《機器人學簡明教程》課件第3章

第3章機器人運動學

3.1雙輪移動機器人運動學3.2三輪全向移動機器人運動學3.3平面機械臂運動學3.4空間機械臂連桿描述3.5空間機械臂連桿坐標系選擇3.6空間機械臂運動學3.7

PUMA560工業(yè)機器人運動學3.8坐標系的標準命名規(guī)則 3.1雙輪移動機器人運動學

1.運動學關(guān)系

輪式移動機器人是目前普遍使用的移動機器人，其中雙輪機器人因為控制簡單方便（只需兩個電機），在科學研究和教學方面得到了最廣泛的應用。圖3－1是雙輪差動（兩輪獨立控制）機器人示意圖。假設輪與地面之間沒有滑動，（x,y,θ）表示雙輪機器人位姿，v表示機器人前進速度，ω表示機器人轉(zhuǎn)動速度，則(3－1)圖3－1雙輪差動機器人(3－2)如果給定期望的機器人前進速度v，轉(zhuǎn)動速度ω，則可以確定機器人的兩輪轉(zhuǎn)速為(3－3)因此，可以非常方便地通過控制電機的轉(zhuǎn)速來控制機器人的移動和轉(zhuǎn)動速度。

2.機器人位置估計

方位角變化第n步機器人位姿可以按下面公式更新:(3－4) 3.2三輪全向移動機器人運動學

前面介紹的雙輪移動機器人運動中最大的問題是不能橫向移動，在實際應用中靈活性比較差。最典型的例子就是汽車在路邊固定車位的停車過程，如果汽車可以橫向移動，停車將是一個非常簡單的問題。圖3－2所示的全向移動輪是近年來出現(xiàn)的一種新的輪式移動機構(gòu)，在大輪的邊緣上布置了若干小輪，使得機器人的移動方向不再限定于大輪所在的平面方向。常用的三輪全向移動機器人運動結(jié)構(gòu)配置如圖3－3所示，xoy是機器人坐標系，機器人的運動速度用vx、vy和ω表示，三個全向輪的角速度分別用ω1、ω2和ω3表示，v1、v2和v3分別表示三個全向輪輪心處的線速度。假設全向輪的半徑為R，距運動機構(gòu)中心的距離為L，則各速度間關(guān)系為

圖3－2全向移動輪圖3－3三輪全向移動機構(gòu)（3－5）根據(jù)式（3－5）可以得到三個全向輪的角速度與機器人速度之間的關(guān)系如下:式（3－6）中機器人的速度是用機器人坐標系表示的，而在實際問題（如機器人比賽）中，機器人的期望速度是在全局（場地）坐標系下表示的。圖3－4給出了機器人坐標系（xoy）和場地坐標系（XOY）的示意圖。在場地坐標系下的速度Vx、Vy和Ω與機器人坐標系下機器人速度之間的變換關(guān)系如下:(3－7)(3－8)

由式（3－6）和式（3－8）可以得到三個全向輪的角速度與機器人在場地坐標系下速度的變換關(guān)系(3－9)圖3－4機器人坐標系在場地坐標系中的位置式（3－9）表明，若給定機器人在場地坐標系下的期望速度矢量，則三個全向輪的角速度即可確定。因此，機器人的速度控制問題可以轉(zhuǎn)化為電機的轉(zhuǎn)速控制問題。對于機器人普遍采用的直流伺服電機，轉(zhuǎn)速控制已經(jīng)非常成熟，可以采用簡單的數(shù)字PID控制方法實現(xiàn)直流伺服電機的轉(zhuǎn)速控制。隨著全向移動技術(shù)的日益成熟，目前在RoboCup機器人比賽的中型組和小型組隊伍普遍采用全向移動機器人，其運動的靈活性較傳統(tǒng)的雙輪移動機器人有了質(zhì)的飛躍。當然，全向移動機器人還存在一些不足，如負載和越障能力較差，能量效率比傳統(tǒng)雙輪機器人要低。 3.3平面機械臂運動學

機械臂是由多個連桿通過關(guān)節(jié)連接起來的機構(gòu)，通常首個關(guān)節(jié)固定在基座上，而且前端裝有末端執(zhí)行器（如手爪）。下面先以簡單的平面機械臂為例介紹機械臂運動學。

如圖3－5所示的兩連桿平面旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)機械臂，其結(jié)構(gòu)由連桿長度L1，L2和關(guān)節(jié)角θ1，θ2確定。表示關(guān)節(jié)位置的變量θ1、θ2稱為關(guān)節(jié)變量。旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)變量一般采用關(guān)節(jié)角θ表示，而移動關(guān)節(jié)變量一般采用移動距離d表示。在機器人學中將機械臂末端位姿與關(guān)節(jié)變量之間的幾何關(guān)系稱為機械臂運動學。圖3－5表示的機械手末端位置與關(guān)節(jié)角之間的關(guān)系為圖3-5平面機械臂(3－10)r=f(

)(3－11)ΔOAB中α可以根據(jù)余弦定理確定(3－12)因此，可以得到θ2=π-α(3－13)觀察圖3－6可以發(fā)現(xiàn)，θ1+β和β兩個角度都可計算，因此θ1也是可以計算的。根據(jù)圖中幾何關(guān)系得:因此(3－14)圖3－6平面機械臂簡圖 3.4空間機械臂連桿描述

從機械結(jié)構(gòu)上看，機械臂可以看成一系列剛體通過關(guān)節(jié)連接而成的鏈式運動機構(gòu)。一般把這些剛體稱為連桿，通過關(guān)節(jié)可將相鄰的連桿連接起來。旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)和移動關(guān)節(jié)是機械臂設計中經(jīng)常采用的單自由度關(guān)節(jié)。

從機械臂的固定基座開始對連桿進行編號，可以稱基座為連桿0。第一個可移動連桿為連桿1，以此類推，機械臂的最末端連桿為連桿n。為了使機械臂末端執(zhí)行器可以在3維空間達到任意的位置和姿態(tài)，機械臂至少需要6個關(guān)節(jié)，因此，典型的工業(yè)機械臂一般都具有6個關(guān)節(jié)。圖3－7連桿描述下面給出幾個連桿參數(shù)的定義:

(1)連桿長度:即連桿兩端關(guān)節(jié)軸線間公垂線的長度。圖3－7中ai-1即為連桿i-1的長度。圖中給出了兩個關(guān)節(jié)軸為空間異面直線的情況。若兩關(guān)節(jié)軸共面，兩軸線平行時，連桿長度為平行線間的距離，兩軸線相交時，連桿長度為0。

（2）連桿轉(zhuǎn)角:過關(guān)節(jié)軸i-1做垂直于公垂線的平面，在該平面內(nèi)做過垂足且平行于關(guān)節(jié)軸i的直線。該直線與關(guān)節(jié)軸i-1的夾角定義為連桿轉(zhuǎn)角。圖3－7中αi-1即為連桿i-1的轉(zhuǎn)角。連桿轉(zhuǎn)角只在兩個關(guān)節(jié)軸為空間異面直線的情況下有意義，若兩關(guān)節(jié)軸共面則αi-1值任意選取而不影響機械臂的運動學結(jié)果。（3）連桿偏距:關(guān)節(jié)軸i與相鄰關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)軸（i-1和i+1）間公垂線間的距離稱為連桿偏距。圖3－7中di即為關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)軸i上的連桿偏距。

(4)關(guān)節(jié)角:兩相鄰連桿繞公共軸線旋轉(zhuǎn)的角度稱為關(guān)節(jié)角。圖3－7中θi即為關(guān)節(jié)i的關(guān)節(jié)角。

機器人的每個連桿都可以用以上四個參數(shù)描述，其中連桿長度和連桿轉(zhuǎn)角描述連桿本身，連桿偏距和關(guān)節(jié)角描述連桿之間的連接關(guān)系。對于轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)，θi為關(guān)節(jié)變量，其他三個參數(shù)是常數(shù)；對于移動關(guān)節(jié)，di為關(guān)節(jié)變量，其他三個參數(shù)是常數(shù)。這種用連桿參數(shù)描述機構(gòu)運動學關(guān)系的規(guī)則稱為DH（DevanitHartenberg）方法，連桿參數(shù)稱為DH參數(shù)。對于一個6關(guān)節(jié)機器人，需要18個參數(shù)就可以完全描述機械臂固定的運動學結(jié)構(gòu)參數(shù)。如果機器人6個關(guān)節(jié)均為轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)，18個固定參數(shù)可以用6組（αi-1,ai-1,di）表示。機器人的每個連桿都可以用以上四個參數(shù)描述，其中連桿長度和連桿轉(zhuǎn)角描述連桿本身，連桿偏距和關(guān)節(jié)角描述連桿之間的連接關(guān)系。對于轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)，θi為關(guān)節(jié)變量，其他三個參數(shù)是常數(shù)；對于移動關(guān)節(jié)，di為關(guān)節(jié)變量，其他三個參數(shù)是常數(shù)。這種用連桿參數(shù)描述機構(gòu)運動學關(guān)系的規(guī)則稱為DH（DevanitHartenberg）方法，連桿參數(shù)稱為DH參數(shù)。對于一個6關(guān)節(jié)機器人，需要18個參數(shù)就可以完全描述機械臂固定的運動學結(jié)構(gòu)參數(shù)。如果機器人6個關(guān)節(jié)均為轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)，18個固定參數(shù)可以用6組（αi-1,ai-1,di）表示。3.5空間機械臂連桿坐標系統(tǒng)選擇圖3－8坐標系（i）選擇示意圖

1.連桿坐標系中連桿參數(shù)的確定若連桿坐標系采用DH方法選定，則連桿參數(shù)（DH參數(shù)）可以按以下方法確定:

2.建立連桿坐標系的步驟

（1）找出各關(guān)節(jié)軸，并標出軸的延長線。步驟（2）~（5）僅考慮兩個相鄰關(guān)節(jié)軸（i和i+1）和坐標系{i}。

（2）找出關(guān)節(jié)軸i和i+1之間的公垂線或兩個軸的交點，以兩個軸的交點或公垂線與關(guān)節(jié)軸i的交點為坐標系{i}的原點。

（3）規(guī)定Zi沿關(guān)節(jié)軸i的方向。

（4）規(guī)定Xi沿公垂線指向關(guān)節(jié)軸i+1，若兩個軸相交，規(guī)定Xi垂直于兩軸所在的平面。

（5）按右手定則確定Yi軸。

（6）當?shù)谝粋€關(guān)節(jié)變量為0時坐標系{1}與坐標系{0}重合。對于坐標系{n}，原點位置可以在關(guān)節(jié)軸上任意選取，Xn的方向也是任意的。但在選擇時應盡量使更多的連桿參數(shù)為0。

（4）規(guī)定Xi沿公垂線指向關(guān)節(jié)軸i+1，若兩個軸相交，規(guī)定Xi垂直于兩軸所在的平面。

（5）按右手定則確定Yi軸。

（6）當?shù)谝粋€關(guān)節(jié)變量為0時坐標系{1}與坐標系{0}重合。對于坐標系{n}，原點位置可以在關(guān)節(jié)軸上任意選取，Xn的方向也是任意的。但在選擇時應盡量使更多的連桿參數(shù)為0。

例3－1如圖3－9所示的平面三連桿機械臂，因為三個關(guān)節(jié)均為旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)，故稱為RRR（或3R）機構(gòu)。請在該機構(gòu)上建立連桿坐標系并寫出DH參數(shù)。

解:首先定義參考坐標系{0}，它固定在基座上，當?shù)谝粋€關(guān)節(jié)變量（θ1）為0時坐標系{1}與坐標系{0}重合，因此建立參考坐標系{0}如圖3－10所示，Z0軸與關(guān)節(jié)1的軸線重合且垂直于機械臂所在平面。由于機械臂位于一個平面上，因此所有Z軸相互平行，且連桿偏距d和連桿轉(zhuǎn)角α均為0。該機械臂的DH參數(shù)如表3－1所示。圖3－9平面3R機械臂圖3－10連桿坐標系布局表3－1機械臂DH參數(shù)

例3－2

如圖3－11所示的三連桿3R機械臂，其中關(guān)節(jié)軸1與關(guān)節(jié)軸2相交，關(guān)節(jié)軸2與關(guān)節(jié)軸3平行。請在該機構(gòu)上建立連桿坐標系{1}和{2}，并寫出對應的DH參數(shù)。圖3－11三連桿空間機械臂

解:因為關(guān)節(jié)軸1與關(guān)節(jié)軸2相交，所以X1軸垂直于兩軸所在平面，有兩個方向可以選擇。另外Z1軸和Z2軸的方向也各有兩種選擇。因此，連桿坐標系{1}和{2}共有8種可能的布局。圖3－12給出了其中兩種可能的坐標系布局和對應的DH參數(shù)。本例題說明了連桿坐標系的建立和DH參數(shù)并不是唯一的。圖3－12兩種可能的坐標系布局 3.6空間機械臂運動學

本節(jié)將導出相鄰連桿間坐標系變換的一般形式，然后將這些獨立的變換聯(lián)系起來求出連桿n相對連桿0的位置和姿態(tài)。

按照下列順序建立相鄰兩連桿坐標系{i}和{i-1}之間的相對變換關(guān)系。建立{P}、{Q}和{R}3個中間坐標系，其中{i}和{i-1}是固定在連桿i和i-1上的固連坐標系，如圖3－13所示。圖3－13中間坐標系選擇示意圖因為所有變換都是相對于動坐標系的，所以坐標系{i}和{i-1}之間的變換矩陣為（3－15）式中，各獨立變換矩陣如下:代入到式（3－15），得到連桿間的通用變換公式:（3-16）對于任意的n連桿機械臂，只要給出各連桿的DH參數(shù)，即可以計算機械臂末端在固定坐標系{0}下表示的變換矩陣（位置和姿態(tài)）:(3－17)因此，采用DH規(guī)則選擇連桿坐標系，并用DH參數(shù)描述連桿，可以非常容易地獲得機械臂的變換矩陣，關(guān)鍵是首先獲得機械臂的DH參數(shù)描述。

例3－3利用表3－1的DH參數(shù)計算各連桿的變換矩陣，并計算末端連桿相對固定坐標系的變換矩陣。

解:將相應的參數(shù)代入式（3－16）的各連桿的變換矩陣:

3.7

PUMA560工業(yè)機器人運動學

圖3－14所示PUMA560是一個6自由度工業(yè)機器人，所有關(guān)節(jié)均為轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)。

圖3－15和圖3－16給出了所有關(guān)節(jié)角為零位時，連桿坐標系的分布情況。與大多數(shù)工業(yè)機器人一樣，PUMA560關(guān)節(jié)4、5和6的軸線相交于同一點，且交點與坐標系{4}、{5}和{6}的坐標原點重合。后面將介紹如此設計的原因。機器人的連桿參數(shù)如表3－2所示。圖3－14

PUMA560工業(yè)機器人圖3－15

PUMA560坐標系分布圖3－16

PUMA560前臂坐標系分布表3－2

PUMA560連桿參數(shù)表將相應的參數(shù)代入式（3－16）得各連桿的變換矩陣如下:將以上變換矩陣連乘即可得到，因為在第4章逆運動學求解需要，這里計算一些中間結(jié)果(3－18)(3－19)(3－20)因此得:(3－21)式中，各元素值如下:(3－22)最終得到6個連桿坐標變換矩陣的乘積:(3－23)式中，各元素值如下:(3－24)式（3－24）是PUMA560的運動學方程，給出了機器人末端坐標系{6}相對于基座固定坐標系{0}的位姿。顯然，手工計算6自由度機器人的運動學方程還是比較復雜的，但是，采用計算機編程實現(xiàn)運動學計算非常容易。只需要輸入機器人的DH參數(shù)，再利用式（3－16），6個矩陣連乘即可獲得運動學方程式（3－24）。

3.8坐標系的標準命名規(guī)則

為了分析處理方便，機器人和工作空間一般采用規(guī)范的命名，并采用“標準”的名字對各種坐標系命名。圖3－17表示了5個坐標系，并給出了標準命名。采用該標準命名的坐標系進行機器人的運動描述和分析具有簡單通用的特點。圖3－17標準坐標系

1.基坐標系{B}

基坐標系{B}固連于機器人的基座上，就是3.7節(jié)介紹的坐標系{0}。在連桿描述時經(jīng)常稱之為連桿0。

2.工作臺坐標系{S}

工作臺坐標系{S}一般固連于機器人工作臺的一個角上。對于機器人系統(tǒng)用戶來說，工作臺坐標系{S}是一個通用坐標系。有時稱之為任務坐標系。機器人的所有運動都是相對于工作臺坐標系{S}執(zhí)行的。工作臺坐標系{S}通常根據(jù)基坐標系{B}來確定，兩個坐標系都是固定坐標系。

3.腕部坐標系{W}

腕部