2024-2025學(xué)年人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)復(fù)習(xí)：等腰三角形的性質(zhì)與判定（解析版）

特訓(xùn)12等腰三角形的性質(zhì)與判定

【特訓(xùn)過關(guān)】

1.已知等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別是5和6,則第三邊的長(zhǎng)是（）

A.5B.6C.5或6D.10

【答案】C.

【解析】解：由題意可分：當(dāng)邊長(zhǎng)為5的為該等腰三角形的底邊時(shí)，則腰長(zhǎng)為6,符合三角形三邊關(guān)系;

當(dāng)邊長(zhǎng)為5的為該等腰三角形的腰長(zhǎng)時(shí)，則該等腰三角形的三邊長(zhǎng)為5、5、6,符合三角形三邊關(guān)系；

綜上所述：第三邊的長(zhǎng)為5或6；

故選：C.

2.隨著釣魚成為一種潮流，如圖1所示的便攜式折疊凳成為熱銷產(chǎn)品，圖2是折疊凳撐開后的側(cè)面示意圖,

已知。C=OD,/5。。=108°,則凳腿與地面所成的角/。。。為（）

C.54°D.72°

【答案】C.

【解析】解：

ZOCD=ZODC,

'：ZBOD=108°,

：.ZBOD=ZOCD+ZODC=2ZODC=108°,

ZODC=54°,

故選：C.

3.下列條件中，不能判定△NBC是等腰三角形的是（）

A.（2=3,b=3,c=4B.a:b:c=2:3:4

C.ZB=50°,ZC=80°D.ZA;ZB:ZC=1:1:2

【答案】B.

【解析】解：A.a=3,b=3,c=4,

:.a=b,

.??△45C是等腰三角形；故選項(xiàng)A不符合題意；

B.a:b:c=2:3:4

:.a豐b豐c,

...△ABC不是等腰三角形，故選項(xiàng)B符合題意；

C.?/AB=50°,ZC=80°,

：.ZA=1800-ZB-ZC=50°,

：.NA=NB,

：.AC=BC,

：.AABC是等腰三角形，故選項(xiàng)C不符合題意；

D.?：ZA:ZB:ZC=1:1:2,

ZA=ZB,

：.AC=BC,

.??△48C是等腰三角形，故選項(xiàng)D不符合題意.

故選：B.

4.已知等腰三角形的一個(gè)外角等于100°,則它的頂角是（）

A.80°B.20°C.80°或20°D.不能確定

【答案】C.

【解析】解：①若100°是頂角的外角，貝IJ頂角=180°—100°=80°；

②若100°是底角的外角，貝U底角=180°—100°=80°,那么頂角=180°—2x80°=20°.

故選：C.

5.己知等腰三角形一腰上的中線將它的周長(zhǎng)分成9c加和12c機(jī)兩部分，則等腰三角形的腰長(zhǎng)為（

A.6cmB.6cmBK8cmC.8cmD.5c機(jī)或9c

【答案】B.

【解析】解：根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示，

設(shè)等腰三角形的腰長(zhǎng)N5=ZC=2x,BC=y,

???5。是腰上的中線，

AD=DC=x,

①若45+40的長(zhǎng)為12,則2x+x=12,

解得x=4,

二等腰三角形的腰長(zhǎng)為8cm,

②若48+40的長(zhǎng)為9,則2x+x=9,

解得x=3,

等腰三角形的腰長(zhǎng)為6cm,

故選：B.

6.如圖，在△尸4g中，PA=PB,M,N,K分別是PZ,PB,48上的點(diǎn)，且2/=ZK,

BN=BK,

若NMKN=44°,則/尸=()

【答案】B.

【解析】解：；尸2=尸8,

ZA=NB,

?：AM=AK,BN=BK,

：.ZAKM=ZAMK=ZBKN=ZBNK,

'：NMKN=44°,

：.ZAKM=ZBKN=1(180°-44°)=68°,

/.ZA=ZB=180°-68°—68°=44°,

：.ZP=180°-ZA-ZB=92°,

故選：B.

7.如圖，在△48C中，ZA=36°,AB=AC,8。是△48C的角平分線.若在邊48上截取

BE=BC,

連接?！?則圖中等腰三角形共有（）

A

B

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

【答案】D.

【解析】解：=

.?.△48C是等腰三角形；

;AB=AC,ZA=36°,

ZABC=ZC=72°,

???AD是A48C的角平分線，

ZABD=ZDBC=-ZABC=36°,

2

/.N4=NABD=36°,

BD=AD,

AAB。是等腰三角形；

在ABCD中，ZBDC=180°-ZDBC-ZC=180°-36°-72°=72°,

ZC=ZBDC=72°,

?.BD=BC,

△BCD是等腰三角形；

,/BE=BC,

BD=BE,

△ADE是等腰三角形；

ABED=(180°-36。)+2=72°,

ZADE=ZBED-Z^=72°-36°=36°,

NN=ZADE,

DE=AE,

.?.△ZOE是等腰三角形；

，圖中的等腰三角形有5個(gè).

故選：D.

8.如圖所示的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn).已知/、8是兩格點(diǎn)，如果C也是圖中的格點(diǎn)，且

使得△ABC為等腰三角形，則點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是（）

【答案】C.

【解析】解：如圖，分情況討論：

①48為等腰△48C的底邊時(shí)，符合條件的C點(diǎn)有4個(gè)；

②48為等腰dBC其中的一條腰時(shí)，符合條件的C點(diǎn)有4個(gè).

9.如圖，ZABC=ZACB,BD,CD,分別平分AZBC的內(nèi)角NZ8C,外角NZC下，外角

ZEAC.以

下結(jié)論：

①AD〃BC；

②ZACB=2ZADB；

③NBDC=；NB幺C；

④△48。和△ZCD都是等腰三角形.

其中正確的結(jié)論有（）

E

BCF

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】D.

【解析】解：平分NE4C,

ZEAC=2ZEAD,

,/ZEAC=ZABC+ZACB,ZABC=ZACB,

：.ZEAD=ZABC,

：.AD//BC,故①正確；

,/AD//BC,

NADB=NDBC,

BD平分ZABC,ZABC=ZACB,

：.ZABC=ZACB=2ZDBC,

ZACB=2ZADB,故②正確；

:ZACF=2NDCF,ZACF=ZBAC+ZABC,ZABC=2ZDBC,ZDCF=ZDBC+ZBDC,

:.NBAC=2NBDC,NBDC=g/BAC,故③正確；

在AADC中，ZADC+ZCAD+ZACD=180°,

；CD平分AABC的外角ZACF,

Z.ZACD=ZDCF,

,/AD//BC,

:.NADC=NDCF,NADB=/DBC,ZCAD=ZACB,

：.AD=CD,

...△ZQC是等腰三角形，

,/ZABC=ZACB,

?：AD//BC,

NADB=ZDBC,

BD平分ZABC，ZABD=ZDBC，

：.ZABD=ZADB,

.?.△48。是等腰三角形.

故④正確.

綜上所述，正確的有4個(gè).

故選：D.

10.如圖，在中，N48。和NZC5的平分線相交于點(diǎn)。，過。點(diǎn)作EF〃BC交4B于點(diǎn)E,交

AC

于點(diǎn)E過點(diǎn)。作OQLNC于D,下列四個(gè)結(jié)論.

@EF=BE+CF；(2)ZBOC=90°+^ZA；③點(diǎn)。到△NBC各邊的距離相等；④設(shè)機(jī)，

AE+AF=n,則，女尸二^機(jī)〃，正確的結(jié)論有()個(gè).

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】D.

【解析】解：???在AZBC中，N48。和NZC8的平分線相交于點(diǎn)O,

AZOBC=-ZABC,ZOCB=-ZACB,ZA+ZABC+ZACB=l80°,

22

ZOBC+NOCB=90°--ZA,

2

NBOC=180°-(ZOBC+ZOCB)=90°+^ZA；故②正確；

?.,在AABC中，ZABC和ZACB的平分線相交于點(diǎn)。，

ZOBC=ZOBE,ZOCB=ZOCF,

EF//BC,

/.ZOBC=ZEOB,ZOCB=ZFOC,

：.ZEOB=NOBE,ZFOC=ZOCF,

BE=OE,CF=OF,

：.EF=OE+OF=BE+CF,

故①正確；

過點(diǎn)。作（W，48于作ONLBC于N,連接CM,

?.?在ANBC中，N/8C和NZC5的平分線相交于點(diǎn)。，

ON=OD=OM=m,

：.SAFF=SAnF+S,nP=-AE-OM+-AF-OD=-OD-（AE+AF}=^-mn；故④正確；

?.?在AABC中，N4BC和NNCB的平分線相交于點(diǎn)。，

.?.點(diǎn)。到△48C各邊的距離相等，故③正確.

故選：D.

11.如果一個(gè)等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為4c〃?和8CM,則此等腰三角形的周長(zhǎng)為cm.

【答案】20.

【解析】解：等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為4c〃?和8c加，

當(dāng)腰長(zhǎng)是4cm時(shí)，則三角形的三邊是4c加，4cm,Scm,4c機(jī)+4c機(jī)=8c機(jī)不滿足三角形的三邊關(guān)系；

當(dāng)腰長(zhǎng)是8c加時(shí)，三角形的三邊是8<?加，8cm,4cm,8cm+4cm>8cm,滿足三角形的三邊關(guān)系，三角形

的周長(zhǎng)是8+8+4=20（0機(jī)）.

故答案為：20.

12.如圖，AZBC中，AD平分NBAC,CD1AD,若NZ3C+44cD=180。，CD=4,則5C的長(zhǎng)

為.

【答案】8.

【解析】解：延長(zhǎng)48、CD交于點(diǎn)E,

A

?/AD平分NB4C,

：.NEAD=ACAD,

,/CDA.AD,

：.NADE=ZADC=90°,

在AADE和△4DC中，

"NEAD=ZCAD

<AD=AD,

ZADE=ZADC

：.AADE^AADC(ASA),

:.DE=DC=4,AE=AC,

：.CE=8,ZE=ZACD,

?：ZABC+ZACD=180°,ZABC+ZCBE=180°,

NE=ZACD=ZCBE,

/.BC=CE=8,

故答案為：8.

13.如圖，若3、D、F在AN上,C、E在ZAf上，且AB=5C=C￡>,EC=ED=EF,ZA=20°,

【解析】解:如圖,

N

：.ZA=Z1=20°,

???N2是△48C的外角，

/.N2=NZ+N1=4O°,

,/BC=CD,

：.N3=N2=40°,

/.N5=N3+NZ=40°+20°=60°,

?/CE=ED,

：.N4=N5=60°,

：.Z6=180°-Z3-Z4=l80°-40°-60°=80°,

'：ED=EF,

：.Z6=Z7=80°,

/.ZFED=180°-Z6-Z7=l80°—80°-80°=20°.

故答案為：20°.

14.如圖，。為AZBC內(nèi)一點(diǎn)，CD平分N4CB,BELCD,垂足為D,交NC與點(diǎn)E,

NA=NABE.若

AC=7,BC=4,則5。的長(zhǎng)為.

【解析】解：???。。平分/2。8,

/.ZBCD=NECD,

BELCD,

：.NBDC=ZEDC=90°,

?/CD=CD,

：.ABDC、EDC（ASA）,

：.BC=CE=4,BD=DE,

又：NA=NABE,

AE=BE,

VAC=7,BC=4,

：.AE=AC-CE=3,

BE=AE=3,

/.BD=—BE——,

22

3

故答案為：

2

15.如圖，AZBC中，AB=8,AC=6,BC=5,NZ8C與NZC5的平分線相交于點(diǎn)。，過。點(diǎn)作

DE//BC,則AADE的周長(zhǎng)為.

【解析】解：由N4SC與NNC5的平分線相交于點(diǎn)。，得

ZDBO=ZOBC,ZECO=ZOCB.

由。E〃8C,得

ZDOB=ZOBC,ZEOC=ZOCB,

NDOB=NDBO,ZEOC=ZECO,

：.DO=BD,0E=EC.

C,nF=AD+DE+AE=AD+BD+AE+CE=AB+AC=lA.

故答案為14.

16.如圖，在中，AB=20cm,ZC=12。機(jī)，點(diǎn)P從點(diǎn)8出發(fā)以每秒3c機(jī)速度向點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)

Q

從點(diǎn)/同時(shí)出發(fā)以每秒2c〃?速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止，當(dāng)

△APQ

【答案】4.

【解析】解：設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為X,

在ANBC中，AB=20cm,AC=12cm,

點(diǎn)尸從點(diǎn)8出發(fā)以每秒3cm的速度向點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)。從點(diǎn)/同時(shí)出發(fā)以每秒2c加的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),

當(dāng)是等腰三角形時(shí)，AP=AQ,

AP=20—3x,AQ=2x,

即20—3x=2x,

解得x=4.

故答案為：4.

17.如圖，在AZBC中，ZBAC=90°,ADLBC,垂足是點(diǎn)。，BE平分N4BC交4c于E,交,AD

于

F,點(diǎn)G,點(diǎn)〃分別為線段BE,N5上動(dòng)點(diǎn)，下面四個(gè)結(jié)論：①ZCAD=2ZABE；②

ZAEF=NAFE；

③AC-AB=AD-BC；@AG+GH>AD.其中正確的有（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）.

【答案】①②③.

【解析】解：在AZBC中，ZBAC=90°,AD1BC,

ABAC=ZADC=ZADB=90°,

/.ZC+ZCAD=ZC+/ABC=90°,

/.ZCAD=NABC,

,:BE平分NABC,

：.ZABC=2ZABE=2ZCBE,

ZCAD=2ZABE=2ZCBE；故①正確，符合題意;

,/ABAC=ZADB=90°,

/.ZABE+NAEF=NCBE+ZBFD=90°,

?：ZABE=ZCBE,

/.ZAEF=ZBFD=ZAFE,故②正確，符合題意；

V5,=-AC-AB=-AD-BC,

AAbR。r22

：.ACAB=ADBC,故③正確，符合題意；

作點(diǎn)”關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)則NG+G〃=NG+G/7'2/H'2Z。，故④錯(cuò)誤，不符合題意;

故答案為：①②③.

18.如圖，在A48C中，AB=AC,CE平分NACB,EC=EA.

（1）求NZ的度數(shù)；

（2）若ADLZC,垂足為。，BD交EC于點(diǎn)、F,求N1的度數(shù).

【答案】（1）ZA=36°；（2）Z1=54°.

【解析】解：（1）?：EC=EA,

設(shè)AA=N2=x,

,/CE平分NACB,

NACB=2x,

*/AB=AC,

：.ZABC=NACB=2x,

在中，x+2x+2x=180。,

x=36°,

/.NZ=36°；

(2)ZA=Z2,

：.N2=36。，

,/BD1AC,

：.ZDFC=90°-36°=54°,

：.Z1=ZDFC=54°.

19.如圖，已知點(diǎn)D,E分別在45和ZC上，DE//BC,BD=DE.

(1)求證：BE平分N4BC；

(2)若NN=50°,ZEBC=30°,求NZC5的度數(shù).

【答案】（1）證明見解析；（2）ZACB=70°.

【解析】（1）證明：：￡>E〃8C,

ZDEB=ZEBC,

BD=DE,

ZDEB=ZDBE,

ZEBC=ZDBE,

:.BE平分/ABC；

(2)解：由(1)可知：ZEBC=ZDBE,

???ZEBC=30°,

/.ZEBC=ZDBE=30°,

ZABC=ZEBC+ZDBE=60°,

,/N4=50°,

ZACB=180°-(ZA+ZABC)=180°-(60°+50°)=70°.

20.用一條長(zhǎng)為20c”的細(xì)繩圍成一個(gè)等腰三角形.

(1)如果腰長(zhǎng)是底邊長(zhǎng)的2倍，那么腰長(zhǎng)是多少？

(2)能圍成一邊長(zhǎng)是5c加的等腰三角形嗎？為什么？

【答案】(1)腰長(zhǎng)是：8cm,8cm；(2)能圍成有長(zhǎng)是5cw的等腰三角形，理由見解析.

【解析】解：(1)設(shè)底邊長(zhǎng)為xc〃z,則腰長(zhǎng)為2xcm,貝U2x+2x+x=20,

解得，x=4,

2x=8,

二腰長(zhǎng)是：8cm,8cm；

(2)能圍成有長(zhǎng)是5c〃？的等腰三角形，

理由：①當(dāng)5c加為底時(shí)，腰長(zhǎng)=7.5cm,

②當(dāng)5c加為腰時(shí)，底邊=10。機(jī)，因?yàn)?+5=10,故不能構(gòu)成三角形，故舍去；

故能構(gòu)成有一邊長(zhǎng)為5cm的等腰三角形.

21.如圖，在AZ5c中，點(diǎn)E在4B上,點(diǎn)、D在BC上,BD=BE,連接/。與CE且相交于點(diǎn)尸，有

/BAD=NBCE.求證：△NFC為等腰三角形.

E,

BDC

【答案】證明見解析.

【解析】證明：???在AZB。和ACBE中，

ABAD=NBCE

<NB=NB,

BD=BE

：."BD、CBE(AAS),

/.AB=BC,

BE=BD,

AE=CD,

在△ZEE和△(?￡)/中，

"ZAFE=ZCFD

<ZEAF=ZDCF,

AE=CD

:.AAEF均CDF(AAS),

：.AF=CF,

.?.△4FC是等腰三角形.

22.如圖，在△NBC中，N/8C=90°,點(diǎn)￡在BC上，點(diǎn)廠在N8的延長(zhǎng)線上，連接NE,CF,且

AE=CF,

BF=BE.求證：ANBC是等腰三角形.

【答案】證明見解析.

【解析】證明：：N48C=90°,

ZCBF=180°-ZABC=90°,

在Rt^ABE和Rt^CBF中

BE=BF

<AE=CF>

/.RMABE2RtKBF(HL),

/.AB=CB,

...△48C是等腰三角形.

23.如圖，在AZBC中，ZC=5C,點(diǎn)尸為Z8的中點(diǎn)，邊NC的垂直平分線交ZC,CF,CB于點(diǎn)

D,

O,E,連接05.

(1)求證：AOBC為等腰三角形；

(2)若N/CE=23°,求N50E的度數(shù).

【答案】（1）證明見解析；（2）ZBOE=21°.

【解析】（1）證明：連接CM,如圖，

?；AC=BC,點(diǎn)尸為48的中點(diǎn)，

/.CF1AB,

：.CF垂直平分AB,

/.0A=0B,

垂直平分NC,

OA=OC,

：.OB=0C,

...△08C為等腰三角形；

（2）解：,:AC=BC,CFLAB,

CF平分NACB,

：.NBCF=ZACF=23°,

；OB=OC,

：.40BC=ZOCB=23°,

?：ZEDC=90°,

/DEC=90°-ZDCE=90°-23°-23°=44°,

?/ZOEC=ZOBE+ZBOE,

N8O￡=44°—23°=21°.

24.(1)如圖1,已知：在ANBC中，AB=AC=10,BD平分NABC,CD平分NACB,過點(diǎn)。作

EF//BC,分別交48、NC于￡、尸兩點(diǎn)，則圖中共有個(gè)等腰三角形；EF與BE、C尸之間的

數(shù)量關(guān)系是,“EF的周長(zhǎng)是

(2)如圖2,若將(1)中“△NBC中，AB=AC=10改為“若AZBC為不等邊三角形，AB=8,

ZC=10”其余條件不變，則圖中共有