第21章 數(shù)學(xué)思想方法-假期晉級利器之初升高數(shù)學(xué)銜接教材（解析版）

第21章數(shù)學(xué)思想方法【知識銜接】————初中知識回顧————數(shù)學(xué)思想方法是把知識轉(zhuǎn)化為能力的橋梁，是解題規(guī)律的總結(jié)，是達(dá)到以點帶面、觸類旁通、擺脫題海的有效之路。因此我們應(yīng)抓住臨近中考的這段時間，去研究、歸納、熟悉那些常見的解題方法與技巧，從而為奪得中考高分搭起靈感和智慧的平臺。學(xué)！科網(wǎng)初中數(shù)學(xué)中的主要數(shù)學(xué)思想有整體思想、轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想等?！咧兄R鏈接————高中數(shù)學(xué)中的主要數(shù)學(xué)思想有函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想等。函數(shù)思想就是構(gòu)造函數(shù)從而利用函數(shù)的圖象與性質(zhì)解題，經(jīng)常利用的性質(zhì)是：單調(diào)性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、圖象變換等．在解題中，善于挖掘題目的隱含條件，構(gòu)造出函數(shù)解析式和巧用函數(shù)的性質(zhì)，是應(yīng)用函數(shù)思想的關(guān)鍵，它廣泛地應(yīng)用于方程、不等式、數(shù)列等問題．方程思想就是將所求的量(或與所求的量相關(guān)的量)設(shè)成未知數(shù)，用它表示問題中的其他各量，根據(jù)題中的已知條件列出方程(組)，通過解方程(組)或?qū)Ψ匠?組)進(jìn)行研究，使問題得到解決．?dāng)?shù)形結(jié)合是把數(shù)或數(shù)量關(guān)系與圖形對應(yīng)起來，借助圖形來研究數(shù)量關(guān)系或者利用數(shù)量關(guān)系來研究圖形的性質(zhì)，是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法。它可以使抽象的問題具體化，復(fù)雜的問題簡單化。“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微”，利用數(shù)形結(jié)合的思想方法可以深刻揭示數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)。分類討論思想是將一個較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題分解(或分割)成若干個基礎(chǔ)性問題，通過對基礎(chǔ)性問題的解答來實現(xiàn)解決原問題的思想策略．對問題實行分類與整合，分類標(biāo)準(zhǔn)等于是增加的一個已知條件，實現(xiàn)了有效增設(shè)，將大問題(或綜合性問題)分解為小問題(或基礎(chǔ)性問題)，優(yōu)化解題思路，降低問題難度．轉(zhuǎn)化與化歸思想的實質(zhì)是揭示聯(lián)系，實現(xiàn)轉(zhuǎn)化．除極簡單的數(shù)學(xué)問題外，每個數(shù)學(xué)問題的解決都是通過轉(zhuǎn)化為已知的問題實現(xiàn)的．從這個意義上講，解決數(shù)學(xué)問題就是從未知向已知轉(zhuǎn)化的過程．化歸與轉(zhuǎn)化思想是解決數(shù)學(xué)問題的根本思想，解題的過程實際上就是一步步轉(zhuǎn)化的過程．【經(jīng)典題型】初中經(jīng)典題型一、整體思想的應(yīng)用例1：若a﹣b=2，a﹣c=，則（b﹣c）2﹣3（b﹣c）+=．【分析】把a(bǔ)﹣c=與a﹣b=2兩邊分別相減得b﹣c的值，然后整體代入所求代數(shù)式求值即可．【解讀】運用整體思想解題的關(guān)鍵是把研究對象的某一部分(或全部)看成一個整體，通過觀察與分析，找出整體與局部的聯(lián)系，從而在客觀上尋求解決問題的新途徑．整體是與局部對應(yīng)的，按常規(guī)不容易求某一個(或多個)未知量時，可打破常規(guī)，根據(jù)題目的結(jié)構(gòu)特征，把一組數(shù)或一個代數(shù)式看作一個整體，從而使問題得到解決．二、轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用例2：我國古代有這樣一道數(shù)學(xué)問題：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根纏繞而上，五周而達(dá)其頂，問葛藤之長幾何？”題意是：如圖所示，把枯木看作一個圓柱體，因一丈是十尺，則該圓柱的高為20尺，底面周長為3尺，有葛藤自點A處纏繞而上，繞五周后其末端恰好到達(dá)點B處，則問題中葛藤的最短長度是尺．【分析】這種立體圖形求最短路徑問題，可以展開成為平面內(nèi)的問題解決，展開后可轉(zhuǎn)化下圖，所以是個直角三角形求斜邊的問題，根據(jù)勾股定理可求出．學(xué)#科網(wǎng)【解讀】“轉(zhuǎn)化思想”的目的是使問題化復(fù)雜為簡單、化陌生為熟悉、化未知為已知，易于問題的解決，從而避免“小題大做”．通過轉(zhuǎn)化得到的問題，必須與原來的問題是等價的，否則轉(zhuǎn)化是無效的、得到的結(jié)果是錯誤的．三、分類討論思想的應(yīng)用例3：經(jīng)過三邊都不相等的三角形的一個頂點的線段把三角形分成兩個小三角形，如果其中一個是等腰三角形，另外一個三角形和原三角形相似，那么把這條線段定義為原三角形的“和諧分割線”．如圖，線段CD是△ABC的“和諧分割線”，△ACD為等腰三角形，△CBD和△ABC相似，∠A=46°，則∠ACB的度數(shù)為．【分析】由△ACD是等腰三角形，∠ADC＞∠BCD，推出∠ADC＞∠A，即AC≠CD，分兩種情形討論①當(dāng)AC=AD時，②當(dāng)DA=DC時，分別求解即可．【解答】解：∵△BCD∽△BAC，【解讀】某些數(shù)學(xué)問題可能存在多種情形，求解時需要對各種情形加以分類，并逐類求解，然后綜合得解，分類時要做到：(1)分類時每一部分互相獨立；(2)一次分類必須是同一個標(biāo)準(zhǔn)；(3)分類討論應(yīng)該逐級進(jìn)行，不能越級討論．四、數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用例4：已知一次函數(shù)y1=kx+b與y2=x+a的圖象如圖所示，則下列結(jié)論：①k＜0；②a＞0；③關(guān)于x的方程kx+b=x+a的解為x=3；④x＞3時，y1＜y2．正確的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根據(jù)y1=kx+b和y2=x+a的圖象可知：k＜0，a＜0，所以當(dāng)x＞3時，相應(yīng)的x的值，y1圖象均低于y2的圖象．【解答】解：根據(jù)圖示及數(shù)據(jù)可知：①k＜0正確；②a＜0，原來的說法錯誤；③方程kx+b=x+a的解是x=3，正確；④當(dāng)x＞3時，y1＜y2正確．故正確的個數(shù)是3．故選：C．【解讀】在研究問題時把數(shù)與形結(jié)合考慮，把數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖形的性質(zhì)，或者把圖形的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，從而使復(fù)雜問題簡單化、抽象問題具體化．如利用數(shù)軸研究實數(shù)和不等式(組)的解集，利用統(tǒng)計圖獲取相關(guān)統(tǒng)計量的信息，利用圖形的剪拼驗證整式的一些性質(zhì)，利用函數(shù)的圖象研究函數(shù)的性質(zhì)等．高中經(jīng)典題型一、函數(shù)與方程思想例1：如圖，修建一條公路需要一段環(huán)湖彎曲路段與兩條直道平滑連續(xù)(相切)，已知環(huán)湖彎曲路段為某三次函數(shù)圖象的一部分，則該函數(shù)的解析式為()A．y＝eq\f(1,2)x3－eq\f(1,2)x2－xB．y＝eq\f(1,2)x3＋eq\f(1,2)x2－3xC．y＝eq\f(1,4)x3－xD．y＝eq\f(1,4)x3＋eq\f(1,2)x2－2x【答案】A【解析】二、數(shù)形結(jié)合思想例2：已知函數(shù)f(x)滿足下面關(guān)系：①f(x＋1)＝f(x－1)；②當(dāng)x∈[－1，1]時，f(x)＝x2，則方程f(x)＝lgx解的個數(shù)是()A．5個B．7個C．9個D．10個【解析】三、分類討論思想例3：長方形ABCD中，|AB|＝4，|BC|＝8，在BC邊上取一點P，使|BP|＝t，線段AP的垂直平分線與長方形的邊的交點為Q，R時，用t表示|QR|.【解析】四、轉(zhuǎn)化與化歸思想例4：某廠2015年生產(chǎn)利潤逐月增加，且每月增加的利潤相同，但由于廠方正在改造建設(shè)，1月份投入資金建設(shè)恰好與1月份的利潤相等，隨著投入資金的逐月增加，且每月增加投入的百分率相同，到12月投入建設(shè)資金又恰好與12月的生產(chǎn)利潤相同，則全年總利潤M與全年總投入N的大小關(guān)系是()A．M>NB．M<NC．M＝ND．無法確定【答案】A【解析】點評：把一個原本是求和的問題，轉(zhuǎn)化到各項的逐一比較大小，而一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的圖象又是學(xué)生所熟悉的．在對問題的化歸過程中進(jìn)一步挖掘了問題的內(nèi)涵，通過對問題的反思、再加工后，使問題直觀、形象，使解答更清新．【實戰(zhàn)演練】————先作初中題——夯實基礎(chǔ)————A組1．若a﹣b=2，b﹣c=﹣3，則a﹣c等于（）A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5【分析】根據(jù)題中等式確定出所求即可．【解答】解：∵a﹣b=2，b﹣c=﹣3，∴a﹣c=（a﹣b）+（b﹣c）=2﹣3=﹣1，故選B學(xué)科！網(wǎng)2．已知等腰三角形一邊長為4，另一邊長為8，則這個等腰三角形的周長為（）A．20 B．20或16 C．16 D．12【分析】因為已知長度為4和8兩邊，沒有明確是底邊還是腰，所以有兩種情況，需要分類討論．3．如圖是由8個全等的矩形組成的大正方形，線段AB的端點都在小矩形的頂點上，如果點P是某個小矩形的頂點，連接PA、PB，那么使△ABP為等腰直角三角形的點P的個數(shù)是（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【分析】根據(jù)等腰直角三角形的判定即可得到結(jié)論．【解答】解：如圖所示，使△ABP為等腰直角三角形的點P的個數(shù)是3，故選B．4．已知二次函數(shù)y=(x+m)2-n的圖象如圖所示，則一次函數(shù)y=mx+n與反比例函數(shù)的圖象可能是（）【分析】先根據(jù)二次函數(shù)的圖象，確定m，n的符號，再根據(jù)m，n的符號判斷一次函數(shù)y=mx+n與反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過的象限即可．5．解分式方程﹣1=．【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：1+x﹣x+1=2x，解得：x=1，經(jīng)檢驗x=1是增根，分式方程無解．6．小明想要測量學(xué)校食堂和食堂正前方一棵樹的高度，他從食堂樓底M處出發(fā)，向前走3米到達(dá)A處，測得樹頂端E的仰角為30°，他又繼續(xù)走下臺階到達(dá)C處，測得樹的頂端E的仰角是60°，再繼續(xù)向前走到大樹底D處，測得食堂樓頂N的仰角為45°．已知A點離地面的高度AB=2米，∠BCA=30°，且B、C、D三點在同一直線上．（1）求樹DE的高度；（2）求食堂MN的高度．【分析】（1）先求AC，再求CE，最后求DE（2）延長MN交BD于點G,先求BC和CD,再求NG和GD,最后求MN學(xué)科%網(wǎng)7．小明做了一個數(shù)學(xué)實驗：將一個圓柱形的空玻璃杯放入形狀相同的無水魚缸內(nèi)，看作一個容器．然后，小明對準(zhǔn)玻璃杯口勻速注水，如圖所示，在注水過程中，杯底始終緊貼魚缸底部．則下面可以近似地刻畫出容器最高水位與注水時間之間的變化情況的是（）A．B．C．D．【分析】根據(jù)題意判斷出h隨t的變化趨勢，然后再結(jié)合選項可得答案．【解答】解：空玻璃杯注滿前，水位越來越高；空玻璃注滿后很長時間高度不變；當(dāng)容器和空玻璃杯水位相同時，水位繼續(xù)升高。故選：B．8．在平面直角坐標(biāo)系中，點C、D的坐標(biāo)分別為C（2，3）、D（1，0），現(xiàn)以原點為位似中心，將線段CD放大得到線段AB．若點D的對應(yīng)點B在x軸上且OB=2，則點C的對應(yīng)點A的坐標(biāo)為．【分析】根據(jù)位似變換的定義，畫出圖形即可解決問題，注意有兩解．9．如圖，在半徑為13cm的圓形鐵片上切下一塊高為8cm的弓形鐵片，則弓形弦AB的長為（）A．10cm B．16cm C．24cm D．26cm【分析】首先構(gòu)造直角三角形，再利用勾股定理得出BC的長，進(jìn)而根據(jù)垂徑定理得出答案．【解答】解：如圖，過O作OD⊥AB于C，交⊙O于D，學(xué)@科網(wǎng)∵CD=8，OD=13，∴OC=5，又∵OB=13，∴Rt△BCO中，BC==12，∴AB=2BC=24．故選：C．10．已知等腰三角形的一邊長為9，另一邊長為方程x2﹣8x+15=0的根，則該等腰三角形的周長為．【分析】求出方程的解，分為兩種情況，看看是否符合三角形三邊關(guān)系定理，求出即可．————再戰(zhàn)高中題——能力提升————B組1、已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2－|x|，x≤2，,（x－2）2，x＞2，))函數(shù)g(x)＝b－f(2－x)，其中b∈R，若函數(shù)y＝f(x)－g(x)恰有4個零點，則b的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,4)，＋∞))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(7,4)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(7,4)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,4)，2))【答案】D【解析】記h(x)＝－f(2－x)在同一坐標(biāo)系中作出f(x)與h(x)的圖象如圖，直線AB：y＝x－4，當(dāng)直線l∥AB且與f(x)的圖象相切時，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x＋b′，,y＝（x－2）2，))解得b′＝－eq\f(9,4)，－eq\f(9,4)－(－4)＝eq\f(7,4)，所以曲線h(x)向上平移eq\f(7,4)個單位后，所得圖象與f(x)的圖象有四個公共點，平移2個單位后，兩圖象有無數(shù)個公共點，因此，當(dāng)eq\f(7,4)＜b＜2時，f(x)與g(x)的圖象有四個不同的交點，即y＝f(x)－g(x)恰有4個零點．選D.2、已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)，滿足f(x－4)＝－f(x)，且在區(qū)間[0，2]上是增函數(shù)，若方程f(x)＝m(m>0)在區(qū)間[－8，8]上有四個不同的根x1，x2，x3，x4，則x1＋x2＋x3＋x4＝________．【答案】－8.【解析】3、在等差數(shù)列{an}中，a1＝1，滿足a2n＝2an，n