2024-2025學年福建省廈門某中學高二（上）期中數學試卷（含答案）

2024-2025學年福建省廈門三中高二（上）期中數學試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.過點P（避28）且傾斜角為135。的直線方程為（）

A.3%—y—4"\/3=0B.x—y-=0

C.x+y-4=。D.x+y+y^-0

2.已知直線A：ax+2y+4=0,直線，2：久+（a+l）y+4=0,若，i〃，2，則h與％的距禺為（）

A.A/2B.2"C.3*D.4^/2

3.已知之=（2,-1,3）工=（-1,4,一2）2=（4,5/），若五共面，則實數4的值為（）

A.6B.5C.4D.3

4.在直三棱柱力BC-ApBiCi中，AC=3,BC=3,AB=3避,441=4,則異面直線力道與BQ所成角的余弦值

為（）

.16B秘C噌4

A?一元D5

5.在棱長為2的正方體ABC。-48'C'D'中，點E為棱CC'的中點，則點4到直線BE的距離為（）

6.若直線y=久+b與曲線x=?1一片恰有一個公共點，貝叨的取值范圍是（）

A.并]B.[―1，V2]C.(—1.1]U{V2}D.(—1,1]U{-

7.已知點4（4,1）,8（0,4）,直線I：3x—y—1=0,點P在直線/上，貝1]|伊切—]。川1的最大值為（）

A.A/2B.2^/2C.祖D.2

8.在三棱錐中P—ABC,AB=BC=2",且力B1BC.記直線P4PC,PB與平面ABC所成角分別為a,

B，Y，已知0=2a=60。，當三棱錐P-4BC的體積最小時，tany=（）

AB理CD

A-17B.4L.5D.10

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

9.下列命題中，正確的是（）

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A.如果AB>0且BC<0,那么直線力久+By+C=0不經過第三象限

B.空間直角坐標系中，點P(-1,2,-3)關于平面yoz對稱的點Pi的坐標為(1,2,-3)

C.過點(-1,2)且和直線3x+2y-7=0垂直的直線方程是2x-3y-8=0

D.已知直線I過定點P(L0)且與以4(2,-3),8(-3,-2)為端點的線段有交點，則直線/的斜率k的取值范圍是

(一8,—3]U[1,+OO)

10.如圖，在三棱錐P-2BC中，PA=PC=2,PB=1,且N4PB=MPB=AAPC=60°,點。是4B的中

點，G是CD上的一點，且GC=2DG,則下列說法正確的是()

A.PG=岑B.PG="

------>------?A.------>------>?

C.PG-AB=--D.PG-AB=--

11.如圖，矩形BDEF所在平面與正方形4BCD所在平面互相垂直，AD=DE=4,G為線段力E上的動點,

則()

A.若G為線段4E的中點，貝憶8〃平面CEF

B.AE1CF

C.BG2+CG2的最小值為48

D.點B到平面CEF的距離為警

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知4(1,1,0),5(0,3,0),C(2,2,2),則向量說在標上的投影向量的坐標是.

13.在平面直角坐標系尤Oy中，圓C經過點4(1,0)和點B(—1,2),且圓心在直線2x—y+2=0上，若直線

久=ay+3被圓C截得弦長為2避，則實數a的值為.

14.已知OM：x2+y2+2x-4y+1=0,直線I：x-y-1=0,P為/上的動點.過點P作OM的切線P4

PB,切點分別為4B,當最小時，點P的坐標為,直線的方程為.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

(1)已知直線/：依+y+2—k=0過定點M,點P(x,y)在直線2x—y+1=0上，求|MP|的最小值.

(2)直線經過點P(l,2),且在x軸上的截距是在y軸上的截距的2倍，求直線/的方程.

16.(本小題15分)

如圖，三棱臺力BC—AiBiQ中，AB1AC,AB=4C=4,ArBr=ArCr=ArA=2,側棱1平面

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48C,點。是CCi的中點.

(1)求證：BBil平面4BC

(2)求平面ABiC和平面48。夾角的余弦值.

17.(本小題15分)

已知圓0：x2+y2=4.

⑴直線4x-3y+a=0截圓。的弦長為24，求a的值.

(2)記圓。與x、y軸的正半軸分別交于4B兩點，動點Q滿足|Q4|=^|Q8|,問：動點Q的軌跡與圓。是否

有兩個公共點？若有，求出公共弦長；若沒有，說明理由.

18.(本小題17分)

如圖，在三棱錐力一BCD中，平面ABD1平面BCD,AB=AD,。為BD的中點，△0CD是邊長為1的等邊三

角形,且匕l(fā)-BCD=g.

(1)求直線CD和平面28C所成角的正弦值；

(2)在棱4D上是否存在點E,使二面角E-BC-D的大小為45。？若存在，并求出黑的值.

19.(本小題17分)

己知圓。：x2+y2=2,直線I：y=kx-2.

(1)若直線/與圓。相切，求k的值;

(2)若直線，與圓。交于不同的兩點4B,當N40B為銳角時，求k的取值范圍;

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(3)若k=1,P是直線1上的動點，過P作圓。的兩條切線PC,PD,切點為C,D,探究：直線CD是否過定

點，若過定點，則求出該定點.

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參考答案

1.D

2.C

3.5

4.2

5.C

6.D

7.C

8.C

9.ABD

10.AC

11.ABD

12.(磊

13.±A/I5

14.(1,0)x-y+1=0

15.解：(1)由fac+y+2—k=0,整理得y+2=k(l—x),可知直線1過定點M(l,—2).

根據題意，|MP|的最小值就是點M到直線2久-y+1=0的距離，

結合點到直線的距離公式，可得|MP|m加=恒已*”=V5.

(2)①若直線經過原點，

則直線在x軸上的截距是在y軸上的截距的2倍，符合題意.

設直線的方程為y=kx,將P(l,2)代入，解得k=2,

所以直線方程為y=2%,即2%-y=0；

②若直線不經過原點，設直線方程為W+(=l(a片0)，

將P(l,2)代入，解得a=￡,

,Yy

所以直線方程為4+5=1,即x+2y—5=0.

32

綜上所述，所求直線的方程為2%-y=0或久+2y-5=0.

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16.(1)證明：由題意知，AiA1平面ABC,AB1AC,

故以力為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則4(0,0,0),5(4,0,0),C(0,4,0),4式0,0,2),8d2,0,2),如(0,2,2),

0(0,3,1),

所以西=(-2,0,2),AC=(0,4,0),福=(2,0,2),

>7n?*JAC—4V—0

設平面4B1C的法向量為TH=則布.=2%+2z=0，

令％=1,則y=0,z=—1,所以訪=(1,0,—1),

所以88；=—2m,即B8i〃zn,

所以BBI_L平面Z&C

(2)解:由(1)可知荏=(4,0,0),而=(031)，

九?AB=4Q=0

(n-AD=3b+c=0，

令b=l,則Q=0,c=-3,所以宕二(0,1,—3),

設平面ABiC與平面48。的夾角為仇貝"cos。=|cos<而，]>|二b可=

|一|?|n|

所以平面ABiC和平面力BD夾角的余弦值為嘿.

17.解：⑴因為圓心。到直線4支―3y+a=0距離為d=愕

所以(懸下+(歲)2=4,解得a=±5；

(2)4(2,0),8(0,2),設Q(x,y),

由IQ4|=#QB|得(x—2)2+y2=2[x2+(y-2)2],

化簡得:x2+y2+4x—8y+4=0,BP(x+2)2+(y—4)2=16,

所以動點Q的軌跡是以(2,4)為圓心，4為半徑的圓E,

圓心距。注=122+42=2而,4—2<2避<2+4,兩圓相交,

所以兩圓有兩個公共點，

由兩圓方程相減得公共弦所在直線方程為x-2y+2=0,

1212-8押

圓心(0,0)到公共弦的距離為力；22=病，則公共弦長為2

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18.證明：(1)分別取CB、CD的中點為F、G,連結。尸、0G,

因為。為的中點，△OCD是邊長為1的等邊三角形，

所以△BCD是直角三角形，BD=20D=2,CD=1,BC=

[(BD)2—(CD)2=邪,

因為CB、CD的中點為F、G,所以。F〃CD,OG〃BC,OF1OG,

因為48=AD,。為8。的中點，所以。力1BD,

又因為平面ABD1平面BCD,平面力BDC平面BCD=BD,OAu平面ABD,

所以。41平面BCD,40是三棱錐4-BCD底面BCD的高，A/lOB是直角三角形，

因為K4-BCD=〈X4。XSABCD=〈X4。xqx"xl=^,解得2。=1,

以。點為坐標原點，分別以OF、0G、。力所在的直線為久，y,z軸，如圖建立空間直角坐標系,

則。(0,0,0),嗚0,0),G(0段0),4(0,0,1),竭，一€，0),C(騙,0),0(一騙,0),

所以而=(-1,0,0),SC=(0,73,0),AB=-1)

乙L.

設用=Qi,yi,Zi)是平面4BC的一個法向量，則可1阮，n^lAB,

令zi=l,則%[=2,所以再=(2,0,1),|nj|=yf5,\CD\=1,

所以cos<nJ,CD>=%q=—生N

1\n!\\CD\5

所以直線CD和平面ABC所成角的正弦值等于雷；

解：(2)在棱AO上存在點E,使二面角E-BC-。的大小為45。.

設荏=4前(0<4<1),

由⑴知,BC-(0)A/3,0),荏=&一事一1),

AD=(一去字-1),AE=XAD=(一夕，爭，一;I),

BE=AE-AB=(一9,殍九-㈤―8—孚-1)=(一號，嗎+J+1),

因為方=(0,0,1)是平面BCD的一個法向量，

設布=(久272/2)是平面BCE的一個法向量，貝！I為18C,1BE,

/起-BC=0[-妥*2++(—%+1)2=0

則孱族=0,即[工=。叱2+2

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?。?=2(A—1),Z2=-A—1,所以無=(2A—2,0,—4—1),

因為二面角E-BC-D的大小為45。

所以|cos<而瓦?>1=1恁.叫=顯

\ni\\OA\一三

即J(2；l-2/+(4+1)21也

2

整理得，342-104+3=0解得，2=9或2=3(舍去),

所以，AE=^AD,AE=^AD,

所以，在棱AD上存在點E,使二面角E-BC-D的大小為45。，煞=：

DE2

19.解：(I)、?圓。：x2+y2=2,直線/：y=收一2.直線I與圓。相切，

圓心。(0,0)到直線1的距離等于半徑r=",

即d=煮普=避，

解得k=±L

(2)