統(tǒng)考版2024高考數(shù)學二輪復習命題有依據(jù)學案含解析文

PAGE命題有依據(jù)素養(yǎng)1數(shù)學抽象通過由詳細的實例概括一般性結(jié)論，看我們能否在綜合的情境中學會抽象出數(shù)學問題，并在得到數(shù)學結(jié)論的基礎上形成新的命題，以此考查數(shù)學抽象素養(yǎng).主要包括從數(shù)量與數(shù)量關系、圖形與圖形關系中抽象出數(shù)學概念及概念之間的關系，從事物的詳細背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構，并且用數(shù)學符號或者數(shù)學術語予以表征.詳細表現(xiàn)：①形成數(shù)學概念與規(guī)則；②形成數(shù)學命題與模型；③形成數(shù)學方法與思想；④形成數(shù)學結(jié)構與體系.[例1](2024·新高考全國卷Ⅰ，T8)若定義在R的奇函數(shù)f(x)在(－∞，0)單調(diào)遞減，且f(2)＝0，則滿意xf(x－1)≥0的x的取值范圍是()A．[－1,1]∪[3，＋∞) B．[－3，－1]∪[0,1]C．[－1,0]∪[1，＋∞) D．[－1,0]∪[1,3]D[由題意知f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)單調(diào)遞減，且f(－2)＝f(2)＝f(0)＝0.當x>0時，令f(x－1)≥0，得0≤x－1≤2，∴1≤x≤3；當x<0時，令f(x－1)≤0，得－2≤x－1≤0，∴－1≤x≤1，又x<0，∴－1≤x<0；當x＝0時，明顯符合題意．綜上，原不等式的解集為[－1,0]∪[1,3]，故選D.][點評]由函數(shù)性質(zhì)抽象出函數(shù)圖形，體現(xiàn)了數(shù)學抽象的素養(yǎng)．素養(yǎng)2直觀想象通過對空間圖形與平面圖形的視察以及圖形與數(shù)量關系的分析，通過想象對困難的數(shù)學問題進行直觀表達，看我們能否運用圖形和空間想象思索問題，感悟事物的本質(zhì)，形成解決問題的思路，以此考查直觀想象素養(yǎng).主要包括利用圖形描述數(shù)學問題，建立形與數(shù)的聯(lián)系，構建數(shù)學問題的直觀模型，探究解決問題的思路.詳細表現(xiàn)：①利用圖形描述數(shù)學問題；②利用圖形理解數(shù)學問題；③利用圖形探究和解決數(shù)學問題；④構建數(shù)學問題的直觀模型.[例2](2024·全國卷Ⅰ，T3)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形態(tài)可視為一個正四棱錐．以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個側(cè)面三角形的面積，則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為()A.eq\f(\r(5)－1,4)B.eq\f(\r(5)－1,2)C.eq\f(\r(5)＋1,4)D.eq\f(\r(5)＋1,2)C[設正四棱錐的高為h，底面正方形的邊長為2a，斜高為m，依題意得h2＝eq\f(1,2)×2a×m，即h2＝am①，易知h2＋a2＝m2②，由①②得m＝eq\f(1＋\r(5),2)a(負值舍去)，所以eq\f(m,2a)＝eq\f(\f(1＋\r(5),2)a,2a)＝eq\f(1＋\r(5),4).故選C.][點評]由實物體勾畫出幾何圖形，體現(xiàn)了直觀想象的素養(yǎng)．素養(yǎng)3邏輯推理通過提出問題和論證命題的過程，看我們能否選擇合適的論證方法與途徑予以證明，并能用精確、嚴謹?shù)臄?shù)學語言表述論證過程，以此考查邏輯推理素養(yǎng).主要包括兩類，一類是從小范圍成立的命題推斷更大范圍內(nèi)成立的命題的推理，推理形式主要有歸納推理、類比推理；一類是從大范圍成立的命題推斷小范圍內(nèi)成立的命題的推理，推理形式主要有演繹推理.詳細表現(xiàn)：①發(fā)覺和提出命題；②駕馭推理的基本形式和規(guī)則；③探究和表述論證的過程；④構建命題體系；⑤表達與溝通.[例3](2024·全國卷Ⅱ，T5)在“一帶一路”學問測驗后，甲、乙、丙三人對成果進行預料．甲：我的成果比乙高．乙：丙的成果比我和甲的都高．丙：我的成果比乙高．成果公布后，三人成果互不相同且只有一個人預料正確，那么三人按成果由高到低的次序為()A．甲、乙、丙 B．乙、甲、丙C．丙、乙、甲 D．甲、丙、乙A[由于三人成果互不相同且只有一個人預料正確．若甲預料正確，則乙、丙預料錯誤，于是三人按成果由高到低的次序為甲、乙、丙；若甲預料錯誤，則甲、乙按成果由高到低的次序為乙、甲，再假設丙預料正確，則乙、丙按成果由高到低的次序為丙、乙，于是甲、乙、丙按成果由高到低排序為丙、乙、甲，從而乙的預料也正確，與事實沖突；若甲、丙預料錯誤，則可推出乙的預料也錯誤．綜上所述，三人按成果由高到低的次序為甲、乙、丙．故選A.][點評]由語言間的邏輯關系推導出結(jié)果，體現(xiàn)了邏輯推理的素養(yǎng)．素養(yǎng)4數(shù)學運算通過各類數(shù)學問題特殊是綜合性問題的處理，看我們能否做到明確運算對象，分析運算條件，選擇運算法則，把握運算方向，設計運算程序，獲得運算結(jié)果，以此考查數(shù)學運算素養(yǎng).主要包括理解運算對象、駕馭運算法則、探究運算方向、選擇運算方法、設計運算程序、求得運算結(jié)果.詳細表現(xiàn)：①理解運算對象；②駕馭運算法則；③探究運算思想；④設計運算程序.[例4](2024·全國卷Ⅲ，T6)已知向量a，b滿意|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，則cos〈a，a＋b〉＝()A．－eq\f(31,35)B．－eq\f(19,35)C.eq\f(17,35)D.eq\f(19,35)D[由a·(a＋b)＝|a|2＋a·b＝25－6＝19，又|a＋b|＝eq\r(a2＋2a·b＋b2)＝7，所以cos〈a，a＋b〉＝eq\f(a·a＋b,|a|·|a＋b|)＝eq\f(19,5×7)＝eq\f(19,35)，故選D.][點評]向量的模、數(shù)量積的運算、向量的夾角等均體現(xiàn)了數(shù)學運算的素養(yǎng)．素養(yǎng)5數(shù)學建模通過實際應用問題的處理，看我們是否能夠運用數(shù)學語言，清楚、精確地表達數(shù)學建模的過程和結(jié)果，以此考查數(shù)學建模素養(yǎng).主要包括在實際情境中，從數(shù)學的視角提出問題、分析問題、表達問題、構建模型、求解結(jié)論、驗證結(jié)果、改進模型，最終得到符合實際的結(jié)果.詳細表現(xiàn)：①發(fā)覺和提出問題；②建立模型；③求解模型；④檢驗結(jié)果和完善模型.[例5](2024·全國卷Ⅱ，T4)北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層．上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石)，環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊．下一層的第一環(huán)比上一層的最終一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊．已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板(不含天心石)()A．3699塊 B．3474塊C．3402塊 D．3339塊C[由題意知，由天心石起先向外的每環(huán)的扇面形石板塊數(shù)構成一個等差數(shù)列，記為{an}，易知其首項a1＝9、公差d＝9，所以an＝a1＋(n－1)d＝9n.設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，由等差數(shù)列的性質(zhì)知Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等差數(shù)列，所以2(S2n－Sn)＝Sn＋S3n－S2n，所以(S3n－S2n)－(S2n－Sn)＝S2n－2Sn＝eq\f(2n9＋18n,2)－2×eq\f(n9＋9n,2)＝9n2＝729，得n＝9，所以三層共有扇面形石板的塊數(shù)為S3n＝eq\f(3n9＋27n,2)＝eq\f(3×9×9＋27×9,2)＝3402，故選C.][點評]由題設信息抽象出數(shù)列模型，體現(xiàn)了數(shù)學建模的素養(yǎng)．素養(yǎng)6數(shù)據(jù)分析通過對概率與統(tǒng)計問題中大量數(shù)據(jù)的分析和加工，看我們能否獲得數(shù)據(jù)供應的信息及其所呈現(xiàn)的規(guī)律，進而分析隨機現(xiàn)象的本質(zhì)特征，發(fā)覺隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律，以此考查數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).主要包括收集數(shù)據(jù)提取信息，利用圖表展示數(shù)據(jù)，構建模型分析數(shù)據(jù)，說明數(shù)據(jù)獲得學問.詳細表現(xiàn)：①數(shù)據(jù)獲得；②數(shù)據(jù)分析；③學問構建.[例6](2024·全國卷Ⅱ，T18)某沙漠地區(qū)經(jīng)過治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動物數(shù)量有所增加．為調(diào)查該地區(qū)某種野生動物的數(shù)量，將其分成面積相近的200個地塊，從這些地塊中用簡潔隨機抽樣的方法抽取20個作為樣區(qū)，調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，…，20)，其中xi和yi分別表示第i個樣區(qū)的植物覆蓋面積(單位：公頃)和這種野生動物的數(shù)量，并計算得eq\o(∑,\s\up7(20),\s\do10(i＝1))xi＝60，eq\o(∑,\s\up7(20),\s\do10(i＝1))yi＝1200，eq\o(∑,\s\up7(20),\s\do10(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up7(－)))2＝80，eq\o(∑,\s\up7(20),\s\do10(i＝1))(yi－eq\o(y,\s\up7(－)))2＝9000，eq\o(∑,\s\up7(20),\s\do10(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up7(－)))(yi－eq\o(y,\s\up7(－)))＝800.(1)求該地區(qū)這種野生動物數(shù)量的估計值(這種野生動物數(shù)量的估計值等于樣區(qū)這種野生動物數(shù)量的平均數(shù)乘以地塊數(shù))；(2)求樣本(xi，yi)(i＝1,2，…，20)的相關系數(shù)(精確到0.01)；(3)依據(jù)現(xiàn)有統(tǒng)計資料，各地塊間植物覆蓋面積差異很大，為提高樣本的代表性以獲得該地區(qū)這種野生動物數(shù)量更精確的估計，請給出一種你認為更合理的抽樣方法，并說明理由．附：相關系數(shù)r＝eq\f(\o(∑,\s\up7(n),\s\do10(i＝1))xi－\o(x,\s\up7(－))yi－\o(y,\s\up7(－)),\r(\o(∑,\s\up7(n),\s\do10(i＝1))xi－\o(x,\s\up7(－))2\o(∑,\s\up7(n),\s\do10(i＝1))yi－\o(y,\s\up7(－))2))，eq\r(2)≈1.414.[解](1)由已知得樣本平均數(shù)eq\x\to(y)＝eq\f(1,20)eq\i\su(i＝1,20,y)i＝60，從而該地區(qū)這種野生動物數(shù)量的估計值為60×200＝12000.(2)樣本(xi，yi)(i＝1,2，…，20)的相關系數(shù)r＝eq\f(\i\su(i＝1,20,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,20,)xi－\x\to(x)2\i\su(i＝1,20,)yi－\x\to(y)2))＝eq\f(800,\r(80×9000))＝eq\f(2\r(2),3)≈0.94.(3)分層抽樣：依據(jù)植物覆蓋面積的大小對地塊分層，再對200個地塊進行分層抽樣．理由如下：由(2)知各樣區(qū)的這種野生動物數(shù)量與植物覆蓋面積有很強的正相關．由于各地塊間植物覆蓋面積差異很大，從而各地塊間這種野生動物數(shù)量差異也很大，采納分層抽樣的方法較好地保持了樣本結(jié)構與總體結(jié)構的一樣性，提高了樣本的代表性，從而可以獲得該地區(qū)這種野生動物數(shù)量更精確的估計．[點評]由題設樣本數(shù)據(jù)對總體作出合理分析，體現(xiàn)了數(shù)據(jù)分析的素養(yǎng)．真題示例1源于教材2024·全國卷Ⅰ，T8人教A版必修1P75B組T1設alog34＝2，則4－a＝()A.eq\f(1,16)B.eq\f(1,9)C.eq\f(1,8)D.eq\f(1,6)若xlog34＝1，求4x＋4－x的值.點評：高考題與教材的題目如出一轍，均考查指、對數(shù)互化及指數(shù)冪的運算.真題示例2源于教材2024·全國卷Ⅱ，T16人教A版必修5P18練習T3△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若2bcosB＝acosC＋ccosA，則B＝________.在△ABC中，求證：a＝bcosC＋ccosB，b＝ccosA＋acosC，c＝acosB＋bcosA.點評：高考題常利用以上三結(jié)論干脆命題.真題示例3源于教材2013·全國新課標卷Ⅰ，T21(1)人教A版選修2－1P50B組T2人教A版選修2－1P80A組T已知圓M：(x＋1)2＋y2＝1，圓N：(x－1)2＋y2＝9，動圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，圓心P的軌跡為曲線C.(1)求C的方程.1.一動圓與圓x2＋y2＋6x＋5＝0外切，同時與圓x2＋y2－6x－91＝0內(nèi)切，求動圓圓心的軌跡方程，并說明它是什么曲線.2.與圓x2＋y2＝1及圓x2＋y2－8x＋12＝0都外切的圓的圓心在()A.一個橢圓上B.雙曲線的一支上C.一條拋物線上D.一個圓上點評：以上試題均以圓與圓的位置關系為載體考查圓心的軌跡方程問題.真題示例1追蹤溯源2024·全國卷Ⅲ，T162024·全國卷Ⅰ，T13已知函數(shù)f(x)＝ln(eq\r(1＋x2)－x)＋1，f(a)＝4，則f(－a)＝________.若函數(shù)f(x)＝xln(x＋eq\r(a＋x2))為偶函數(shù)，則a＝________.點評：兩道考題均以函數(shù)y＝ln(eq\r(1＋x2)±x)的奇偶性為載體，通過構造變遷成新的考題，在求解過程中均采納了分別轉(zhuǎn)化的思想．如2024年全國卷Ⅰ用了“奇函數(shù)×奇函數(shù)＝偶函數(shù)”的性質(zhì)，而2024年全國卷Ⅲ應用了整體代換思想，熟知函數(shù)y＝ln(eq\r(1＋x2)±x)的奇偶性是解題關鍵.真題示例2追蹤溯源2024·全國卷Ⅰ，T162012·全國新課標卷Ⅰ，T12數(shù)列{an}滿意an＋2＋(－1)nan＝3n－1，前16項和為540，則a1＝________.數(shù)列{an}滿意an＋1＋(－1)nan＝2n－1，則數(shù)列{an}的前60項和為()A.3690B．3660C.1845D．1830點評：兩題均以遞推關系為載體，命題結(jié)構完全相像，在求解思路上，均以n的奇偶性為切入點，通過項間的關系發(fā)覺內(nèi)在規(guī)律.真題示例1：(2024·全國卷Ⅱ，T13)我國高鐵發(fā)展快速，技術先進．經(jīng)統(tǒng)計，在經(jīng)停某站的高鐵列車中，有10個車次的正點率為0.9