2024-2025學年北師版八年級數學上冊復習：平行線的證明 知識歸納與題型突破（九類題型清單） 解析版

第七章平行線的證明知識歸納與題型突破（九類題型清單）

01思維導圖

02知識速記

一、定義、命題及證明

1.定義：一般地，用來說明一個名詞或者一個術語的意義的句子叫做定義.

2.命題：判斷一件事情的句子，叫做命題.

要點：

(1)每個命題都由題設、結論兩部分組成，題設是已知事項，結論是由已知事項推出的事項.

(2)正確的命題稱為真命題，不正確的命題稱為假命題.

(3)公認的真命題叫做公理.

(4)經過證明的真命題稱為定理.

3.證明：在很多情況下，一個命題的正確性需要經過推理，才能作出判斷，這種演繹推理的過程稱為證明.

要點：

(1)實驗、觀察、操作所得出的結論不一定都正確，必須推理論證后才能得出正確的結論.

(2)證明中的每一步推理都要有根據，不能“想當然”，這些根據可以是已知條件，學過的定義、基本事實、

定理等.

(3)判斷一個命題是正確的，必須經過嚴格的證明；判斷一個命題是假命題，只需列舉一個反例即可.

二、平行線的判定與性質

1.平行線的判定

判定方法1：同位角相等，兩直線平行.

判定方法2：內錯角相等，兩直線平行.

判定方法3：同旁內角互補，兩直線平行.

要點：根據平行線的定義和平行公理的推論，平行線的判定方法還有：

(1)平行線的定義：在同一平面內，如果兩條直線沒有交點(不相交)，那么兩直線平行.

(2)如果兩條直線都平行于第三條直線，那么這兩條直線平行(平行線的傳遞性).

(3)在同一平面內，垂直于同一直線的兩條直線平行.

(4)平行公理：經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行.

2.平行線的性質

性質1：兩直線平行，同位角相等；

性質2：兩直線平行，內錯角相等；

性質3：兩直線平行，同旁內角互補.

要點：根據平行線的定義和平行公理的推論，平行線的性質還有：

(1)若兩條直線平行，則這兩條直線在同一平面內，且沒有公共點.

(2)如果一條直線與兩條平行線中的一條直線垂直，那么它必與另一條直線垂直.

三、三角形的內角和定理及推論

三角形的內角和定理：三角形的內角和等于180。.

推論：(1)三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和.

(2)三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角.

要點：

(1)由一個公理或定理直接推出的真命題，叫做這個公理或定理的推論.

(2)推論可以當做定理使用.

四、三角形外角的性質

三角形一個外角等于與它不相鄰兩個內角的和。

03題型歸納

題型一命題與證明

例題

1.下列語句是命題的是（）

A.在線段N8上取點CB.作直線N8的垂線

C.垂線段最短嗎？D.相等的角是對頂角

【答案】D

【分析】判斷一件事情的句子叫做命題，逐項判斷即可得到答案.

【解析】解：A、在線段N3上取點C不是命題，故A選項錯誤；

B、作直線的垂線不是命題，故B選項錯誤；

C、垂線段最短嗎？是疑問句，不是命題，故C選項錯誤；

D、相等的角是對頂角，是命題，故D選項正確；

故選：D

【點睛】本題考查了命題的定義，熟練掌握命題的定義是解決本題的關鍵.

鞏固訓練

2.下列命題中，是真命題的是（）

A.互補的兩個角是鄰補角B.鄰補角一定互為補角

C.兩角相等，一定是對頂角D.無理數都是開方不盡的數

【答案】B

【分析】根據補角，鄰補角，對頂角，無理數等概念逐項判斷.

【解析】解：A.互補的兩個角不一定是鄰補角，故A是假命題，不符合題意;

B.鄰補角一定互為補角，故B是真命題，符合題意；

C.兩角相等，不一定是對頂角，故C是假命題，不符合題意；

D.無理數是無限不循環(huán)的小數，故D是假命題，不符合題意.

故選：B.

【點睛】本題主要考查命題與定理，解題的關鍵是掌握補角，鄰補角，對頂角，無理數等概念.

3.下列命題是假命題的是（）

A.對頂角相等B.直角三角形的兩個銳角互余

C.全等三角形的周長相等D.兩條直線被第三條直線所截，同旁內角互補

【答案】D

【分析】利用對頂角的性質、直角三角形的性質、平行線的性質及全等三角形的性質分別判斷后即可確定

正確的選項.

【解析】解：A、對頂角相等，正確，為真命題；

B、直角三角形的兩個銳角互余，正確，為真命題；

C、全等三角形對應邊相等，所以周長也相等正確，為真命題；

D、兩平行直線被第三條直線所截，同旁內角互補，原命題錯誤，為假命題；

故選：D.

【點睛】考查了命題與定理的知識，解題的關鍵是了解對頂角的性質、全等三角形的性質、平行線的性質

及直角三角形的性質，難度不大.

4.老師布置了一項作業(yè)，對一個真命題進行證明，下面是小云給出的證明過程：

'：cYa,

Z2=90°,

/I=N2,

/.b//c.

已知該證明過程是正確的，則證明的真命題是（）

A.在同一平面內，若6_1_。，且。_1_。，貝B.在同一平面內，若6〃c,且6_1_。，則c_La

C.兩直線平行，同位角不相等D.兩直線平行，同位角相等

【答案】A

【分析】閱讀證明可以得到答案.

【解析】解：根據證明過程可知，證明的真命題是且則6〃c,

故選：A.

【點睛】本題考查命題與定理，解題的關鍵是能分清命題的題設與結論.

題型二同位角、內錯角與同旁內角

例題

【答案】C

【分析】根據同位角的定義逐一判斷即得答案.

【解析】解：圖①中的N1與/2是同位角，

圖②中的/I與N2是同位角，

圖③中的/I與N2不是同位角，

圖④中的/I與N2是同位角，

所以在如圖所示的四個圖形中，圖①②④中的N1和N2是同位角.

故選：C.

【點睛】本題考查了同位角的定義，屬于基礎概念題型，熟記同位角的含義概念是關鍵.

鞏固訓練

6.如圖，下列說法正確的是（）

①N1和N3是同位角；②N1和/5是同位角；③N1和22是同旁內角；④N1和N4是內錯角

A.①②B.②③C.①③D.②④

【答案】C

【分析】根據同位角，內錯角及同旁內角的定義進行判斷即可.

【解析】解：兩條直線。，6被第三條直線c所截，在截線c的同旁，且在被截兩直線。，6的同一側的角,

我們把這樣的兩個角稱為同位角，則/I和N3是同位角，/I和N5不是同位角，那么①正確，②錯誤；

兩條直線。，b被第三條直線c所截，在截線c的同旁，且在被截兩直線。，6之間的角，我們把這樣的兩個

角稱為同旁內角，則/I和/2是同旁內角，那么③正確；

兩條直線。，6被第三條直線。所截，在截線c的兩側，且在被截兩直線。，6之間的角，我們把這樣的兩個

角稱為內錯角，則N1和N4不是內錯角，那么④錯誤；

綜上，正確的為①③，

故選：C.

【點睛】本題考查同位角，內錯角及同旁內角的定義，熟練掌握相關定義是解題的關鍵.

7.如圖，下列是內錯角的一組為（）.

C

A.N1與/2B.22與N4C.N1與N3D.N3與25

【答案】C

【分析】根據同位角、內錯角、同旁內角定義逐一進行判斷即可.

【解析】解：A./I與N2是同位角，不符合題意；

B./2與N4是同位角，不符合題意；

C./I與N3是內錯角，符合題意；

D.N3與25是同旁內角，不符合題意；

故選：C.

【點睛】本題考查了同位角、內錯角、同旁內角，解決本題的關鍵是掌握同位角、內錯角、同旁內角定義.

8.如圖，下列結論正確的是（）

A./5與22是對頂角B.N1與N4是同位角

C./2與N3是同旁內角D./I與/5是內錯角

【答案】B

【分析】根據對頂角、同位角、同旁內角、內錯角的定義分別進行分析即可.

【解析】解：A、N5與22不是對頂角，故此選項錯誤；

B、N1與24是同位角，故此選項正確；

C、/2與N3不是同旁內角，故此選項錯誤；

D、/I與N5不是內錯角，故此選項錯誤；

故選：B.

【點睛】本題考查同位角、內錯角、同旁內角、對頂角，熟練掌握各角的特征是解題的關鍵.

9.如圖所示，直線與2c被直線所截得的內錯角是；直線?！昱cNC被直線所截得

的內錯角是;N4的內錯角是.

【答案】Z1和N3/2和N4N5和22

【分析】此題考查了內錯角，內錯角：在截線兩旁，被截線之內的兩角.根據內錯角的定義進行解答即可.

【解析】解：直線AB與3c被直線AD所截得的內錯角是N1和N3；直線DE與NC被直線40所截得的內

錯角是22和/4；N4的內錯角是N5和N2.

故答案為：N1和N3；/2和N4；/5和/2.

題型三平行線的判定

例題

10.如圖所示，不能證明48//CD的是（）

A./BAC=NACDB.ZABC^ZDCE

C.ZDAC=ZBCAD.ZABC+ZDCB=\^°

【答案】C

【分析】根據平行線的判定定理對各選項進行逐一判斷即可.

【解析】解：A.,：ZBAC=ZACD,：.ABIICD,故本選項不符合題意；

B、VZABC=ZDCE,：.AB//CD,故本選項不符合題意；

C、,:/DAC=/BCA,：.AD//BC,故本選項符合題意；

D、VZDCB+ZABC=\SO°,：.AB//CD,故本選項不符合題意.

故選：C.

【點睛】本題考查的是平行線的判定，熟知平行線的判定定理是解答此題的關鍵.

鞏固訓練

11.下列說法錯誤的是（）

A.在同一平面內，沒有公共點的兩條直線是平行線

B.如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行

C.經過直線外一點有且只有一條直線與該直線平行

D.在同一平面內，不相交的兩條線段是平行線

【答案】D

【分析】根據平行公理等即可逐一進行判斷.

【解析】解；A、在同一平面內，沒有公共點的兩條直線是平行線.正確，本選項不符合題意；

B、如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行.平行線具有“傳遞性”，正確，本選

項不符合題意；

C、經過直線外一點有且只有一條直線與該直線平行.正確，本選項不符合題意；

D、在同一平面內，不相交的兩條直線是平行線.原說法錯誤，本選項符合題意.

故選：D.

【點睛】本題考查了平行公理等知識點.掌握相關結論是解題的關鍵.

12.下列說法正確的是（）

A.在同一平面內，兩條線段不相交就平行B.過一點有且只有一條直線與已知直線平行

C.兩條射線或線段平行是指它們所在直線平行D.兩條不相交的直線是平行線

【答案】C

【分析】根據平面內兩條直線的位置關系分別判斷.

【解析】解：A、在同一平面內，兩條線段不相交，也不一定平行，故錯誤，不合題意；

B、過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，故錯誤，不合題意；

C、兩條射線或線段平行是指它們所在的直線平行，故正確，符合題意；

D、平面內，兩條不相交的直線是平行線，故錯誤，不合題意；

故選：c.

【點睛】本題考查了平面內兩條直線的位置關系，解題的關鍵是掌握平行線的定義.

13.如圖，若Nl=/2,則下列選項中，能直接利用“同位角相等，兩直線平行”判定?！?的是（)

【答案】B

【分析】先判斷出N1與/2是同位角，然后根據平行線的判定即可得出答案.

【解析】解：A、/I與/2是內錯角，故該選項錯誤；

B、Z1與/2是同位角，*/Zl=Z2,：.a//b,故該選項正確；

C、/I與N2不是內錯角、同位角，同旁內角，故該選項錯誤；

D、Z1與/2是對頂角，故該選項錯誤；

故選：B.

【點睛】本題考查了平行線的判定，內錯角相等、同位角相等，同旁內角互補兩直線平行，是需要同學們

熟練記憶的內容.

14.如圖，下列條件不能判定43〃。的是（）

A.Z1=Z3B.Z3=Z5C.Zl+Z2=180°D.Z1=Z5

【答案】B

【分析】根據平行線的判定定理，對各項逐一進行判斷即可.

【解析】解：A、Zl=Z3,根據同位角相等，兩直線平行可判定43〃C。，故此選項不符合題意;

B、/3=/5,對頂角相等，不能判定A8〃Cr>,故此選項符合題意；

C、Zl+Z2=180°,根據同旁內角互補，兩直線平行可判定/臺〃。，此選項不符合題意；

D、4=/5,根據內錯角相等，兩直線平行可判定48〃CD,故此選項不符合題意；

故選：B.

【點睛】本題考查了平行線的判定定理，解題的關鍵是正確識另!]“三線八角”中的同位角、內錯角、同旁內角,

不能遇到相等或互補關系的角就誤認為具有平行關系，只有同位角相等、內錯角相等、同旁內角互補，才

能推出兩被截直線平行.

15.在同一平面內，若a_L6,bLc,則。與c的位置關系是.

【答案】a//c

【分析】先根據垂直定義求出/1=/2=90。，再根據平行線的判定推出即可.

【解析】解：如圖，al.b,bA.c,

b

O:-11

Z1=Z2=90°,

c_____________

a//c.

故答案為：a//c.

【點睛】本題考查了平行線的判定和垂直定義的應用，注意：同位角相等，兩直線平行.

16.如圖，Zl=108°,Z2=30°,若使6〃c,則可將直線b繞點/逆時針旋轉度.

【答案】42

【分析】先根據鄰補角進行計算得到N3=72。，根據平行線的判定當6與。的夾角為72。時，b//c,由此

得到直線b繞點A逆時針旋轉72。-30。=42°.

【解析】解：如圖：

/I=108。，

Z.Z3=72°,

,/Z2=30°,

.?.當N3=N2=30。時，b//c,

直線b繞點A逆時針旋轉72°-30°=42°.

故答案為：42.

【點睛】本題考查的是平行線的判定定理，熟知同位角相等，兩直線平行是解答此題的關鍵.

17.如圖，對于下列給出的四個條件：①/1=/3；②/2=/3；③/4=/5；④N2+N4=180。中，能判

定的有.（填寫正確條件的序號）

【答案】①③④

【分析】根據平行線的判定逐個判斷即可得.

【解析】解：①N1=N3能判定（內錯角相等，兩直線平行）;

②/2=/3不能判定

③4:④能判定/]〃4（同位角相等，兩直線平行）；

④N2+24=180。能判定4〃4（同旁內角互補，兩直線平行）；

故答案為：①③④.

【點睛】本題考查了平行線的判定，熟練掌握平行線的判定方法是解題關鍵.

18.如圖，將兩個完全相同的三角尺的斜邊重合放在同一平面內，可以畫出兩條互相平行的直線.這樣畫

的依據是.

【答案】內錯角相等，兩直線平行.

【分析】由內錯角相等，兩直線平行，即可得到答案.

【解析】解：：兩個三角尺是完全相同的，

Zl=Z2,

N1與22是內錯角，由內錯角相等，兩直線平行，即可判定加〃/,因此可以畫出兩條互相平行的直線.

故答案為：內錯角相等，兩直線平行.

【點睛】本題考查平行線的判定，解題的關鍵是掌握平行線的判定方法，內錯角相等，兩直線平行；同位

角相等，兩直線平行；同旁內角互補，兩直線平行.

19.如圖，下列錯誤的是（填序號）.

①如果=那么。E〃3C；②如果=那么

③如果4=那么?！辍˙C；④如果=那么。尸〃EC；

⑤如果尸3=那么48〃CL>.

【答案】③⑤

【分析】①②④可根據同位角相等，兩直線平行即可判定；③⑤中兩角都不是同位角、內錯角或同旁內角,

故無法判定平行關系.

【解析】解：①②④都可根據同位角相等，兩直線平行證明正確；

因為③⑤中兩角都不是同位角、內錯角或同旁內角，故無法判定平行關系.

故答案為：③⑤.

【點睛】本題考查的是平行線的判定方法，掌握同位角相等，兩直線平行是解題關鍵.

20.已知：如圖，直線48與CD被E尸所截，Zl=Z2.求證：AB//CD.

E,

A------------------------B

C——'w口

【答案】見解析

【分析】先證明/2=/3,結合N1=N2,可得4=N3,從而可得結論.

【解析】解：：/2=/3（對頂角相等），

XVZ1=Z2（已知），

/.Zl=Z3,

AAB//CD（同位角相等，兩直線平行）.

【點睛】本題考查的是對頂角相等，平行線的判定，掌握同位角相等，兩直線平行是解本題的關鍵.

21.如圖，直線N2,C。被直線工￡所截，CF平分/DCE,Nl=110。，N2=55°.求證：AB//CD.

【答案】見解析.

【分析】根據角平分線的定義，可證得/DCE=110。，結合Nl=110。，即可證明結論.

【解析】?:CF平分/DCE,Z2=55°,

ZDCE=2/2=110。.

又Nl=110。，

Z.Zl=NDCE.

：.AB//CD.

【點睛】本題主要考查角平分線的定義和平行線的判定，牢記平行線判定的方法是解題的關鍵.

題型四平行線的性質

例題

22.如圖，已知直線4、6被直線。所截.若。〃6,Z2=60°,則/I的度數為（）

a

A.50°B.60°C.120°D.130°

【答案】C

【分析】首先根據平行線的性質可得N3的度數，再根據鄰補角的性質可得N1的度數.

【解析】解：如下圖，

Z3=Z2=60°,

Nl=180°-60°=120°,

故選：C.

【點睛】此題考查了平行線的性質，鄰補角的性質，解題的關鍵是掌握兩直線平行，同位角相等.

鞏固訓練

23.如圖，AB//CD,8c平分/48D,Zl=65°,則/2的度數是（）

A.35°B.45°C.50°D.60°

【答案】C

【分析】由平行線的性質得到NABC=N1=65。，ZABD+ZBDC=180°,由BC平分NABD,得到NABD=2

ZABC=130°,于是得到結論.

【解析】解：：AB〃CD,

.*.ZABC=Z1=65O,ZABD+ZBDC=180°,

VBC平分NABD,

ZABD=2ZABC=130°,

ZBDC=180°-ZABD=50°,

.?.Z2=ZBDC=50°.

故選C.

【點睛】本題考查平行線的性質和角平分線定義，解題的關鍵是求出NABD的度數.

24.如圖，a||b,Zl=110°,Z3=40°,則/2等于（）

A.50°B.60°C.70°D.80°

【答案】C

【分析】先根據平行線的性質求出/4的度數，再由對頂角相等得出/2+N4的度數，進而可得出結論.

【解析】解：；a〃b,Z3=40°,

.*.Z4=Z3=40°.

VZ1=Z2+Z4=11O°,

Z2=l10°-Z4=l10°-40°=70°.

故選C.

【點睛】本題考查平行線的性質，用到的知識點為：兩直線平行，內錯角相等.

25.如圖，將三角板的直角頂點放在直尺的一邊上，若4=65。，則22的度數為（）

C.25°D.35°

【答案】C

【分析】利用平行線的性質，平角的定義即可解決問題.

【解析】：a〃b,

.\Z1=Z3=65°,

Z2+Z3=90°,

【點睛】本題考查平行線的性質，平角的定義等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}

型.

26.如圖所示，下列推理及所注理由錯誤的是（）

A.因為N1=N3,所以（內錯角相等，兩直線平行）

B.因為所以/2=/4（兩直線平行，內錯角相等）

C.因為所以N2=/4（兩直線平行，內錯角相等）

D.因為/2=/4,所以5c（內錯角相等，兩直線平行）

【答案】B

【分析】根據平行線的判定和性質分別判斷各選項即可.

【解析】A.因為N1=N3,所以（內錯角相等，兩直線平行），選項正確，不符合題意;

B.因為所以/1=/3（兩直線平行，內錯角相等），故選項錯誤，符合題意；

C.因為ND〃3C,所以N2=/4（兩直線平行，內錯角相等），選項正確，不符合題意；

D.因為/2=/4,所以（內錯角相等，兩直線平行），選項正確，不符合題意.

故選：B

【點睛】本題考查平行線的判定和性質，熟練掌握平行的判定和性質定理是解題的關鍵.

27.如圖，若CD||2尸，則下列結論正確的是（）

A

A.ZACD=NFB.ZEDC=ZFBCC.ZBCD=ZEDCD.ZCDB=ZFBD

【答案】A

【分析】根據題意，以及平行線的性質逐個進行判斷即可.

【解析】解:①；CD〃BF,

：.ZACD=ZF,

故選項A正確；

②因為OE與BC不一定平行，

NEDC與NDCB不一定相等，

ZEDC不一定等于ZFBC,

故選項B錯誤；

③：?！昱c不一定平行，

ZBCD不一定等于NEDC

所以選項C錯誤；

@ZCDB不一定等于NP8。，

故選項D錯誤；

故答案為：A

【點睛】本題主要考查了平行線的性質，熟悉掌握平行線的性質是解題的關鍵.

題型五平行線的判定與性質綜合

例題

28.如圖，下列推理正確的是（）

A.VZ1=Z2,：.AC//BDB."：ABHCD,：./B=/C

C.:/3=NB,：.AC//BDD."：ABHCD,；./4=/5

【答案】C

【分析】根據平行線的判定和性質逐項判斷即可.

【解析】A、=，/夕〃。。，故選項錯誤，不符合題意；

B>-：AB//CD,.1.Z3=ZC,故選項錯誤，不符合題意；

C>-：Z3=ZB,J.AC//BD,故選項正確，符合題意；

D>-JACHBD,.\Z4=Z5,故選項錯誤，不符合題意.

故選：C.

【點睛】本題考查了平行線的性質和判定，掌握平行線的判定和性質是解題的關鍵.

鞏固訓練

29.已知：如圖，BC//EF,BC=EF,AF=DC,判斷線段4B和線段DE有怎樣的關系？請說明理由.

【答案】AB//DE,AB=DE,證明見解析

【分析】由“SAS”可證△4BC四△DEF,可得//=/￡>,由平行線的判定可得N8〃DE.

【解析】解：AB//DE,AB=DE理由如下：

?/BC//EF

/.ZACB=ZDFE

:AF=DC

/.AF+CF=DC+CF

^AC=DF

又：BC=EF

：.△4BC”ADEF

，ZA=ND,AB=DE

：.AB//DE,

：.AB//DE,AB=DEa

【點睛】此題考查了全等三角形的判定與性質，利用SAS判定△/5C之ADE尸是解題的關鍵.

30.如圖，B,C,E三點在同一直線上，ABAC=ZD,NDAE=NE,CD平分/ACE.

(1)求證：AB//CD；

(2)若NE=ND,43=50。，求—E的度數.

【答案】(1)見解析

⑵NE三50°.

【分析】(1)根據平行線的性質得出ND=4DCE,根據角平分線的定義得出乙4c7)=/DCE,求出

NBAC=ZACD,根據平行線的判定得出即可；

(2)根據平行線的性質求出ND=NDCE,2DCE=NB,由已知NZME=ND,求出NE=N3=50。，即可

求出答案.

【解析】(1)證明：；ND/E=NE,

AD//BE,

：.ND=NDCE,

又平分2/CE,

/.ZACD=ZDCE,

：.AACD=ZD,

又；/BAC=ND,

：.ABAC=ZACD,

Z.AB//CD-,

(2)解：AD//BE,NE=ZDAE,

：.ND=ZDCE,

由已知NDAE=ZD,

：.ZE=ADCE,

由(1)知48〃CD,

/.ZDCE=ZB,

/E=NB=50°.

【點睛】本題考查平行線的判定和性質與角平分線的綜合運用，靈活應用平分線的判定和性質是解題關鍵.

題型六三角形的內角和

例題

31.在△22C中，乙4:/B:NC=2:3:4,則//的度數為()

A.20°B.40°C.60°D.80°

【答案】B

【分析】此題主要考查了三角形內角和定理,正確表示出各角度數是解題關鍵.直接用一個未知數表示出“

NB,/C的度數，再利用三角形內角和定理得出答案.

【解析】解：；NN：NS:NC=2:3:4,

設Z.A=2x,NB=3x,NC=4x,

ZA+ZB+ZC=1SO°,

2x+3x+4x=180°,

解得：x=20。，

的度數為：40°.

故選：B

鞏固訓練

32.如圖，在ABZC中，/A4C=80。，N8=30。，CD是NNC8的平分線，則/8DC的大小為()

A

【答案】A

【分析】先根據三角形內角和定理求出//C3,再根據角平分線的定義求出NNCD,最后根據三角形外角

的性質求解.

【解析】解：???AA4c中，NB4c=80°,ZB=30°,

ZACB=180°-80°-30°=70°,

???CD是N/CB的平分線，

ZACD=-ZACB=35°,

2

：.ZBDC=ZA+ZACD=80o+35o=115°,

故選：A.

【點睛】本題考查三角形內角和定理，三角形外角的定義和性質，角平分線的定義等，解題的關鍵是熟練

掌握三角形外角的性質，即三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和.

33.如圖，點。是△48C中8c邊上一點，NB=NC,且BD=FC,BE=DC,ZEDF=80°.則/N的度

數是（）

A.20°B.50°C.80°D.100°

【答案】A

【分析】根據SAS證明ABDF知CFD得zCDF=ABED,zCFD=/BDE,求出/BED+zBDE=100°,可得

ZB=ZC=80°,然后根據三角形內角和可求出一/的度數.

【解析】解：在ARDP和△CFD中，

BD=FC

?NB=NC,

BE=DC

:.ABDF知CFD(SAS),

/.NCDF=NBED/CFD=NBDE.

-：2EDF=80°,

/CDF+/BDE=180。-80。=100°,

：.ZBED+ZBDE=\OO°f

：.Z5=180°-100°=80°,

???Z5=ZC=80°,

=180°-80°-80°=20°.

故選A.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質，三角形內角和定理，證明△AD尸名△CFZ）是解答本題的關鍵.

34.如圖所示，在△48。中，CD上AB,垂足為點。，DE//AC,交BC于點、E.若乙4=50。，則NCDE

的度數是（）

A.25°B.40°C.45°D.50°

【答案】B

【分析】首先根據平行線的性質得/e犯=44=50。，再根據垂直的定義得/CQ5=90。，進而根據

ZCDE=ZCDB-ZBDE即可得出答案.

【解析】W：-DE//AC,44=50。，

ZBDE=ZA=50°,

CDVAB,

ZCDB=90°,

ZCDE=ZCDB-ZBDE=90°-50°=40°,

故選：B.

【點睛】本題主要考查了平行線的性質，垂直的定義，熟練掌握平行線的性質是解答此題的關鍵.

35.如圖所示，△45。必。?！昃鶠橹苯侨切?，且N3=45。，ZD=30°,過點。作CF平分/OCE交。￡于

點尸.

(1)求證：CF//AB；

(2)求/DFC的度數.

【答案】(1)見解析

(2)105°

【分析】本題主要考查了三角形外角的性質，平行線的判定，角平分線的定義：

(1)利用角平分線的性質，先說明/FCE與的關系，再利用平行線的判定得結論;

(2)先求出ZE,再利用三角形的外角和內角的關系求解.

【解析】(1)證明：：/。。石=90。，且CF平分/OCE,

NFCE=-ZDCE=45°,

2

又：/B=45。,

ZFCE=NB,

CF//AB.

(2)解：由(1)知，ZFCE=45°.

在R3CDE中，*/ZD=30°,

/.ZE=60°.

NDFC=NE+NFCE

=450+60°

=105°.

題型七三角形的外角性質

例題

36.如圖，△4BC中，ZB=55°,zC=40°,則三角形ABC的外角ND4C等于()

D

A

-----------------

A.100°B.95°C.85°D.75°

【答案】B

【分析】本題考查三角形外角的性質，根據三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和直接解決即

可.

【解析】解：△力BC中，ZB=55°,ZC=4O°,

ND4c=AB+ZC=55°+40°=95°,

故選：B.

鞏固訓練

37.將一副三角板按如圖所示擺放，若Zl=95。，則N2的度數是（）

【答案】D

【分析】本題考查的知識點是三角板中角度計算問題、三角形外角的定義與性質、對頂角相等，解題關鍵

是熟練掌握三角形外角的性質.

根據三角板的特征先得出NC=60°,再根據三角形外角的性質及對頂角相等逐步推得/cm=35。、

ZGHE=35°及N2=ZE+NCHI.

【解析】解：如圖，

依題得：NC=60。，

是AC印的外角,

N1=NC+NCH/,

???/I=95。，

/CHI=35。,

/GHE=35。,

■//2是△GE"的外角，

/.N2=NE+NCH/=80。.

故選：D.

38.如圖，若公OAD出八OBC,ZO=65°,ZD=20°,則/班D的度數為（）

A.75°B.85°C.60°D.55°

【答案】A

【分析】本題考查全等三角形的性質，三角形的內角和，三角形的外角定理，解題的關鍵是掌握全等三角

形對應角相等，三角形的內角和是180度，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角之和.

先根據三角形的外角定理得出/C4￡=/O+/D=85。，再根據全等三角形的性質得出/。=/。=20。，最

后根據三角形的內角和定理和對頂角相等，即可解答.

【解析】解：??,NO=65。,ZD=20°,

???ZG4E=ZO+ZD=85°,

/\OAD四△05。，

.?.ZD=ZC=20°,

???/BED=ACEA=180°-ZC-ZCAE=75°,

故選：A.

39.如圖所示，Zl,22的大小關系是.

A

BC

【答案】Z2>Zl>

【分析】本題主要考查了三角形外角的性質，先根據/I是A/CO的外角，可得/1>乙4,同理可得

Z2>Z1,即可得出答案.

【解析】

解：是A/CZ)的外角，

.../I>//;

；/2是4。?！甑耐饨?，

Z2>Z1,

Z2>Zl>.

故答案為：Z2>Zl>.

題型八三角形的內角和與外角性質綜合

例題

40.如圖，在△48C中，ZACB=90°,沿CD折疊△CAD,使點3恰好落在NC邊上的點E處.若

ZA=30°,則NADE=°.

【分析】本題考查三角形折疊中的角度問題，三角形外角的性質，先計算出由折疊前后對應角相等可

彳導NCED=NB=60°,再由外角的性質可得=+,進而可得人/^二/匿。-//.

【解析】解：；△43C中，ZACB=90°,44=30。，

ZB=90°-ZA=60°,

由折疊知NCEO=N2=60。，

???ZCED=ZA+ZADE,

ZADE=ZCED-=60°-30°=30°,

故答案為：30.

鞏固訓練

41.已知44&)=40。，點C為射線8D上一動點，BP平分NABD交4c于點、P,若△4BC為直角三角形,

貝1|ZAPB=.

A

【分析】本題考查角平分線的定義，三角形的內角和和外角的性質，先根據角平分線得到

NABP=ZPBD=|ZABC=20°,然后分NBCA=90°和乙4=90°兩種情況分別計算解題即可.

【解析】解：：BP平分NABD,

NABP=NPBD=-ZABC=20°,

2

當NBCA=90°時，NBPA=NBCA+NPBC=90°+20°=110°；

當//=90°時，ZBPA=90°-ZABP=90°-20°=70°；

故答案為：70?；?10。.

42.如圖，NC平分CB=CD,D4的延長線交于點￡,如果/E/C=48。，則/8/E為.

【分析】此題考查了全等三角形的判定和性質、三角形外角的性質和三角形內角和定理等知識，證明

AABC^AADC(SAS),則=得到NC4E=ZD+N/CD=48。，則ZB+ZBG4=48°,利用三角形

內角和定理即可求出答案.

【解析】解：平分/DC8

NBCA=NDCA

在△/8C和△4DC中，BC=DC,NBCA=NDCA,CA=CA

：.△ABC絲AADC(SAS)

，ZB=ZD

：.NB+NBCA=ZD+NACD

,：NCAE=/D+ZACD=48°

N8+N3C/=48°

，/BAE=18O0-ZB-ZBCA-ZEAC

=180。-(ZB+ZBCA)-ZEAC

=180°-48°-48°

=84°

故答案為：84

題型九解答綜合題

例題

43.如圖，是4/夕。的角平分線，ZADC=80°,ABAC=70°.

求：和/C的度數.

【分析】本題主要考查了與角平分線有關的三角形內角和定理，先由角平分線的定義得到

ZCAD=^ZBAC=35°,再由三角形內角和定理求出/C的度數，即可求出的度數.

【解析】解：是△4BC的角平分線，NB/C=70。，

ZCAD=-ZBAC=35°,

2

,/ZADC=80°,

/.ZC=1800-ZADC-ZCAD=65°,

：.ZB=180°-ZBAC-ZC=45°.

鞏固訓練

44.把下面的說理過程補充完整.

已知：如圖，DE//BC,AADE=ZEFC,說明：Zl=Z2.

A

DA―\E

2

1

BFC

解：???DE//BC（己知），

:.ZADE=_,

ZADE=ZEFC（已知），

_=_（_）,

（_）

Z1=Z2（_）

【答案】見解析

【分析】根據平行線的性質和判定求解即可.

此題考查了平行線的性質和判定，解題的關鍵是熟練掌握平行線的性質和判定定理.

【解析】（已知），

/.ZADE=ZABC,

ZADE=ZEFC（已知），

:.ZABC=NEFC（等量代換），

：.DB//EF（同位角相等，兩直線平行），

AZ1=Z2（兩直線平行，內錯角相等）.

45.如圖，點N在線段CD上，與KV交于點M,NC=N1,N2=N3.

（1）判斷與。是否平行，并說明理由；

⑵若ND=40°,NEMF=80°,求ZAEP的大小.

【答案】（1）平行，見解析

（2）120°

【分析】本題主要查了平行線的判定和性質.

（1）根據/2=/3,可得CP〃PN,從而得到/C=/FND,繼而得到N1=N*VD,即可求證；

（2）根據CP〃W,可得/2==80。，再由可得=/D=40。，即可求解.

【解析】(1)解：AB//CD,理由如下：

/2=/3,

：.CP//FN,

：.ZC=ZFND,

又???ZC=Z1,

：.Z1=ZFND,

：.AB//CD；

(2)解：9：CP//FN,

：.Z2=ZEMF=80°,

,.?AB//CD,

：.ZFED=ZD=40°9

???/BEC=/2+/FED=80°+40°=120。，

：.ZAEP=ZBEC=120°.

46.如圖，已知△/5C之△瓦加，點/,E,C,歹在同一直線上，延長8C交。尸邊于點若

/BAC=70。，ZEDF=62°,求/CMF的度數.

【答案】84°

【分析】本題主要考查了全等三角形的性質與判定，三角形內角和定理，先由全等三角形對應角相等得到

AB=ZEDF=62°,ZACB=ZF,再由三角形內角和定理得到/ZC5=48。，則NF=NMCF=N/C5=48。，

據此根據三角形內角和定理求解即可.

【解析】解：△瓦加，

ZB=ZEDF=62°,ZACB=ZF,

?.?ABAC=70°,

ZACB=1SO0-ZA-ZB=4S°,

ZF=ZMCF=ZACB=48°,

ZCW=180°-ZMCF-ZF=84°.

47.如圖，AABC咨ADEB,點、E在4Bk,NC與8。交于點尸，AB=6,BC=3,ZC=55°,

(1)求/￡的長度；

(2)求//瓦)的度數.

【答案］⑴3

(2)80°

【分析】本題主要考查了全等三角形的性質，三角形外角的性質：

(1)根據全等三角形對應邊相等可得8E=BC=3,則4E=4B-8￡=3；

(2)根據全等三角形對應角相等可得/DBE=/C=55。，再根據三角形外角的性質求解即可.

【解析】(1)解：:AABC沿ADEB,

：.BE=BC=3,

：.AE=AB-BE=6-3=3；

(2)解：,/AABC^ADEB,

：.乙DBE=NC=55°,

ZAED=ZDBE+ZD=25°+55°=80°.

48.如圖，在△48C中，AB=AC,5D_L/C于點。.

⑴若乙4=42。，求/Z>8C的度數；

⑵若CO=1,BC=2及,求AD，的長.

【答案】(1)21。

(2)8。="AB=4

【分析】(1)先根據等邊對等角和三角形內角和定理求出NC=69。，再根據三角形外角的性質進行求解即

可；

(2)先利用勾股定理求出8。=將，設48=/C=x,則/。=x-l,在RtZX/AD中，由勾股定理得

x2=(x-l)2+(V7)2,解方程即可得到答案.

本題主要考查了勾股定理，等腰三角形的性質，三角形內角和定理，三角形外角的性質，設未知數構建方

程是解題的關鍵.

【解析】(1)解：：在△4BC中，AB=AC,ZA=42°,

BDLAC,

即ZADB=90°,

ZDBC=90°-ZC=21°；

(2)解：?.,在中，/BDC=90。,CD=\,BC=2枝,

：.BD2=BC2-CD2=1.

^AB=AC=x,貝i