2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)解答題提優(yōu)思路：圓錐曲線中的向量問題（學(xué)生版+解析）

專題05圓錐曲線中的向量問題(典型題型歸類訓(xùn)練)

目錄

題型一：垂直關(guān)系向量化....................................1

題型二：向量坐標(biāo)化.......................................4

題型三：利用向量求角......................................6

題型四：利用向量證明三點共線問題.........................9

專項訓(xùn)練................................................11

題型一：垂直關(guān)系向量化

1.(23-24高二上?重慶?期末)已知橢圓C：=+當(dāng)=1(a>3>0)的離心率為逅，焦

a2b23

距為2vL

(1)求橢圓C的方程；

(2)若直線>=依+2與C交點尸，Q兩點，。為坐標(biāo)原點，且ZPOQ=90。，求實數(shù)女的值.

22

2.（23-24高二上?云南大理?期中）已知橢圓。:1+2=1（4〉》>0）的短軸長為2,點F在

ab

橢圓C上，與兩焦點圍成的三角形面積的最大值為

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）當(dāng)P為橢圓C的右頂點時，直線/與橢圓C相交于兩點（異于P點），n.PM±PN.

試判斷直線/是否過定點？如果過定點，求出該定點的坐標(biāo)；如果不過定點，請說明理由.

3.（23-24高三上?山東臨沂?期末）已知圓M：（x+逐丁+/=9的圓心為拉，圓N：

1-石『+>2=1的圓心為N,一動圓與圓N內(nèi)切，與圓拉外切，動圓的圓心E的軌跡為

曲線C.

（1）求曲線C的方程：

（2）已知點尸（2,0）,直線/不過P點并與曲線C交于AB兩點，且麗.麗=0,直線/是否過

定點？若過定點，求出定點坐標(biāo)：若不過定點，請說明理由，

4.(23-24高二下?上海黃浦?期中)如圖：雙曲線的左、右焦點分別為瓦，工,

過K作直線/交y軸于點。.

(1)當(dāng)直線/平行于「的一條漸近線時，求點片到直線/的距離；

(2)當(dāng)直線/的斜率為1時，在:T的右支上是否存在點P,滿足電?恁=0?若存在，求出P

點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

5.(23-24高二上?浙江?階段練習(xí))已知拋物線C：V=2x,A(2,0).

⑴。是拋物線上一個動點，求|。4|的最小值；

(2)過點A作直線與該拋物線交于M、N兩點，求兩.兩的值.

題型二：向量坐標(biāo)化

22

1.(2024?安徽淮北二模)如圖，已知橢圓「東+}=1,(0>6>0)的左右焦點為耳，罵，短

軸長為6,A為「上一點，為"片"的重心.

⑴求橢圓「的方程；

(2)橢圓「上不同三點民C,。，滿足且忸K|,|C閭破|成等差數(shù)列，線段班>中

垂線交y軸于E點，求點E縱坐標(biāo)的取值范圍；

⑶直線/：'=履-2與「交于點，交V軸于P點，若麗=彳麗，求實數(shù)彳的取值范圍.

2.(2024高三?全國?專題練習(xí))設(shè)直線/：y=x+l與橢圓，+與=1(°>6>0)相交于A、B

ab

兩個不同的點，與X軸相交于點足

⑴證明:cr+b1>1；

(2)若尸是橢圓的一個焦點，且通=2而，求橢圓的方程.

22

3.（2024?湖北襄陽?模擬預(yù)測）設(shè)雙曲線E:=-七=l（a>0,b>0）的左、右頂點分別為A,

ab

B,左、右焦點分別為月，居，閨瑪卜2石，且E的漸近線方程為y=±；x,直線/交雙曲

線E于尸，Q兩點.

（1）求雙曲線E的方程；

⑵當(dāng)直線/過點（4,0）時，求而?通的取值范圍.

4.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點，對稱軸為坐標(biāo)軸，點尸（2,2）在

C上，點尸與C的上、下焦點連線所在直線的斜率之積為

（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵經(jīng)過點A（0,l）的直線4與雙曲線C交于E,尸兩點（異于點尸），過點尸作平行于x軸的直

線4,直線PE與4交于點且加=2/求直線AB的斜率.

5.(23-24高二上?江蘇常州?期末)如圖，已知拋物線C的方程為y2=2px(p>0),焦點為八

過拋物線內(nèi)一點A作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為A,與拋物線交于點P,已知A4'=4,

AF±PF,ZFAP=30°.

(1)求P的值；

⑵斜率為妖左>0)的直線過點。(0,-4),且與曲線C交于不同的兩點N,若存在

2e(4,+oo),使得兩=4而，求實數(shù)上的取值范圍.

題型三：利用向量求角

22

1.(23-24高二上?貴州貴陽?階段練習(xí))已知橢圓E：A+斗鼻,

ab

F2分別為橢圓的左、右焦點，且離心率e=g.

⑴求橢圓E的方程；

⑵過點耳且斜率為左的直線/與橢圓E交于A,8兩點，若乙4工8為鈍角，求上的取值范圍.

22

2.(2024?重慶?三模)已知橢圓C:「+與=1(“>6>0)的上、下頂點分別為AB,左頂點

ab

為D,△ABZ)是面積為由的正三角形.

(1)求橢圓C的方程；

(2)過橢圓C外一點M(加,0)的直線交橢圓C于P,Q兩點，已知點尸與點P關(guān)于x軸對稱，

點。與點。'關(guān)于x軸對稱，直線尸。與PQ交于點K,若aU⑦是鈍角，求根的取值范圍.

3.(23-24高二上?吉林?期末)已知拋物線爐=2點(°>0)焦點為R點4(4,間在拋物線上,

叫=5.

⑴求拋物線方程；

⑵過焦點F直線/與拋物線交于MN兩點，若MN最小值為4,且NM4N是鈍角，求直線

斜率范圍.

4.(2024?北京?三模)己知橢圓C：4+4=1(a>b>0)過點右焦點為尸(LO).

ab\

(1)求橢圓c的方程；

(2)過點尸的直線/(不與x軸重合)交橢圓C于點M、N,點A是右頂點，直線肱4、N4分

別與直線x=4交于點P、Q,求/尸尸。的大小.

5.(23-24高二下?河北?開學(xué)考試)已知橢圓C：二+與=1(a>6>0)的離心率為正，

a~b-2

左、右焦點分別為月，F(xiàn)2,上、下頂點分別為4，4,且四邊形A44居的面積為4.

(1)求橢圓c的方程.

⑵平行于X軸的直線/與橢圓C的一個交點為P,與以耳耳為直徑的圓的一個交點為Q,且尸,

Q位于y軸兩側(cè)，M,N分別是橢圓C的左、右頂點，直線MP,NP分別與，軸交于點E,

產(chǎn).證明：NEQF為定值.

題型四：利用向量證明三點共線問題

22

1.（2024上海崇明）已知橢圓八9+、=1（m>0,mwJI）,點分別是橢圓「與，軸

的交點（點A在點8的上方），過點。（0』）且斜率為左的直線/交橢圓r于E,G兩點.

⑴若橢圓「焦點在X軸上，且其離心率是變，求實數(shù)加的值；

2

（2）若加=左=1,求ABEG的面積；

⑶設(shè)直線AE與直線>=2交于點證明：氏G,"三點共線.

22

2.（2024?陜西榆林?模擬預(yù)測）已知橢圓C：左=1,>6>0）的左、右焦點分別為月，

F2,左、右頂點分別為A,3,出閭=2,|A5|=4.

（1）求橢圓C的方程.

（2）過尸2的直線與橢圓C交于M,N兩點（均不與A,3重合），直線MB與直線x=4交

于G點，證明：A,N,G三點共線.

3.（2024?山西太原三模）已知雙曲線C:二-二=1（。>0,6>0）的左、右頂點分別為A與

ab

8,點。（3,夜）在C上，且直線AD與3D的斜率之和為0.

（1）求雙曲線C的方程；

⑵過點P（3,0）的直線與C交于M,N兩點（均異于點A8）,直線MA與直線x=l交

于點Q,求證：B,N,Q三點共線.

22

4.（23-24高三上?廣東?階段練習(xí)）已知雙曲線C*-%=1（°>08>0）的右焦點為尸（2,0）,

一條漸近線方程為x-y/3y=0.

（1）求雙曲線C的方程；

（2）記C的左、右頂點分別為AI,過P的直線/交C的右支于兩點，連結(jié)MB交直

3

線X于點Q,求證：4。、N三點共線.

專項訓(xùn)練

22

1.（2024?福建泉州?模擬預(yù)測）橢圓點+方=l（a＞）＞0）的左、右焦點分別為耳,耳,尸為橢

圓上第一象限內(nèi)的一點，且PK與y軸相交于點Q，離心率e=q，若迎=4的,

貝|]九=()

A.』2A/3D.2

B.73R

332

2.（23-24高二上?北京?期中）已知橢圓加：［+丁=1的上、下頂點為A,3,過點P（0,2）的

直線/與橢圓/相交于兩個不同的點C,o（C在線段尸。之間），則無.礪的取值范圍為

()

A.(-1,16)B.[—1,16]C.D.3

2

3.（2024?河南?一模）已知過橢圓U/+匕=1的上焦點/且斜率為左的直線/交橢圓。于

2

兩點，0為坐標(biāo)原點，直線0A分別與直線y=2相交于M,N兩點.若NMQV為銳角,

則直線/的斜率化的取值范圍是（)

（一變變、

A.(^x),-l)u(l,+oo)B.

7、

C.—00,,+00D.”1,+8)

212

J77

r232

4.（2024?河北衡水?模擬預(yù)測）已知雙曲線E：r一方=1（。＞0,6＞0）的右焦點為尸，過點歹

a"

作直線/與漸近線法-0=0垂直，垂足為點尸，延長尸尸交E于點。.若迎=3而，則E的

離心率為（）

654

A.-B.一C.一D.72

543

22

5.（23-24高二下?安徽安慶?階段練習(xí)）已知點P為雙曲線C：。-當(dāng)=1（。＞0，b＞0）

ab

上位于第一象限內(nèi)的一點，過點P向雙曲線C的一條漸近線/作垂線，垂足為A,匕為雙曲

線C的左焦點，若百=2四，則漸近線/的斜率為（）

3

A.—3B.-272C.-y/5D.——

2

22

10.（2024?安徽淮北?二模）如圖，已知橢圓「J+二=l,g>6>0）的左右焦點為耳,工,

ab

短軸長為6,A為「上一點，為△然區(qū)的重心.

（1）求橢圓r的方程;

（2）橢圓「上不同三點氏C。，滿足工，且忸叫,|C閱,|邛|成等差數(shù)列，線段3。中

垂線交y軸于E點，求點E縱坐標(biāo)的取值范圍;

⑶直線/：y=履-2與「交于M,N點，交y軸于尸點，若兩=彳而，求實數(shù)幾的取值范圍.

1L（2024?山西太原?三模）已知雙曲線C:=-七=l（a>0,b>0）的左、右頂點分別為A與

ab

3,點。（3,拒）在C上，且直線AD與3。的斜率之和為四.

（1）求雙曲線C的方程；

（2）過點*3,0）的直線與C交于M,N兩點（均異于點A8）,直線MA與直線x=l交

于點Q,求證：B,N,Q三點共線.

22

12.(23-24高二上?黑龍江哈爾濱?期末)已知雙曲線與=1(°>0,6>0),拋物線

ab

V=4x的焦點廠是雙曲線M的右頂點，且以尸為圓心，以6為半徑的圓與直線

/:8-2。+2=0相切.

(1)求雙曲線M的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)已知直線y=2尤+根與雙曲線M交于A、B兩點，且雙曲線M是否存在上存在點尸滿足

OP=OA+OB，若存在，求出機的值，若不存在請說明理由.

13.(23-24高三上?福建福州?期中)已知直線/：>=x+2與拋物線C:無2=2刀(0>0)交于A,

B兩點，M為線段的中點，點N在拋物線C上，直線與y軸平行.

(1)證明：拋物線在點N處的切線與直線/平行；

(2)若NALNB,求拋物線C的方程.

專題05圓錐曲線中的向量問題(典型題型歸類訓(xùn)練)

目錄

題型一：垂直關(guān)系向量化....................................1

題型二：向量坐標(biāo)化.......................................4

題型三：利用向量求角......................................6

題型四：利用向量證明三點共線問題.........................9

專項訓(xùn)練11

題型一：垂直關(guān)系向量化

1.(23-24高二上?重慶?期末)已知橢圓C：二+與=1(a>A>0)的離心率為逅，焦

a2b13

距為2vL

(1)求橢圓C的方程；

⑵若直線>=履+2與C交點尸，。兩點，。為坐標(biāo)原點，且ZPOQ=90°,求實數(shù)上的值.

【答案】⑴工+丁=1

3

⑵k=土叵

3

【分析】(1)由焦距及離心率求出橢圓的方程；

(2)聯(lián)立直線和橢圓的方程，得再+%，七馬,由NPOQ=90。得而.而=0,求得人的值.

'2c=2^2

【詳解】(1)由題，￡=^,所以。2=3,*1,

a3

a2=b2+c2

橢圓的方程為三+y2=i.

3

設(shè)尸（石,％）,。（尤2,%），

If2?

聯(lián)立方程組J3.一，得（3%2+1）/+12依+9=0,

y=kx+2

貝1」A=144左2-36（3左2+1）>0,即左2>i,

-12k9

因為NPOQ=90。,所以。。。。=%光2+X、2=（左2+1）西光2+2左（西+尤2）+4=0，

即13-3/=0,得k=±叵,滿足左2>1,合題意.

3

所以一叵

3

22

2.（23-24高二上?云南大理?期中）已知橢圓C:=+2=l（a>/7>0）的短軸長為2,點P在

ab

橢圓C上，與兩焦點圍成的三角形面積的最大值為g.

⑴求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）當(dāng)P為橢圓C的右頂點時，直線/與橢圓C相交于MN兩點（異于P點），且PAMPN.

試判斷直線/是否過定點？如果過定點，求出該定點的坐標(biāo)；如果不過定點，請說明理由.

【答案】①二+9=1

4

（2）過定點

【分析】（1）由已知可推得6=1,加=有，即可得到橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)/：*=6+"7（相學(xué)2）,“（玉,％）,以々，%），與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理代入

可心兩=0求出山，再根據(jù)直線/的方程可得答案.

【詳解】（1）由已知得：b=1,be=A/3,a2+b2=c2,解得4=2,o=5/§',

故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為《+y2=1；

4

(2)由題意知，直線/的斜率不為0,

不妨設(shè)/：%=母+鞏加￥2),“(外,％)小(々，%)，

由+.'=1消去x得,2+4）/+2初9+加2_4=0,

x=ky+m

所以A=4//-4（/+4）（加一4）>0,即得公+4>病，

-2kmm2-4

12V+412V+4

???麗二（玉一2,yJ,麗=（%2—2,%）,PM±PN9

/.PM.PN=（%—2）（尤2—2）+%%=0，

又玉=+根,/=期2+m，

所以（左2+1）%%+4（機一2）（%+%）+（機-2）2=0,

所以（22+1}^—~±1（加一2）?:板+（加一2）2=0,m手2,

KIT-KIT-

解得7?1=|,

二直線/的方程為x=6+與，則直線/恒過點。2,。］

【點睛】方法點睛：聯(lián)立直線與圓錐曲線方程，根據(jù)韋達(dá)定理得到坐標(biāo)的關(guān)系式，根據(jù)向量

數(shù)量積為0,代入相關(guān)點的坐標(biāo)化簡后即可得到結(jié)論.

3.(23-24高三上?山東臨沂?期末)已知圓M：(x+6『+丁=9的圓心為以，圓N：

(x-有『+>2=1的圓心為N,一動圓與圓N內(nèi)切，與圓加外切，動圓的圓心E的軌跡為

曲線C.

(1)求曲線C的方程：

⑵己知點尸(2,0),直線/不過尸點并與曲線C交于AB兩點，且麗.麗=0,直線/是否過

定點？若過定點，求出定點坐標(biāo)：若不過定點，請說明理由，

【答案】(1)t-y2=i,(%>2);

4

(2)直線/恒過點(1,0),理由見解答.

【分析】（1）由題意M（-百,0）,N（V5;0）,\EM\-\EN\=4<\MN\=2^5,結(jié)合雙曲線的定義

求解即可得結(jié)論；

（2）設(shè)直線/的方程為彳=5+入聯(lián)立直線和雙曲線的方程消元后，應(yīng)用韋達(dá)定理，結(jié)合

條件西?麗=0,可得（占-2）（々-2）+%%=。，化簡整理即可求解.

【詳解】（1）如圖，設(shè)圓E的圓心為E（x,y）,半徑為r,

由題可得圓M半徑為3,圓N半徑為1,貝l]|EM|=r+3,\EN\=r-l,

所以|EM|-|EN|=4<|MN|=2百，

由雙曲線定義可知，E的軌跡是以“，N為焦點、實軸長為4的雙曲線的右支，

又M（-下,0）,N函，。）,

所以動圓的圓心E的軌跡方程為不-丁=1,（x>2）,

4

2

(x>2).

（2）設(shè)直線/的方程為了=5+7,

x=my+1

聯(lián)立公,消去X得。療一4）丫2+2加沙+/一4=0,

--y=L（xN2）

I4

由題意直線與曲線有兩個交點，則療-4W0,

設(shè)A（占，%）,B（x2,y2）,其中無?22,X2>2,

由韋達(dá)定理得：%%=二^，

m-4m-4

又點P（2,0）,所以⑸=（占-2,%）,而=（x「2,為），

因為麗?麗=0，所以（占-2）?-2）+%%=。，

22

貝！J(沖］+2-2)(my2+/—2)+yxy2=(m+1)%%+-2根)(％+y2)+?—2)

(m2+l)(r2-4)-2mt(mt—+2)2(m2-4)八

=------------------=0,

即3r2-16f+20=0,

解得，=g?=2舍去)，

當(dāng)”與，直線/的方程為了=加〉+個，機工土;，

故直線/恒過點（7,。）.

【點睛】圓錐曲線中定點問題的兩種解法

（1）引進(jìn)參數(shù)法：先引進(jìn)動點的坐標(biāo)或動線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量，再研究變化的量與

參數(shù)何時沒有關(guān)系，找到定點.

（2）特殊到一般法：先根據(jù)動點或動線的特殊情況探索出定點，再證明該定點與變量無關(guān).

技巧：若直線方程為y-%=左（》-%）,則直線過定點（升,%）;

若直線方程為1=h+萬（6為定值）,則直線過定點（o,6）.

4.（23-24高二下?上海黃浦?期中）如圖：雙曲線-y=1的左、右焦點分別為6，6,

過網(wǎng)作直線I交y軸于點Q.

（1）當(dāng)直線/平行于「的一條漸近線時，求點片到直線/的距離；

（2）當(dāng)直線/的斜率為1時，在:T的右支上是否存在點P,滿足印?而=0?若存在，求出尸

點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

【答案】⑴2

⑵不存在，理由見解析

【分析】（1）由點到直線的距離公式可直接求解；

（2）先根據(jù)斜率求出直線/的方程，從而得點。再設(shè)出點尸的坐標(biāo)，根據(jù)耶?而=0得

出點p的橫、縱坐標(biāo)之間的關(guān)系式，與雙曲線聯(lián)立消去y,由韋達(dá)定理即可解答.

【詳解】（1）雙曲線「:---y=1,焦點在x軸上，a=yfi,b=l,c=A/3+1=2,

3

則雙曲線左、右焦點分別為耳（-2,0）,鳥（2,0）,漸近線方程為y=±[x,

當(dāng)直線/平行于：T的一條漸近線時，不妨令k=與,則直線/的方程為y=*（x-2）,即

x-y/3y-2=0,

|-2-0-2|

則點寫到直線/的距離為1=

（2）不存在，理由如下:

當(dāng)直線/的斜率為1時，直線方程為y=x-2,因此。（0,-2）,

又耳（一2,0）,所以迎=（2,-2）,

設(shè)r的右支上的點P（x,y）（x>73）,則即=（x+2,y）,

由鼻A和=0得2（x+2）-2y=0,

又士--y2=1,聯(lián)立消去y得2Y+12x+15=0,

3'

由韋達(dá)定理知，此方程無正根，

因此，在「的右支上不存在點P,滿足印?超=0.

【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查直線與雙曲線的綜合應(yīng)用問題，解題關(guān)鍵是能夠利用

扉?而=0來構(gòu)造等量關(guān)系，結(jié)合韋達(dá)定理得到結(jié)論.

5.（23-24高二上?浙江?階段練習(xí)）己知拋物線C:;/=2x,A（2,0）.

⑴。是拋物線上一個動點，求|QA|的最小值；

⑵過點A作直線與該拋物線交于M、N兩點，求兩.兩的值.

【答案】⑴石

（2）0____________

【分析】⑴設(shè)。（2』,2。，表達(dá)出|QA|='卜一,求出最小值；

（2）設(shè)出直線MN的方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理即得.

【詳解】（1）設(shè)0（2己2）,|0川=’（2產(chǎn)—2）2+4產(chǎn)=/1_g]+3,

當(dāng)仁士容即°（1,土閭時，3取得最小值，最小值為5

（2）當(dāng)直線的斜率為0時，直線與拋物線只有1個交點，不合要求，

設(shè)直線的方程是》=份+2伏eR）,與拋物線聯(lián)立，消》得/一2口-4=0,

設(shè)”(%,%),N(%2，%)，

則%+%=2笈，%?=-4,故=4,

故OMON=石％2+X為=4-4=0.

題型二：向量坐標(biāo)化

22

1.（2024?安徽淮北二模）如圖，已知橢圓「:，+當(dāng)=l,（a>6>0）的左右焦點為耳，外，短

ab

軸長為6,A為「上一點，為"片"的重心.

（1）求橢圓「的方程；

⑵橢圓r上不同三點BCD,滿足CfU。％且忸可,|c閱閶成等差數(shù)列，線段3。中

垂線交y軸于E點，求點E縱坐標(biāo)的取值范圍；

⑶直線/：y=Ax-2與「交于M,N點，交y軸于P點，若兩=彳而，求實數(shù)4的取值范圍.

尤2V2

【答案】①上+匕=1

129

⑵（也句

（3）-5<2<—

【分析】（1）利用三角形重心坐標(biāo)公式先求A坐標(biāo)，再代入橢圓方程結(jié)合其性質(zhì)計算即可；

（2）設(shè)2、D、E坐標(biāo)，并根據(jù)焦半徑公式得瑞，由等差中項的性質(zhì)得出

=再根據(jù)點差法得出中垂線的斜率答=徐，表示3。中垂線方程，結(jié)

合點在橢圓內(nèi)計算范圍即可；

（3）設(shè)M、N坐標(biāo)，聯(lián)立橢圓方程結(jié)合韋達(dá)定理得出其橫坐標(biāo)關(guān)系，再根據(jù)平面向量的坐

,1c64k2

標(biāo)表示2+力+2=_5（41+3）'利用函數(shù)的性質(zhì)計算范圍即可.

【詳解】（1）不妨設(shè)耳（一GO）,耳（c,0）,

因為的重心，所以

9

所以2+a=1，

/F一

又短軸長為6,所以6=3,代入解得/=12,

22

所以橢圓方程為:上+匕=1;

129

（2）由上可知名（石,0）,設(shè)3（占,%）,。（々，%），3。中點召（不，%），

則忸用=J■一6『+犬，

221

又『空=1，消去%并整理得忸段=2近-5%，

同理|￡）B|=2有一g/，

又E=￥

由題意得20一;%+2萬一;％=2x孚,

即％0=~(%+*2)='

因s°在「上'易得耍+方式二°,化簡得個一1.黑

4%

所以線段班＞中垂線的斜率等=費,

線段3。中垂線方程:，

41

令尤=0得先=%一§%=一§%,

又線段3。中點在橢圓內(nèi)所以』+近＜1=-上叵＜%＜型,

129202

所以為e;

I/2）

（3）設(shè)加（%3，%）3（%4，”），由兩=沈麗得尤3=2匕"＜。，

V匚

聯(lián)立石+§一消y整理得（4r+3*-16爪-20=0,

y=kx-2

,口16k-20

伶尤/匕=際'無3尤4=際

所以幾+工+2=三+%+2='

2xAx,x,:

當(dāng)左=0時,/1=—1,

,6所46

當(dāng)左。0時,AH---F2=

2-5（4^+3）5（4k2+3

【點睛】思路點睛：根據(jù)焦半徑公式及等差中項的性質(zhì)可確定A。中點橫坐標(biāo)，再由中垂線

方程得出E與中點的關(guān)系結(jié)合點在橢圓內(nèi)計算范圍即可解決第二問；利用平面向量共

線的坐標(biāo)表示結(jié)合韋達(dá)定理計算M、N橫坐標(biāo)關(guān)系，分類討論斜率是否為零，再含參表示

2+：+2結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)求范圍解不等式即可.

/L

兩個不同的點，與X軸相交于點E

⑴證明:a2+b2>l;

⑵若尸是橢圓的一個焦點，且通=2而，求橢圓的方程.

【答案】（1）證明見解析

【分析】（1）將直線和橢圓聯(lián)立，得到判別式大于0,對不等式進(jìn)行化簡即可得到要證明

的結(jié)論；

（2）可將條件轉(zhuǎn)化為二次方程的問題，然后利用韋達(dá)定理對條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即可求出橢圓

的方程.

【詳解】（1）將直線y=x+i和橢圓±+t=l聯(lián)立，得到片+（龍+1）~=1，

Z72h2，心2

化簡即為b2X2+[2（X+1）2="2從,即人2%2+（%2+2]+]）=々2/,即

(a2+b2^x2+2crx+cr-c^b1=0.

因為直線與橢圓有兩個交點，故該方程有兩個不同的解，從而判別式A>0,

直接計算知：

△=4/-4(6?+尸)(儲_2b2)

=4/-4(a，+a2b2-a4b2-a2b4)

=-4a2b2+4a4b2+4a2b4

=4a2b2(a2+b~-1),

-l>0,從而儲+〃>1.

由于直線y=x+i和x軸的交點為(TO),故尸(-LO),半焦距c=i.

由于點B在直線y=x+i上，故可設(shè)以而通=2麗=2-(v,v)=(-2「2r),故

FA=(2t,2t),從而A(T+2r,2r).

將A(-L+27,2t)和3(-1-,T)的坐標(biāo)代入橢圓方程，知：

(TT)~+(V)-21

^^十聲一1

(-1+2Z)2(2r)2

+2=1

a2b

故關(guān)于p的方程(T+0+P-=\有兩個不同的解Pl=T,0=2九

a2b2

22222222

該方程可化為62(-1+p)2+42P2=ab,b^p-2p+]^+ap-ab=0,

即(a?+6?)_2Hp+b2-crb1=0,^^a2+b2)p2-2b2p+b2(l-a2)=O.

顯然A=4/-4片(1-/)(/+/)=4a2b2(a2+b2)>0,

2b2b2(l-a2

所以Pi+P2=

7TF'PR=a2+b2

由于。尸。2，故r/0,從而R，?！?。，這意味著P1P2#°，故」

a2+b2

匹+旦+2=p；+A+2PR=(R+P2y

而我們有——=—2——+2=

22AP2PRP1P2

_^2+Z?2J_4/_4b2

=^2(l-a2)=b2(l-a2)(a2+b2)=(l-a2)(a2+b2)'

a2+b2

14/

這就得到-5=(1一力"+/)，所以(1一叫,2+廿)=一8片,

所以R2_l)d+/)=泌2.

而c=l,i^La2-b2=c2=1,所以/?2=々2_].

從而8/=(〃_])(/+人2)=(4+〃)，故/+/=8.

a2+b2a2-b1=§+二,』

于是"-------------1-------------

22222

所以橢圓的方程是"+土=1.

97

22

3.（2024?湖北襄陽?模擬預(yù)測）設(shè)雙曲線匕二-與=1（。>0,6>0）的左、右頂點分別為A,

ab

B,左、右焦點分別為月，B，閨巴卜2石，且E的漸近線方程為y=±；x,直線/交雙曲

線E于尸，Q兩點.

（1）求雙曲線E的方程；

⑵當(dāng)直線/過點（4,0）時，求Q?通的取值范圍.

【答案】⑴三-產(chǎn)=1

4'

（2）（-oo,0]u（33,+a?）

2c=2A/5

【分析】（1）由題意可得2_J_,解方程即可得出答案；

2

（2）討論直線/的斜率存不存在，存在時設(shè)直線/的方程為y=4）,尸（為,％）,Q（%,%），

聯(lián)立直線與雙曲線的方程，將韋達(dá)定理代入存?碩，由反比例函數(shù)的單調(diào)性即可得出答案.

2c=245

【詳解】（1）由題意可得：，61,解得：〃=2,6=1,c=^5.

2

雙曲線的方程為：—-/=1.

4'

（2）當(dāng)直線/的斜率不存在時，Z:x=4,A（-2,0）,

此時網(wǎng)4,6）,Q（4,-⑹，所以而.而=（6,⑹（6,-@=36-3=33,

當(dāng)直線/的斜率存在時，設(shè)尸(%,%),Q(W，%)，因為直線/過點(4,0),

設(shè)直線/的方程為：y=%(x-4),

‘爐2

聯(lián)立可得：|X2+8^2X-16Z:2-1=0,

y=k[x-4r)

當(dāng)左時，△=(8/)2-4]；-F](-16/-1)=12G+1>0,

8/16)t2+l

%+%=------TX1-X2=-------—

k2--9k2--'

44

AP-Ae=(x1+2,y1Xx24-2,y2)=(x1+2)(x2+2)+y1y2

=(1+左2)菁工2+(2—4k2)(玉+X2)+4+16左2

=(1+陽國，+(2-4燈$+4+16*當(dāng)

F--k2--F--

33

令t=E,貝Ipe0,；H，+s),令g⑺=33+號_,g⑺在0,：1,t，+°)上單調(diào)遞

t----

4

減，

又g⑼=33-33=0,所以g⑺e(y,0]"33,+8),

所以衣的取值范圍為(T?,0]U(33,+8).

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第二問的關(guān)鍵是設(shè)直線=4）,再將其聯(lián)立雙曲線方程,

得到韋達(dá)定理式，計算相關(guān)向量，代入韋達(dá)定理式再利用換元法求出函數(shù)值域即可.

4.（2024,全國,模擬預(yù)測）已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點，對稱軸為坐標(biāo)軸，點共2,2）在

C上，點尸與C的上、下焦點連線所在直線的斜率之積為-g.

（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵經(jīng)過點A（O,1）的直線（與雙曲線C交于E,尸兩點（異于點尸），過點/作平行于X軸的直

線4,直線PE與4交于點。，且萬商=2/求直線A8的斜率.

22

【答案】①匕-'=1

24

（*

【分析】（1）由題意知雙曲線焦點在y軸上，設(shè)雙曲線方程為4-二=1,將P（2,2）代入

ab

雙曲線方程，然后根據(jù)直線斜率公式即可得到關(guān)于的兩個方程，即可求解.

（2）由題意設(shè)直線斯方程為x=7〃（yT）（〃7w2）,/（超,力），與雙曲線聯(lián)立后

根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系可以表示出乂+%與%%，分直線PE的斜率是否存在兩種情況進(jìn)行討論,

通過直線PE的方程表示出點。的坐標(biāo)，由已知條件可知點8為D尸中點，進(jìn)而可將點B坐

標(biāo)及直線A3斜率用％,%表示，通過之前求得的X+%與X%即可進(jìn)行求解.

【詳解】（1）第一步：根據(jù)點P在雙曲線上得。，〃的關(guān)系式

22

由題意設(shè)雙曲線C的方程為與

ab

由點尸（2,2）在C上,得之_2=1.①

ab

第二步：根據(jù)直線的斜率公式得。，6的關(guān)系式

D9-i-r1

設(shè)C的上、下焦點分別為耳（O,c）,鳥（O,-c）,貝U解得。2=6,

所以"+/=6.②

第三步：聯(lián)立方程解得〃的值

由①②得4=2,廿二人

第四步：得雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程

22

故雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為匕-Z=1.

24

（2）第一步：設(shè)直線方程，聯(lián)立方程得根與系數(shù)的關(guān)系由題意可知，直線EF的斜率不為0,

設(shè)直線E尸的方程為x=My-D（〃?w2）,磯玉,丹）,F（X,,J2）,

x=—

聯(lián)立，得方程組V2爐，

----------=1

I24

22

整理得（加之_2）y2_2my+m+4=0

所以療w4,△=（—2加—4（病—2）（療+4）>0,解得/<4,

2m2m2+4

所以％+*=

m2-2m2-2

貝|」3（%+%）-2%%=4.

第二步：用必，為表示點。的坐標(biāo)

當(dāng)直線PE的斜率不存在時，易得E（2,-2）,okyl此時直線

AB的斜率為當(dāng)直線PE的斜率存在時，直線PE的方程為、==|（苫-2）+2,所以點

/X]—Z

L

。的坐標(biāo)為—勺-+2,y2,

I%-2J

由士=根（弘一1）,可得

（%-2）（占-2）,c（%-2）阿％-1）-2],c+

?—b/一,

X-2%-2%-2

第三步：用%,為表示點8的坐標(biāo)

由而=2而％得點5為。尸的中點，所以

_irm(^-l)(y2-2)+2(y1-y2)]_研2%%T%+%)+4卜2(%-_必-%

(2

"=1"TEi二大三

則8》請,當(dāng)，

1%-2J

第四步：根據(jù)斜率的計算公式求直線的斜率.

kry2T_（%T）（X-2）=y1y1-y1-2y1+2_

所以asyi-y207i-y2%—%

X-2

3]

5（M+%）2必2y2+25（%一乂）]

__________________________________?

%-%x-%5

故直線AB的斜率為g