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文檔簡介

特訓12等腰三角形的性質與判定

【特訓過關】

1.已知等腰三角形的兩邊長分別是5和6,則第三邊的長是()

A.5B.6C.5或6D.10

【答案】C.

【解析】解:由題意可分:當邊長為5的為該等腰三角形的底邊時,則腰長為6,符合三角形三邊關系;

當邊長為5的為該等腰三角形的腰長時,則該等腰三角形的三邊長為5、5、6,符合三角形三邊關系;

綜上所述:第三邊的長為5或6;

故選:C.

2.隨著釣魚成為一種潮流,如圖1所示的便攜式折疊凳成為熱銷產(chǎn)品,圖2是折疊凳撐開后的側面示意圖,

已知。C=OD,/5。。=108°,則凳腿與地面所成的角/。。。為()

C.54°D.72°

【答案】C.

【解析】解:

ZOCD=ZODC,

':ZBOD=108°,

:.ZBOD=ZOCD+ZODC=2ZODC=108°,

ZODC=54°,

故選:C.

3.下列條件中,不能判定△NBC是等腰三角形的是()

A.(2=3,b=3,c=4B.a:b:c=2:3:4

C.ZB=50°,ZC=80°D.ZA;ZB:ZC=1:1:2

【答案】B.

【解析】解:A.a=3,b=3,c=4,

:.a=b,

.??△45C是等腰三角形;故選項A不符合題意;

B.a:b:c=2:3:4

:.a豐b豐c,

...△ABC不是等腰三角形,故選項B符合題意;

C.?/AB=50°,ZC=80°,

:.ZA=1800-ZB-ZC=50°,

:.NA=NB,

:.AC=BC,

:.AABC是等腰三角形,故選項C不符合題意;

D.?:ZA:ZB:ZC=1:1:2,

ZA=ZB,

:.AC=BC,

.??△48C是等腰三角形,故選項D不符合題意.

故選:B.

4.已知等腰三角形的一個外角等于100°,則它的頂角是()

A.80°B.20°C.80°或20°D.不能確定

【答案】C.

【解析】解:①若100°是頂角的外角,貝IJ頂角=180°—100°=80°;

②若100°是底角的外角,貝U底角=180°—100°=80°,那么頂角=180°—2x80°=20°.

故選:C.

5.己知等腰三角形一腰上的中線將它的周長分成9c加和12c機兩部分,則等腰三角形的腰長為(

A.6cmB.6cmBK8cmC.8cmD.5c機或9c

【答案】B.

【解析】解:根據(jù)題意畫出圖形,如圖所示,

設等腰三角形的腰長N5=ZC=2x,BC=y,

???5。是腰上的中線,

AD=DC=x,

①若45+40的長為12,則2x+x=12,

解得x=4,

二等腰三角形的腰長為8cm,

②若48+40的長為9,則2x+x=9,

解得x=3,

等腰三角形的腰長為6cm,

故選:B.

6.如圖,在△尸4g中,PA=PB,M,N,K分別是PZ,PB,48上的點,且2/=ZK,

BN=BK,

若NMKN=44°,則/尸=()

【答案】B.

【解析】解:;尸2=尸8,

ZA=NB,

?:AM=AK,BN=BK,

:.ZAKM=ZAMK=ZBKN=ZBNK,

':NMKN=44°,

:.ZAKM=ZBKN=1(180°-44°)=68°,

/.ZA=ZB=180°-68°—68°=44°,

:.ZP=180°-ZA-ZB=92°,

故選:B.

7.如圖,在△48C中,ZA=36°,AB=AC,8。是△48C的角平分線.若在邊48上截取

BE=BC,

連接?!?則圖中等腰三角形共有()

A

B

A.2個B.3個C.4個D.5個

【答案】D.

【解析】解:=

.?.△48C是等腰三角形;

;AB=AC,ZA=36°,

ZABC=ZC=72°,

???AD是A48C的角平分線,

ZABD=ZDBC=-ZABC=36°,

2

/.N4=NABD=36°,

BD=AD,

AAB。是等腰三角形;

在ABCD中,ZBDC=180°-ZDBC-ZC=180°-36°-72°=72°,

ZC=ZBDC=72°,

?.BD=BC,

△BCD是等腰三角形;

,/BE=BC,

BD=BE,

△ADE是等腰三角形;

ABED=(180°-36。)+2=72°,

ZADE=ZBED-Z^=72°-36°=36°,

NN=ZADE,

DE=AE,

.?.△ZOE是等腰三角形;

,圖中的等腰三角形有5個.

故選:D.

8.如圖所示的正方形網(wǎng)格中,網(wǎng)格線的交點稱為格點.已知/、8是兩格點,如果C也是圖中的格點,且

使得△ABC為等腰三角形,則點C的個數(shù)是()

【答案】C.

【解析】解:如圖,分情況討論:

①48為等腰△48C的底邊時,符合條件的C點有4個;

②48為等腰dBC其中的一條腰時,符合條件的C點有4個.

9.如圖,ZABC=ZACB,BD,CD,分別平分AZBC的內角NZ8C,外角NZC下,外角

ZEAC.以

下結論:

①AD〃BC;

②ZACB=2ZADB;

③NBDC=;NB幺C;

④△48。和△ZCD都是等腰三角形.

其中正確的結論有()

E

BCF

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】D.

【解析】解:平分NE4C,

ZEAC=2ZEAD,

,/ZEAC=ZABC+ZACB,ZABC=ZACB,

:.ZEAD=ZABC,

:.AD//BC,故①正確;

,/AD//BC,

NADB=NDBC,

BD平分ZABC,ZABC=ZACB,

:.ZABC=ZACB=2ZDBC,

ZACB=2ZADB,故②正確;

:ZACF=2NDCF,ZACF=ZBAC+ZABC,ZABC=2ZDBC,ZDCF=ZDBC+ZBDC,

:.NBAC=2NBDC,NBDC=g/BAC,故③正確;

在AADC中,ZADC+ZCAD+ZACD=180°,

;CD平分AABC的外角ZACF,

Z.ZACD=ZDCF,

,/AD//BC,

:.NADC=NDCF,NADB=/DBC,ZCAD=ZACB,

:.AD=CD,

...△ZQC是等腰三角形,

,/ZABC=ZACB,

?:AD//BC,

NADB=ZDBC,

BD平分ZABC,ZABD=ZDBC,

:.ZABD=ZADB,

.?.△48。是等腰三角形.

故④正確.

綜上所述,正確的有4個.

故選:D.

10.如圖,在中,N48。和NZC5的平分線相交于點。,過。點作EF〃BC交4B于點E,交

AC

于點E過點。作OQLNC于D,下列四個結論.

@EF=BE+CF;(2)ZBOC=90°+^ZA;③點。到△NBC各邊的距離相等;④設機,

AE+AF=n,則,女尸二^機〃,正確的結論有()個.

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】D.

【解析】解:???在AZBC中,N48。和NZC8的平分線相交于點O,

AZOBC=-ZABC,ZOCB=-ZACB,ZA+ZABC+ZACB=l80°,

22

ZOBC+NOCB=90°--ZA,

2

NBOC=180°-(ZOBC+ZOCB)=90°+^ZA;故②正確;

?.,在AABC中,ZABC和ZACB的平分線相交于點。,

ZOBC=ZOBE,ZOCB=ZOCF,

EF//BC,

/.ZOBC=ZEOB,ZOCB=ZFOC,

:.ZEOB=NOBE,ZFOC=ZOCF,

BE=OE,CF=OF,

:.EF=OE+OF=BE+CF,

故①正確;

過點。作(W,48于作ONLBC于N,連接CM,

?.?在ANBC中,N/8C和NZC5的平分線相交于點。,

ON=OD=OM=m,

:.SAFF=SAnF+S,nP=-AE-OM+-AF-OD=-OD-(AE+AF}=^-mn;故④正確;

?.?在AABC中,N4BC和NNCB的平分線相交于點。,

.?.點。到△48C各邊的距離相等,故③正確.

故選:D.

11.如果一個等腰三角形的兩邊長分別為4c〃?和8CM,則此等腰三角形的周長為cm.

【答案】20.

【解析】解:等腰三角形的兩邊長分別為4c〃?和8c加,

當腰長是4cm時,則三角形的三邊是4c加,4cm,Scm,4c機+4c機=8c機不滿足三角形的三邊關系;

當腰長是8c加時,三角形的三邊是8<?加,8cm,4cm,8cm+4cm>8cm,滿足三角形的三邊關系,三角形

的周長是8+8+4=20(0機).

故答案為:20.

12.如圖,AZBC中,AD平分NBAC,CD1AD,若NZ3C+44cD=180。,CD=4,則5C的長

為.

【答案】8.

【解析】解:延長48、CD交于點E,

A

?/AD平分NB4C,

:.NEAD=ACAD,

,/CDA.AD,

:.NADE=ZADC=90°,

在AADE和△4DC中,

"NEAD=ZCAD

<AD=AD,

ZADE=ZADC

:.AADE^AADC(ASA),

:.DE=DC=4,AE=AC,

:.CE=8,ZE=ZACD,

?:ZABC+ZACD=180°,ZABC+ZCBE=180°,

NE=ZACD=ZCBE,

/.BC=CE=8,

故答案為:8.

13.如圖,若3、D、F在AN上,C、E在ZAf上,且AB=5C=C£>,EC=ED=EF,ZA=20°,

【解析】解:如圖,

N

:.ZA=Z1=20°,

???N2是△48C的外角,

/.N2=NZ+N1=4O°,

,/BC=CD,

:.N3=N2=40°,

/.N5=N3+NZ=40°+20°=60°,

?/CE=ED,

:.N4=N5=60°,

:.Z6=180°-Z3-Z4=l80°-40°-60°=80°,

':ED=EF,

:.Z6=Z7=80°,

/.ZFED=180°-Z6-Z7=l80°—80°-80°=20°.

故答案為:20°.

14.如圖,。為AZBC內一點,CD平分N4CB,BELCD,垂足為D,交NC與點E,

NA=NABE.若

AC=7,BC=4,則5。的長為.

【解析】解:???。。平分/2。8,

/.ZBCD=NECD,

BELCD,

:.NBDC=ZEDC=90°,

?/CD=CD,

:.ABDC、EDC(ASA),

:.BC=CE=4,BD=DE,

又:NA=NABE,

AE=BE,

VAC=7,BC=4,

:.AE=AC-CE=3,

BE=AE=3,

/.BD=—BE——,

22

3

故答案為:

2

15.如圖,AZBC中,AB=8,AC=6,BC=5,NZ8C與NZC5的平分線相交于點。,過。點作

DE//BC,則AADE的周長為.

【解析】解:由N4SC與NNC5的平分線相交于點。,得

ZDBO=ZOBC,ZECO=ZOCB.

由。E〃8C,得

ZDOB=ZOBC,ZEOC=ZOCB,

NDOB=NDBO,ZEOC=ZECO,

:.DO=BD,0E=EC.

C,nF=AD+DE+AE=AD+BD+AE+CE=AB+AC=lA.

故答案為14.

16.如圖,在中,AB=20cm,ZC=12。機,點P從點8出發(fā)以每秒3c機速度向點N運動,點

Q

從點/同時出發(fā)以每秒2c〃?速度向點C運動,其中一個動點到達端點,另一個動點也隨之停止,當

△APQ

【答案】4.

【解析】解:設運動的時間為X,

在ANBC中,AB=20cm,AC=12cm,

點尸從點8出發(fā)以每秒3cm的速度向點N運動,點。從點/同時出發(fā)以每秒2c加的速度向點C運動,

當是等腰三角形時,AP=AQ,

AP=20—3x,AQ=2x,

即20—3x=2x,

解得x=4.

故答案為:4.

17.如圖,在AZBC中,ZBAC=90°,ADLBC,垂足是點。,BE平分N4BC交4c于E,交,AD

F,點G,點〃分別為線段BE,N5上動點,下面四個結論:①ZCAD=2ZABE;②

ZAEF=NAFE;

③AC-AB=AD-BC;@AG+GH>AD.其中正確的有(寫出所有正確結論的序號).

【答案】①②③.

【解析】解:在AZBC中,ZBAC=90°,AD1BC,

ABAC=ZADC=ZADB=90°,

/.ZC+ZCAD=ZC+/ABC=90°,

/.ZCAD=NABC,

,:BE平分NABC,

:.ZABC=2ZABE=2ZCBE,

ZCAD=2ZABE=2ZCBE;故①正確,符合題意;

,/ABAC=ZADB=90°,

/.ZABE+NAEF=NCBE+ZBFD=90°,

?:ZABE=ZCBE,

/.ZAEF=ZBFD=ZAFE,故②正確,符合題意;

V5,=-AC-AB=-AD-BC,

AAbR。r22

:.ACAB=ADBC,故③正確,符合題意;

作點”關于的對稱點則NG+G〃=NG+G/7'2/H'2Z。,故④錯誤,不符合題意;

故答案為:①②③.

18.如圖,在A48C中,AB=AC,CE平分NACB,EC=EA.

(1)求NZ的度數(shù);

(2)若ADLZC,垂足為。,BD交EC于點、F,求N1的度數(shù).

【答案】(1)ZA=36°;(2)Z1=54°.

【解析】解:(1)?:EC=EA,

設AA=N2=x,

,/CE平分NACB,

NACB=2x,

*/AB=AC,

:.ZABC=NACB=2x,

在中,x+2x+2x=180。,

x=36°,

/.NZ=36°;

(2)ZA=Z2,

:.N2=36。,

,/BD1AC,

:.ZDFC=90°-36°=54°,

:.Z1=ZDFC=54°.

19.如圖,已知點D,E分別在45和ZC上,DE//BC,BD=DE.

(1)求證:BE平分N4BC;

(2)若NN=50°,ZEBC=30°,求NZC5的度數(shù).

【答案】(1)證明見解析;(2)ZACB=70°.

【解析】(1)證明::£>E〃8C,

ZDEB=ZEBC,

BD=DE,

ZDEB=ZDBE,

ZEBC=ZDBE,

:.BE平分/ABC;

(2)解:由(1)可知:ZEBC=ZDBE,

???ZEBC=30°,

/.ZEBC=ZDBE=30°,

ZABC=ZEBC+ZDBE=60°,

,/N4=50°,

ZACB=180°-(ZA+ZABC)=180°-(60°+50°)=70°.

20.用一條長為20c”的細繩圍成一個等腰三角形.

(1)如果腰長是底邊長的2倍,那么腰長是多少?

(2)能圍成一邊長是5c加的等腰三角形嗎?為什么?

【答案】(1)腰長是:8cm,8cm;(2)能圍成有長是5cw的等腰三角形,理由見解析.

【解析】解:(1)設底邊長為xc〃z,則腰長為2xcm,貝U2x+2x+x=20,

解得,x=4,

2x=8,

二腰長是:8cm,8cm;

(2)能圍成有長是5c〃?的等腰三角形,

理由:①當5c加為底時,腰長=7.5cm,

②當5c加為腰時,底邊=10。機,因為5+5=10,故不能構成三角形,故舍去;

故能構成有一邊長為5cm的等腰三角形.

21.如圖,在AZ5c中,點E在4B上,點、D在BC上,BD=BE,連接/。與CE且相交于點尸,有

/BAD=NBCE.求證:△NFC為等腰三角形.

E,

BDC

【答案】證明見解析.

【解析】證明:???在AZB。和ACBE中,

ABAD=NBCE

<NB=NB,

BD=BE

:."BD、CBE(AAS),

/.AB=BC,

BE=BD,

AE=CD,

在△ZEE和△(?£)/中,

"ZAFE=ZCFD

<ZEAF=ZDCF,

AE=CD

:.AAEF均CDF(AAS),

:.AF=CF,

.?.△4FC是等腰三角形.

22.如圖,在△NBC中,N/8C=90°,點£在BC上,點廠在N8的延長線上,連接NE,CF,且

AE=CF,

BF=BE.求證:ANBC是等腰三角形.

【答案】證明見解析.

【解析】證明::N48C=90°,

ZCBF=180°-ZABC=90°,

在Rt^ABE和Rt^CBF中

BE=BF

<AE=CF>

/.RMABE2RtKBF(HL),

/.AB=CB,

...△48C是等腰三角形.

23.如圖,在AZBC中,ZC=5C,點尸為Z8的中點,邊NC的垂直平分線交ZC,CF,CB于點

D,

O,E,連接05.

(1)求證:AOBC為等腰三角形;

(2)若N/CE=23°,求N50E的度數(shù).

【答案】(1)證明見解析;(2)ZBOE=21°.

【解析】(1)證明:連接CM,如圖,

?;AC=BC,點尸為48的中點,

/.CF1AB,

:.CF垂直平分AB,

/.0A=0B,

垂直平分NC,

OA=OC,

:.OB=0C,

...△08C為等腰三角形;

(2)解:,:AC=BC,CFLAB,

CF平分NACB,

:.NBCF=ZACF=23°,

;OB=OC,

:.40BC=ZOCB=23°,

?:ZEDC=90°,

/DEC=90°-ZDCE=90°-23°-23°=44°,

?/ZOEC=ZOBE+ZBOE,

N8O£=44°—23°=21°.

24.(1)如圖1,已知:在ANBC中,AB=AC=10,BD平分NABC,CD平分NACB,過點。作

EF//BC,分別交48、NC于£、尸兩點,則圖中共有個等腰三角形;EF與BE、C尸之間的

數(shù)量關系是,“EF的周長是

(2)如圖2,若將(1)中“△NBC中,AB=AC=10改為“若AZBC為不等邊三角形,AB=8,

ZC=10”其余條件不變,則圖中共有

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