2024-2025學(xué)年人教版初中數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)同步練習(xí)：與圓有關(guān)的性質(zhì)-圓心角定理（解析版）

第02講與圓有關(guān)的性質(zhì)一圓心角定理

學(xué)習(xí)目標(biāo)

課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.能夠認(rèn)識(shí)并判斷圓心角

①圓心角的認(rèn)識(shí)

2.掌握?qǐng)A心角定理,能夠熟練的用圓心角定理解決相應(yīng)

②圓心角定理

的題目

思維導(dǎo)圖

圓心角認(rèn)識(shí)

圓心角定理的內(nèi)容

國心角定理的推論

知識(shí)點(diǎn)01圓心角的認(rèn)識(shí)

i.圓心角的認(rèn)識(shí):

頂點(diǎn)為圓心且角的兩邊為半徑的角叫做圓心角。

2.圓心角的大小范圍:

圓心角ot的大小范圍為0°<a<360。

題型考點(diǎn)：①圓心角的認(rèn)識(shí)與理解。

【即學(xué)即練1】

1.下圖中NAC2是圓心角的是（）

【解答】解：A、NACB不是圓心角;

B、/ACB是圓心角；

C、/AC2不是圓心角；

D、NAC3不是圓心角；

故選：B.

知識(shí)點(diǎn)02圓心角定理

1.圓心角定理:

在同圓和等圓中,相等的圓心角所對(duì)的弧相等,所對(duì)的弦也相等。

2.圓心角定理的推論：

在同圓或等圓中,如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的另

外兩組量都分別相等。

圓心角定理及其推論必須要在同圓或等圓中才成立。

3.弧的度數(shù)：

弧的度數(shù)等于它所對(duì)的圓心角的度數(shù)。

題型考點(diǎn)：①利用圓周角定理求角度。圓周角定理的相關(guān)證明。

【即學(xué)即練1】

2.如圖，。。的半徑等于4,如果弦AB所對(duì)的圓心角等于120°,那么圓心。到弦A8的距離等于.

【解答】解：如圖，：圓心角/AO8=120°,OA=OB,

是等腰三角形，

'：OC±AB,

：.ZACO=90°,ZA=30°,

.?.OC=1OA=2.

故答案為：2

【即學(xué)即練2】

3.如圖，在半徑為6的。。中，弦A8的長為6,求圓心角NA08的度數(shù)和點(diǎn)。到AB的距離.

【解答】解：過點(diǎn)0作0CLA8于點(diǎn)C,

\'OA^OB^AB=6,

￡\OAB是等邊三角形,

???NA03=60°,

=6X近二3我.

???OC=OA?sin600

2

【即學(xué)即練3】

4.如圖，已知AB是OO的直徑，D、C是劣弧￡8的三等分點(diǎn)，ZBOC=40°,那么NAOE=()

A.40°B.60°C.80°D.120°

【解答】解：C是劣弧國的三等分點(diǎn)，NBOC=40°

ZEOD=ZCOD=ZBOC=40°

：.ZAOE=60°.

故選：B.

【即學(xué)即練4】

5.如圖，在。。中，AC=BD，若/AOB=40。，則/COD=°.

A

B.

【解答】解：?..在O。中，AC=BD，

?1-AB=CD-

VZAOB=40°,

：.ZCOD=ZAOB=AO0.

故答案為：40.

【即學(xué)即練5】

6.如圖，在O。中，若點(diǎn)C是篇的中點(diǎn)，NA=50°,則NB0C=()

A.40°B.45°C.50°D.60°

【解答】解：：/4=50°,OAOB,

：.ZOBA=ZOAB=5Q0,

：.ZAOB=180°-50°-50°=80°,

:點(diǎn)C是窟的中點(diǎn)，

/.ZBOC=—ZAOB=40°,

2

【即學(xué)即練6】

7.已知：如圖，A、B、C、。在OO上，AB=CD.求證：ZAOC=ZDOB.

【解答】解：?.,弦AB=CD(己知)，

?*.AB=CD；

ZAOB=ZCOD,

：.ZAOB-ZBOC=ZCOD-ZBOC,

即NAOC=ZBOD.

題型精講

題型01圓心角定理及其推論

【典例1】

如圖，是。。的直徑，BC=CD=DE.若/COO=35°,則/AOE的度數(shù)是（）

A.35°B.55°C.75°D.95°

【解答】W："BC=CD=DE,ZC0D=35°'

ZBOC=ZEOD=ZCOD=35°,

ZAOE=180°-ZEOD-ZCOD-NBOC=75°.

故選：C.

【典例2】

如圖，在O。中窟=而，ZAOB=45°,則NCOD=()

A.60°B.45°C.30°D.40°

【解答】解：,??AB=CD，

：.ZCOD=ZAOB=45°.

故選：B.

【典例3】

如圖半徑OA,08,OC將一個(gè)圓分成三個(gè)大小相同扇形，其中。。是/AOB的角平分線，

3

則ZDOE等于（）

【解答】解：???半徑OB,OC將一個(gè)圓分成三個(gè)大小相同扇形，

AB=BC=AC-

.?.NAOB=N8OC=/AOC=120°,

：。￡）是/4。2的角平分線，

AZAOD=^-ZAOB=60°,

2

ZAOE=^ZAOC,

3

/.ZAOE=Axi20°=40°,

3

ZDOE=ZAOD+ZAOE=100°,

故選：A.

【典例4】

如圖，AB是O。的直徑，BC=CD=DE>/AOE=78°,則NCOB的度數(shù)是

；.NBOE=180°-ZAO￡=180°-78°=102°,

,?*BC=3=DE.

ZB0C=ZE0D=ZC0D=7ZB0E=34°，

o

故答案為：34°.

【典例5】

如圖，45是。。的直徑，四邊形ABCD內(nèi)接于OO,若BC=CD=DA=4,則。。的周長為（

--------

—

A.4nB.6TTC.8TTD.9n

【解答】解：如圖，連接OC、OD.

是。。的直徑，四邊形ABC。內(nèi)接于O。，BC=CD==￡)A=4,

?1.AD=CD=BC，

/.ZAOD=ZDOC=ZBOC=60°.

又04=00,

ZVI。。是等邊三角形，

：.OA=AD=4,

.,.QO的周長=2X4TT=8TT.

故選：C.

【典例6】

如圖,AB是O。的直徑，ZB0D=120°，。為弧BD的中點(diǎn),AC交OD于點(diǎn)E,DE=1,則AE的長為

o

c

【解答】解：?.?/8。。=120°,C為弧2D的中點(diǎn)，

ZAOD=180°-ZBOD=60°,ZBOC=ZCOD=60°,

A/BOC=30°,

：.ZOEA=1SO°-ABAC-ZAOD=90°,

：.AO=2OE=OD,

VDE=1,

：.20E-OE=1,

：.OE=1,

AAE=2,

22

???AE=VAO-OE=722-l2=M，

故答案為：

強(qiáng)化訓(xùn)練

1.下列語句中，正確的有（）

（1）相等的圓心角所對(duì)的弧相等；

（2）平分弦的直徑垂直于弦；

（3）長度相等的兩條弧是等弧；

（4）圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑都是對(duì)稱軸.

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

【解答】解：（1）在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，故（1）不符合題意；

（2）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，故（2）不符合題意；

（3）長度和度數(shù)相等的兩條弧是等弧，故（3）不符合題意；

（4）圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是對(duì)稱軸，故（4）不符合題意.

.?.正確的有0個(gè).

故選：A.

2.如圖，A2是圓。的直徑，BC、CD、是圓。的弦，且BC=CD=n4,則NBCZ）等于（）

A.100°B.110°C.120°D.135

【解答】解：連接。C、OD,

,:BC=CD=DA,

/COB=NCOD=NDOA,

VZCOB+ZCOD+ZDOA=\SO°,

：.ZCOB=ZCOD=ZDOA=60°,

.*.ZBCD=AX2(180°-60°)=120°.

2

故選：c.

3.如圖，AB是O。的弦，OCLAB于點(diǎn)X,若/AOC=45°,A0=2。^，則弦A3的長為（）

A.4B.2V2C.4V2D.2V3

【解答】解：???OC_LAB于H,

:?AH=BH,

在Rt2\A0H中，ZAOC=45°,

?：OH=2,

：.AH=OH=2,

：.AB=2AH=4.

故選：A.

4.如圖，已知在OO中，8c是直徑，AB=DC,則下列結(jié)論不一定成立的是（）

B.ZAOB=ZCOD

D.。到A3、CD的距離相等

【解答】解：???ABnOC,

...弧48=弧衣,

ZAOB=ZCOD,

：OA=OB=OC=O￡）,

注△COD（SAS）,

二。到AB、CD的距離相等，

所以8、C、。選項(xiàng)正確，

故選：A.

5.如圖，在。。中，窟=2而，則下列結(jié)論正確的是（）

A.AB>2CDB.AB=2CD

C.AB<2CDD.以上都不正確

【解答】解：取窟的中點(diǎn)E,連接AE,BE,

?.,在O。中，AB=2CD，

???AE=BE=CD，

:.AE=BE=CD,

'：AE+BE>AB,

：.2CD>AB.

故選:

6.如圖，AB為半圓O的直徑，點(diǎn)C、。為眾的三等分點(diǎn)，若NCOQ=50°,則N30E的度數(shù)是（）

A.25°B.30°C.50°D.60°

【解答】解：???點(diǎn)。、。為源的三等分點(diǎn)，

AAC=CD=DE，

/.ZAOC=ZCOD=ZDOE=50°,

AZAOE=150°,

：.ZEOB=180°-NAOE=30°,

故選：B.

7.如圖，A5為。。的直徑，BD=CD，ZBOD=42°,則NAOC的度數(shù)為（）

A.90°B.96°C.98°D.100°

【解答】解：???BD=CD，

：.ZCOD=ZBOD=42°,

TAB為。。的直徑，

???NAOC=1800-ZCOD-ZBOD=\SO°-42°-42°=96°.

故選：B.

8.如圖，在半徑為K芯的。。中，弦AB,C?；ハ啻怪保棺銥辄c(diǎn)P.若AB=CO=8,則OP的長為(

【解答】解：連接04、0C,過。作0E_LCD于E,。/_LAB于尸，則/0FP=/0EP=NCE0=NAR?

：.ZEPF=90a,

二四邊形0EPE是矩形，

：.OE=FP,EP=OF,

'COFLAB,OFxLO,AB=8,

.\AF=BF=4,

由勾股定理得：OF=寸oA2.AF2=yj(2^5)^-4=2，

同理。石=2,

即FP=0E=2,

在Rt^OFP中，由勾股定理得：。尸=而訪^^=^^7^=2近，

故選：B.

9.如圖，A2是O。的直徑，BC=CD.NCOD=52°,則/A。。的大小為

D

【解答】解：vBC=BD-

；.NCOD=NBOC=52°,

/.ZAOD^180°-ZCOD-ZB0C=16°,

故答案為：76°.

10.如圖，已知A3、CD是。。的直徑，AE=AC，/BOD=32°,則/COE的度數(shù)為度.

【解答】解：?.?/8?！?gt;=32°,

AZAOC=ZBOD=32°,

VAE=AC-

...NAOE=NAOC=32°,

ZCOE=ZAOC+ZAOE=32O+32°=64°,

故答案為：64.

11.半徑為2cm的。。中，弦長為的弦所對(duì)的圓心角度數(shù)為

【解答】解：如圖，作。由垂徑定理知，點(diǎn)。是的中點(diǎn)，

ZA=30°,

；.NAO￡)=60°,

AZAOB=2ZAOD=120°,

故答案為：120°.

12.如圖，在。。中，AB=CD）則下列結(jié)論中：?AB=CD；?AC=BD-,?ZAOC=ZBOD；④金=俞,

正確的是（填序號(hào)）.

【解答】解：在。。中，AB=CD）

：.AB=CD,故①正確；

YBC為公共弧，

???同=俞故④正確；

：.AC^BD,故②正確；

AZAOC=ZBOD,故③正確.

故答案為：①②③④.

13.如圖，已知圓。的弦AB與直徑CZ)交于點(diǎn)E,且CD平分

(1)已知A8=6,EC=2,求圓。的半徑；

(2)如果。E=3EC,求弦AB所對(duì)的圓心角的度數(shù).

【解答】解：(1)連接。4,如圖，設(shè)O。的半徑為r,則OA=r,0E=r-2,

■:CD平分AB,

，AE=BE=3,CDLAB,

在RtZXOAE中，32+(r-2)2=?,

解得r=K,

4

即。。的半徑為13；

4

(2)連接08,如圖，

,:DE=3EC,

：.OC+OE=3EC,

即0E+CE+0E=3CE,

：.OE=CE,

：.OE=^OC=^OA,

22

在RtZ\OAE中，：sinA=&&=L,

OA2

Z.ZA=30°,

'：OA=OB,

.?.NB=/A=30°,

AZAOB=180°-ZA-ZB=120°,

即弦A