/2,k)Ez(i,j,k+1/2)Hx(i,j+1/2,k+1/2)Hy(i+1/2,j,k+1/2)Hz(i+1/2,j+1/2,k)半個網(wǎng)格編號問題?644.FDTD的截斷邊界條件Maxwell方程組在連續(xù)空間上離散成一個個Yee元胞，但實際上，仿真的電磁空間不可能把整個空間離散出來，這樣計算機無法計算。因此在仿真空間引入截斷邊界來減少計算資源，這就是截斷邊界條件。65PEC邊界條件PEC邊界：邊界上的切向電場分量設置為零對于Xmin截斷邊界其他方向的PEC邊界相似66PMC邊界條件PMC邊界：邊界上的切向磁場分量設置為零。但截斷邊界上沒有切向磁場分量，如何處理？虛擬磁邊界。對于Xmin截斷邊界675.FDTD的激勵源FDTD是對時域電磁波在空間中傳輸情況進行仿真的數(shù)值算法，能直觀地仿真電磁波的時空信息。有源的激勵才能有電磁波的傳輸。1、時諧場源68激勵源2、脈沖源高斯脈沖升余弦脈沖69高斯脈沖源分析：在計算機中，高斯脈沖源受到截斷。需要確定β、α、τ以保證帶寬。7071首先確定β。

β為從截斷點到高斯脈沖峰值的時間步數(shù)。即由τ=0持續(xù)到τ=2

β?t，峰值在τ=β?t處。截斷點：由τ=0持續(xù)到τ=2

β?t得選取α，避免引入無關的高頻浪費時間。取α隨β變化。72截斷點處振幅衰減－140dB信號源問題： Yee網(wǎng)格的抽樣和信號抽樣滿足頻譜的要求。例如：Yee網(wǎng)格?s=1cm。取β=32,脈沖如下：73當波長取10?s,λ=10cm，f=10G;當波長取4?s,λ=4cm，f=7.5G;均能滿足精度要求。當存在介質(zhì)時，速度減小，例如εr=4，

f=3.0G,?s應取0.5cm74激勵源微分高斯脈沖截斷三余弦脈沖75激勵源雙指數(shù)脈沖Bell波形，應用在核電脈沖和雷電脈沖的研究766.一維FDTD仿真仿真平行板傳輸線主模TEM7778方程簡化79參數(shù)設置結構參數(shù)激勵源參數(shù)（高斯源）

80仿真參數(shù)計算

81仿真參數(shù)計算仿真最大頻率－－＞仿真最小波長數(shù)值色散的條件－－＞網(wǎng)格步長－－＞仿真區(qū)域網(wǎng)格分布穩(wěn)定性條件－－＞時間步長

82邊界設置1、終端短路截斷邊界條件2、終端匹配（吸收邊界條件）83場量觀察設置觀測面上點的電壓波形觀測仿真過程中的面上電場波動情況84Hxi[0]=ez_lowm2; ez_lowm2=ez_lowm1; ez_lowm1=Hxi[1]; Ezi[JE-1]=ez_higm2; ez_higm2=ez_higm1; ez_higm1=Ezi[JE-2];Hxi[j]=Hxi[j]-dt/(m0*mr)*((Ezi[j+1]-Ezi[j])/dy);Ezi[j]=(2.0*e0*erdt*sigma)/(2.0*e0*er+dt*sigma)*Ezi[j]-2.0*