2024-2025學(xué)年河北省唐山市高二年級上冊10月月考數(shù)學(xué)檢測試題（含解析）

2024-2025學(xué)年河北省唐山市高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)

檢測試題

一、單選題：（每題5分共40分）

1.空間直角坐標(biāo)系中，己知'O'3）,網(wǎng)―2,3,1）,點(diǎn)人關(guān)于xQy平面對稱的點(diǎn)為0,則民°兩點(diǎn)間的

距離為（）

A.6B.2A/6C.26D.回

【答案】A

【解析】

【分析】由對稱關(guān)系可知C（2,l,-3）,即可得瑟=（4,-2,-4）,再由空間向量模長的坐標(biāo)表示可求得

~BC=6.

【詳解】根據(jù)題意可知，點(diǎn)A關(guān)于xQy平面對稱的點(diǎn)。的坐標(biāo)為c（2,l,-3）；

又8（—2,3,1）,可得就=（4,-2,-4）

所以民。兩點(diǎn)間的距離為|前卜也2+（一21+（—4）2=6.

故選：A

2.已知（-3,、回）是直線/的一個方向向量，則直線/的傾斜角為（）

717127c57t

A.-B.-C.—D.—

6336

【答案】D

【解析】

【分析】由直線/的方向向量可知直線/的斜率，進(jìn)而可得傾斜角.

【詳解】設(shè)直線/的傾斜角為ae[0,7i）,

由直線/的方向向量可知直線/的斜率左=tana=-且，所以a=2.

36

故選：D.

3.如圖，〃是四面體045C的棱3C的中點(diǎn)，點(diǎn)N在線段（W上，點(diǎn)尸在線段4N上，且

13——

MN=-ON.AP=-AN,用向量力,無，反表示而，則無=（）

o

1—■1—.1—-

A.-OA+-OB+-OCB.-OA+-OB+-OC

444333

C.-OA+-OB+-OCD.-OA+-OB+-OC

433344

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算即可求解.

［詳解］由題意可知而礪+*）,而=:而"=|^:（礪+"）=;（赤+*），

左=而_厲=;（礪+*）_^2,方=:左=|^;（礪+反）_:厲,所以

OP=OA+^P^OA+-X-（OB+Oc\--OA^-OA+-OB+-OC

43、'4444

故選：A

4.設(shè)x,jeR,向量2=（x,l,l）,3=（1,刈,c=（2,-4,2）,且行/3，b//c>則歸+同等于（)

A.2A/2B.V10C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】由向量的位置關(guān)系列式求出XJ,根據(jù)模的計(jì)算公式計(jì)算即可求解.

【詳解】?/Ell/,

2j=-4x1,

'：aLb

.ci,b=x,1+1x(-2)+1=0,

x=l,:.a-（1,1,1）.

.?萬+B=（2,_1,2）,

:.\a+b\=M+（—l『+22=3.

故選：C.

5.若點(diǎn)（1,1）在圓必+「一%—。=0的外部，則°的取值范圍為（）

A.1一（JB.生）C.（fl）D.（1,+co）

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)V+v2-x-。=0表示圓得a>-又利用點(diǎn)在圓外得。<1,從而可得結(jié)果.

4

【詳解】因?yàn)?+y2—x—a=o可化為[x—g]+y2=a+；,則a+；〉o,所以a>—；.

又點(diǎn)（1/）在圓—+j?一X-Q=0的外部，所以仔+]2一1一〃>o,故。<1,

綜上，---<Q<1.

4

故選：A.

3

2

6.已知直線4:x+（2a-l）y+2a—3=0,/2:ax+3v+a+4=0,貝『a='”是“〃〃2”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】

【分析】

先根據(jù)直線〃〃2求出a的值，再判斷充要關(guān)系即可.

【詳解】若“〃2,則"2a—1）=3,解得。=5或a=—1.當(dāng)a=—1時，直線4的方程為x—3y—5=0,直線（

33

的方程為-x+3y+5=0,兩直線重合，所以。=5,所以“。=2”是““4”的充要條件

3

易錯警示:很多考生根據(jù)"〃2求出。=5或a=-1后,直接得出結(jié)論，而忽略排除兩直線重合的情況，從而錯選

A.

故選：C

【點(diǎn)睛】本題主要考查充要關(guān)系的判斷、兩直線平行,考查的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理.

7.已知半徑為3的圓C的圓心與點(diǎn)P(-2,1)關(guān)于直線x-y+1=0對稱，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為()

A.(x+l)2+(j-l)2=9B.(x-l)2+(j-l)2=81

C.X2+(v+l)2=9D.x2+y2=9

【答案】C

【解析】

【分析】設(shè)出圓心坐標(biāo)，根據(jù)對稱關(guān)系列出方程組，求出圓心坐標(biāo)，結(jié)合半徑為3,即可求解.

【詳解】設(shè)圓心坐標(biāo)。(。力)，由圓心C與點(diǎn)尸關(guān)于直線＞=x+l對稱，

得到直線C尸與N=x+1垂直，

結(jié)合y=x+1的斜率為1,得直線CP的斜率為-1,

所以上d=—1,化簡得a+b+l=0①

-2-a

再由CP的中點(diǎn)在直線＞=x+l上，*2=佇2+1,化簡得a—6—1=0②

22

聯(lián)立①②，可得。=0,6=—1,

所以圓心C的坐標(biāo)為(0,—1),

所以半徑為3的圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+(j+l)2=9.

故選：C

8.直線/的方向向量為浣=(1,1,0),且/過點(diǎn)/(LU),則點(diǎn)P(2,2,-l)到直線/的距離為()

A.72B.V3C.2D.3

【答案】C

【解析】

【分析】利用向量投影和勾股定理即可計(jì)算.

【詳解】???幺(1,1,1),P(2,2,-l),

/.AP=(l,l,-2),又成=(1,1,0),

:?P到/距離d=7lAPI2-(V2)2=后工=2.

故選：C

二.多選題(每題6分共18分)

9.給出下列命題，其中正確的命題是()

A.若直線/的方向向量為0=(1,0,3),平面a的法向量為為=1—2,0,g],則直線/〃a

—■1—■1--1—.

B.若對空間中任意一點(diǎn)O,有。尸=—CM+—08+—OC,則尸、/、B、C四點(diǎn)共面

442

c.若｛/，可為空間的一個基底，貝版+3石+乙1+.構(gòu)成空間的另一個基底

D.同一*k+同是癡共線的充要條件

【答案】BC

【解析】

【分析】根據(jù)線面垂直、基底、共面、點(diǎn)面距等知識對選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.

【詳解】A選項(xiàng)，雖然＞?=-2+2=0,但是無法判斷/是否在平面&外，所以A選項(xiàng)錯誤.

B選項(xiàng)，由歷=1次+工礪+工反，

442

得麗_反=：@_沅)+；(赤—瓦)，

--1—-1—.—.—.—.

所以。尸=^口+^。8,所以CRC4,CB共面，所以P,48,C四點(diǎn)共面，所以B選項(xiàng)正確.

C選項(xiàng)，用反證法，若｛a+B,B+U,己+5｝共面；

設(shè)1B=x(b+c)+y(c+2)=＞(y—1)5+(x—1)B+(x+y)c=6,因?yàn)镹,B,c不共面，

J-1=0

所以＜x-i=o,方程無解，所以3+B,B+乙不共面，

x+y=0

｛Z+B,B+乙己+湃可以構(gòu)成空間的一個基底，所以c選項(xiàng)正確.

D選項(xiàng)，同—忖=卜+可是原B反向共線，a9b同向共線得出同+|可=5+可,

a,b共線不能得出同-片卜+,,同-忖=5+同是/共線的充分不必要條件，D選項(xiàng)錯誤.

故選：BC.

10.下列說法正確的是（）

A.直線瓜+>+1=0的傾斜角為120。

B.經(jīng)過點(diǎn)尸（2,1）,且在軸上截距互為相反數(shù)的直線方程為x-y-l=0

C.直線/：%x+y+2-%=0恒過定點(diǎn)（1,一2）

D.直線4:x+2ay+l=0,12:（a-l）x-j-4=0,若上%，則°=一1

【答案】ACD

【解析】

【分析】對于A,根據(jù)直線方程，求得其斜率，利用斜率的定義，結(jié)合正切函數(shù)的定義，可得答案；對于

B,由題意，設(shè)出直線的點(diǎn)斜式方程，求出截距，建立方程，可得答案；對于C,整理函數(shù)的一般方程，建

立方程組，可得答案；對于D,利用分類討論思想，結(jié)合垂直直線的關(guān)系，建立方程，可得答案.

【詳解】對于A,由直線方程Kx+y+1=0,可得其斜率尢=-6,設(shè)其傾斜角為6,

則tand=—括，由。e[0,兀），則解得。=120°，故A正確；

對于B,由題意，直線斜率一定存在，可設(shè)為《（質(zhì)片0），由過尸（2,1）,則y—l=&（x—2）,

令y=0,則x=2-;，令％=0,則y=l-2左2，由題意可得2-；=—。一2左2）,

7^2/v2

,1

整理可得2后一3左2+1=0,解得&=5或1，所以直線方程為x—2y=0或x—y—1=0,故B錯誤；

對于C,由直線方程加x+y+2=0,整理可得（x-l）掰+y+2=0,

%—1=0[x=1,、

令〈cZ解得〈c，所以直線過定點(diǎn)（1，-2），故C正確；

j+2=0U=-2

對于D,當(dāng)a=l時，直線4:x+2y+l=0,貝!）4=1,8]=2,直線/2：>+4=0,則4=0,82=1,

由44+男生=lx0+2xl=2w0,則此時不符合題意；

當(dāng)awl時，直線4:x+2ay+l=0,則4=1,用=2。，直線右：（aT）x-y-4=0,則

4=a-1,——1,

由4J_42，貝!]44+男2!=lx（a—1）+2ax（―1）=0,解得°=一1,則此時符合題意，故D正確.

故選：ACD.

11.如圖，在正方體4BCD—44GA中，。是上底面46。的中心，E,尸分別為48,2。的中點(diǎn)，則

下列結(jié)論正確的是（）

B.直線4。與平面481Goi所成角的正切值為企

77

C.平面跳4與平面ABGC的夾角為7

D.異面直線4。與4E所成角的余弦值為畫

10

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理求解4。，￡尸，利用線面角的定義，求解直線4。與平面

4AGQ所成角的正切值，先做出平面瓦耳與平面Rgqc的夾角的夾角，在利用解三角形的知識求解,

利用異面直線的夾角的定義求解異面直線4。與B〔E所成角的余弦值.

【詳解】選項(xiàng)A：因?yàn)樵谡襟w4BCD—中，。是上底面4SCZ）的中心，E,F分別為AB,AD

的中點(diǎn)，所以￡尸，/0,

AAX1面ABCD,u面ABCD,所以，EF,又40,初1u面AAXO,A0{\AAx=A,

所以跖工面力公。，4。u面44i。，所以4。，￡7"正確；

選項(xiàng)B：連結(jié)4G,5Q］交于q,連結(jié)。。1，則N04R為直線4。與平面481Goi所成角,

設(shè)正方體邊長為a，則正切值為年11/。4a=71正確.

----CI

選項(xiàng)C：延長CB,FE交于〃，其中5G=BH,連結(jié)BXH,取BC中點(diǎn)設(shè)為G,則尸G，面BCC.B,,

因?yàn)槟?〃e面B.HF和面BCCE，所以與8為面BXHF和面BCCR的交線,

則過G作GJ，B.H,連結(jié)FJ,則AGJF為平面EFB｝與平面BB&C的夾角的平面角.

=2!LaBlH=^a,HG=a,

在AGHB1中，設(shè)正方體邊長為a,則GH=BC=a,B[G=

22

2、2

——VsaY-rv——sa

在中，由余弦定理得?osH_HG?+HB；—4G?(2J(2

2HG?HB[-5'

2xax旦a

2

275

sinH>O,sinH=

"I"

選項(xiàng)D：取4。的中點(diǎn)設(shè)為Q,連結(jié)0242則44。。為異面直線4。和。。的夾角,

=好

a=a,

在A40Q中4。=J片+~^~^~0Q=4Q=~^2

rv6丫即丫萌

(2JI2JI2

730正確.

cosZArOQ=

2xAlOxOQoV6V?記

2XciXQ

22

故選：ABD.

三.填空題(每題5分共15分)

12.平面1的法向量是蔡=(一2,-2,1),點(diǎn)幺(—1,3,0)在平面a內(nèi)，則點(diǎn)尸(—2,1,4)的到平面a的距離

【答案】—

3

【解析】

【分析】利用空間向量的方法求距離即可.

【詳解】解：設(shè)直線山與平面2所成的角為，,

秒=(12-4),

則點(diǎn)尸(一2,1,4)到平面a的距離為0Z市“=PA-\cos<PA,n>=PA-=—.

111叫〃3

故答案為：—.

13.已知圓C:(x—1『+歹2=1,以圓心。和尸(3,2)為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.

［答案］(x_2『+(y_l)2=2

【解析】

【分析】由題可得c(i,o),進(jìn)而由題意結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式和兩點(diǎn)間距離公式可求出所求圓的圓心和半徑,

進(jìn)而可得該圓的標(biāo)準(zhǔn)式方程.

【詳解】由題得。(1,0),故以。和尸(3,2)為直徑的圓的圓心為(2,1),半徑為

；巾=/(3-球+(2-0)2=收，

所以以圓心。和尸為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x-2)2+(y-=2.

故答案為：(X-2)2+(J-1)2=2.

14.直線/的方程為(X+2)x+(2—l)y—3X=0(2eR),當(dāng)原點(diǎn)O到直線/的距離最大時，X的值為

【答案】-5

【解析】

【分析】先確定直線過定點(diǎn)，再數(shù)形結(jié)合得出參數(shù)值即可.

/、Ix+y-3=0Ix=1

【詳解】直線方程可化為(x+y—3"+2x—歹=0,令＜”

[2x-y=0[y=2

即直線/過定點(diǎn)幺(1,2),過。作于5點(diǎn)，

則原點(diǎn)0到直線/的距離V=45,當(dāng)且僅當(dāng)A,B重合時取得最大值，

jI21

此時k=k=2,則直線I的斜率k=------二——n%=—5.

OBOAA—12

故答案為：-5

四.解答題(共77分)

15.已知△NBC頂點(diǎn)2(3,3),邊NC上的高昉■所在直線方程為x-y+6=0,邊4g上的中線CM所在

的直線方程為5x—3〉—14=0.

(1)求直線NC的方程；

(2)求頂點(diǎn)。的坐標(biāo)與的面積.

【答案】(1)x+y=6

(2)C(4,2),20

【解析】

【分析】(1)由NC邊上的高8〃所在直線方程為x-y+6=0可得直線8〃的斜率為1,根據(jù)垂直時斜率

乘積為T可得直線/C的斜率為T,且過工(3,3)即可得到NC邊所在直線方程；

(2)聯(lián)立直線/C和直線CM,即可求出頂點(diǎn)C的坐標(biāo).求出ZC的長和2到NC的距離，結(jié)合面積公式

即得.

【小問1詳解】

,:AC工BH,kBH=1,=-1,，4C方程為：>一3二—(x—3),即x+y—6=0.

【小問2詳解】

“x+y3=y6—14=0解得|x=4

聯(lián)立〔口，C（4,2）.

3+,9+,)_3+，9+z

設(shè)鞏0+6）,則又5x------3x-------14=0,???"20.

22

.,.5（20,26）,2到直線ZC距離為d=|20三—6|=20H而1/二萬

"BC的面積為工x20后x&=20.

2

16.如圖所示，四棱柱/BCD—481GD1中，底面為平行四邊形，以頂點(diǎn)/為端點(diǎn)的三條棱長都為1,且

兩兩夾角為60°.

⑴求的長；

（2）求證：ACi±BD；

⑶求BDi與AC夾角的余弦值.

【答案】（1）V6（2）證明見解析（3）逅

6

【解析】

【分析】（1）設(shè)=1，AD=b?44=。.由4G=Q+1+C,利用向量法能求出的長.

（2）用加=￡,AD=b^五彳="表示出行與赤，計(jì)算它們的數(shù)量積。

+

(3)由西4+~AC=a+b>cos<BD],AC>=,能求出與NC所成角的

\BDi\\AC\

余弦值.

【詳解】(1)解：設(shè)方=Z，AD=b^~AAx=c

由已知得，a-b=^,b-c=-^,a-c=^,|a|=|&|=|c|=1

又4G=Q+b+0，

.\|AC|=+b+c)=Jl+1+1+1+1+1=V6?

(2)證明：vACX=a+b+c,BD=b-a^

ACX.BD=(a+B+c).僅-a)

=〃.3+忖+c-6-|^|-a'b-a'c

—C'b-a'c

二0

:.AC[1BD

:.ACXVBD

(3)解：*/BDX=b+c-a,AC=a+b-

-77;(b+c—a)-(a+b)

cos<BD,,AC>=-----,—>------

\BDJAC\

Li+3-1

2224

\[2*y/3

y/6

~6

【點(diǎn)睛】本題考查線段長的求法，考查兩條異面直線所成角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要注意向

量法的合理運(yùn)用.

17.如圖，在四棱錐尸—Z5CD中，底面/BCD為菱形，NBAD=60。,△尸CD為等邊三角形，￡為棱

PC中點(diǎn)，平面尸。平面45CZ).

■＜，

/l:I\E

/應(yīng)/:W//\c

/x\\/

/

--------

(1)證明：R4〃平面ADE；

(2)求直線尸2與平面8Z)￡所成角的正弦值.

【答案】(1)證明見解析；

(2)V26

IT

【解析】

【分析】（1）利用線線平行證明線面平行;

（2）建立直角坐標(biāo)系，利用向量法，即可求直線可與平面所成角的正弦值.

【小問1詳解】

證明：連接4C交BD于尸，連接E尸，

???底面4BCD為菱形，???廠是中點(diǎn)，又???￡為棱PC中點(diǎn)，故EE||PN,

又?；EFu平面BDE,尸平面ADE；.?./》//平面ADE.

【小問2詳解】

取CD的中點(diǎn)。，連接OBQP,?:&PCD為等邊三角形，??.PO±CD,

???平面尸。平面48C。，平面尸￡>Cc平面48CD=C。，尸Ou平面尸DC

??.0尸1.平面48CD,

又???底面/BCD為菱形，ZBAD=6Q°,：.0BLCD,

故以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，03,OC,。尸所在直線為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)C0=4,則5（2百,0,0）,￡>（0,—2,0）,0（0,2,0）,尸（0,0,2百）,￡（0,1,百），

則反=（0,3,0），麗=（2百,2,0）,設(shè)平面BDE的一個法向量為n=（x,y,z）,

nDB=2百x+2y=Q

二平面5DE的一個法向量為拓=（-1,百,-3）,

又???麗=（2百,0,—20），

設(shè)直線PB與平面BDE所成角為，，

?C/成八尸叼4gV26

sin6=cos(PB,n)=__】=/——/=-----.

'/叫司71+3+9x712+1213

故直線PB與平面BDE所成角的正弦值為叵.

13

18.已知坐標(biāo)原點(diǎn)在圓C:/+>2-2mx+2G叩+4加一4=0的內(nèi)部.

（1）求實(shí)數(shù)比的取值范圍；

（2）若圓。關(guān)于直線/：丘—>—左=0對稱，求上的取值范圍.

【答案】（1）-1</?<1；

（八1V3

（2）k>-----

2

【解析】

【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系可求式的取值范圍；

（2）根據(jù)圓關(guān)于直線對稱可得圓心在直線上，代入圓心坐標(biāo)得到左與冽的關(guān)系式，通過分離常數(shù)法求上的

取值范圍.

【小問1詳解】

:原點(diǎn)在圓。的內(nèi)部，

4掰2-4<0>

—1<m<1,

【小問2詳解】

由圓C方程得。（加，-6加）.

??,圓。關(guān)于直線/對稱，

，圓心。在直線/上，即km+y/3m一左二0，

k（jn-1）=-y[3m.

當(dāng)加=1時，0=一百不成立.

當(dāng)加工1時，一且一向…+包一回巫,

m-1m-\m-1

-2<772—1<0,

11

.?----<，

m-12

?.?--V-3--<--V-3-，

m-12

s旦>_旦即上的取值范圍為左>—也.

m-122

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛:本題考查點(diǎn)與圓、直線與圓的位置關(guān)系，給出圓的一般方程，點(diǎn)（x°,%）在圓內(nèi)需滿足

xl+yl+Dxo+Eyo+F<O,圓關(guān)于直線對稱則需圓心在直線上，利用條件得出左與加的關(guān)系式，形如

）=竺土二的表達(dá)式求取值