2025版高中數(shù)學(xué)課時(shí)作業(yè)25點(diǎn)到直線的距離兩平行線間的距離新人教A版必修2

PAGEPAGE1課時(shí)作業(yè)25點(diǎn)到直線的距離、兩平行線間的距離基礎(chǔ)鞏固1．已知兩直線3x＋y－3＝0與6x＋my＋1＝0平行，則它們之間的距離為()A．4 B.eq\f(2\r(13),13)C.eq\f(5\r(13),26) D.eq\f(7\r(10),20)解析：∵直線3x＋y－3＝0與6x＋my＋1＝0平行，∴eq\f(6,3)＝eq\f(m,1)≠eq\f(1,－3)，解得m＝2.∴兩條直線方程分別為3x＋y－3＝0與6x＋2y＋1＝0，即6x＋2y－6＝0與6x＋2y＋1＝0.∴兩條直線之間的距離為d＝eq\f(|－6－1|,\r(62＋22))＝eq\f(7\r(10),20).答案：D2．已知點(diǎn)P為x軸上一點(diǎn)，點(diǎn)P到直線3x－4y＋6＝0的距離為6，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為()A．(8，0) B．(－12，0)C．(8，0)或(－12，0) D．(0，0)解析：設(shè)P(a，0)，則eq\f(|3a＋6|,\r(32＋42))＝6，解得a＝8或a＝－12，故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(8，0)或(－12，0)．答案：C3．已知P，Q分別為直線3x＋4y－12＝0與6x＋8y＋6＝0上任一點(diǎn)，則|PQ|的最小值為()A.eq\f(9,5) B.eq\f(18,5)C．3 D．6解析：|PQ|的最小值是這兩條平行線間的距離．由平行線間的距離公式得d＝eq\f(|6＋24|,\r(62＋82))＝3.答案：C4．過(guò)點(diǎn)(1，2)，且與原點(diǎn)距離最大的直線方程為()A．x＋2y－5＝0 B．2x＋y－4＝0C．x＋3y－7＝0 D．3x＋y－5＝0解析：由已知得，所求直線過(guò)(1，2)，且垂直于(0，0)與(1，2)兩點(diǎn)的連線，∴所求直線的斜率k＝－eq\f(1,2)，∴y－2＝－eq\f(1,2)(x－1)，即x＋2y－5＝0.答案：A5．若傾斜角為45°的直線m被直線l1：x＋y－1＝0與l2：x＋y－3＝0所截得的線段為AB，則AB的長(zhǎng)為()A．1 B.eq\r(2)C.eq\r(3) D．2解析：由題意，可得直線m與直線l1，l2垂直，則由兩平行線間的距離公式，得|AB|＝eq\f(|－1＋3|,\r(12＋12))＝eq\r(2).答案：B實(shí)力提升1．經(jīng)過(guò)直線x＋3y－10＝0和3x－y＝0的交點(diǎn)，且和原點(diǎn)間的距離為1的直線的條數(shù)為()A．0B．1 C．2 D．3解析：由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋3y－10＝0，,3x－y＝0，))可解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝3，))故直線x＋3y－10＝0和3x－y＝0的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1，3)，且過(guò)該點(diǎn)的直線與原點(diǎn)的距離為1.分類探討：若直線的斜率不存在，則直線方程為x＝1，滿意題意；若直線的斜率存在，則可設(shè)所求直線方程為y－3＝k(x－1)，整理得kx－y＋3－k＝0，因其到原點(diǎn)的距離為1，則有eq\f(|3－k|,\r(1＋k2))＝1，即9－6k＝1，解得k＝eq\f(4,3)，所以所求直線方程為y－3＝eq\f(4,3)(x－1)．綜上，滿意條件的直線有2條．答案：C2．直線7x＋3y－21＝0上到兩坐標(biāo)軸距離相等的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()A．3 B．2 C．1D．0解析：設(shè)所求點(diǎn)為(x，y)，則依據(jù)題意有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(7x＋3y－21＝0，,|x|＝|y|，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(21,10)，,y＝\f(21,10)，))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(21,4)，,y＝－\f(21,4)，))所以所求點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2.答案：B3．若實(shí)數(shù)x，y滿意關(guān)系式x＋y＋1＝0，則式子S＝eq\r(x2＋y2－2x－2y＋2)的最小值為()A．2eq\r(2)B.eq\r(2)C.eq\f(3\r(2),2)D.eq\f(\r(2),2)解析：解法1：因?yàn)閤2＋y2－2x－2y＋2＝(x－1)2＋(y－1)2，所以上式可看成是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M(x，y)到一個(gè)定點(diǎn)N(1，1)的距離．即為點(diǎn)N與直線l：x＋y＋1＝0上隨意一點(diǎn)M(x，y)的距離．所以S＝|MN|的最小值應(yīng)為點(diǎn)N到直線l的距離，即|MN|min＝d＝eq\f(|1＋1＋1|,\r(2))＝eq\f(3\r(2),2).解法2：因?yàn)閤＋y＋1＝0，所以y＝－x－1，所以S＝eq\r(x2＋（－x－1）2－2x－2（－x－1）＋2)＝eq\r(2x2＋2x＋5)＝eq\r(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))\s\up12(2)＋\f(9,2))，所以x＝－eq\f(1,2)時(shí)，Smin＝eq\r(\f(9,2))＝eq\f(3\r(2),2).故選C.答案：C4．到直線3x－4y－11＝0的距離為2的直線方程為()A．3x－4y－1＝0B．3x－4y－1＝0或3x－4y－21＝0C．3x－4y＋1＝0D．3x－4y－21＝0解析：由點(diǎn)到直線的距離公式得：eq\f(|3x－4y－11|,\r(32＋（－4）2))＝2，化簡(jiǎn)得3x－4y－1＝0或3x－4y－21＝0.答案：B5．直線l過(guò)點(diǎn)A(3，4)且與點(diǎn)B(－3，2)的距離最遠(yuǎn)，那么l的方程為()A．3x－y－13＝0 B．3x－y＋13＝0C．3x＋y－13＝0 D．3x＋y＋13＝0解析：由已知可知，l是過(guò)A且與AB垂直的直線，∵kAB＝eq\f(2－4,－3－3)＝eq\f(1,3)，∴kl＝－3，由點(diǎn)斜式得，y－4＝－3(x－3)，即3x＋y－13＝0.答案：C6．兩平行線分別過(guò)點(diǎn)A(3，0)和B(0，4)，則它們之間的距離d滿意的條件是()A．0<d<3 B．0<d<4C．3≤d≤5 D．0<d≤5解析：如圖1，0<d≤5.圖1答案：D7．設(shè)點(diǎn)P在直線x＋3y＝0上，且P到原點(diǎn)的距離與P到直線x＋3y－2＝0的距離相等，則點(diǎn)P坐標(biāo)是________．解析：∵點(diǎn)P在直線x＋3y＝0上，∴設(shè)點(diǎn)P(－3t，t)，由已知得：eq\r(（－3t）2＋t2)＝eq\f(|－3t＋3t－2|,\r(12＋32))即eq\r(10)|t|＝eq\f(2,\r(10))，解得t＝eq\f(1,5)或t＝－eq\f(1,5).∴Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)，\f(1,5)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，－\f(1,5))).答案：Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)，\f(1,5)))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，－\f(1,5)))8．已知直線l在x軸上的截距為1，又有兩點(diǎn)A(－2，－1)，B(4，5)到l的距離相等，求l的方程．解：明顯l⊥x軸時(shí)符合要求，此時(shí)l的方程為x＝1；當(dāng)l的斜率存在時(shí)，設(shè)l的斜率為k，則l的方程為y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0.∵點(diǎn)A，B到l的距離相等，∴eq\f(|－2k＋1－k|,\r(k2＋1))＝eq\f(|4k－5－k|,\r(k2＋1))，∴|1－3k|＝|3k－5|，解得k＝1，∴l(xiāng)的方程為x－y－1＝0.綜上，l的方程為x＝1或x－y－1＝0.9．已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(－2，5)，且斜率為－eq\f(3,4).(1)求直線l的方程；(2)若直線m與l平行，且點(diǎn)P到直線m的距離為3，求直線m的方程．解：(1)由直線方程的點(diǎn)斜式，得y－5＝－eq\f(3,4)(x＋2)，整理，得所求直線方程為3x＋4y－14＝0.(2)由直線m與直線l平行，可設(shè)直線m的方程為3x＋4y＋C＝0，由點(diǎn)到直線的距離公式，得eq\f(|3×（－2）＋4×5＋C|,\r(32＋42))＝3，解得C＝1或C＝－29，故所求直線方程為3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－29＝0.10．已知正方形ABCD一邊CD所在直線的方程為x＋3y－13＝0，對(duì)角線AC，BD的交點(diǎn)為P(1，5)，求正方形ABCD其他三邊所在直線的方程．解：(1)點(diǎn)P(1，5)到lCD的距離為d，則d＝eq\f(3,\r(10)).∵lAB∥lCD，∴可設(shè)lAB：x＋3y＋m＝0.點(diǎn)P(1，5)到lAB的距離也等于d，則eq\f(|m＋16|,\r(10))＝eq\f(3,\r(10))，又∵m≠－13，∴m＝－19，即lAB：x＋3y－19＝0.∵lAD⊥lCD，∴可設(shè)lAD：3x－y＋n＝0，則P(1，5)到lAD的距離等于P(1，5)到lBC的距離，且都等于d＝eq\f(3,\r(10))，eq\f(|n－2|,\r(10))＝eq\f(3,\r(10))，解得n＝5，或n＝－1，則lAD：3x－y＋5＝0，lBC：3x－y－1＝0.所以，正方形ABCD其他三邊所在直線方程為x＋3y－19＝0，3x－y＋5＝0，3x－y－1＝0.拓展要求已知A(－2，0)，B(2，－2)，C(0，5)，過(guò)點(diǎn)M(－4，2)且平行于AB的直線l將△ABC分成兩部分，求此兩部分面積的比．解：由兩點(diǎn)式得直線AB的方程為eq\f(y＋2,2)＝eq\f(x－2,－4)，即x＋2y＋2＝0.設(shè)過(guò)點(diǎn)M(－4，2)且平行于AB的直線l的方程為x＋2y＋m＝0，將點(diǎn)M(－4，2)的坐標(biāo)代入得m＝0，所以過(guò)點(diǎn)M(－4，2)且平行于AB的直線l的方程為x＋2y＝0，此直線將三角形的面積分成兩部分，通過(guò)點(diǎn)到直線的距離其中△CPQ的邊PQ上的