2023年中考數(shù)學(xué)必刷題分類專練：新定義與閱讀理解創(chuàng)新型問題【解析版】

備戰(zhàn)2023年中考數(shù)學(xué)必刷真題考點(diǎn)分類專練（全國通用）

專題31新定義與閱讀理解創(chuàng)新型問題

一.選擇題（共3小題）

1.（2022?婁底）若1C=N,則稱x是以10為底N的對數(shù).記作：x=lgN.

例如：1。2=如0,則2=伙100；10°=1,則0=/gl.

對數(shù)運(yùn)算滿足：當(dāng)M>0,N>0時(shí)，lgM+lgN=lg（MN）.

例如：/g3+/g5=/gl5,貝U（Zg5）?+/g5X/g2+/g2的值為（）

A.5B.2C.1D.0

【分析】首先根據(jù)定義運(yùn)算提取公因式，然后利用定義運(yùn)算計(jì)算即可求解.

【解析】原式=加53g5+/g2）+lg2

=lg5Xlg（5X2）+lg2

=lg5lglQ+lg2

=lg5+lg2

=/gio

=1.

故選：C.

2.（2022?重慶）在多項(xiàng)式尤-y-z-m-w中任意加括號，加括號后仍只有減法運(yùn)算，然后按給出的運(yùn)算順

序重新運(yùn)算，稱此為"加算操作例如：（x-y）-（z-m-n）~y~z+m+n,尤-y-（z--n

=x-y-z+m-n,….

下列說法：

①至少存在一種“加算操作”，使其運(yùn)算結(jié)果與原多項(xiàng)式相等；

②不存在任何“加算操作”，使其運(yùn)算結(jié)果與原多項(xiàng)式之和為0；

③所有可能的“加算操作”共有8種不同運(yùn)算結(jié)果.

其中正確的個(gè)數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

【分析】根據(jù)“加算操作”的定義可知，當(dāng)只給x-y加括號時(shí)，和原式相等；因?yàn)椴桓淖儫o，y的運(yùn)算

符號，故不存在任何“加算操作”，使其運(yùn)算結(jié)果與原多項(xiàng)式之和為0在多項(xiàng)式x-y-z-S-〃中，可通

過加括號改變Z,7"，"的符號，因?yàn)閆,”中只有加減兩種運(yùn)算，求出即可.

【解析】①（尤-y）-z-m-n=x-y-z-m-n,與原式相等，

故①正確；

②,在多項(xiàng)式x-y-z-根-〃中，可通過加括號改變z,〃的符號，無法改變尤，y的符號，

故不存在任何“加算操作”，使其運(yùn)算結(jié)果與原多項(xiàng)式之和為0；

故②正確；

③在多項(xiàng)式X-y-Z-"2-W中，可通過加括號改變Z,"3〃的符號，加括號后只有加減兩種運(yùn)算，

.\2X2X2=8種,

所有可能的加括號的方法最多能得到8種不同的結(jié)果.

故選：D.

3.（2022?常德）我們發(fā)現(xiàn)：V6+3=3,16+V6+3=3,?=3,…，6+V6+^6+,"+,76+/6+3

=3,一般地，對于正整數(shù)a,b,如果滿足Jb+4b+4b+…+Vb+>G+5=。時(shí)，稱（。，b）為一組完美

方根數(shù)對.如上面（3,6）是一組完美方根數(shù)對，則下面4個(gè)結(jié)論：①（4,12）是完美方根數(shù)對；②（9,

91）是完美方根數(shù)對；③若（a,380）是完美方根數(shù)對，則a=20；④若（x,y）是完美方根數(shù)對，則點(diǎn)

P（x,y）在拋物線〉=/-天上，其中正確的結(jié)論有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【分析】將（4,12）,（9,91）代入驗(yàn)證即可判斷①②；將（a,380）代入公式，建立方程可得出結(jié)論；

若（x,y）是完美方根數(shù)對，則滿足給出公式，化簡可得出結(jié)論.

【解析】將（4,12）代入412+4=4,V12+V12+4=4,412+J12W12+4=%…，

（4,12）是完美方根數(shù)對；故①正確；

將（9,91）代入"91+9=1029,V91+V91+9=7101-

（9,91）不是完美方根數(shù)對，故②錯(cuò)誤；

③；Cm380）是完美方根數(shù)對，

...將（a,380）代入公式，j380+a=a，V380+^^80+a=a,

解得〃=20或〃=-19（舍去），故③正確；

④若（x,y）是完美方根數(shù)對，則"y+x=x,[y+Jy+x=%，

整理得y=7-x,

點(diǎn)尸（x,y）在拋物線y=/-%上，故④正確;

故選：c.

填空題（共1小題）

4.（2022?內(nèi)江）對于非零實(shí)數(shù)a,b,規(guī)定a十/?=1-[■.若（2x-l）十2=1,則x的值為—n

ab6

【分析】利用新規(guī)定對計(jì)算的式子變形，解分式方程即可求得結(jié)論.

【解析】由題意得：

--------=1,

2x-l2

解得：X=l.

6

經(jīng)檢驗(yàn)，彳=5是原方程的根，

6

?*.x=—.

6

故答案為：5.

6

三.解答題（共23小題）

5.（2022?遵義）新定義：我們把拋物線y=a?+6x+c（其中abWO）與拋物線y=6/+ar+c稱為“關(guān)聯(lián)拋物

線”.例如：拋物線y=27+3尤+1的“關(guān)聯(lián)拋物線”為：y=37+2x+l.已知拋物線Ci：y=4ajr+cuc+4a-

3（aW0）的“關(guān)聯(lián)拋物線”為C2.

（1）寫出C2的解析式（用含。的式子表示）及頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）若a>0,過x軸上一點(diǎn)P,作無軸的垂線分別交拋物線Ci,C2于點(diǎn)M,N.

①當(dāng)腦V=6a時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

②當(dāng)a-4WxWa-2時(shí)，C2的最大值與最小值的差為2“，求a的值.

【分析】（1）根據(jù)“關(guān)聯(lián)拋物線”的定義可直接得出C2的解析式，再將該解析式化成頂點(diǎn)式，可得出

C2的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）①設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為e則可表達(dá)點(diǎn)M和點(diǎn)N的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式可表達(dá)MN的長，列

出方程，可求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

②分情況討論，當(dāng)。-4在-2?。-2時(shí)，當(dāng)-2?。-4?。-2時(shí)，當(dāng)a-4Wa-2W-2時(shí)，分別得出C2

的最大值和最小值，進(jìn)而列出方程，可求出。的值.

【解析】（1）根據(jù)“關(guān)聯(lián)拋物線”的定義可得C2的解析式為：>=/+4辦+4。-3,

,.,y=ar2+4ar+4a-3—a（x+2）2-3,

；.C2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-2,-3）；

(2)①設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為加，

???過點(diǎn)尸作x軸的垂線分別交拋物線G,C2于點(diǎn)M,N,

?\M(m,4〃渥+GH+4〃-3),NQm,am-^-4am+4a-3),

2

/.MN=|44zm+<2m+4tz-3-(an^+^am+^a-3)|=|3〃/-3am\f

■:MN=6a,

/.\3am-3am\=6a,

解得m=-1或m=2,

：.P(-1,0)或(2,0).

②YCz的解析式為：y=a(x+2)2-3,

，當(dāng)x=-2時(shí)，y=-3,

當(dāng)x=〃-4時(shí)，y=aCa-4+2)2-3=a(a-2)2-3,

當(dāng)x—a-2時(shí)，y—a(a-2+2)2-3=/-3,

根據(jù)題意可知，需要分三種情況討論，

I、當(dāng)"-4W-2Wa-2時(shí)，0<〃W2,

且當(dāng)OVaWl時(shí)，函數(shù)的最大值為〃(〃-2)2-3；函數(shù)的最小值為-3,

?二〃([-2)2-3-(-3)—2a9解得a—2-或tz—2+*\/^(舍)；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為1-3；函數(shù)的最小值為-3,

a3-3-(-3)=2a,解得4=/^或〃=-(舍)；

II、當(dāng)-2Wa-4W〃-2時(shí)，〃22,

函數(shù)的最大值為1-3,函數(shù)的最小值為a(〃-2)2-3；

?-3~[a(a-2)2-3]=2〃，

解得。=旦(舍)；

2

III>當(dāng)4-4Wa-2W-2時(shí)，〃W0,不符合題意，舍去；

綜上，。的值為2-或

6.(2022?長沙)若關(guān)于x的函數(shù)y,當(dāng)l」WxWf+工時(shí)，函數(shù)y的最大值為最小值為N,令函數(shù)〃=

22

掾，我們不妨把函數(shù)場稱之為函數(shù)y的“共同體函數(shù)”.

(1)①若函數(shù)y=4044x,當(dāng)f=l時(shí)，求函數(shù)y的“共同體函數(shù)”力的值；

②若函數(shù)〉=依+&(左WO,k,b為常數(shù))，求函數(shù)y的“共同體函數(shù)”〃的解析式；

（2）若函數(shù)y=2（尤＞1）,求函數(shù)y的“共同體函數(shù)”人的最大值；

X

（3）若函數(shù)y=-7+4尤+左，是否存在實(shí)數(shù)k,使得函數(shù)y的最大值等于函數(shù)y的“共同體函數(shù)“h的最

小值.若存在，求出左的值；若不存在，請說明理由.

【分析】(1)①由題意求出M=6066,N=2Q22,再由定義可求/?的值；

②分兩種情況討論：②當(dāng)人>0時(shí)，M=kt+l-k+b,N=kt-1.k+b,h=k；當(dāng)％VO時(shí)，M=kt-L+b,有

222

N=kt+—k+b,h=--k-,

22

(2)由題意L上21,M=--,N=---,貝U/i=——,所以/z有最大值上；

2」l4t2-12

x2xt+2

(3)分四種情況討論：①當(dāng)2Wf-工時(shí)，M=-(t-」-2)2+4+k,N=-(r+A-2)2+4+k,h^t-2；

222

②當(dāng)時(shí)，N=-G-2-2)2+4+/,M=-(z+1-2)2+4+k,h=2-t,；③當(dāng)即

2222

N=-(z+A-2)2+4+k,M=4+k,h=—(?-―)2；④當(dāng)f<2Wf+小，N=-(r-A-2)

222222

2+4+%,M=4+k,h=l.(L§)2,畫出/7的函數(shù)圖象，結(jié)合圖象可得_1=4+上解得左=-2L

2288

【解析】(1)①?L=1,

函數(shù)y=4044x,

函數(shù)的最大值M=6066,函數(shù)的最小值N=2022,

：.h=2022；

②當(dāng)人＞0時(shí)，函數(shù)y=Ax+b在r-■有最大值左+b,有最小值N=公-工■k+b,

2222

.".h=A，k；

2

當(dāng)人＜0時(shí)，函數(shù)y=kx+b在f-工有最大值A(chǔ)f=Q-2左+6,有最小值N=A/+上A+b,

2222

.,.h=--k；

2

綜上所述：h=\—k\；

2

(2)L即。旦,

22

函數(shù)y=2(x》l)最大值M=—27，最小值N=-2-

Xt-tJ

x2x2

:.h=--1--，

4t2-1

當(dāng)片區(qū)時(shí)，/i有最大值」;

22

(3)存在實(shí)數(shù)上使得函數(shù)y的最大值等于函數(shù)y的“共同體函數(shù)“力的最小值，理由如下:

''"y—~x1+^x+k--(x-2)2+4+左，

；?函數(shù)的對稱軸為直線x=2,y的最大值為4+匕

①當(dāng)2Wf-工時(shí)，HP

22

此時(shí)M=-2+4+總N=-(r+A-2)2+4+k,

22

??h~~t~2,

此時(shí)h的最小值為』；

2

②當(dāng)時(shí)，即

22

止匕時(shí)N=-(z-A-2)2+4+上M=-(f+A-2)2+4+%,

22

??/z^2-t,

此時(shí)h的最小值為工；

2

③當(dāng)即2WfW$,

22

此時(shí)N=-(f+工-2)2+4+AM=4+k,

2

(r-3)2,

22

④當(dāng)/<2Wf+工，即3wf<2,

22

止匕時(shí)N=-(?---2)2+A+k,M=4+k,

2

%的函數(shù)圖象如圖所示：//的最小值為

8

由題意可得工=4+%,

8

解得k=-31；

8

綜上所述：%的值為一2L

8

7.(2022?重慶)對于一個(gè)各數(shù)位上的數(shù)字均不為0的三位自然數(shù)N,若N能被它的各數(shù)位上的數(shù)字之和機(jī)

整除，則稱N是根的“和倍數(shù)”.

例如：；247+(2+4+7)=247+13=19,，247是13的''和倍數(shù)”.

又如：V2144-(2+1+4)=2144-7=30...4,；.214不是“和倍數(shù)”.

(1)判斷357,441是否是“和倍數(shù)”？說明理由；

(2)三位數(shù)A是12的“和倍數(shù)”，a,b,c分別是數(shù)A其中一個(gè)數(shù)位上的數(shù)字，且°>6>c.在a,b,

c中任選兩個(gè)組成兩位數(shù)，其中最大的兩位數(shù)記為尸(A),最小的兩位數(shù)記為G(A),若F(A)%(A)

16

為整數(shù)，求出滿足條件的所有數(shù)人

【分析】(1)根據(jù)“和倍數(shù)”的定義依次判斷即可；

(2)設(shè)A=I^(a+6+c=12,a>b>c\根據(jù)“和倍數(shù)”的定義表示尸(A)和G(A),代入F〔A)%(A)

16

中，根據(jù)Hal及⑴_為整數(shù)可解答.

16

【解析】(1)V3574-(3+5+7)=357+15=23...12,

???357不是“和倍數(shù)”；

V4414-(4+4+1)=441+9=49,

.??441是9的“和倍數(shù)”;

(2)設(shè)4=@1>?(。+。+。=12,a>b>c),

由題意得：F(A)—ab，G(A)=cb>

?F(A)與(A)=ab+cb=10a+b+10c+b=10(a+c)+2b

"^6161616-

\-a+c=12-b,F(A)—(A)為整數(shù),

16

?F(A)>(A)=10(12-b)+2b=120-8b=112+8-8b=加1

"^616-16?

'：l<b<9,

：.b=?>,5,7,

??〃+c=9,7,5,

'a=8(a=7

①當(dāng)6=3,a+c=9時(shí)，?b=3(舍)，<b=3，

c=lc=2

則A=732或372；

‘a(chǎn)=6

②當(dāng)6=5,a+c=7時(shí)，,b=5，

c=l

則A=156或516；

③當(dāng)b=7,q+c=5時(shí)，此種情況沒有符合的值;

綜上，滿足條件的所有數(shù)4為：732或372或156或516.

8.（2022?常州）第十四屆國際數(shù)學(xué)教育大會(huì)UCME-14）會(huì)徽的主題圖案有著豐富的數(shù)學(xué)元素，展現(xiàn)了

我國古代數(shù)學(xué)的文化魅力，其右下方的“卦”是用我國古代的計(jì)數(shù)符號寫出的八進(jìn)制數(shù)3745.八進(jìn)制是

以8作為進(jìn)位基數(shù)的數(shù)字系統(tǒng)，有0?7共8個(gè)基本數(shù)字.八進(jìn)制數(shù)3745換算成十進(jìn)制數(shù)是3X83+7X

82+4X81+5X8°=2O21,表示/CME-14的舉辦年份.

（1）八進(jìn)制數(shù)3746換算成十進(jìn)制數(shù)是2022；

（2）小華設(shè)計(jì)了一個(gè)“進(jìn)制數(shù)143,換算成十進(jìn)制數(shù)是120,求〃的值.

【分析】（1）根據(jù)已知，從個(gè)位數(shù)字起，將八進(jìn)制的每一位數(shù)分別乘以8°,81,82,83,再把所得結(jié)果

相加即可得解；

（2）根據(jù),7進(jìn)制數(shù)和十進(jìn)制數(shù)的計(jì)算方法得到關(guān)于〃的方程，解方程即可求解.

【解析】（1）3746=3X83+7X82+4X81+6X8°

=1536+448+32+6

=2022.

故八進(jìn)制數(shù)字3746換算成十進(jìn)制是2022.

故答案為：2022；

（2）依題意有："2+4X〃1+3X〃°=120,

解得m=9,H2=-13（舍去）.

故〃的值是9.

9.（2022?鹽城）【發(fā)現(xiàn)問題】

小明在練習(xí)簿的橫線上取點(diǎn)。為圓心，相鄰橫線的間距為半徑畫圓，然后半徑依次增加一個(gè)間距畫同心

圓，描出了同心圓與橫線的一些交點(diǎn)，如圖1所示，他發(fā)現(xiàn)這些點(diǎn)的位置有一定的規(guī)律.

【提出問題】

小明通過觀察，提出猜想：按此步驟繼續(xù)畫圓描點(diǎn)，所描的點(diǎn)都在某二次函數(shù)圖象上.

小明利用已學(xué)知識和經(jīng)驗(yàn)，以圓心。為原點(diǎn)，過點(diǎn)。的橫線所在直線為無軸，過點(diǎn)。且垂直于橫線的直

線為y軸，相鄰橫線的間距為一個(gè)單位長度，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖2所示.當(dāng)所描的點(diǎn)在半徑為

5的同心圓上時(shí)，其坐標(biāo)為（-3,4）或（3,4）.

【解決問題】

請幫助小明驗(yàn)證他的猜想是否成立.

【深度思考】

小明繼續(xù)思考：設(shè)點(diǎn)尸（0,機(jī)），機(jī)為正整數(shù)，以O(shè)P為直徑畫OM,是否存在所描的點(diǎn)在上.若存

在，求相的值；若不存在，說明理由.

【分析】【分析問題】根據(jù)題意可知：該點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4,利用勾股定理，即可求出該點(diǎn)的橫坐標(biāo)，進(jìn)而

可得出點(diǎn)的坐標(biāo)；

【解決問題】設(shè)所描的點(diǎn)在半徑為〃(〃為正整數(shù))的同心圓上，則該點(diǎn)的縱坐標(biāo)為利用勾股

定理可得出該點(diǎn)的坐標(biāo)為(-42n-l，1)或?2n-l，w-1),結(jié)合點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)間的關(guān)系，可得

出該點(diǎn)在二次函數(shù)y=/2,方的圖象上，進(jìn)而可證出小明的猜想正確；

【深度思考】設(shè)該點(diǎn)的坐標(biāo)為(土而工，…),結(jié)合的圓心坐標(biāo)，利用勾股定理，即可用含n

的代數(shù)式表示出機(jī)的值，再結(jié)合m，w均為正整數(shù)，即可得出小，〃的值.

【解答】【分析問題】解：根據(jù)題意，可知：所描的點(diǎn)在半徑為5的同心圓上時(shí)，其縱坐標(biāo)＞=5-1=4,

橫坐標(biāo)尤=±^52-42=±3,

點(diǎn)的坐標(biāo)為(-3,4)或(3,4).

【解決問題】證明：設(shè)所描的點(diǎn)在半徑為〃(w為正整數(shù))的同心圓上，則該點(diǎn)的縱坐標(biāo)為(?-1),

該點(diǎn)的橫坐標(biāo)為土Vn2-(n-1)2=土V2n-1，

...該點(diǎn)的坐標(biāo)為(-V2n-1，〃-1)或(V2n-1，n-1).

?;(±V2n-l)2=2”-1,w-i=2n-l-l,

2

.,.該點(diǎn)在二次函數(shù)(x2-1)=_1針-的圖象上，

’222

二小明的猜想正確.

【深度思考】解：設(shè)該點(diǎn)的坐標(biāo)為(±J2n-1，"-1)，的圓心坐標(biāo)為(0,—in),

2

(±V2n-1-0)2+(n-1—^-m)2=-^m,

222

?n(n-1+1)(n-1)+2(n-1)+1_]4_94_1

n-ln-ln-1n-1

又,：m,〃均為正整數(shù)，

An-1=1,

/.m=1+2+1=4,

???存在所描的點(diǎn)在。M上，機(jī)的值為4.

10.（2022?遂寧）在平面直角坐標(biāo)系中，如果一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，則稱該點(diǎn)為“黎點(diǎn)”.例

如（-1,1）,（2022,-2022）都是“黎點(diǎn)”.

（1）求雙曲線丫=二鄉(xiāng)上的“黎點(diǎn)”；

X

（2）若拋物線y=o?-7x+c（a、c為常數(shù)）上有且只有一個(gè)“黎點(diǎn)”，當(dāng)時(shí)，求c的取值范圍.

【分析】（1）設(shè)雙曲線＞=二9上的“黎點(diǎn)”為（m,-m）,構(gòu)建方程求解即可；

X

（2）拋物線y=--7x+c（a、c為常數(shù)）上有且只有一個(gè)“黎點(diǎn)”，推出方程--7x+c=-x有且只有

一個(gè)解，即ax?-6x+c=0,A=36-4ac=0,可得結(jié)論.

【解析】（1）設(shè)雙曲線＞=二？上的“黎點(diǎn)”為Cm,-m）,

X

則有-m=—,

m

?"=±3,

經(jīng)檢驗(yàn)，加=±3的分式方程的解，

???雙曲線》=二9上的“黎點(diǎn)”為（3,-3）或（-3,3）；

x

（2）??,拋物線y=a/-7x+c（〃、。為常數(shù)）上有且只有一個(gè)“黎點(diǎn)”，

J方程以2一7%+。=-x有且只有一個(gè)解，

即ax2-6x+c=0,A=36-4〃c=0,

??ac=9,

?〃一9

'：a＞l,

A0<c<9.

11.（2022?蘭州）在平面直角坐標(biāo)系中，P（a,b）是第一象限內(nèi)一點(diǎn)，給出如下定義：內(nèi)=包和4=電兩

ba

個(gè)值中的最大值叫做點(diǎn)P的“傾斜系數(shù)”人.

（1）求點(diǎn)尸（6,2）的“傾斜系數(shù)”上的值；

（2）①若點(diǎn)PQ,b）的“傾斜系數(shù)”上=2,請寫出a和6的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

②若點(diǎn)尸（a,b）的"傾斜系數(shù)”左=2,且a+b=3,求。P的長；

（3）如圖，邊長為2的正方形A8CD沿直線AC：y=x運(yùn)動(dòng)，P（a,b）是正方形ABC。上任意一點(diǎn)，

【分析】（1）根據(jù)“傾斜系數(shù)”上的定義直接計(jì)算即可；

（2）①根據(jù)“傾斜系數(shù)”G的的定義分情況得出結(jié)論即可；

②根據(jù)“傾斜系數(shù)”上的的定義求出P點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出。尸的值即可;

（3）根據(jù)Z的取值，分情況求出。的取值范圍即可.

【解析】（1）由題意知，左=旦=3,

2

即點(diǎn)P（6,2）的“傾斜系數(shù)”々的值為3；

（2）①...點(diǎn)尸（a,b）的''傾斜系數(shù)”上=2,

；.2=2或2_=2,

ba

即a=2b或b=2af

.?.4和b的數(shù)量關(guān)系為a=2b或b=2a；

②由①知，a=2b或b=2a

*.>a+6=3,

OP=yj+22=y/^,；

(3)由題意知，當(dāng)P點(diǎn)與。點(diǎn)重合時(shí)，且左=正時(shí)，。有最小臨界值，如下圖:

連接?！?,延長ZM交x軸于E,

a

則包

a

解得a=M+1：

當(dāng)P點(diǎn)與2點(diǎn)重合時(shí)，且左=百時(shí)，a有最大臨界值，如下圖:

連接。8,延長CB交x軸于R

此時(shí)包=我，

b

則」_=心

a-2

解得a=3+M，

綜上所述，若點(diǎn)尸的“傾斜系數(shù)”上<?,則E+l<a<3+?.

12.(2022?北京)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)M(a,b),N.

對于點(diǎn)P給出如下定義：將點(diǎn)尸向右QNO)或向左(?<0)平移⑷個(gè)單位長度，再向上(620)或向

下(b<0)平移|例個(gè)單位長度，得到點(diǎn)P',點(diǎn)P'關(guān)于點(diǎn)N的對稱點(diǎn)為。，稱點(diǎn)。為點(diǎn)P的“對應(yīng)點(diǎn)”.

(1)如圖，點(diǎn)M(l,1),點(diǎn)N在線段0M的延長線上.若點(diǎn)P(-2,0),點(diǎn)。為點(diǎn)尸的“對應(yīng)點(diǎn)”.

①在圖中畫出點(diǎn)Q-,

②連接P。，交線段ON于點(diǎn)T,求證：NT=/OM；

(2)。。的半徑為1,M是。。上一點(diǎn)，點(diǎn)N在線段0M上，且ON=r(■!</<1),若尸為。。外一

2

點(diǎn)，點(diǎn)。為點(diǎn)P的“對應(yīng)點(diǎn)”，連接尸。.當(dāng)點(diǎn)M在OO上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直接寫出尸。長的最大值與最小值的

差(用含f的式子表示).

N

/

/M

i

P0

【分析】(1)①根據(jù)定義，先求出P的坐標(biāo)，從而得出。的位置；

②連接PP,利用三角形中位線定理得NT=JLPP,從而證明結(jié)論；

2

(2)連接尸。，并延長至S,使OP=OS,延長S。至IJT,使ST=OM,由題意知，PP1//OM,PPi=OM,

P1N=NQ,利用三角形中位線定理得。7的長，從而求出SQ的長，在△PQS中，PS-QS<PS+QS,則

PS的最小值為PS-QS,PS的最大值為PS+QS,從而解決問題.

【解析】(1)①由題意知，P(-2+1,0+1),

”(-1,1),

如圖，點(diǎn)。即為所求;

②連接pp,

9：ZP'PO=ZMOx=45

：.PP'//ON,

,:P'N=QN,

：.PT=QT,

，NT=UP,

2

':PP'=OM,

：.NT=^OM；

2

由題意知，PP1//0M.PPi=OM,P\N=NQ,

:?TQ=2MN,

"：MN=OM-ON=1-t,

：.TQ=2-It,

：.SQ=ST-TQ=1-(2-2f)=2t-1,

在△PQS中，PS-QS<PS+QS,

：.PS的最小值為PS-QS,PS的最大值為PS+QS,

長的最大值與最小值的差為(PS+QS)-(PS-QS)=2QS=4t-2.

13.(2022?青島)【圖形定義】

有一條高線相等的兩個(gè)三角形稱為等高三角形、

例如：如圖①，在△ABC和△ABC中，AD,A。'分別是8c和8C邊上的高線，且AD=A。、則△ABC

和△ABC是等高三角形.

【性質(zhì)探究】

如圖①，用&ABC,分別表示△ABC和△&'B'C'的面積,

則SAABC=」8C?AZ),SAA'B'C-=^-B'C-A'D',

22

VAD=A,D'

S^ABC：S^AB,C1=BC：B'C.

【性質(zhì)應(yīng)用】

(1)如圖②，。是△ABC的邊8C上的一點(diǎn).若8。=3,DC=4,則S^ADC=3：4；

(2)如圖③，在△A8C中，D,E分別是8C和邊上的點(diǎn).若BE：AB=1：2,CD：BC=1：3,5A

ABC—1,貝！ISABEC——,SACDE——;

一2一—6一

(3)如圖③，在△ABC中，D,E分別是BC和AB邊上的點(diǎn).若BE：AB=1：m,CD：BC=1：mSA

ABC—a,貝！IS^CDE—_

【分析】(1)根據(jù)等高的兩三角形面積的比等于底的比，直接求出答案;

(2)同(1)的方法即可求出答案；

（3）同（1）的方法即可求出答案.

【解析】（1）,:BD=3,DC=4,

**?S/\ABD：S/^ADC=BD：DC=3：4,

故答案為：3：4；

(2)'：BE：A3=l：2,

SABEC：SAABC=BE：AB=1：2,

VSAABC=L

?e?SABEC——；

2

VCD：BC=L3,

SACDE：SABEC=CD：BC=1：3,

SACDE=—SABEC=—X—=—；

3326

故答案為：1,1;

26

(3)；BE：AB=1：m,

??S/\BEC*S^ABC=BE：A,B=1：rn,

***S/\ABC=Clf

?1z

??S/\BEC=—S/\ABC=—；

mm

VCD：BC=1：幾,

??S叢CDE:S/\BEC=CD:BC=1:幾,

-'^S/\CDE=—S^BEC=—,——-^-,

nnmmn

故答案為：_2_.

inn

14.(2022?常州)在四邊形ABC。中，。是邊BC上的一點(diǎn).若△OAB四△OCZ),則點(diǎn)。叫做該四邊形的

“等形點(diǎn)”.

(1)正方形不存在“等形點(diǎn)”(填“存在”或“不存在”)；

(2)如圖，在四邊形A8CD中，邊8C上的點(diǎn)。是四邊形A8CQ的“等形點(diǎn)已知Cr>=4&,OA=

5,8c=12,連接AC,求AC的長；

(3)在四邊形跖GH中，EH//FG.若邊FG上的點(diǎn)。是四邊形EFG8的“等形點(diǎn)”，求史的值.

0G

B0C

【分析】(1)根據(jù)“等形點(diǎn)”的定義可知△OAB四△OCQ,則NOAB=/C=90°,而。是邊BC上的

一點(diǎn).從而得出正方形不存在“等形點(diǎn)”；

(2)作于H,由△OABgZkOC。，得AB=CZ)=4a,OA=OC=5,設(shè)OH=x,貝。8H=7-x,

由勾股定理得，(4加)2-(7-x)2=52-^,求出x的值，再利用勾股定理求出AC的長即可；

(3)根據(jù)“等形點(diǎn)”的定義可得則NE。尸=N80G,OE=OG,ZOGH=ZOEF,再

由平行線性質(zhì)得。E=OH,從而推出OE=O〃=OG,從而解決問題.

【解析】(1):四邊形ABC。是正方形，

；.ZC=90°,

"：/\OAB^/\OCD,

：.ZOAB=ZC=90°,

是邊BC上的一點(diǎn).

正方形不存在“等形點(diǎn)”，

故答案為：不存在；

(2)作AH_LBO于X,

BH0C

??,邊5C上的點(diǎn)。是四邊形A3CD的“等形點(diǎn)”，

:?AOAB"AOCD,

：.AB=CD=4-J2^OA=OC=5,

U：BC=12,

：.BO=7f

設(shè)OH=x,貝!)3H=7-x,

由勾股定理得，(4加)2-(7-x)2=52-?,

解得，x=3,

：?OH=3,

：.AH=4,

ACH=8,

在Rt2\CHA中，AC*AH2yH2=山2+82=4病;

(3)如圖，???邊尸G上的點(diǎn)。是四邊形MGH的“等形點(diǎn)”,

:?△OEFQAOGH,

:?NEOF=/HOG,OE=OG,ZOGH=ZOEF,

■:EH//FG,

:?/HEO=/EOF,/EHO=/HOG,

：./HEO=NEHO,

：?OE=OH,

：,OH=OG,

：?OE=OF,

.0F=1

OG

15.(2022?青海)兩個(gè)頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角的頂點(diǎn)，并把它們的底角頂點(diǎn)連接起

來，則形成一組全等的三角形，把具有這個(gè)規(guī)律的圖形稱為“手拉手”圖形.

(1)問題發(fā)現(xiàn)：

如圖1,若△A8C和△ADE是頂角相等的等腰三角形，BC,分別是底邊.求證：BD=CE-,

(2)解決問題：

如圖2,若△ACB和△￡>(7￡均為等腰直角三角形，NAC2=/OCE=90°,點(diǎn)A,D,E在同一條直線上，

CM為△￡>(五中OE邊上的高，連接BE,請判斷NAEB的度數(shù)及線段CM,AE,BE之間的數(shù)量關(guān)系并

說明理由.

A

【分析】(1)根據(jù)AABC和△AOE是頂角相等的等腰三角形，證明△ABO絲ZXACE(&4S),即可得8。

=CE；

(2)根據(jù)△ACB和△OCE均為等腰直角三角形，可得△ACD2ABCE(SAS),即有AD=BE,ZADC

=ZBEC,從而可得NBEC=/AOC=135°,即知/AEB=/BEC-NCE￡>=90°,由CD=CE,CM±

DE,ZDCE=90°,可得￡)M=Af￡=CM,故4￡=4。+￡)石=2￡+26.

【解答】(1)證明：?.'△ABC和△AOE是頂角相等的等腰三角形，

：.AB^AC,AD^AE,ZBAC^ZDAE,

：.ZBAC-ZDAC=ZDAE-ADAC,即ZBAD=ZCAE,

:.AABD2AACE(SAS),

:.BD=CE；

(2)解：ZAEB=90°,AE=BE+2CM,理由如下:

如圖:

c

???AACB和△DCE均為等腰直角三角形，

：.AC=BC,DC=EC,NACB=90°=/DCE,

：.ZACD=ZBCE,

：.AACD^ABCE(SAS),

：.AD=BE,NADC=/BEC,

,/△CDE是等腰直角三角形，

：.ZCDE=ZCED=45°,

AZADC=180°-ZC￡>E=135°,

：.ZBEC=ZADC=135°,

：.ZAEB=ZBEC-ZCED=135°-45°=90°,

?:CD=CE,CM±DEf

:?DM=ME,

\9ZDCE=90°,

:?DM=ME=CM,

：?DE=2CM,

：.AE=AD+DE=BE+2cM.

16.(2022?嘉興)小東在做九上課本123頁習(xí)題：“1：&也是一個(gè)很有趣的比.已知線段A5(如圖1),

用直尺和圓規(guī)作A3上的一點(diǎn)尸，使AP：AB=1：加.”小東的作法是：如圖2,以AB為斜邊作等腰直

角三角形ABC,再以點(diǎn)A為圓心，AC長為半徑作弧，交線段于點(diǎn)尸，點(diǎn)尸即為所求作的點(diǎn).小東稱

點(diǎn)尸為線段A5的“趣點(diǎn)”.

(1)你贊同他的作法嗎？請說明理由.

(2)小東在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了如下操作和探究：連結(jié)。尸，點(diǎn)。為線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E在的上方，

構(gòu)造△。尸E,使得△DPES^CPB.

①如圖3,當(dāng)點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，求NCPE的度數(shù).

②如圖4,DE分別交。尸，于點(diǎn)M,N,當(dāng)點(diǎn)。為線段AC的“趣點(diǎn)”時(shí)(CDVA。)，猜想：點(diǎn)N是

否為線段ME的“趣點(diǎn)”？并說明理由.

【分析】（1）利用等腰三角形的性質(zhì)證明至』，再利用AC=AP,即可得出結(jié)論；

ABV2

（2）①由題意可得：NC4B=NB=45°,NACB=90°,AC=AP=BC,再求解NACP=NAPC=67.5°,

ZCPB=112.5°,證明NQPE=/CPB=112.5°,從而可得答案；

②先證明△ADPs/wcB,可得NAPO=45°，DP//CB,再證明AfP=Att)=MC=MV,ZEMP=45°,

/MPE=90°,從而可得出結(jié)論.

【解析】（1）贊同，理由如下:

VAABC是等腰直角三角形，

：.AC=BC,ZA=ZB=45°,

；.cos45。=AC_=2/2,=1,

AB2V2

'：AC=AP,

?AP1

??-~~-=-9

ABV2

點(diǎn)P為線段AB的“趣點(diǎn)”.

(2)①由題意得：NCA2=/B=45°,

ZACB=90°,AC=AP=BC,

?'-ZACP=ZAPC-1-X(180°-45°)=67.5°,

：.ZBCP=90°-67.5°=22.5°,

：.ZCPB=180°-45°-22.5°=112.5°,

,:△DPEs/\CPB,D,A重合，

AZDPE=ZCPB=112.5°,

：.ZCPE=ZDPE-^-ZCPB-180°=45°；

②點(diǎn)N是線段河石的趣點(diǎn)，理由如下：

當(dāng)點(diǎn)。為線段AC的趣點(diǎn)時(shí)（C￡><A。），

?AD1

..記近

"：AC=AP,

???AD=~~1~=-,

APV2

AC=￡,ZA=ZA,

ABV2

/.XADPsXACB,

：.ZADP=ZACB=90°,

ZAPD=45°,DP//CB,

：.ZDPC=ZPCB=22.5°=NPDE,

:?DM=PM,

：.ZMDC=ZMCD=90°-22.5°=67.5°,

：.MD=MC,

同理可得MC=MN,

:.MP=MD=MC=MN,

■:/MDP=/MPD=22.5°,/E=NB=45°,

：.ZEMP=45°,ZMPE=90°,

?MP=1=MN,

?■運(yùn)ME,

.,.點(diǎn)N是線段ME的“趣點(diǎn)”.

17.（2022?蘭州）如圖，在RtZ\A8C中，ZAC/?=90°,AC=3cm,BC=4cm,M為A8邊上一動(dòng)點(diǎn)，BN

LCM,垂足為N.設(shè)A,Af兩點(diǎn)間的距離為xcTW（0WxW5）,B,N兩點(diǎn)間的距離為yon（當(dāng)點(diǎn)A/和B

點(diǎn)重合時(shí)，B,N兩點(diǎn)間的距離為0）.

小明根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對因變量y隨自變量尤的變化而變化的規(guī)律進(jìn)行了探究.

下面是小明的探究過程，請補(bǔ)充完整.

（1）列表：下表的已知數(shù)據(jù)是根據(jù)A,M兩點(diǎn)間的距離尤進(jìn)行取點(diǎn)、畫圖、測量，分別得到了y與x的

幾組對應(yīng)值：

x/cm00.511.51.822.533.544.55

y/cm43.963.793.47a2.992.401.791.230.740.330

請你通過計(jì)算，補(bǔ)全表格：。=3.2；

（2）描點(diǎn)、連線：在平面直角坐標(biāo)系中，描出表中各組數(shù)值所對應(yīng)的點(diǎn)（尤，y）,并畫出函數(shù)y關(guān)于x

（3）探究性質(zhì)：隨著自變量x的不斷增大，函數(shù)y的變化趨勢：y隨尤的增大而減小

（4）解決問題：當(dāng)時(shí)，AM的長度大約是1.67cm.（結(jié)果保留兩位小數(shù)）

B

CA

【分析】（1）先求出邊上的高，進(jìn)而求出AM1,判斷出點(diǎn)M與M重合，即可得出答案;

(2)先描點(diǎn)，再連線，即可畫出圖象；

(3)根據(jù)圖象直接得出結(jié)論；

(4)利用表格和圖象估算出AM的長度.

【解析】(1)如圖，

在中，AC=3,BC=4,根據(jù)勾股定理得，AC=5,

過點(diǎn)C作于

&ABC=AAC.2C=AA2.CM,

22

.?.CAf=￡

5

在RtZXACAf中，根據(jù)勾股定理得，AM=VAC2-CM/2=1-8,

當(dāng)x=1.8時(shí)，點(diǎn)M與點(diǎn)M重合,

CMLAB,

"：BN±CM,

點(diǎn)M,N重合，

：.a=BN=BM=AB-AM=3.2,

故答案為：3.2；

(2)如圖所示,

(3)由圖象知，y隨尤的增大而減小,

故答案為：y隨x的增大而減??；

(3)借助表格和圖象得，當(dāng)BN=2AM時(shí)，AM的長度大約是1.67c小，

故答案為：1.67.

18.(2022?深圳)二次函數(shù)y=2f,先向上平移6個(gè)單位，再向右平移3個(gè)單位，用光滑的曲線畫在平面

直角坐標(biāo)系上.

尸212y=2(x-3)2+6

(0,0)(3,m)

(1,2)(4,8)

(2,8)(5,14)

(-1,2)(2,8)

(-2,8)(1,14)

(1)機(jī)的值為6；

(2)在坐標(biāo)系中畫出平移后的圖象并寫出y=-上爐+5與＞=1丁2的交點(diǎn)坐標(biāo)；

22

(3)點(diǎn)尸Cxi,yi),Q(3，＞2)在新的函數(shù)圖象上，且P,。兩點(diǎn)均在對稱軸同一側(cè)，若聲＞＞2,則

XI＜或＞X2.(填不等號)

1————?-7-T-r-?———i-i"T"r"i————1

1......................