2024-2025學(xué)年人教版九年級數(shù)學(xué)上冊同步練習(xí)：與旋轉(zhuǎn)有關(guān)的計算（30題）（原卷版）

專題第01講與旋轉(zhuǎn)有關(guān)的計算

1.（2023春?秦都區(qū)期末）如圖，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)E在AC邊上，連接BE,將BE繞點(diǎn)B逆時針

旋轉(zhuǎn)60°得到80,連接。E、AD.

（1）求證：AD=CE；

（2）若BC=8cm,BE=1cm,求△ADE的周長.

2.（2023春?北林區(qū)期末）如圖，在正方形A8C。中，E,尸是對角線3D上兩點(diǎn)，且NEAP=45°,將4

A。尸繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90°后，得到△A2。，連接EQ.

（1）求證：EF=EQ；

（2）求證：EF2=BE2+DF2.

3.（2022秋?同心縣期末）如圖，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)。在AC邊上，將△BCD繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到△ACE.

(1)求證：是等邊三角形；

(2)若A8=8,BD=7,求△ADE的周長.

4.(2023春?清遠(yuǎn)期末)如圖，在△ABC中，點(diǎn)E在BC邊上，AE=AB,將線段AC繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AF的位

置，使得/CAF=/BAE,連接EF,EF與AC交于點(diǎn)G.

(1)求證：BC=EF；

(2)若/A8C=64°,ZACB=25°,求NAGE的度數(shù).

5.(2023春?白銀期中)如圖，在四邊形ABC。中，ZBCZ)=120°,BC=CD,AC±BD,點(diǎn)E在對角線

E

F

BC

BD1.,將線段CE繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)120°,得到線段C凡連接。尸.

(1)求證：BE=DF；

(2)若EB=EC,求證：AC1CF.

6.(2023春?南城縣期中)如圖，點(diǎn)。是等邊三角形42c內(nèi)一點(diǎn)，將C。繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到CD,

連接?！?,AO,BO,AD.

(1)求證：BO=AD-,

(2)若。4=10,08=8,OC=6,求/80C的度數(shù).

7.(2023春?羅源縣校級期中)如圖，先將△ABC繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△OEC,再將線段。E繞點(diǎn)

。順時針旋轉(zhuǎn)90°得到。G,連接BE、BG、AD,且4C=4.

(1)若/A8C=135°.B、E、。三點(diǎn)在同一條直線上，求BG的長；

(2)若/A8C=90°,AC=2CE,點(diǎn)尸在邊A8上，求線段尸。的最小值.

8.(2023春?成武縣期中)己知AB^AC,AB>BC.

(1)如圖(1),CB平分NACO,求證：四邊形A8￡)C是菱形；

(2)如圖(2),將(1)中的繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)(旋轉(zhuǎn)角小于NA4C),BC,DE的延長線相交

于點(diǎn)R用等式表示NACE與NEPC之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

9.(2023春?九江期末)如圖，在RtZXABC中，ZBCA=90°,將△ABC繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)至△ADE處,

分別延長與皮）交于點(diǎn)R連接AF、CE.

（1）求證：以平分/CFE；

（2）若S四邊形ABFD=12,AC—4,求CE的長.

10.（2023春?葉胎縣期末）如圖，將矩形ABC。繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到矩形PECG,點(diǎn)E在上，延長即交

FG于點(diǎn)"連接BE、CH.

（1）四邊形2E8C是怎樣的特殊四邊形？證明你的結(jié)論；

（2）若BC長為2,則AB的長為時，四邊形BEHC

為菱形.

11.（2023春?平山縣期末）如圖，PQ//MN,A、B分別為直線MN、PQ上兩點(diǎn)，且NBAN=45°,若射線

AM繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)至AN后立即回轉(zhuǎn)，射線BQ繞點(diǎn)8逆時針旋轉(zhuǎn)至BP后立即回轉(zhuǎn)，兩射線分別繞

點(diǎn)A、點(diǎn)8不停地旋轉(zhuǎn)，若射線AM轉(zhuǎn)動的速度是/秒，射線8。轉(zhuǎn)動的速度是6°/秒，且。、b滿足

\a-5|+(6-1)2=0.(友情提醒：鐘表指針走動的方向?yàn)轫槙r針方向)

⑴a—,b—；

(2)若射線AM、射線8。同時旋轉(zhuǎn)，間至少旋轉(zhuǎn)多少秒時，射線AM、射線8。互相垂直.

(3)若射線AM繞點(diǎn)A順時針先轉(zhuǎn)動18秒，射線2。才開始繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)，在射線BQ到達(dá)BA之

前，問射線AM再轉(zhuǎn)動多少秒時，射線AM、射線BQ互相平行？

管用圖

12.(2023春?振興區(qū)校級期中)如圖(1),在△ABC中，4B=AC=2,ZABC=30°,射線于點(diǎn)

C,動點(diǎn)。從點(diǎn)8出發(fā)沿射線方向運(yùn)動；以每秒1個單位長度的速度運(yùn)動，運(yùn)動時間為f秒；

（1）以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，將逆時針旋轉(zhuǎn)120°,得到線段AE,連接BE,8E是否存在最小值，不存

在，則說明理由，存在則求出BE最小時的“直及8E的最小值；

（2）若射線8N為NA8M的平分線，當(dāng)點(diǎn)。從B點(diǎn)出發(fā)時，點(diǎn)廠從點(diǎn)A向8點(diǎn)與點(diǎn)。同時同速運(yùn)動（0

13.（2023春?遷安市期中）老師在黑板上出示題目:

如圖1,在△ABC中，/A=32°,NC=

55°,線段CB'與C8邊重合，CB'從現(xiàn)

在的位置繞著點(diǎn)C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周

回到原來的位置是否有一位置使CB'//

AB?如果有這樣的位置，請畫出示意圖，并

求出的度數(shù)，如果沒有說明理由

（1）（如圖2）嘉嘉認(rèn)為：有這樣一個位置，使得CB'〃48,如圖.請你按照嘉嘉的做法，求出N8C8'

的度數(shù).

（2）（如圖3）琪琪認(rèn)為：嘉嘉的想法不全面，還存在另外一種情況使得CB'//AB你是否同意琪琪的

說法？如果同意，請畫出圖形，并求出此時的度數(shù)；如果不同意，請說明理由.

圖1圖2圖3

14.（2022秋?青山湖區(qū)期末）閱讀下面材料，并解決問題:

（1）如圖①等邊△A8C內(nèi)有一點(diǎn)尸，若點(diǎn)尸到頂點(diǎn)A、B、C的距離分別為3,4,5,求/APB的度數(shù).

為了解決本題，我們可以將△A8P繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到△ACP處，此時△ACPg△A8P,這樣就可以利

用旋轉(zhuǎn)變換，將三條線段以、PB、PC轉(zhuǎn)化到一個三角形中，從而求出/4尸8=

（2）基本運(yùn)用

圖②圖③

請你利用第（1）題的解答思想方法，解答下面問題

已知如圖②,ZVIBC中，/CAB=90°,AB=AC,E1"為8c上的點(diǎn)且NEAP=45°,^iiE：￡F2=B￡2+FC2；

（3）能力提升

如圖③，在RtZXABC中，ZC=90°,AC=1,ZABC=30°，點(diǎn)。為Rt^ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接A。，BO,

CO,且/AOC=/COB=/BQA=12(r,求OA+OB+OC的值.

15.（2023春?清江浦區(qū)期末）如圖1,MN〃P。，點(diǎn)A在直線上，點(diǎn)8在直線P。上，射線AC繞點(diǎn)A

順時針從射線AM旋轉(zhuǎn)至射線AN后便立即回轉(zhuǎn)；射線BD繞點(diǎn)B順時針從射線BP旋轉(zhuǎn)至射線BQ后便

立即回轉(zhuǎn)：射線AC、射線8。不停地來回旋轉(zhuǎn).若射線AC轉(zhuǎn)動的速度是a度/秒，射線8。轉(zhuǎn)動的速度

是6度/秒，且。、b是方程。+36=6的正整數(shù)解.

圖2備用圖

(1)a=,b=；

(2)如圖2,若/BAN=45°,兩條射線同時轉(zhuǎn)動，在射線AC到達(dá)AN之前，若兩條射線交于點(diǎn)E,過

E作EFJ_AC交尸。于尸，若/BEE=20°,求/BAC的度數(shù)；

(3)若射線2。先轉(zhuǎn)動30秒，射線AC才開始轉(zhuǎn)動，在射線BO到達(dá)BQ之前，射線AC轉(zhuǎn)動幾秒，射

線AC與射線8?；ハ嗥叫?？

16.(2023春?蒸湘區(qū)期末)如圖，有一副直角三角板如圖1放置(其中/。=45°,ZC=30°),PA,PB

與直線MN重合，且三角板B1C,三角板尸8。均可以繞點(diǎn)P逆時針旋轉(zhuǎn).

（1）在圖1中，ZDPC=；

（2）①如圖2,若三角板尸8。保持不動，三角板必C繞點(diǎn)P逆時針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速為10°/秒，轉(zhuǎn)動一周三

角板B4c就停止轉(zhuǎn)動，在旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)旋轉(zhuǎn)時間為多少時，有PC〃DB成立;

②如圖3,在圖1基礎(chǔ)上，若三角板E4C的邊外從PN處開始繞點(diǎn)尸逆時針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速為3。/秒，同時

三角板尸8。的邊PB從尸M處開始繞點(diǎn)尸逆時針旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)速為2°/秒，當(dāng)PC轉(zhuǎn)到與位置重合時，

兩三角板都停止轉(zhuǎn)動，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)時，求旋轉(zhuǎn)的時間是多少？

17.（2023春?雄縣期中）教材中有這樣一道題：如圖1,四邊形A8CZ）是正方形，G是BC上的任意一點(diǎn),

OE_LAG于點(diǎn)E,BF//DE,且交AG于點(diǎn)尸.求證：AF-BF=EF.

(1)若圖1中的點(diǎn)G為C8延長線上一點(diǎn)，其余條件不變，如圖2所示，猜想此時AF,BF,EE之間

的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

(2)將圖1中的△A8P繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)，使得AB與AD重合，記此時點(diǎn)尸的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)尸，如圖3

所示，若正方形的邊長為3,求EF的長度.

18.(2023春?長垣市期末)綜合與實(shí)踐

數(shù)學(xué)社團(tuán)的同學(xué)以“兩條平行線AB,C￡＞和一塊含45°角的直角三角尺EFG(/EPG=90°)”為主題

開展數(shù)學(xué)活動，已知點(diǎn)E,尸不可能同時落在直線A8和CO之間.

探究：（1）如圖1,把三角尺的45°角的頂點(diǎn)E,G分別放在AB,C￡）±,若/BEG=150。，求NFGC

的度數(shù)；

類比：（2）如圖2,把三角尺的銳角頂點(diǎn)G放在CD上，且保持不動，若點(diǎn)E恰好落在和C。之間，

且A8與所所夾銳角為25°,求NPGC的度數(shù)；

遷移：（3）把三角尺的銳角頂點(diǎn)G放在C。上，且保持不動，旋轉(zhuǎn)三角尺，若存在/R7C=5NQGE（/

DGE<45°）,直接寫出射線GP與AB所夾銳角的度數(shù).

19.（2023春?陽城縣期末）如圖1,將一副直角三角板放在同一條直線上，其中/OM/=30°,ZOCD

=45。.圖1圖2圖3

（1）觀察猜想：將圖1中的三角尺。8沿A3的方向平移至圖2的位置，使得點(diǎn)。與點(diǎn)N重合，CD

與相交于點(diǎn)E,則NCEN=；

（2）操作探究：將圖1中的三角尺。8繞點(diǎn)。按順時針方向旋轉(zhuǎn)，使一邊。。在/WON的內(nèi)部，如

圖3,且OD恰好平分/MON,CD與NM相交于點(diǎn)E,求NCEN的度數(shù)；

（3）深化拓展：將圖1中的三角尺。。繞點(diǎn)。按沿順時針方向旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)邊OC

旋轉(zhuǎn)多少度時，邊C。恰好與邊平行？

20.（2023春?岱岳區(qū)期末）知識探究：如圖1,點(diǎn)E是正方形A8C。對角線AC上任意一點(diǎn)，以點(diǎn)E為直

角頂點(diǎn)的直角△E/G兩邊EREG分別角與A。，A8相交于M點(diǎn)，N點(diǎn).當(dāng)EfUA。時，請?zhí)骄颗c

EN的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

拓展探究：當(dāng)△￡人?繞點(diǎn)E順時針旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)M與點(diǎn)。重合時，如圖2,請?zhí)骄颗cEN的數(shù)量關(guān)系,

并說明理由；

21.(2023春?順平縣期末)如圖，正方形ABC。的對角線相交于點(diǎn)。，點(diǎn)。又是正方形EFG。的一個頂點(diǎn),

且這兩個正方形邊長相等.OE與BC相交于點(diǎn)M,OG與CD相交于點(diǎn)N.

(1)求證：AOBM咨AOCN；

(2)嘉琪說：當(dāng)正方形EFGO繞點(diǎn)。轉(zhuǎn)動，且OE與8c垂直時，四邊形OMCN的面積最小.你同意

嘉琪的說法嗎？請說明理由；

(3)若正方形ABC。的邊長為歷用含。的代數(shù)式表示兩個正方形重疊部分的面積為.

22.(2023春?沈丘縣期末)如圖，點(diǎn)0在直線AB上，OCLAB,中，ZODE=90°,/EOD=60°,

先將△ODE一邊與OC重合，然后繞點(diǎn)。順時針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)與08重合時停止旋轉(zhuǎn).

(1)當(dāng)OD在。1與0c之間，且/。。。=20°時，則NAOE=；

(2)試探索：在△ODE旋轉(zhuǎn)過程中，NA。。與/COE大小的差是否發(fā)生變化？若不變，請求出這個差

值；若變化，請說明理由；

(3)在△ODE的旋轉(zhuǎn)過程中，若NAOE=】NCOD,試求/AOE的大小.

23.(2023春?東昌府區(qū)期末)在等邊三角形ABC的內(nèi)部有一點(diǎn)。，連接CD,以點(diǎn)8為中心，把

逆時針旋轉(zhuǎn)630°得到m'，連接A。'，DD'.以點(diǎn)C為中心，把C。順時針旋轉(zhuǎn)60°得到8",

連接4。"，DD"

(1)判斷和NO2C的大小關(guān)系，并說明理由;

BC

(2)求證：D'A=DC；

(3)求證：四邊形AUD。”是平行四邊形.

24.(2022秋?河口區(qū)期末)感知：如圖①，△ABC和△AOE都是等腰直角三角形，ZBAC^ZDAE=9Q°,

點(diǎn)3在線段上，點(diǎn)C在線段AE上，我們很容易得到BD=CE,不需證明.

探究：如圖②，將繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)a(0<a<90°),連結(jié)2。和CE,此時3D=CE是否依然

成立？若成立，寫出證明過程；若不成立，說明理由.應(yīng)用：如圖③，當(dāng)△?1￡>￡繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)，使

得點(diǎn)。落在8c的延長線上，連結(jié)CE.求：

①乙4CE的度數(shù)；

②若A8=AC=2、/^,CD=2,則線段。E的長是多少？

25.(2023春?內(nèi)鄉(xiāng)縣期末)將一副直角三角板如圖1,擺放在直線上(直角三角板A8C和直角三角板

EDC,ZEDC^90°,/DEC=6Q°,ZABC=90°,ZBAC=45°),保持三角板EDC不動，將三角

板ABC繞點(diǎn)C以每秒5。的速度順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)時間為/秒，當(dāng)AC與射線CN重合時停止旋轉(zhuǎn).

(1)如圖2,當(dāng)AC為/。CE的角平分線時，求此時f的值；

(2)當(dāng)AC旋轉(zhuǎn)至/OCE的內(nèi)部時，求/OC4與/EC8的數(shù)量關(guān)系；

(3)在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)三角板ABC的其中一邊平行于三角板EDC的某一邊時，求此時f等于(直

接寫出答案即可).

26.(2023春?衡山縣期末)一副三角板如圖1擺放，ZC=ZDFE=90°,ZB=30°,NE=45°,點(diǎn)尸

在BC上，點(diǎn)A在。尸上，且AF平分NC4B,現(xiàn)將三角板。FE繞點(diǎn)/以每秒5°的速度順時針旋轉(zhuǎn)(當(dāng)

點(diǎn)。落在射線上時停止旋轉(zhuǎn))，設(shè)旋轉(zhuǎn)時間為f秒.

(1)當(dāng)片秒時，DE//AB；當(dāng)片秒時，DE±AB；

(2)在旋轉(zhuǎn)過程中，。尸與AB的交點(diǎn)記為P,如圖2,若△APP有兩個內(nèi)角相等，求t的值；

(3)當(dāng)邊QE與邊A3、8c分別交于點(diǎn)M、N時，如圖3,連接AE,設(shè)/8AE=x°,ZAED=ya,Z

DFB=z0,試問x+y+z是否為定值？若是，請求出定值；若不是，請說明理由.

27.(2023春?太原期中)如圖，己知△ABC中，AB^AC,ZBAC=100°,點(diǎn)。是平面內(nèi)一點(diǎn)，將線段

繞點(diǎn)A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)100。得到線段AE.

(1)當(dāng)點(diǎn)。在△ABC內(nèi)部時，連接8。，CE.請判斷線段8。與CE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

(2)請從A,2兩題中任選一題作答.

A.當(dāng)點(diǎn)。在△ABC內(nèi)部時，若直線DE恰好經(jīng)過點(diǎn)3,直接寫出/8EC的度數(shù).

B.當(dāng)點(diǎn)。在△ABC外部時，若直線DE恰好經(jīng)過點(diǎn)C,直接寫出N2DC的度數(shù).

AA

E

Bz---------

備用圖

28.(2023春?遂平縣期末)如圖1,將一副三角板的直角重合放置，其中/A=30°,ZCDE=45°.

(1)如圖1,求NEEB的度數(shù)；

(2)若三角板ACB的位置保持不動，將三角板CDE繞其直角頂點(diǎn)C順時針方向旋轉(zhuǎn).

①當(dāng)旋轉(zhuǎn)至如圖2所示位置時，恰