2024年北京北師大實驗中學(xué)高一（上）10月月考數(shù)學(xué)試題及答案

2024北京北師大實驗中學(xué)高一10月月數(shù) 學(xué)2024.10.8 A B一 A BAx24,B,,,1.已知集合 ，則 （ ）A.

B.2,

C.2,

D.1,0,22.命題x0,x31的否定是（ ）A.x0,x31C.x0,x31如圖所，陰影部分用M、P表示（ ）

B.x0,x31D.x0,x31PMP

MP

CUMCU

CUMCUP下列結(jié)論正確的是（ ）abacbc

若ab

11a b若aba2b25.“x21”是“x2x20”的（ ）

ac2bc2abA.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件6.已知2a2b1，則2ab的取值范圍是（ ）A.6,7

B.2,5

C.4,7

D.5,8若命題“x0,3，x22xa0”為假命題，則實數(shù)a可取的最小整數(shù)值是（ ）A.1

B.0 C.1 D.3A的每一個非空子集，定義一個唯一確定的“交替和”次序重新排列該子集，然后從最大的開始，交替減加后面的數(shù)所得的結(jié)果.例如：集合的“交替和”6-4+2-1=3,集合的“交替和”8-3=5,集合{6}的“交替和”6,則集合A所有非空子集的“交替和”的和為（ ）n2

n2n

n2n1

n2n二?填空題（每小題4分，共24分）集合xN| 4 N可以用列舉法表示為 . 5x 2xy3方程組x2y25的解集是 .若關(guān)于x的不等式x2mxn0的解集為{1x}，則mn的值為 .為了豐富全校師生的課后學(xué)習(xí)生活，共建和諧美好的校園文化，某校計劃新建校園圖書館精品閱讀區(qū)D1，該項目由圖書陳列區(qū)ABCD（陰影部分）和四周休息區(qū)組成.圖書陳列區(qū)ABCD的面積為1000m2，休息區(qū)的寬分別為2m和5m（如圖所示）.當(dāng)校園圖書館精品閱讀區(qū)圖書陳列區(qū)BC的邊長為 m.

D1面積最小時，則AaBx|x10}AB2a的取值范圍為x2 .設(shè)集合A,,，其中m為實數(shù)，令Ba2a，CA B，若C中的所有元素之和為6，C中的所有元素之積為 ．三?解答題（共44分）15A1x,B{m1x2m}.若m4，求RA和A B；BAm的取值范圍.設(shè)ab0b2aa.abx1x2x25x10的兩個不相等的實根，求值：1 （1）x2x1 （2）x21 （3）x3x1 xax2a1x10.a的值；若a2x0ax2a1x1bx9恒成立，求實數(shù)b的取值范圍；若a0xax2ax10.【附加題】19Aa1a2,...annnN，如果A中的元素i2n滿足a1a2...ana1a2...an，就稱A為“完美集”．（1）判斷：集合1

3,1

3是否是“完美集”并說明理由；、a2是兩個不同的正數(shù)，且a1a2是“完美集”、a22；ai為正整數(shù)，求：“完美集A.參考答案一?選擇題（每小題4分，共32分）【答案】A【分析】先求得集合Ax|2x2，根據(jù)集合交集的概念及運算，即可求解.Ax2x|2x,B,,,，AB.故選：A.【答案】B【分析】根據(jù)特稱命題的否定為全稱命題判斷即可.【詳解】命題x0,x31的否定是x0,x31.故選：B【答案】C【分析】由圖知，陰影部分是兩集合并集的補集，將此關(guān)系用符號表示出來，對照四個選項得出正確選項.【詳解】由題意如圖，陰影部分是MP的補集，其對應(yīng)的集合為M P,由集合的運算性質(zhì)可得M PCUMCUP故選：C【點睛】本題考查韋恩圖在集合基本運算中的應(yīng)用以及集合的運算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.【答案】D【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)逐個選項推導(dǎo)或舉反例判斷即可.【詳解】對A，若ab，c0，則acbc，故A錯誤；對B，若a1,b1，則ab，但11，故B錯誤；a b對C，若a1,b1，則ab，但a2b2，故C錯誤；Dac2bc2，則c20故選：D【答案】A

c2c2

bc2 ，即abD正確.c2【分析】解絕對值不等式和一元二次不等式得到不等式的解，根據(jù)推出關(guān)系可得結(jié)論.x211x21，解得：1x3；x2x20x2x1；1x3x2或x1，x2或x1 1x3，“x21”是“x2x20”的充分不必要條件.故選：A.【答案】D【分析】利用不等式的性質(zhì)計算即可.【詳解】由2a2b1，得42a6,1b2，所以52ab8.故選：D【答案】A【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定為存在量詞命題，把命題轉(zhuǎn)化為命題“x03x22xa0”ax22xx03上有解，構(gòu)造函數(shù)求解最小值即可.【詳解】因為命題“x0,3，x22xa0”為假命題，x03x22xa0x22xa0x03上有解，ax22xx03f(x)x22xx03，則a

f(x)min，因為f(x)x22x在0,1上單調(diào)遞減，在1,3上單調(diào)遞增，所以f(x)minf(1)1，所以a1，所以實數(shù)a可取的最小整數(shù)值是1.故選：A【答案】C【分析】根據(jù)新定義及子集的定義即可求解.A3,的非空子集中,除去集合,還有2n2個非空集合,將這2n2個子集分成兩類:第一類：包含n的子集；第二類：不包含n的子集；在第二類和第一類子集之間建立如下的對應(yīng)關(guān)系：

fn是第二類子集，顯然這種對應(yīng)是一一映射的“交替和”kn的“交替和”nk，這一對集合的“交替和”n，所以集合A的2所有非空集合的“交替和”總和為故選:C.2

12n2nnn2n1.二?填空題（每小題4分，共24分）9.【答案】1,3,4【分析】根據(jù)題意，逐項驗證，結(jié)合集合的表示方法，即可求解.4 4【詳解】當(dāng)x0時，可得 N，不符合題意；50 54當(dāng)x1時，可得54當(dāng)x2時，可得

1N，符合題意；4N，不符合題意；52 34當(dāng)x3時，可得54當(dāng)x4時，可得54

2N，符合題意；4N，符合題意；當(dāng)x5時，顯然不成立，當(dāng)x6,nN時，可得 45x

0，不符合題意，所以集合xN

45

N可以表示為集合1,3,4. 故答案為：1,3,4.(2,

21110.【答案】 (, ) 55【分析】根據(jù)題意，利用消元法，準(zhǔn)確計算，即可求解.【詳解】由方程2xy3，可得y32x，將y32x代入方程x2y25，可得x2(32x)25，整理得5x212x40x2x2，5x2y1x2y112xy3

5(2,

5211所以不等式x2y25的解集為

(, ).(2,

211

55故答案為： (, ). 55【答案】1【分析】根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為1和4是方程x2mxn0的兩個實數(shù)根，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，即可求解.xx2mxn0的解集為{1x}，所以1和4x2mxn0的兩個實數(shù)根，可得14m，解得m5,n4，所以mm1.14n故答案為：1.【答案】50【分析】設(shè)BCx,CDy，計算圖書館精品閱讀區(qū)D1面積最小時x的值即可.【詳解】依題意，設(shè)BCx,CDy，得xy1000，

D1面積，然后計算圖書館精品閱讀區(qū)圖書館精品閱讀區(qū)

D1面積為x10y4xy4x10y4040xyxy40xy

4010002

401440，401000當(dāng)且僅當(dāng)4x10y時，等號成立，此時4x10y，xy1000，解得x401000故答案為：50.13.【答案】,1

[2,)Bx|1xAB中只有1個元素，結(jié)合集合交集的概念與運算，即可求解.【詳解】由分式不等式的解法得，不等式x10，解得1x2，即B{x|1x2}，x2AAB2AB1個元素，a1a2AB，符合題意，a的取值范圍

[2,).14.【答案】8

[2,).【分析】根據(jù)C6B的元素，從而可求C討論.Ba2aA,,，故1B,4B,m2B，所以1C,4C,m2C，m21m1m1（舍，此時C,,,，故C中的所有元素之積為8.2m22m2

，這與C,2或C

2，這與C6矛盾.m2mm0m1（舍，此時C,,,這與C6矛盾.若m21,2,m，則C1,2,4,m,m2，則124mm26，即1mm20，無解.故答案為：8.【點睛】思路點睛：對于集合中元素的確定問題，注意利用元素的互異性、確定性和無序性來分類討論.三?解答題（共44分）15.【答案（1）(,(4,)，[1,5)（2）(,7]2【分析】（1）將m4，代入集合B，由補集、并集的定義求解即可；（2）若BA，分B和B兩種情況求解m的取值范圍.【小問1詳解】m4B{3x}，A1x，RA,(4,)，A B5).【小問2詳解】若BA，當(dāng)B時，則m12m3，解得m2，m12m3B，則2m34m11

，解得2m7，2綜上：實數(shù)m的取值范圍為(,7].216.【答案】證明見解析【分析】根據(jù)題意，得到b2aa(ba)(ba)，結(jié)合ab0，得到(ba)(ba)0，即可得ab證.

a2bb

a2bb【詳解】由

b2aab2aba2ba

b2a2

(ba)(ba)，a

a2b

a2b

a2bb因為ab0，可得a2b0,ba0,ba0，所以(ba)(ba)0，即b2aa0，所以b2aa.a2bb17.（1）2321（2）21（3）110

ab

ab【分析】（1）結(jié)合一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，得到x1x25,x1x21，由x2x2(xx)22x

，即可求解；1 2 1 2 12(xx)2(xx)24x1 212

，即可求解；1 2（3）由x3x3(xx)(x2xxx2)(xx)[(xx)23xx]，即可求解.1 2 1 2 1 12 2 1 2 1 2 12【小問1詳解】x1x2x25x10可得0x21，x2x2

x)22xx

52223.1 2 1【小問2詳解】

2 12解：由（1）知：x1x25,x1x21，(xx)24xx1 212524(xx)24xx1 212524211 2【小問3詳解】解：由（1）知：x1x25,x1x21，則x3x3(x

x)(x2x

x2)(x

x)[(x

x)23xx]5(5231)110.1 2 1

1 12 2

1 2 1 2 1218（1）0或1（2）(,9)答案見解析（1）a0和a0，兩種情況討論，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解； 2x2x 當(dāng)a 2時，轉(zhuǎn)化為x 0時，b 恒成立，結(jié)合基本不等式，即可求解；x根據(jù)題意，不等式轉(zhuǎn)化為(x1)(x10，分類討論，即可求解.a【小問1詳解】解：由關(guān)于x的方程ax2a1x10，當(dāng)a0時，方程即為x10，解得x1，滿足題意；當(dāng)a0時，若該方程的解集中只有一個元素，則滿足Δa124a0，即a22a1(a1)20，解得a1，綜上可得，實數(shù)a的值為0或1.【小問2詳解】解：當(dāng)a2時，不等式為2x2x1bx9，即2x2x8bx， 2 2x2 2 由x 0時，2xx8bx恒成立，即為x 0時，b 恒成立，x又因為

2 2x8x2x x 8 2x8x2x x 8 x x

19，當(dāng)且僅當(dāng)2x8時，即x2時，等號成立，所以b9，x即實數(shù)b的取值范圍為(,9).【小問3詳解】解：由不等式ax2a1x10，可化為(x1)(ax1)0，因為a0，可得a(x1)(x1)0，即為(x1)(x1)0，a a當(dāng)11時，即a1時，解得1x1，不等式的解集為(1,1)；a a a當(dāng)11時，即a1時，不等式為(x1)20，此時不等式的解集為；a11時，即1a0a

x1，不等式的解集為(,1)，1a1綜上可得：當(dāng)a1時，不等式的解集為(1,1)；當(dāng)a1時，不等式的解集為；a1當(dāng)1a0時，不等式的解集為(,1).1a【附加題】19（1）是，理由見解析（2）證明見解析 2,【分析】（1）根據(jù)“完美集”的定義，進(jìn)行判斷即可；（2）根據(jù)“完美集”的定義，結(jié)合集合的運算，以及一元二次方程的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；（3）設(shè)A中a