2024-2025學(xué)年北師版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)復(fù)習(xí)：平行線的證明 知識(shí)歸納與題型突破（九類題型清單） 解析版

第七章平行線的證明知識(shí)歸納與題型突破（九類題型清單）

01思維導(dǎo)圖

02知識(shí)速記

一、定義、命題及證明

1.定義：一般地，用來(lái)說(shuō)明一個(gè)名詞或者一個(gè)術(shù)語(yǔ)的意義的句子叫做定義.

2.命題：判斷一件事情的句子，叫做命題.

要點(diǎn)：

(1)每個(gè)命題都由題設(shè)、結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知事項(xiàng)，結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng).

(2)正確的命題稱為真命題，不正確的命題稱為假命題.

(3)公認(rèn)的真命題叫做公理.

(4)經(jīng)過(guò)證明的真命題稱為定理.

3.證明：在很多情況下，一個(gè)命題的正確性需要經(jīng)過(guò)推理，才能作出判斷，這種演繹推理的過(guò)程稱為證明.

要點(diǎn)：

(1)實(shí)驗(yàn)、觀察、操作所得出的結(jié)論不一定都正確，必須推理論證后才能得出正確的結(jié)論.

(2)證明中的每一步推理都要有根據(jù)，不能“想當(dāng)然”，這些根據(jù)可以是已知條件，學(xué)過(guò)的定義、基本事實(shí)、

定理等.

(3)判斷一個(gè)命題是正確的，必須經(jīng)過(guò)嚴(yán)格的證明；判斷一個(gè)命題是假命題，只需列舉一個(gè)反例即可.

二、平行線的判定與性質(zhì)

1.平行線的判定

判定方法1：同位角相等，兩直線平行.

判定方法2：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行.

判定方法3：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.

要點(diǎn)：根據(jù)平行線的定義和平行公理的推論，平行線的判定方法還有：

(1)平行線的定義：在同一平面內(nèi)，如果兩條直線沒(méi)有交點(diǎn)(不相交)，那么兩直線平行.

(2)如果兩條直線都平行于第三條直線，那么這兩條直線平行(平行線的傳遞性).

(3)在同一平面內(nèi)，垂直于同一直線的兩條直線平行.

(4)平行公理：經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行.

2.平行線的性質(zhì)

性質(zhì)1：兩直線平行，同位角相等；

性質(zhì)2：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；

性質(zhì)3：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ).

要點(diǎn)：根據(jù)平行線的定義和平行公理的推論，平行線的性質(zhì)還有：

(1)若兩條直線平行，則這兩條直線在同一平面內(nèi)，且沒(méi)有公共點(diǎn).

(2)如果一條直線與兩條平行線中的一條直線垂直，那么它必與另一條直線垂直.

三、三角形的內(nèi)角和定理及推論

三角形的內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和等于180。.

推論：(1)三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.

(2)三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角.

要點(diǎn)：

(1)由一個(gè)公理或定理直接推出的真命題，叫做這個(gè)公理或定理的推論.

(2)推論可以當(dāng)做定理使用.

四、三角形外角的性質(zhì)

三角形一個(gè)外角等于與它不相鄰兩個(gè)內(nèi)角的和。

03題型歸納

題型一命題與證明

例題

1.下列語(yǔ)句是命題的是（）

A.在線段N8上取點(diǎn)CB.作直線N8的垂線

C.垂線段最短嗎？D.相等的角是對(duì)頂角

【答案】D

【分析】判斷一件事情的句子叫做命題，逐項(xiàng)判斷即可得到答案.

【解析】解：A、在線段N3上取點(diǎn)C不是命題，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、作直線的垂線不是命題，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、垂線段最短嗎？是疑問(wèn)句，不是命題，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、相等的角是對(duì)頂角，是命題，故D選項(xiàng)正確；

故選：D

【點(diǎn)睛】本題考查了命題的定義，熟練掌握命題的定義是解決本題的關(guān)鍵.

鞏固訓(xùn)練

2.下列命題中，是真命題的是（）

A.互補(bǔ)的兩個(gè)角是鄰補(bǔ)角B.鄰補(bǔ)角一定互為補(bǔ)角

C.兩角相等，一定是對(duì)頂角D.無(wú)理數(shù)都是開(kāi)方不盡的數(shù)

【答案】B

【分析】根據(jù)補(bǔ)角，鄰補(bǔ)角，對(duì)頂角，無(wú)理數(shù)等概念逐項(xiàng)判斷.

【解析】解：A.互補(bǔ)的兩個(gè)角不一定是鄰補(bǔ)角，故A是假命題，不符合題意;

B.鄰補(bǔ)角一定互為補(bǔ)角，故B是真命題，符合題意；

C.兩角相等，不一定是對(duì)頂角，故C是假命題，不符合題意；

D.無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)的小數(shù)，故D是假命題，不符合題意.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查命題與定理，解題的關(guān)鍵是掌握補(bǔ)角，鄰補(bǔ)角，對(duì)頂角，無(wú)理數(shù)等概念.

3.下列命題是假命題的是（）

A.對(duì)頂角相等B.直角三角形的兩個(gè)銳角互余

C.全等三角形的周長(zhǎng)相等D.兩條直線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)

【答案】D

【分析】利用對(duì)頂角的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)及全等三角形的性質(zhì)分別判斷后即可確定

正確的選項(xiàng).

【解析】解：A、對(duì)頂角相等，正確，為真命題；

B、直角三角形的兩個(gè)銳角互余，正確，為真命題；

C、全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等，所以周長(zhǎng)也相等正確，為真命題；

D、兩平行直線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，原命題錯(cuò)誤，為假命題；

故選：D.

【點(diǎn)睛】考查了命題與定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是了解對(duì)頂角的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)

及直角三角形的性質(zhì)，難度不大.

4.老師布置了一項(xiàng)作業(yè)，對(duì)一個(gè)真命題進(jìn)行證明，下面是小云給出的證明過(guò)程：

'：cYa,

Z2=90°,

/I=N2,

/.b//c.

已知該證明過(guò)程是正確的，則證明的真命題是（）

A.在同一平面內(nèi)，若6_1_。，且。_1_。，貝B.在同一平面內(nèi)，若6〃c,且6_1_。，則c_La

C.兩直線平行，同位角不相等D.兩直線平行，同位角相等

【答案】A

【分析】閱讀證明可以得到答案.

【解析】解：根據(jù)證明過(guò)程可知，證明的真命題是且則6〃c,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查命題與定理，解題的關(guān)鍵是能分清命題的題設(shè)與結(jié)論.

題型二同位角、內(nèi)錯(cuò)角與同旁內(nèi)角

例題

【答案】C

【分析】根據(jù)同位角的定義逐一判斷即得答案.

【解析】解：圖①中的N1與/2是同位角，

圖②中的/I與N2是同位角，

圖③中的/I與N2不是同位角，

圖④中的/I與N2是同位角，

所以在如圖所示的四個(gè)圖形中，圖①②④中的N1和N2是同位角.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了同位角的定義，屬于基礎(chǔ)概念題型，熟記同位角的含義概念是關(guān)鍵.

鞏固訓(xùn)練

6.如圖，下列說(shuō)法正確的是（）

①N1和N3是同位角；②N1和/5是同位角；③N1和22是同旁內(nèi)角；④N1和N4是內(nèi)錯(cuò)角

A.①②B.②③C.①③D.②④

【答案】C

【分析】根據(jù)同位角，內(nèi)錯(cuò)角及同旁內(nèi)角的定義進(jìn)行判斷即可.

【解析】解：兩條直線。，6被第三條直線c所截，在截線c的同旁，且在被截兩直線。，6的同一側(cè)的角,

我們把這樣的兩個(gè)角稱為同位角，則/I和N3是同位角，/I和N5不是同位角，那么①正確，②錯(cuò)誤；

兩條直線。，b被第三條直線c所截，在截線c的同旁，且在被截兩直線。，6之間的角，我們把這樣的兩個(gè)

角稱為同旁內(nèi)角，則/I和/2是同旁內(nèi)角，那么③正確；

兩條直線。，6被第三條直線。所截，在截線c的兩側(cè)，且在被截兩直線。，6之間的角，我們把這樣的兩個(gè)

角稱為內(nèi)錯(cuò)角，則N1和N4不是內(nèi)錯(cuò)角，那么④錯(cuò)誤；

綜上，正確的為①③，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查同位角，內(nèi)錯(cuò)角及同旁內(nèi)角的定義，熟練掌握相關(guān)定義是解題的關(guān)鍵.

7.如圖，下列是內(nèi)錯(cuò)角的一組為（）.

C

A.N1與/2B.22與N4C.N1與N3D.N3與25

【答案】C

【分析】根據(jù)同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角定義逐一進(jìn)行判斷即可.

【解析】解：A./I與N2是同位角，不符合題意；

B./2與N4是同位角，不符合題意；

C./I與N3是內(nèi)錯(cuò)角，符合題意；

D.N3與25是同旁內(nèi)角，不符合題意；

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角，解決本題的關(guān)鍵是掌握同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角定義.

8.如圖，下列結(jié)論正確的是（）

A./5與22是對(duì)頂角B.N1與N4是同位角

C./2與N3是同旁內(nèi)角D./I與/5是內(nèi)錯(cuò)角

【答案】B

【分析】根據(jù)對(duì)頂角、同位角、同旁內(nèi)角、內(nèi)錯(cuò)角的定義分別進(jìn)行分析即可.

【解析】解：A、N5與22不是對(duì)頂角，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、N1與24是同位角，故此選項(xiàng)正確；

C、/2與N3不是同旁內(nèi)角，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、/I與N5不是內(nèi)錯(cuò)角，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角、對(duì)頂角，熟練掌握各角的特征是解題的關(guān)鍵.

9.如圖所示，直線與2c被直線所截得的內(nèi)錯(cuò)角是；直線?！昱cNC被直線所截得

的內(nèi)錯(cuò)角是;N4的內(nèi)錯(cuò)角是.

【答案】Z1和N3/2和N4N5和22

【分析】此題考查了內(nèi)錯(cuò)角，內(nèi)錯(cuò)角：在截線兩旁，被截線之內(nèi)的兩角.根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角的定義進(jìn)行解答即可.

【解析】解：直線AB與3c被直線AD所截得的內(nèi)錯(cuò)角是N1和N3；直線DE與NC被直線40所截得的內(nèi)

錯(cuò)角是22和/4；N4的內(nèi)錯(cuò)角是N5和N2.

故答案為：N1和N3；/2和N4；/5和/2.

題型三平行線的判定

例題

10.如圖所示，不能證明48//CD的是（）

A./BAC=NACDB.ZABC^ZDCE

C.ZDAC=ZBCAD.ZABC+ZDCB=\^°

【答案】C

【分析】根據(jù)平行線的判定定理對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷即可.

【解析】解：A.,：ZBAC=ZACD,：.ABIICD,故本選項(xiàng)不符合題意；

B、VZABC=ZDCE,：.AB//CD,故本選項(xiàng)不符合題意；

C、,:/DAC=/BCA,：.AD//BC,故本選項(xiàng)符合題意；

D、VZDCB+ZABC=\SO°,：.AB//CD,故本選項(xiàng)不符合題意.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的判定，熟知平行線的判定定理是解答此題的關(guān)鍵.

鞏固訓(xùn)練

11.下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A.在同一平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)的兩條直線是平行線

B.如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行

C.經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與該直線平行

D.在同一平面內(nèi)，不相交的兩條線段是平行線

【答案】D

【分析】根據(jù)平行公理等即可逐一進(jìn)行判斷.

【解析】解；A、在同一平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)的兩條直線是平行線.正確，本選項(xiàng)不符合題意；

B、如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行.平行線具有“傳遞性”，正確，本選

項(xiàng)不符合題意；

C、經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與該直線平行.正確，本選項(xiàng)不符合題意；

D、在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線是平行線.原說(shuō)法錯(cuò)誤，本選項(xiàng)符合題意.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行公理等知識(shí)點(diǎn).掌握相關(guān)結(jié)論是解題的關(guān)鍵.

12.下列說(shuō)法正確的是（）

A.在同一平面內(nèi)，兩條線段不相交就平行B.過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行

C.兩條射線或線段平行是指它們所在直線平行D.兩條不相交的直線是平行線

【答案】C

【分析】根據(jù)平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系分別判斷.

【解析】解：A、在同一平面內(nèi)，兩條線段不相交，也不一定平行，故錯(cuò)誤，不合題意；

B、過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行，故錯(cuò)誤，不合題意；

C、兩條射線或線段平行是指它們所在的直線平行，故正確，符合題意；

D、平面內(nèi)，兩條不相交的直線是平行線，故錯(cuò)誤，不合題意；

故選：c.

【點(diǎn)睛】本題考查了平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握平行線的定義.

13.如圖，若Nl=/2,則下列選項(xiàng)中，能直接利用“同位角相等，兩直線平行”判定?！?的是（)

【答案】B

【分析】先判斷出N1與/2是同位角，然后根據(jù)平行線的判定即可得出答案.

【解析】解：A、/I與/2是內(nèi)錯(cuò)角，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、Z1與/2是同位角，*/Zl=Z2,：.a//b,故該選項(xiàng)正確；

C、/I與N2不是內(nèi)錯(cuò)角、同位角，同旁內(nèi)角，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、Z1與/2是對(duì)頂角，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定，內(nèi)錯(cuò)角相等、同位角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ)兩直線平行，是需要同學(xué)們

熟練記憶的內(nèi)容.

14.如圖，下列條件不能判定43〃。的是（）

A.Z1=Z3B.Z3=Z5C.Zl+Z2=180°D.Z1=Z5

【答案】B

【分析】根據(jù)平行線的判定定理，對(duì)各項(xiàng)逐一進(jìn)行判斷即可.

【解析】解：A、Zl=Z3,根據(jù)同位角相等，兩直線平行可判定43〃C。，故此選項(xiàng)不符合題意;

B、/3=/5,對(duì)頂角相等，不能判定A8〃Cr>,故此選項(xiàng)符合題意；

C、Zl+Z2=180°,根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行可判定/臺(tái)〃。，此選項(xiàng)不符合題意；

D、4=/5,根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行可判定48〃CD,故此選項(xiàng)不符合題意；

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定定理，解題的關(guān)鍵是正確識(shí)另!]“三線八角”中的同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角,

不能遇到相等或互補(bǔ)關(guān)系的角就誤認(rèn)為具有平行關(guān)系，只有同位角相等、內(nèi)錯(cuò)角相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ)，才

能推出兩被截直線平行.

15.在同一平面內(nèi)，若a_L6,bLc,則。與c的位置關(guān)系是.

【答案】a//c

【分析】先根據(jù)垂直定義求出/1=/2=90。，再根據(jù)平行線的判定推出即可.

【解析】解：如圖，al.b,bA.c,

b

O:-11

Z1=Z2=90°,

c_____________

a//c.

故答案為：a//c.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定和垂直定義的應(yīng)用，注意：同位角相等，兩直線平行.

16.如圖，Zl=108°,Z2=30°,若使6〃c,則可將直線b繞點(diǎn)/逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)度.

【答案】42

【分析】先根據(jù)鄰補(bǔ)角進(jìn)行計(jì)算得到N3=72。，根據(jù)平行線的判定當(dāng)6與。的夾角為72。時(shí)，b//c,由此

得到直線b繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)72。-30。=42°.

【解析】解：如圖：

/I=108。，

Z.Z3=72°,

,/Z2=30°,

.?.當(dāng)N3=N2=30。時(shí)，b//c,

直線b繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)72°-30°=42°.

故答案為：42.

【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的判定定理，熟知同位角相等，兩直線平行是解答此題的關(guān)鍵.

17.如圖，對(duì)于下列給出的四個(gè)條件：①/1=/3；②/2=/3；③/4=/5；④N2+N4=180。中，能判

定的有.（填寫正確條件的序號(hào)）

【答案】①③④

【分析】根據(jù)平行線的判定逐個(gè)判斷即可得.

【解析】解：①N1=N3能判定（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）;

②/2=/3不能判定

③4:④能判定/]〃4（同位角相等，兩直線平行）；

④N2+24=180。能判定4〃4（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）；

故答案為：①③④.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定，熟練掌握平行線的判定方法是解題關(guān)鍵.

18.如圖，將兩個(gè)完全相同的三角尺的斜邊重合放在同一平面內(nèi)，可以畫出兩條互相平行的直線.這樣畫

的依據(jù)是.

【答案】?jī)?nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行.

【分析】由內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，即可得到答案.

【解析】解：：兩個(gè)三角尺是完全相同的，

Zl=Z2,

N1與22是內(nèi)錯(cuò)角，由內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，即可判定加〃/,因此可以畫出兩條互相平行的直線.

故答案為：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行.

【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定，解題的關(guān)鍵是掌握平行線的判定方法，內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；同位

角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.

19.如圖，下列錯(cuò)誤的是（填序號(hào)）.

①如果=那么。E〃3C；②如果=那么

③如果4=那么?！辍˙C；④如果=那么。尸〃EC；

⑤如果尸3=那么48〃CL>.

【答案】③⑤

【分析】①②④可根據(jù)同位角相等，兩直線平行即可判定；③⑤中兩角都不是同位角、內(nèi)錯(cuò)角或同旁內(nèi)角,

故無(wú)法判定平行關(guān)系.

【解析】解：①②④都可根據(jù)同位角相等，兩直線平行證明正確；

因?yàn)棰邰葜袃山嵌疾皇峭唤?、?nèi)錯(cuò)角或同旁內(nèi)角，故無(wú)法判定平行關(guān)系.

故答案為：③⑤.

【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的判定方法，掌握同位角相等，兩直線平行是解題關(guān)鍵.

20.已知：如圖，直線48與CD被E尸所截，Zl=Z2.求證：AB//CD.

E,

A------------------------B

C——'w口

【答案】見(jiàn)解析

【分析】先證明/2=/3,結(jié)合N1=N2,可得4=N3,從而可得結(jié)論.

【解析】解：：/2=/3（對(duì)頂角相等），

XVZ1=Z2（已知），

/.Zl=Z3,

AAB//CD（同位角相等，兩直線平行）.

【點(diǎn)睛】本題考查的是對(duì)頂角相等，平行線的判定，掌握同位角相等，兩直線平行是解本題的關(guān)鍵.

21.如圖，直線N2,C。被直線工￡所截，CF平分/DCE,Nl=110。，N2=55°.求證：AB//CD.

【答案】見(jiàn)解析.

【分析】根據(jù)角平分線的定義，可證得/DCE=110。，結(jié)合Nl=110。，即可證明結(jié)論.

【解析】?:CF平分/DCE,Z2=55°,

ZDCE=2/2=110。.

又Nl=110。，

Z.Zl=NDCE.

：.AB//CD.

【點(diǎn)睛】本題主要考查角平分線的定義和平行線的判定，牢記平行線判定的方法是解題的關(guān)鍵.

題型四平行線的性質(zhì)

例題

22.如圖，已知直線4、6被直線。所截.若。〃6,Z2=60°,則/I的度數(shù)為（）

a

A.50°B.60°C.120°D.130°

【答案】C

【分析】首先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得N3的度數(shù)，再根據(jù)鄰補(bǔ)角的性質(zhì)可得N1的度數(shù).

【解析】解：如下圖，

Z3=Z2=60°,

Nl=180°-60°=120°,

故選：C.

【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的性質(zhì)，鄰補(bǔ)角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握兩直線平行，同位角相等.

鞏固訓(xùn)練

23.如圖，AB//CD,8c平分/48D,Zl=65°,則/2的度數(shù)是（）

A.35°B.45°C.50°D.60°

【答案】C

【分析】由平行線的性質(zhì)得到NABC=N1=65。，ZABD+ZBDC=180°,由BC平分NABD,得到NABD=2

ZABC=130°,于是得到結(jié)論.

【解析】解：：AB〃CD,

.*.ZABC=Z1=65O,ZABD+ZBDC=180°,

VBC平分NABD,

ZABD=2ZABC=130°,

ZBDC=180°-ZABD=50°,

.?.Z2=ZBDC=50°.

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)和角平分線定義，解題的關(guān)鍵是求出NABD的度數(shù).

24.如圖，a||b,Zl=110°,Z3=40°,則/2等于（）

A.50°B.60°C.70°D.80°

【答案】C

【分析】先根據(jù)平行線的性質(zhì)求出/4的度數(shù)，再由對(duì)頂角相等得出/2+N4的度數(shù)，進(jìn)而可得出結(jié)論.

【解析】解：；a〃b,Z3=40°,

.*.Z4=Z3=40°.

VZ1=Z2+Z4=11O°,

Z2=l10°-Z4=l10°-40°=70°.

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，用到的知識(shí)點(diǎn)為：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等.

25.如圖，將三角板的直角頂點(diǎn)放在直尺的一邊上，若4=65。，則22的度數(shù)為（）

C.25°D.35°

【答案】C

【分析】利用平行線的性質(zhì)，平角的定義即可解決問(wèn)題.

【解析】：a〃b,

.\Z1=Z3=65°,

Z2+Z3=90°,

【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，平角的定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}

型.

26.如圖所示，下列推理及所注理由錯(cuò)誤的是（）

A.因?yàn)镹1=N3,所以（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）

B.因?yàn)樗?2=/4（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）

C.因?yàn)樗訬2=/4（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）

D.因?yàn)?2=/4,所以5c（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）

【答案】B

【分析】根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)分別判斷各選項(xiàng)即可.

【解析】A.因?yàn)镹1=N3,所以（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行），選項(xiàng)正確，不符合題意;

B.因?yàn)樗?1=/3（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），故選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；

C.因?yàn)镹D〃3C,所以N2=/4（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），選項(xiàng)正確，不符合題意；

D.因?yàn)?2=/4,所以（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行），選項(xiàng)正確，不符合題意.

故選：B

【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

27.如圖，若CD||2尸，則下列結(jié)論正確的是（）

A

A.ZACD=NFB.ZEDC=ZFBCC.ZBCD=ZEDCD.ZCDB=ZFBD

【答案】A

【分析】根據(jù)題意，以及平行線的性質(zhì)逐個(gè)進(jìn)行判斷即可.

【解析】解:①；CD〃BF,

：.ZACD=ZF,

故選項(xiàng)A正確；

②因?yàn)镺E與BC不一定平行，

NEDC與NDCB不一定相等，

ZEDC不一定等于ZFBC,

故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

③：?！昱c不一定平行，

ZBCD不一定等于NEDC

所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

@ZCDB不一定等于NP8。，

故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；

故答案為：A

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，熟悉掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

題型五平行線的判定與性質(zhì)綜合

例題

28.如圖，下列推理正確的是（）

A.VZ1=Z2,：.AC//BDB."：ABHCD,：./B=/C

C.:/3=NB,：.AC//BDD."：ABHCD,；./4=/5

【答案】C

【分析】根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可.

【解析】A、=，/夕〃。。，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

B>-：AB//CD,.1.Z3=ZC,故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

C>-：Z3=ZB,J.AC//BD,故選項(xiàng)正確，符合題意；

D>-JACHBD,.\Z4=Z5,故選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，掌握平行線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

鞏固訓(xùn)練

29.已知：如圖，BC//EF,BC=EF,AF=DC,判斷線段4B和線段DE有怎樣的關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】AB//DE,AB=DE,證明見(jiàn)解析

【分析】由“SAS”可證△4BC四△DEF,可得//=/￡>,由平行線的判定可得N8〃DE.

【解析】解：AB//DE,AB=DE理由如下：

?/BC//EF

/.ZACB=ZDFE

:AF=DC

/.AF+CF=DC+CF

^AC=DF

又：BC=EF

：.△4BC”ADEF

，ZA=ND,AB=DE

：.AB//DE,

：.AB//DE,AB=DEa

【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，利用SAS判定△/5C之ADE尸是解題的關(guān)鍵.

30.如圖，B,C,E三點(diǎn)在同一直線上，ABAC=ZD,NDAE=NE,CD平分/ACE.

(1)求證：AB//CD；

(2)若NE=ND,43=50。，求—E的度數(shù).

【答案】(1)見(jiàn)解析

⑵NE三50°.

【分析】(1)根據(jù)平行線的性質(zhì)得出ND=4DCE,根據(jù)角平分線的定義得出乙4c7)=/DCE,求出

NBAC=ZACD,根據(jù)平行線的判定得出即可；

(2)根據(jù)平行線的性質(zhì)求出ND=NDCE,2DCE=NB,由已知NZME=ND,求出NE=N3=50。，即可

求出答案.

【解析】(1)證明：；ND/E=NE,

AD//BE,

：.ND=NDCE,

又平分2/CE,

/.ZACD=ZDCE,

：.AACD=ZD,

又；/BAC=ND,

：.ABAC=ZACD,

Z.AB//CD-,

(2)解：AD//BE,NE=ZDAE,

：.ND=ZDCE,

由已知NDAE=ZD,

：.ZE=ADCE,

由(1)知48〃CD,

/.ZDCE=ZB,

/E=NB=50°.

【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定和性質(zhì)與角平分線的綜合運(yùn)用，靈活應(yīng)用平分線的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

題型六三角形的內(nèi)角和

例題

31.在△22C中，乙4:/B:NC=2:3:4,則//的度數(shù)為()

A.20°B.40°C.60°D.80°

【答案】B

【分析】此題主要考查了三角形內(nèi)角和定理,正確表示出各角度數(shù)是解題關(guān)鍵.直接用一個(gè)未知數(shù)表示出“

NB,/C的度數(shù)，再利用三角形內(nèi)角和定理得出答案.

【解析】解：；NN：NS:NC=2:3:4,

設(shè)Z.A=2x,NB=3x,NC=4x,

ZA+ZB+ZC=1SO°,

2x+3x+4x=180°,

解得：x=20。，

的度數(shù)為：40°.

故選：B

鞏固訓(xùn)練

32.如圖，在ABZC中，/A4C=80。，N8=30。，CD是NNC8的平分線，則/8DC的大小為()

A

【答案】A

【分析】先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出//C3,再根據(jù)角平分線的定義求出NNCD,最后根據(jù)三角形外角

的性質(zhì)求解.

【解析】解：???AA4c中，NB4c=80°,ZB=30°,

ZACB=180°-80°-30°=70°,

???CD是N/CB的平分線，

ZACD=-ZACB=35°,

2

：.ZBDC=ZA+ZACD=80o+35o=115°,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的定義和性質(zhì)，角平分線的定義等，解題的關(guān)鍵是熟練

掌握三角形外角的性質(zhì)，即三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.

33.如圖，點(diǎn)。是△48C中8c邊上一點(diǎn)，NB=NC,且BD=FC,BE=DC,ZEDF=80°.則/N的度

數(shù)是（）

A.20°B.50°C.80°D.100°

【答案】A

【分析】根據(jù)SAS證明ABDF知CFD得zCDF=ABED,zCFD=/BDE,求出/BED+zBDE=100°,可得

ZB=ZC=80°,然后根據(jù)三角形內(nèi)角和可求出一/的度數(shù).

【解析】解：在ARDP和△CFD中，

BD=FC

?NB=NC,

BE=DC

:.ABDF知CFD(SAS),

/.NCDF=NBED/CFD=NBDE.

-：2EDF=80°,

/CDF+/BDE=180。-80。=100°,

：.ZBED+ZBDE=\OO°f

：.Z5=180°-100°=80°,

???Z5=ZC=80°,

=180°-80°-80°=20°.

故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，證明△AD尸名△CFZ）是解答本題的關(guān)鍵.

34.如圖所示，在△48。中，CD上AB,垂足為點(diǎn)。，DE//AC,交BC于點(diǎn)、E.若乙4=50。，則NCDE

的度數(shù)是（）

A.25°B.40°C.45°D.50°

【答案】B

【分析】首先根據(jù)平行線的性質(zhì)得/e犯=44=50。，再根據(jù)垂直的定義得/CQ5=90。，進(jìn)而根據(jù)

ZCDE=ZCDB-ZBDE即可得出答案.

【解析】W：-DE//AC,44=50。，

ZBDE=ZA=50°,

CDVAB,

ZCDB=90°,

ZCDE=ZCDB-ZBDE=90°-50°=40°,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，垂直的定義，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵.

35.如圖所示，△45。必。?！昃鶠橹苯侨切危襈3=45。，ZD=30°,過(guò)點(diǎn)。作CF平分/OCE交。￡于

點(diǎn)尸.

(1)求證：CF//AB；

(2)求/DFC的度數(shù).

【答案】(1)見(jiàn)解析

(2)105°

【分析】本題主要考查了三角形外角的性質(zhì)，平行線的判定，角平分線的定義：

(1)利用角平分線的性質(zhì)，先說(shuō)明/FCE與的關(guān)系，再利用平行線的判定得結(jié)論;

(2)先求出ZE,再利用三角形的外角和內(nèi)角的關(guān)系求解.

【解析】(1)證明：：/。。石=90。，且CF平分/OCE,

NFCE=-ZDCE=45°,

2

又：/B=45。,

ZFCE=NB,

CF//AB.

(2)解：由(1)知，ZFCE=45°.

在R3CDE中，*/ZD=30°,

/.ZE=60°.

NDFC=NE+NFCE

=450+60°

=105°.

題型七三角形的外角性質(zhì)

例題

36.如圖，△4BC中，ZB=55°,zC=40°,則三角形ABC的外角ND4C等于()

D

A

-----------------

A.100°B.95°C.85°D.75°

【答案】B

【分析】本題考查三角形外角的性質(zhì)，根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和直接解決即

可.

【解析】解：△力BC中，ZB=55°,ZC=4O°,

ND4c=AB+ZC=55°+40°=95°,

故選：B.

鞏固訓(xùn)練

37.將一副三角板按如圖所示擺放，若Zl=95。，則N2的度數(shù)是（）

【答案】D

【分析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是三角板中角度計(jì)算問(wèn)題、三角形外角的定義與性質(zhì)、對(duì)頂角相等，解題關(guān)鍵

是熟練掌握三角形外角的性質(zhì).

根據(jù)三角板的特征先得出NC=60°,再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)及對(duì)頂角相等逐步推得/cm=35。、

ZGHE=35°及N2=ZE+NCHI.

【解析】解：如圖，

依題得：NC=60。，

是AC印的外角,

N1=NC+NCH/,

???/I=95。，

/CHI=35。,

/GHE=35。,

■//2是△GE"的外角，

/.N2=NE+NCH/=80。.

故選：D.

38.如圖，若公OAD出八OBC,ZO=65°,ZD=20°,則/班D的度數(shù)為（）

A.75°B.85°C.60°D.55°

【答案】A

【分析】本題考查全等三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和，三角形的外角定理，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角

形對(duì)應(yīng)角相等，三角形的內(nèi)角和是180度，三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和.

先根據(jù)三角形的外角定理得出/C4￡=/O+/D=85。，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出/。=/。=20。，最

后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和對(duì)頂角相等，即可解答.

【解析】解：??,NO=65。,ZD=20°,

???ZG4E=ZO+ZD=85°,

/\OAD四△05。，

.?.ZD=ZC=20°,

???/BED=ACEA=180°-ZC-ZCAE=75°,

故選：A.

39.如圖所示，Zl,22的大小關(guān)系是.

A

BC

【答案】Z2>Zl>

【分析】本題主要考查了三角形外角的性質(zhì)，先根據(jù)/I是A/CO的外角，可得/1>乙4,同理可得

Z2>Z1,即可得出答案.

【解析】

解：是A/CZ)的外角，

.../I>//;

；/2是4。?！甑耐饨?，

Z2>Z1,

Z2>Zl>.

故答案為：Z2>Zl>.

題型八三角形的內(nèi)角和與外角性質(zhì)綜合

例題

40.如圖，在△48C中，ZACB=90°,沿CD折疊△CAD,使點(diǎn)3恰好落在NC邊上的點(diǎn)E處.若

ZA=30°,則NADE=°.

【分析】本題考查三角形折疊中的角度問(wèn)題，三角形外角的性質(zhì)，先計(jì)算出由折疊前后對(duì)應(yīng)角相等可

彳導(dǎo)NCED=NB=60°,再由外角的性質(zhì)可得=+,進(jìn)而可得人/^二/匿。-//.

【解析】解：；△43C中，ZACB=90°,44=30。，

ZB=90°-ZA=60°,

由折疊知NCEO=N2=60。，

???ZCED=ZA+ZADE,

ZADE=ZCED-=60°-30°=30°,

故答案為：30.

鞏固訓(xùn)練

41.已知44&)=40。，點(diǎn)C為射線8D上一動(dòng)點(diǎn)，BP平分NABD交4c于點(diǎn)、P,若△4BC為直角三角形,

貝1|ZAPB=.

A

【分析】本題考查角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和和外角的性質(zhì)，先根據(jù)角平分線得到

NABP=ZPBD=|ZABC=20°,然后分NBCA=90°和乙4=90°兩種情況分別計(jì)算解題即可.

【解析】解：：BP平分NABD,

NABP=NPBD=-ZABC=20°,

2

當(dāng)NBCA=90°時(shí)，NBPA=NBCA+NPBC=90°+20°=110°；

當(dāng)//=90°時(shí)，ZBPA=90°-ZABP=90°-20°=70°；

故答案為：70?；?10。.

42.如圖，NC平分CB=CD,D4的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)￡,如果/E/C=48。，則/8/E為.

【分析】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，證明

AABC^AADC(SAS),則=得到NC4E=ZD+N/CD=48。，則ZB+ZBG4=48°,利用三角形

內(nèi)角和定理即可求出答案.

【解析】解：平分/DC8

NBCA=NDCA

在△/8C和△4DC中，BC=DC,NBCA=NDCA,CA=CA

：.△ABC絲AADC(SAS)

，ZB=ZD

：.NB+NBCA=ZD+NACD

,：NCAE=/D+ZACD=48°

N8+N3C/=48°

，/BAE=18O0-ZB-ZBCA-ZEAC

=180。-(ZB+ZBCA)-ZEAC

=180°-48°-48°

=84°

故答案為：84

題型九解答綜合題

例題

43.如圖，是4/夕。的角平分線，ZADC=80°,ABAC=70°.

求：和/C的度數(shù).

【分析】本題主要考查了與角平分線有關(guān)的三角形內(nèi)角和定理，先由角平分線的定義得到

ZCAD=^ZBAC=35°,再由三角形內(nèi)角和定理求出/C的度數(shù)，即可求出的度數(shù).

【解析】解：是△4BC的角平分線，NB/C=70。，

ZCAD=-ZBAC=35°,

2

,/ZADC=80°,

/.ZC=1800-ZADC-ZCAD=65°,

：.ZB=180°-ZBAC-ZC=45°.

鞏固訓(xùn)練

44.把下面的說(shuō)理過(guò)程補(bǔ)充完整.

已知：如圖，DE//BC,AADE=ZEFC,說(shuō)明：Zl=Z2.

A

DA―\E

2

1

BFC

解：???DE//BC（己知），

:.ZADE=_,

ZADE=ZEFC（已知），

_=_（_）,

（_）

Z1=Z2（_）

【答案】見(jiàn)解析

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定求解即可.

此題考查了平行線的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)和判定定理.

【解析】（已知），

/.ZADE=ZABC,

ZADE=ZEFC（已知），

:.ZABC=NEFC（等量代換），

：.DB//EF（同位角相等，兩直線平行），

AZ1=Z2（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）.

45.如圖，點(diǎn)N在線段CD上，與KV交于點(diǎn)M,NC=N1,N2=N3.

（1）判斷與。是否平行，并說(shuō)明理由；

⑵若ND=40°,NEMF=80°,求ZAEP的大小.

【答案】（1）平行，見(jiàn)解析

（2）120°

【分析】本題主要查了平行線的判定和性質(zhì).

（1）根據(jù)/2=/3,可得CP〃PN,從而得到/C=/FND,繼而得到N1=N*VD,即可求證；

（2）根據(jù)CP〃W,可得/2==80。，再由可得=/D=40。，即可求解.

【解析】(1)解：AB//CD,理由如下：

/2=/3,

：.CP//FN,

：.ZC=ZFND,

又???ZC=Z1,

：.Z1=ZFND,

：.AB//CD；

(2)解：9：CP//FN,

：.Z2=ZEMF=80°,

,.?AB//CD,

：.ZFED=ZD=40°9

???/BEC=/2+/FED=80°+40°=120。，

：.ZAEP=ZBEC=120°.

46.如圖，已知△/5C之△瓦加，點(diǎn)/,E,C,歹在同一直線上，延長(zhǎng)8C交。尸邊于點(diǎn)若

/BAC=70。，ZEDF=62°,求/CMF的度數(shù).

【答案】84°

【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理，先由全等三角形對(duì)應(yīng)角相等得到

AB=ZEDF=62°,ZACB=ZF,再由三角形內(nèi)角和定理得到/ZC5=48。，則NF=NMCF=N/C5=48。，

據(jù)此根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求解即可.

【解析】解：△瓦加，

ZB=ZEDF=62°,ZACB=ZF,

?.?ABAC=70°,

ZACB=1SO0-ZA-ZB=4S°,

ZF=ZMCF=ZACB=48°,

ZCW=180°-ZMCF-ZF=84°.

47.如圖，AABC咨ADEB,點(diǎn)、E在4Bk,NC與8。交于點(diǎn)尸，AB=6,BC=3,ZC=55°,

(1)求/￡的長(zhǎng)度；

(2)求//瓦)的度數(shù).

【答案］⑴3

(2)80°

【分析】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)：

(1)根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得8E=BC=3,則4E=4B-8￡=3；

(2)根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得/DBE=/C=55。，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)求解即可.

【解析】(1)解：:AABC沿ADEB,

：.BE=BC=3,

：.AE=AB-BE=6-3=3；

(2)解：,/AABC^ADEB,

：.乙DBE=NC=55°,

ZAED=ZDBE+ZD=25°+55°=80°.

48.如圖，在△48C中，AB=AC,5D_L/C于點(diǎn)。.

⑴若乙4=42。，求/Z>8C的度數(shù)；

⑵若CO=1,BC=2及,求AD，的長(zhǎng).

【答案】(1)21。

(2)8。="AB=4

【分析】(1)先根據(jù)等邊對(duì)等角和三角形內(nèi)角和定理求出NC=69。，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)進(jìn)行求解即

可；

(2)先利用勾股定理求出8。=將，設(shè)48=/C=x,則/。=x-l,在RtZX/AD中，由勾股定理得

x2=(x-l)2+(V7)2,解方程即可得到答案.

本題主要考查了勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，設(shè)未知數(shù)構(gòu)建方

程是解題的關(guān)鍵.

【解析】(1)解：：在△4BC中，AB=AC,ZA=42°,

BDLAC,

即ZADB=90°,

ZDBC=90°-ZC=21°；

(2)解：?.,在中，/BDC=90。,CD=\,BC=2枝,

：.BD2=BC2-CD2=1.

^AB=AC=x,貝i