2024-2025學(xué)年人教版九年級數(shù)學(xué)上冊專項復(fù)習(xí)：旋轉(zhuǎn)綜合題拓展訓(xùn)練（9考點60題）（原卷版）

旋轉(zhuǎn)綜合題拓展訓(xùn)練（9考點60題）

目錄與鏈接

考點一、線段的旋轉(zhuǎn)問題........................................................2

考點二、三角形的旋轉(zhuǎn)..........................................................19

考點三、四邊形的旋轉(zhuǎn)..........................................................38

考點四、一次函數(shù)的圖象旋轉(zhuǎn)問題................................................53

考點五、二次函數(shù)背景下的旋轉(zhuǎn)問題..............................................66

考點六、二次函數(shù)的中心對稱問題................................................84

考點七、與旋轉(zhuǎn)有關(guān)的最值問題................................................108

考點八、利用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造圖形解決問題............................................128

考點九、旋轉(zhuǎn)規(guī)律探究........................................................146

考點一、線段的旋轉(zhuǎn)問題

1.（23-24八年級下?四川成都?期末）如圖，等腰直角13c中，AC=BC,將線段C4繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)a。

（0<a<90）得到線段。'，作點/關(guān)于線段。'所在直線的對稱

點、E,連接/E和3E,分別交線段C4'所在直線于點〃和點F，若CF=1,FM=3,則即的長為.

2.(23-24八年級下?重慶九龍坡?期末)如圖，在矩形/8C。中，/B=4,2C=4G，點P是3c邊上一點,

連接4P,以/為中心，將線段4P繞點/逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到AQ,連接C。、。。，且ABCQ=ADCQ,則

3.(22-23八年級下?安徽阜陽?期末)如圖①，在矩形48CD中，點K在邊上，點尸在邊3c上，連接

DE,DF,EF,已知N班3=2NC￡＞凡

(1)求證：DF平分■乙CFE；

(2)如圖②，若矩形/BCD為正方形，求/EDE的度數(shù)；

(3)如圖③，在(2)的基礎(chǔ)上，將點E繞點。順時針旋轉(zhuǎn)使點E的對應(yīng)點落到點F,已知點皮恰好落在

邊3C的延長線上，連接DE',EE',若EE'=86，求的面積.

4.(23-24八年級下?江蘇無錫?期末)如圖1,在〃48a)中，對角線/C,8。相交于點。，且

AD=BD=2小,BDVAD,點￡為線段49上一動點，連接DE,將DE繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到。尸,

連接班

(1)求證：BF=AE；

(2)求證：BFJ.AC；

(3)如圖2,當(dāng)點下落在△O3C的外面，即交/。于點/，且能構(gòu)成四邊形。ENF時，四邊形。的面

積是否發(fā)生變化？若不變，請末出這個值，若變化，請說明理由.

B

圖2

5.(22-23七年級下?上海?期末)已知在中，^BAC=90°,=點。為直線BC上一動點(點

。不與點反。重合)，將射線D/繞點。順時針旋轉(zhuǎn)45。得到。尸，直線。尸與射線4C交于點E,過點A作

DE的垂線，交直線5c于點

(1)如圖，若點。在線段3c上，且4D=OE,求證：/\AFC%4CDE；

(2)若點。在線段3c的延長線上，且4D=DE,那么第(1)小問的結(jié)論還成立嗎？請說明理由;

(3)若點。在直線8C上運動，當(dāng)△/FC是等腰三角形時，直接寫出/D/C的度數(shù).

6.(23-24九年級上?四川成都?開學(xué)考試)【閱讀理解】已知N為平面內(nèi)不重合的兩點.給出以下定義:

將M繞N順時針旋轉(zhuǎn)。(0°<&<360。)的過程記作變換(N,6z).例如：在平面直角坐標(biāo)系xQy中，已知點

”(1,0),N(2,0),則。經(jīng)過變換(N,90。)后所得的點3的坐標(biāo)為(2,1).

【遷移應(yīng)用】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=2x+b分別與X軸，〉軸交于點B,設(shè)/

經(jīng)過變換(民180。)后得到c

(1)求點C的坐標(biāo)；

(2)過C作CCx軸于。，點￡是線段CD上一動點，設(shè)￡經(jīng)過變換(990。)后得到點尸，連接BE,BF.

(i)若的面積為3,求點尸的坐標(biāo)；

(ii)設(shè)點。是y軸上一動點，當(dāng)以4B,F,M四點為頂點的四邊形為平行四邊形時，求點M的坐標(biāo).

7.（23-24八年級下?湖北武漢?期末）問題探究如圖1,在正方形/BCD中，對角線NC,8。相交于點

0.在線段49上任取一點P（端點除外），連接尸DPB.將線段DP繞點尸逆時針旋轉(zhuǎn)，使點D落在R4

的延長線上的點。處.

（1）求證：PD=PB；

（2）探究/。與。尸的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

遷移探究如圖2,將正方形N3C。換成菱形/3CD,且N4BC=60。，其他條件不變.試探究/。與。的

數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

圖1圖2

考點二、三角形的旋轉(zhuǎn)

8.（22-23八年級下?廣東深圳?期中）如圖，將兩個全等的等腰直角三角形擺成如圖所示的樣子，其中

AB=AC=AG=FG,ZBAC=ZAGF=90°,AF,/G分別與3c交于。，E兩點，將繞著點A順時

針旋轉(zhuǎn)90°得到,則下列結(jié)論：①BHLBC；②DA平分NHDE；③若3。=3,CE=4,則///=2斤;

④若/3=跖，則S△功?其中正確的個數(shù)有（）

B/D

A.1個C.3個D.4個

9.（2024?浙江?模擬預(yù)測）在AJBC中，ZABC=90°,AB=BC.將"3C繞點A順時針旋轉(zhuǎn)a

（0°<a<180°）,直線C3與直線OE交于點尸，點A尸間的距離記為跳'，點E,尸間的距離記為跖.給

出下面四個結(jié)論：①環(huán)的值一直變大；②斯的值先變小再變大；③當(dāng)0。<a<90。時，8尸尸的值保持

不變；④當(dāng)90。<。<180。，8尸-所的值保持不變；上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號是.

BC

10.(22-23八年級下?四川成都?期中)如圖，03C和是兩個不全等的等腰直角三角形，其中

ZABC=ZADE=90°,AD=ED,AB=BC,連接CE,點M是CE的中點，連接。BM.

(1)若點。在邊/C上，如圖1,試探究“D八四之間的關(guān)系，并說明理由;

⑵若將圖1中的△4DE繞點/逆時針旋轉(zhuǎn)［。(0。＜々。＜45。)，如圖2,那么(1),中的結(jié)論是否仍成立？如

果成立，請說明理由；如果不成立，請寫出新結(jié)論并證明；

⑶若將圖1中的繞點/逆時針旋轉(zhuǎn)90。，如圖3,AD=242,BC=8,求8M的長.

11.（22-23八年級下?廣東深圳?期中）如圖1,己知RtZ\48C中，AB=BC,AC=2,把一塊含30。角的三

角板。ER的直角頂點。放在/C的中點上（直角三角板的短直角邊為DE,長直角邊為。尸），點C在。E

上點8在。尸上.

（1）求重疊部分△8。的面積;

（2）如圖2,將直角三角板。所繞。點按順時針方向旋轉(zhuǎn)30度，DE交BC于點、M,DF交AB于點N,

①請說明=

②在此條件下重疊部分的面積會發(fā)生變化嗎？若發(fā)生變化，若不發(fā)生變化，請說明理由;

（3）如圖3,將直角三角板OEE繞。點按順時針方向旋轉(zhuǎn)a度（0<a<90）,DE交BC于點、M,DF交AB

于點N,則=的結(jié)論仍成立嗎？重疊部分的面積會變嗎？（請直接寫出結(jié)論不需說明理由）

12.(23-24八年級下?山西晉城?階段練習(xí))綜合與實踐：問題情境：

在數(shù)學(xué)活動課上，老師要求同學(xué)們以矩形為背景探究幾何圖形運動變化中的數(shù)學(xué)結(jié)論.如圖1,在矩形

48CD中，點O為對角線班的中點，點￡在43邊上，且BE=BO,線段￡0的延長線交CD于點E

(1)如果/2=4,/。=3,則N￡=_.

操作探究：

(2)“善思”小組的同學(xué)將圖1中的△3OE繞點2順時針旋轉(zhuǎn)(設(shè)點O,E的對應(yīng)點分別為。'，E'),在分析

旋轉(zhuǎn)到不同位置時的情形后，提出如下問題，請你解答：

①如圖2,當(dāng)點E'落在3c邊上時，O'E'所在的直線與E尸存在什么樣的位置關(guān)系？并說明理由

②如圖3,當(dāng)點落在的延長線上時，連接CE',判斷四邊形OBE'C的形狀，直接寫出結(jié)果，無需說

明理由.

DFCDFC1)FC

S二'

AEBAEB/EBO

圖1圖2圖3

13.(23-24八年級下?遼寧大連?階段練習(xí))圖形的變換是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要內(nèi)容，在中考前的探究專題

課上，小亮老師帶領(lǐng)同學(xué)們對以下圖形進行了變換探究.如圖在Rt/X/BC中，/B4c=90。,

AB=AC=45,點。是BC邊上一點，連接40.

圖2

(1)如圖1,智慧小組的同學(xué)將線段4。繞點/逆時針旋轉(zhuǎn)90。至/￡>'.提出問題：求證

(2)如圖2,善思小組的同學(xué)將線段48沿4。翻折至2*,延長夕C和交于點￡.提出問題:

若占CF三==1,求△ZCE的面積;

BC3

(3)如圖3,小亮老師給出了自己的變換方式，若BA=BD,在線段/C上取點E,點上關(guān)于直線4D的對稱點

為M,連接8E,將8E繞點8順時針旋轉(zhuǎn)45。至BN,連接應(yīng)攸、NM.

①求證

②當(dāng)兒必=MN時，直接與出/E的長度.

14.（23-24八年級下?山東濟南?期末）綜合與實踐.

【初步探究】某校一數(shù)學(xué)興趣小組在一次合作探究活動中，將兩塊大小不同的等腰直角三角形"5C和等腰

直角三角形CDE,按如圖1的方式擺放，ZACB=ZECD=90°,隨后保持AASC不動，將ACDE繞點C按逆

時針方向旋轉(zhuǎn)a（0°<a<90。），連接/瓦助，延長班交/E于點尸，交/C于點G,連接CF.該數(shù)學(xué)興

趣小組進行如下探究，請你幫忙解答:

（1）如圖2,當(dāng)助〃8C時:

①則夕=°;

②判斷即與/E的位置關(guān)系，并說明理由.

【深入探究】

【拓展延伸】

（3）如圖4,在等邊“BC中，4D/BC于點。，點E在線段么。上（不與A重合），以4E為邊在40的

左側(cè)構(gòu)造等邊△ZEF,將△4反著點A在平面內(nèi)順時針旋轉(zhuǎn)任意角度.如圖5,M為E尸的中點，N為BE

的中點.請說明AMV。為等腰三角形.

考點三、四邊形的旋轉(zhuǎn)

15.（2024?河南商丘?模擬預(yù)測）如圖，已知正方形/BCD的邊長為2,另一邊長為血的正方形汨的中

心與點/重合，連接CE,設(shè)CE的中點為連接DM,當(dāng)正方形環(huán)繞點/旋轉(zhuǎn)時，的最小值

16.(2024?四川巴中?中考真題)綜合與實踐

(1)操作與發(fā)現(xiàn)：平行四邊形和梯形都可以剪開拼成一個矩形，拼接示意圖如圖1、圖2.在圖2中，四邊形

45CD為梯形，AB//CD,E、F是AD、8c邊上的點.經(jīng)過剪拼，四邊形次為矩形.則絲

圖5.在圖5

中，E、F、G、〃是四邊形力8。邊上的點.是拼接之后形成的四邊形.

①通過操作得出：4E與EB的比值為

②證明：四邊形。應(yīng)為平行四邊形.

(3)實踐與應(yīng)用：任意一個四邊形能不能剪開拼成一個矩形？若能，請將四邊形/BCD剪成4塊，按圖5的

方式補全圖6,并簡單說明剪開和拼接過程.若不能，請說明理由.

17.（23-24八年級下?甘肅武威?期末）某班級開展數(shù)學(xué)討論課，老師給出兩個大小不同的正方形，要求同學(xué)

們利用這兩個圖形提出不同的數(shù)學(xué)問題，并解決問題.

【問題提出】（1）小明思考后提出問題：如圖1,大正方形/3CD和小正方形BEFG,頂點B重合，點G,E

分別在邊48,3c上.那么線段NG,CE滿足什么數(shù)量關(guān)系？

【聯(lián)系遷移】（2）小穎受此問題啟發(fā)，思考并提出新的問題：如圖2,將圖1中的小正方形8EFG繞點B順

時針旋轉(zhuǎn)90。，（旋轉(zhuǎn)不改變圖形的形狀和大?。┦裹cG在邊上，￡在48的延長線上，連接

AG,CE.那么線段NG,CE滿足什么數(shù)量關(guān)系?說明理由；

【開放探索】（3）小新深入研究前面提出的問題，發(fā)現(xiàn)并提出新的問題：如圖3,將圖1中的小正方形8EFG

繞點B順時針旋轉(zhuǎn)任意角度，連接ZG,CE.那么線段4G,CE仍然具有（1）（2）中的數(shù)量關(guān)系嗎?說明

理由.

圖1圖2圖3

18.（23-24八年級下?河北張家口?期末）如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，點/（-4,0）,直線/〃x

軸，交y軸于點C（0,3）,點8（-4,3）在直線/上，將矩形0/8C繞點。按順時針方向旋轉(zhuǎn)a度，得到矩形

OA'B'C,此時直線。4'、8'C’分別與直線I相交于點P、Q.

（2）如圖2,當(dāng)點H落在/上時，點尸的坐標(biāo)為,

⑶如圖3,當(dāng)矩形0/5。的頂點B落在I上時,

①求O尸的長度；

②求SaopB',

19.(23-24八年級下?湖北十堰?期末)如圖，一次函數(shù)y=；x+l的圖像交x軸于A點，交了軸于C點，以

A,O,C三點為頂點作矩形/3C0,將矩形/BC。繞。點順時針旋轉(zhuǎn)90。，得到矩形。。即，直線/C交

直線。尸于點

(1)求直線。尸的解析式；

(2)求證：V。是/4WD的角平分線；

(3)在角平分線〃。上，是否存在點N,使得以M,N,A為頂點的三角形是等腰直角三角形？若存在，請

求出點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

20.(23-24八年級下?江西吉安?期末)問題情景

已知UABCD與nA'B'C'D'中，AB=A'B'=6,BC=B'C=8,ZABC=ZA'B'C=60°,同學(xué)們利用這樣的兩張

平行四邊形紙片開展操作實驗，從中發(fā)現(xiàn)；許多有趣的數(shù)學(xué)問題，請你們和他一起探索.

B(B)A

拼圖思考：

(1)希望小組的同學(xué)將與口按照如圖1所示擺放，其中點8與？重合，點H落在5c邊上,

點C'落在比4邊的延長線上，他們提出了如下問題，請你解答：

①求證：BE平分NABA，；

②求點之間的距離.

操作探究：

(2)創(chuàng)新小組的同學(xué)在圖1的基礎(chǔ)上進行了如下操作：保持〃/3CD不動，將口繞點3沿順時針

方向旋轉(zhuǎn)，連接。。'，他們又提出如下問題：

①當(dāng)線段C力’與。C交于點尸時，如圖2,求證：點8在。。的垂直平分線上；

②在口旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)點C'恰好落在線段DC的延長線上時，請在圖3中補全圖形，并直接寫出

此時點之間的距離.

考點四、一次函數(shù)的圖象旋轉(zhuǎn)問題

21.（23-24八年級下?四川成都?期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，是等邊三角形，點工（2,0）,直線

/:y=x+l繞x軸上一點M順時針旋轉(zhuǎn)120°,得到的直線廠恰好經(jīng)過點B,則點M的坐標(biāo)是.

22.（20-21八年級上?上海黃浦?期中）如圖，正方形4BCD的頂點/、2落在x軸正半軸上，點C落在正比

例函數(shù)y=foc（左＞0）上，點。落在直線y=2x上，且點。的橫坐標(biāo)為a.

U）直接寫出/、B、C、。各點的坐標(biāo)（用含。的代數(shù)式表示）；

（2）求出左的值；

（3）將直線0c繞點。旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后的直線將正方形/BCD的面積分成1：3兩個部分，求旋轉(zhuǎn)后得到的

新直線解析式.

23.(18-19八年級下?吉林?階段練習(xí))(1)探究發(fā)現(xiàn)

數(shù)學(xué)活動課上，小明說“若直線V=2》-1向左平移3個單位，你能求平移后所得直線所對應(yīng)函數(shù)表達式

嗎？”

經(jīng)過一番討論，小組成員展示了他們的解答過程：

在直線y=2x-i上任取點

向左平移3個單位得到點4(-3,-1)

設(shè)向左平移3個單位后所得直線所對應(yīng)的函數(shù)表達式為V=2x+〃.

因為P=2x+力過點

所以一6+”=T,

所以"=5,

填空：所以平移后所得直線所對應(yīng)函數(shù)表達式為

(2)類比運用

已知直線夕=2x-l,求它關(guān)于x軸對稱的直線所對應(yīng)的函數(shù)表達式；

(3)拓展運用

將直線＞=2x-l繞原點順時針旋轉(zhuǎn)90。，請直接寫出：旋轉(zhuǎn)后所得直線所對應(yīng)的函數(shù)表達式_.

24.(21-22八年級下?福建泉州?期末)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=2x-1的圖象分別交x軸、

y軸于點/、B,將直線48繞點8按順時針方向旋轉(zhuǎn)45。，交x軸于點C.

(1)點/坐標(biāo)是(____,____)、點8坐標(biāo)是(____，____)；

(2)求直線8c的函數(shù)表達式；

(3)點M是射線R4上的點，在平面內(nèi)是否存在點N,使得以“、N、B、C為頂點的四邊形是菱形，如果存

在，請求出點N的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由.

25.（21-22八年級下?浙江金華?開學(xué)考試）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，直線=+有交x

軸于點3,交了軸于點A,過點C（l,0）作x軸的垂線4,將直線4繞點。按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為

?(0°<?<180°).

（2）若直線4在旋轉(zhuǎn)過程中與了軸交于。點，當(dāng)“CD、△BCD均為等腰三角形時，求出符合條件

的旋轉(zhuǎn)角a的度數(shù).

（3）若直線4在旋轉(zhuǎn)過程中與直線4交于點E，連OE，以O(shè)E為邊作等邊AOEF（點。、E、尸按逆時針方

向排列），連BE請你探究線段與8斤之間的數(shù)量關(guān)系？并說明理由.

考點五、二次函數(shù)背景下的旋轉(zhuǎn)問題

26.（2024?遼寧?模擬預(yù)測）如圖，拋物線y=-/+4x-3與x軸交于點A,B（點N在點8左邊），與了軸

交于點C,拋物線的頂點為點。在線段CM（不與點C,M重合）上，連接OD,將線段OD繞點。

旋轉(zhuǎn)90。后得到線段OE,若點E恰好落在拋物線上，則點。的坐標(biāo)為.

27.(21-22九年級上?浙江?周測)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線＞=。/+法+4交了軸于點交x

軸于點3(-6,0)和點C(2,0),連接/8、/。、BQ,3。與了軸交于點N.

(1)求拋物線表達式；

⑵點。點/在x軸上，點E在平面內(nèi)，若ABME注"OM,且四邊形/NEW是平行四邊形.

①求點E的坐標(biāo)；

②設(shè)射線放與3N相交于點尸，交BE于點、H,將ABPX繞點B旋轉(zhuǎn)一周，旋轉(zhuǎn)后的三角形記為△兩修,

求收0乜的最小值.

28.(23-24九年級上?湖北十堰?階段練習(xí))如圖，拋物線歹=。1+及+°(。W0)的圖象過點。(0,1),頂點為

。(2,3),點。在x軸正半軸上，線段OD=OC.

(1)求拋物線的解析式；

(2)若拋物線上有點X,使得△COM是以CN為斜邊的直角三角形，請求出/點的坐標(biāo)；

(3)將直線CD繞點C逆時針方向旋轉(zhuǎn)45。所得直線與拋物線相交于另一點E,若點尸是直線上的動點，

是否存在點尸，使C,D,E,廠四點構(gòu)成的四邊形為平行四邊形？若存在，請求出此時四邊形的周長和

面積；若不存在，請說明理由.

29.（20-21九年級上?重慶沙坪壩?期末）如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于4（2,0）、8兩點,

圖1圖2

（1）求拋物線的解析式；

3

（2）已知直線/：>=^了與拋物線交于￡、下兩點（點E在尸的左側(cè)），點G為線段E尸上的一個動點，過G

作y軸的平行線交拋物線于點H,求G"+G/的最大值及此時點G的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，如圖2,若點G是。尸的中點，將△08G繞點。旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中，點8的對應(yīng)點為

?、點G的對應(yīng)點為G',將拋物線沿直線"'的方向平移（兩側(cè)均可），在平移過程中點。的對應(yīng)點為

在運動過程中是否存在點夕和點D'關(guān)于&4BF的某一邊所在直線對稱（夕與〃不重合），若存在，請直接

寫出點》的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

30.（2024?四川成都?三模）已知拋物線了="2+旅+°（。70）與x軸交于點A、C（C在A的左側(cè)），與了

軸交于點B.

H\

圖1圖2

⑴若4（3,0）,5（0,-3）,C（-l,0）.

①求該拋物線解析式;

②拋物線上點E的橫坐標(biāo)為4,。點坐標(biāo)為（2,0）,連接EC,瓦（，點M為平面內(nèi)任意一點，將AEC。繞

點M旋轉(zhuǎn)180。得到對應(yīng)的△￡&￡）'（點E,C,。的對應(yīng)點分別為點E',C,D'）,若中恰有兩

個點落在拋物線上，求此時點￡'的坐標(biāo)；（點C，不與點E重合）

（2）如圖2,點尸和點。在拋物線y=a/+bx+c上，其中尸在點C左側(cè)拋物線上，。點在了軸右側(cè)拋物線上,

直線C。交了軸于點尸，直線尸C交了軸于點設(shè)直線解析式為〉=依+乙當(dāng)SAHC°=2SABC9,試證明

告為一個定值，并求出定值.

k

考點六、二次函數(shù)的中心對稱問題

31.(23-24九年級上?江蘇連云港?期末)若函數(shù)圖像上至少存在不同的兩點關(guān)于原點對稱，我們把該函數(shù)稱

為“美好函數(shù)”，其圖像上關(guān)于原點對稱的兩點叫做一對“美好點”.若點/(2,加),3(”,-5)是關(guān)于x的“美好函

數(shù)”/="2+為+4°力())上的一對“美好點”，且該函數(shù)的對稱軸始終位于直線x=4的右側(cè).有下列結(jié)論①

4a+c=0；@b---(3)——<<7<0；>a+b+c>3.其中正確的是()

21616

A.①②③B,①③④C,①②④D.②③④

32.(2023?遼寧丹東?模擬預(yù)測)如圖，對稱軸為直線x=-l的拋物線y=磯》-〃)2+左(。片°)圖象與》軸交于

點A、8(點A在點B的左側(cè))，與了軸交于點C,其中點B的坐標(biāo)為(2,0),點C的坐標(biāo)為(0,4).

(1)求該拋物線的解析式；

(2)如圖1,若點尸為拋物線上第二象限內(nèi)的一個動點，點/為線段CO上一動點，當(dāng)△/PC的面積最大時,

求△APA/周長的最小值；

(3)如圖2,將原拋物線繞點A旋轉(zhuǎn)180。，得新拋物線了，在新拋物線V的對稱軸上是否存在點。使得ANC。

為等腰三角形？若存在，請直接寫出點。的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

33.（2024?浙江寧波?一■模）若二次函數(shù)%=%/+6科+%與%nazY+ax+c2的圖象關(guān)于點尸（1,。）成中心對

稱圖形，我們稱為與%互為“中心對稱”函數(shù).

（1）求二次函數(shù)y=/+6x+3的“中心對稱”函數(shù)的解析式；

⑵若二次函數(shù)>=一+2如+出>0）的頂點在它的“中心對稱”函數(shù)圖象上，且當(dāng)"現(xiàn)〈》《丁時，〉最

a4。

大值為2,求此二次函數(shù)解析式.

⑶二次函數(shù)必=ax2+bx+c（a<0）的圖象頂點為跖與x軸負(fù)半軸的交點為/、B,它的“中心對稱”函數(shù)%

的頂點為N,與x軸的交點為C、D,從左往右依次是“、B、C、D,若AB=2BP,且四邊形為矩

形，求/-4砒的值.

34.(2022?四川資陽?中考真題)已知二次函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)為4L4),且與x軸交于點

(1)求二次函數(shù)的表達式；

(2)如圖，將二次函數(shù)圖象繞x軸的正半軸上一點P(九0)旋轉(zhuǎn)180。，此時點/、3的對應(yīng)點分別為點C、D.

①連結(jié)BC、CD、DA,當(dāng)四邊形48CD為矩形時，求加的值；

②在①的條件下，若點M是直線加上一點，原二次函數(shù)圖象上是否存在一點0,使得以點2、C、M、Q

為頂點的四邊形為平行四邊形，若存在，求出點。的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

35.（23-24九年級上?江蘇連云港?階段練習(xí)）二次函數(shù)y=a（x-/!）2+MawO）的圖像是拋物線，定義一種變

換，先作這條拋物線關(guān)于原點對稱的拋物線了，再將得到的對稱拋物線V向上平移加（加＞0）個單位，得到

新的拋物線大，我們稱人叫做二次函數(shù)了=。（x-+左（。*0）的機階變換.

（1）二次函數(shù)y=2（x+3『-2的頂點關(guān)于原點的對稱點為,這個拋物線的2階變換的解析式為:

⑵若二次函數(shù)M的5階變換的關(guān)系式為%=（x+lY+4.

①二次函數(shù)M的解析式為;

②若二次函數(shù)M的頂點為點A,與x軸相交的兩個交點中右側(cè)交點為8,P是＞軸上的一個動點，請求出

使周長最小時，點尸的坐標(biāo).

36.（23-24九年級上?江西宜春?階段練習(xí)）二次函數(shù)＞=一—2y的圖像交x軸于原點。及點A.

（1）當(dāng)加=1時，如圖1,拋物線心了=--2x上的點8,O,C,A,。分別關(guān)于點A中心對稱的點為

B',O',C,A',D',如下表：

5(-1,3)0(0,0)"IT)”(—，—)。（3,3）

夕（5,-3）O'(4,0)C(3,l)4(2,0)9(1,-3)

①補全表格：A（_,_）

②請在圖1中描出表中對稱后的點，再用平滑的曲線依次連接各點，得到的圖像記為〃.

形成概念：

我們發(fā)現(xiàn)形如（1）中的圖像〃上的點和拋物線工上的點關(guān)于點A中心對稱，則稱〃是A的“孔像拋物

線”.例如，當(dāng)機=-2時，圖2中的拋物線少是拋物線Z的“孔像拋物線”.

探究問題

（2）①當(dāng)用=-1時，若拋物線Z與它的“孔像拋物線”少的函數(shù)值都隨著x的增大而減小，則x的取值范圍為

②若二次函數(shù)y=x2-2mx及它的“孔像拋物線”與直線、=相有且只有三個交點，求加的值.

37.（23-24九年級上?廣東廣州?階段練習(xí)）已知拋物線5:夕=/-2依+/一4與》軸交于點C,點N坐標(biāo)為

(0,-4)

（1）求證：拋物線a與x軸有兩個交點.

（2）設(shè)G］與無軸交于/（加,0）和2（〃,0）,且加<".

①當(dāng)M425時，利用圖像求〃-冽+。的取值范圍.

②拋物線5與d關(guān)于點力中心對稱，色與x軸的另一個交點為日.問是否存在°,使△57VB'為直角三角形?

若存在，則求出所有可能的。值；若不存在，請說明理由.

38.（22-23九年級下?江蘇南京?期中）已知函數(shù)>="3+為2+”（a,b,c為常數(shù)，且awO）的圖像是中

心對稱圖形.用數(shù)學(xué)軟件在相同的坐標(biāo)系中得到以下函數(shù)的圖像（圖①?④），觀察并思考

（1）函數(shù)歹=0^+法2+0工的圖像如圖⑤所示，指出常數(shù)a,b,c的正負(fù).

⑵你同意“函數(shù)>3+2/的圖像的對稱中心的橫坐標(biāo)為1”嗎？判斷并說明理由.

（3）已知ac<0,直接寫出關(guān)于x的不等式辦3+/+cx>0的解集（用含a,c的式子表示）.

39.（23-24九年級上?湖南長沙?階段練習(xí)）如圖，拋物線>="2+樂+。的頂點為M（l,-3）,x軸的交點

為《和反將拋物線y=a%2+bx+c繞點8逆時針方向旋轉(zhuǎn)90。，點,4為點/旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點，旋

轉(zhuǎn)后的拋物線與了軸相交于c,。兩點.

⑴若原拋物線過點（3,5）,求拋物線＞=辦2+法+。的解析式;

（2）若44關(guān)于點〃成中心對稱，求直線的解析式；

（3）在（2）的條件下，若點尸是原拋物線上的一動點，點0是旋轉(zhuǎn)后的圖形的對稱軸上一點，E為線段,

的中點，是否存在點尸，使得以P,Q,E,3為頂點的四邊形是平行四邊形；若存在請求出點P坐標(biāo)，若

不存在，請說明理由.

考點七、與旋轉(zhuǎn)有關(guān)的最值問題

40.（23-24八年級下?江蘇蘇州?階段練習(xí)）如圖，四邊形48CD中，AD//BC,NABC=60°,

AD=AB=1,BC=2,E為射線C8上的動點，將線段/E繞A點順時針旋轉(zhuǎn)120。得到4廳，的最小值

41.（22-23九年級上?安徽合肥?期末）在平面直角坐標(biāo)系中，點工（0,2）,點8在x軸的負(fù)半軸上，

ZOBA=30°.將繞點。順時針旋轉(zhuǎn)，得△OHQ,點42旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點為H,8'.記旋轉(zhuǎn)角為a.

（2）如圖②，連接45,當(dāng)/?經(jīng)過點/時，求H6的長；

（3）設(shè)線段H8的中點為X,連接8M,求線段3加的長的取值范圍（直接寫出結(jié)果即可）.

42.（22-23八年級下?甘肅蘭州?期末）在中，ZABC=90°,NBAC=30°,將。繞點A順時針

旋轉(zhuǎn)一定的角度a后得到△/￡￡>,點8，C的對應(yīng)點分別是E，D.

圖2

(1)如圖1,當(dāng)點E恰好在/C上時，求NCDE的度數(shù);

(2)如圖2,若e=60。，點尸是邊NC的中點，試說明四邊形3EDE是平行四邊形；

(3)若8C=4,連接CE,CD,在旋轉(zhuǎn)的過程中，ACDE的面積是否存在最大值？若存在，請求出其面積最

大值；若不存在，請說明理由.

43.(2024?山東濟南?模擬預(yù)測)(1)如圖1,在Rt/X/BC中，/氏4。=90。,48=/。，點。是A/3C內(nèi)部任

意一點.連接將線段繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段NE,連接BD；CE,則線段AD與CE的數(shù)量

關(guān)系是.

(2)如圖2,四邊形48。是正方形，ADEF繞點、D旋轉(zhuǎn)(DE<4B),且/EDF=90。，DE=DF,連接4E,CF,

直線4E與直線CF相交于點G.

①求證：AEVCF-

②如圖3,當(dāng)點G在尸C的延長線上時，連接3G,已知N8=5,OE=4,在ADEF旋轉(zhuǎn)的過程中，求線段3G

的最小值.

44.(23-24八年級下?湖北武漢?期中)如圖1,在A/B。中，ZOAB=90°,408=30。，03=2,點A在x

軸上，以O(shè)B為一邊,在外作等邊三角形O3C,。是03的中點，連接4D并延長交OC于E.

(1)①求點B的坐標(biāo)；

(2)如圖2.將圖1中的四邊形N3C。折疊，使點C與點A重合，折痕為尸G,求OG的長；

(3)如圖1,連接8E,在線段BE上有一動點M,連接CM,OM,直接寫出CM+(W+8M的最小值為

(4)若去掉題干中08=2這個條件，點產(chǎn)為△08C外一點，連接。尸，BF,CF,若。斤=6,BF=2,則當(dāng)

線段CF的長度最小時，NOFB=,CF的最小值是

45.(23-24八年級下?四川成都?期末)如圖1,在平面直角坐標(biāo)x。中，已知點/(0,6),點8(3,0),將線段

(1)求直線/C的函數(shù)表達式；

(2)。(私冷是平面內(nèi)一點，且S“CD=S-BC，求〃與機的關(guān)系;

(3)如圖2,〃(瓦0)是x軸上一動點，將線段5c繞點〃順時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段*C',當(dāng)3'C'與直線/C有

交點時，求〃的取值范圍.

46.(23-24八年級下?四川成都?期中)在D48C0中，ZABC=60°,4B=4,BC=6.點戌在3c邊上且

BE'=4,將5少繞點8逆時針旋轉(zhuǎn).得到BE(0°<a<180°).

(1)如圖1,當(dāng)/EA4=90。時，求%CE；

(2)如圖2,在旋轉(zhuǎn)過程中，連接CE,取CE中點尸，作射線即交直線4D于點G.當(dāng)/EAF=120。時，求

證：BC-DG=2BF；

(3)如圖3.當(dāng)/E加=90°時，點P為線段BE上一動點，過點E作ENJ_射線4P于點N,"為NN中點，直

接寫出9的最大值與最小值.

考點八、利用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造圖形解決問題

47.（24-25九年級上?全國?課后作業(yè)）如圖，03C為等腰直角三角形，N4CB=9Q。,ZAPC=165°,

PA=3PC=42,求P8的長.

48.（22-23八年級下?天津和平?期中）閱讀下面材料:

小誠遇到這樣一個問題：如圖1,在等邊三角形48c內(nèi)有一點P,且刃=3,尸8=4,PC=5,求//尸8的

度數(shù);

小誠是這樣思考的：如圖2,構(gòu)造等邊尸尸，利用全等轉(zhuǎn)化問題，得到從而將問題解決.

（1）請你回答：圖1中//尸8的度數(shù)等于.（直接寫答案）

參考小誠同學(xué)思考問題的方法，解決卜列問題：

（2）如圖3,在正方形48CD內(nèi)有一點產(chǎn)，且PA=2亞，PB=\,PD=后.

①求//尸3的度數(shù)；

②正方形的邊長.（直接寫答案）

（3）如圖4,在正六邊形48cDE廠內(nèi)有一點尸，且尸4=2,PB=\,PF=5,則//尸3的度數(shù)等于

,正六邊形的邊長為.（直接寫答案）

49.（2024?遼寧?模擬預(yù)測）【基礎(chǔ)方法】

（1）小明遇到這樣一個問題：如圖1、在正方形/3CD中，點E、尸分別為力C、8c邊上的點，

ZEAF=45°,連接放，求證：OE+8尸=￡1尸?小明是這樣思考的：要想解決這個問題，首先應(yīng)想辦法將這

些分散的線段集中到同一條線段上.他先后嘗試了平移、翻折、旋轉(zhuǎn)的方法，發(fā)現(xiàn)通過旋轉(zhuǎn)可以解決此問

題.他的方法是將△/￡>￡■繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。得到A48G（如圖2）,此時G尸即是DE+2F,在圖2中,

請依據(jù)小明的思考過程，求/G/尸的度數(shù)；

【方法應(yīng)用】

（2）如圖3,在四邊形48co中，AD\\BC[AD>BC）,zJD=90°,AD=CD=10,E是CO上一點，若

/BAE=45°,DE=4,求班1的長度；

【應(yīng)用拓展】

（3）如圖4,已知線段/C=4,BC=6,以28為邊作正方形/。酸，連接CD.當(dāng)線段CD的值最大時,

求此時正方形/2ED的面積.

50.（2024?吉林松原?模擬預(yù)測）如圖，在四邊形/BCD中，已知22=4。，Z84D=90。，點￡、尸分別在

BC、CDk,^EAF=45°.

圖①圖②圖③

⑴①如圖①，若N&N4DC都是直角，把A4BE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90。至△4DG,使28與4。重合，則

線段3￡、。尸和E尸之間的數(shù)量關(guān)系為；

②如圖②，若都不是直角，但滿足/8+/。=180。，線段成、￡廠和時之間的結(jié)論是否仍然成

立？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由；

（2）如圖③，在“3C中，NBAC=90。,AB=AC=2四,點。、E均在邊3C邊上，且/。/￡=45。，若

BD=1,請直接寫出。E的長.

51.（23-24八年級下?廣東深圳?期末）【問題感知】（1）如圖1,在四邊形/BCD中,

AABC=AADC=90°,ZA+ZC=180°,且ZO=C。，①請直接寫出43、BC、3。的數(shù)量關(guān)系：一；

②證明：BD平分/4BC；

【遷移應(yīng)用】⑵如圖2,四邊形中，ZABC=60。，ZADC=120°,BELAD,AB=BC=4u,

CD=1,計算班的長度；

【拓展研究】(3)如圖3,正方形/3CD中，E為BC邊上一點、,連接尸為/E邊上一點，且

AF=BC,尸G垂直。尸交A8于點G,EF=2,AG=5,直接寫出正方形的邊長.

圖I圖2圖3

52.(23-24八年級下?遼寧阜新?期末)下面是某數(shù)學(xué)興趣小組探究問題的片段，請仔細(xì)閱讀，并完成任務(wù).

【問題探究】

(1)如圖1,在RtZUBC中，N/C8=90o,/C=3C,點。在上，連接8,將線段CD繞點C逆時針

旋轉(zhuǎn)90。得到線段CE,連接8E,請猜想和3E的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并說明理由.

【問題再探】

(2)在(1)的條件下，連接NE.興趣小組的同學(xué)們在電腦中用幾何畫板軟件測量發(fā)現(xiàn)和△CDB的

面積相等.為了證明這個發(fā)現(xiàn)，甲組同學(xué)延長線段/C至尸點，使CF=CA,連接EF,從而得以證明(如

圖2)；乙組同學(xué)過點。作DM，8c于點〃，過點E作EN1/C于點N,從而得以證明(如圖3),請你選

取甲組或乙組中的一種方法完成證明過程.

【問題解決】

(3)如圖4,已知，ZABM=NACB=90°,AC=BC=26,點、D在AB上,NBCD=15°,若在射線W上

存在點￡,使請直接寫出相應(yīng)的BE的長.

考點九、旋轉(zhuǎn)規(guī)律探究

53.（22-23八年級上?河南駐馬店?階段練習(xí)）如圖，長方形的兩邊3C,CD分別在x軸，y軸上，點

C與原點重合，點/（T，2）,將長方形/BCD沿x軸向右翻滾，經(jīng)過一次翻滾點/對應(yīng)點記為4,經(jīng)過第二

次翻滾點/對應(yīng)點記為4