2024年北京三十五中高二（上）10月月考數(shù)學(xué)試題及答案

2024北京三十五中高二10月月數(shù) 學(xué)2024.10行政班 教學(xué)班 姓名 學(xué)號(hào) 試卷說(shuō)明：試卷分值共120分，考試時(shí)間90分鐘．一.選擇題(10440分．每小題只有一個(gè)正確選項(xiàng)，請(qǐng)選擇正確答案填在答題紙相應(yīng)的題號(hào)處)m，n表示平面，下列說(shuō)法正確的是A.若m//,n//,則m//n B.若m，n，則mnC.若m，mn，則n// D.若m//，mn，則n下列說(shuō)法正確的是（）任何三個(gè)不共線的向量可構(gòu)成空間向量的一個(gè)基底空間的基底有且僅有一個(gè)兩兩垂直的三個(gè)非零向量可構(gòu)成空間的一個(gè)基底p在基底abc下的分解式與在基底e,fg下的分解式相同3.若直線l的方向向量為a(1,2,3),平面的法向量為n(3,6,9),則A.l

B.l// C.l

D.l與相交ABCABaACbc.MN與BC的中點(diǎn)，則MN（）1a1c2 2

1 1 11ab1ab1c 2 2 2 2 2

D.1a1c2 25.已知空間三點(diǎn)A1,3,2,B2,5,1,Cp1,7,q共線，則p和q的值分別是（）A.3，6 B.2，4 C.1，4 D.2，6在正方體ABCD中，P為的中點(diǎn)，則直線PB與所成的角為（ ）π π π πA. B. C. D.2 3 4 6棱長(zhǎng)為2的正四面體ABCD中，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，則BACE（ ）3A.1 B.－1 C.3

D.3已知長(zhǎng)方體ABCD中，2，AD1，則直線與平面所成角的正弦值為（ ）3 3

2

6 D.13 22ABCDEFM上的一(02)NMEN的距離為（）A. 2B. A. 22 35在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD中，M,N分別為,的中點(diǎn)，點(diǎn)P在正方體的表面上運(yùn)動(dòng)，且滿足MPCN，則下列說(shuō)法正確的是（ ）A.點(diǎn)P可以是棱的中點(diǎn) B.線段MP的最大值為 25C.點(diǎn)P的軌跡是正方形 D.點(diǎn)P軌跡的長(zhǎng)度為2+5二.填空題(共6個(gè)小題，每題5分，共30分．請(qǐng)將正確答案填在答題紙相應(yīng)的題號(hào)處)已知點(diǎn)P5，則該點(diǎn)關(guān)于yOz平面的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為 .12.若a(2,b(2,c4,2)，則a(b2c)，若kab與c互相垂直，實(shí)數(shù)k.ABCDAD12.

，正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為3，則側(cè)面與底面所成二面角的余弦值為 PABCDABCDPAABCDPAAB2，E為線段PB的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，平面AEF與平面PBC 填“垂直”或不垂直的面積的最大值為 ．

△AEFABCDPABCD及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在矩形ABEF及其內(nèi)部運(yùn)動(dòng)．設(shè)AB2,AF1，給出下列四個(gè)結(jié)論：PQPQ3；②存在PQ，使CQ//EP；③到直線AD和EF的距離相等的點(diǎn)P有無(wú)數(shù)個(gè)；④若PAPE，則四面體PAQE體積的最大值為1．3其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是 ．三、解答題(共3個(gè)小題，共50分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟，請(qǐng)將正確答案填在答題紙相應(yīng)的題號(hào)處)如圖，在四棱錐 PABCDPAABBC2AD2.

中， PA 平面

ABCD,ABAD,AD//BC ，MABADPM；PBPCD所成角的正弦值;APDC的余弦值．ABCABCABACABACM為線段A1C1上的一點(diǎn)．求證//ABC；所成角的余弦值；ABBCMπABCM的距離．1 4 119.設(shè)nn2為正整數(shù)，若x1,x2,,xn滿足：①xi0,1,,n1，i1,2,,n；②對(duì)于1ijnxj.則稱En.對(duì)于x2,xny1y2,,yn，定義集合T,ttxiyi,i1,2,,n.（1）設(shè)0,1,2，若具有性質(zhì)E3，請(qǐng)寫出一個(gè)及相應(yīng)的T,；（2）設(shè)0,124E5，滿足T4；（3）設(shè)0,16E7，使得T？若存?zhèn)€數(shù)的奇偶；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.參考答案一.選擇題(10440分．每小題只有一個(gè)正確選項(xiàng)，請(qǐng)選擇正確答案填在答題紙相應(yīng)的題號(hào)處)【答案】B【詳解】試題分析：線面垂直，則有該直線和平面內(nèi)所有的直線都垂直，故B正確.考點(diǎn)：空間點(diǎn)線面位置關(guān)系．【答案】C【分析】借助空間向量基底定義與性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可得.AABB錯(cuò)誤；CCDD錯(cuò)誤.故選：C.【答案】C【分析】由已知得a n，從而得到l⊥．la3平面n369，∴a1n，∴a n，3∴l(xiāng)．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查直線與平面的位置關(guān)系的判斷，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．【答案】D【分析】結(jié)合圖形，根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算即可得到答案. 【詳解】因?yàn)锳NABBNAB1BCAB1ACAB1AC1AB1b1a AMAM1AC1ACCC1ACAA1b1c2121212 2，MNANAM1b1a1b1c1a1c.2 2 2 2 2 2 故選：D.【答案】B【分析】得到AB，AC后借助空間向量共線計(jì)算即可得.AB3ACpq2，12

3 p2q4.p 4故選：B.

q2【答案】D【分析】平移直線AD1至BC1，將直線PB與AD1所成的角轉(zhuǎn)化為PB與BC1所成的角，解三角形即可.【詳解】如圖，連接BC1,PC1,PB，因?yàn)锳D1∥BC1，所以PBC1或其補(bǔ)角為直線PB與AD1所成的角，因?yàn)槠矫?，所以，又，，所以PC1平面PBB1，所以PC1PB，2設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，則BC22,PC1DB ，21 1 2 11sin

PC11，所以PBC.1 1 故選：D

2【答案】ABACEBACAAEBACABAAE求解即可．【詳解】CECAAE，所以BACEBACAAEBACEBACAAEBACABAAE2故選：A．【答案】C【分析】根據(jù)D1C1平面BCC1B1找到線面角，進(jìn)而求出答案.，所以所成的角，1

2,BD

，所以22222226

6261 126故選：C.

3【答案】DD為原點(diǎn)，DAx軸，DCy軸，DD1z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，D1EFnMD1EFNEM中點(diǎn)即可求解D為原點(diǎn)，DAx軸，DCy軸，DD1z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，M（2，，2，1，0，，（2，01，F(xiàn)（2，211＝（﹣2，，1，EF＝（，2，，EM＝（0，λ，nE12xz01EFn＝（x，y，，則

nEF2y0

x＝n＝（10，∴點(diǎn)M到平面D1EF的距離為：d＝|EMn|225，N為EM中點(diǎn)，所以N到該面的距離為 5故選：D．

|n| 5 5 5【點(diǎn)睛】本題考查利用向量法求解點(diǎn)到平面距離，建系法與數(shù)形結(jié)合是解題關(guān)鍵，屬于中檔題【答案】DABCDDDADCxyzMPCNP的軌跡，在逐項(xiàng)判斷，即可得出結(jié)果.【詳解】ABCDDDADCxyz軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)樵撜襟w的棱長(zhǎng)為1MN的中點(diǎn)，D00M111N1C0，222 2 所以CN1,0,1，設(shè)Px,y,z，則MPx1,y1,z1，2

2 2 2 因?yàn)镸PCN，所以1x1z10，2x4z30，當(dāng)x1時(shí)，z1；當(dāng)x0時(shí)，z3；2 2 2 4 4 1133444，41133444，4連接EF，F(xiàn)G，GH，HE，則EFGH0,1,0，EHFG1,0,1， 2 所以四邊形EFGH為矩形，EHE則EFCN0，EHCN0，即EFCN，EHCNEHEEF

EFEFGHEHEFGH，所以CN平面EFGH，EM111 111又 , , ， , , ，所以M為EG中點(diǎn)，則M平面EFGH， 224 224MPCNPEFGHP在正方體的表面上運(yùn)動(dòng)，PEFGH，EHFG52EFEHFG52EFEH

GH

1，

，所以

，則點(diǎn)P的軌跡不是正方形；且矩形EFGH的周長(zhǎng)為22

522

5，故C錯(cuò)，D正確；MEGMEFGHME和點(diǎn)G的距離相等，且最大，所以線段MP的最大值為3，故B錯(cuò).4故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求解本題的關(guān)鍵在于建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，利用空間向量的方法，由MPCN，求出動(dòng)點(diǎn)軌跡圖形，即可求解.二.填空題(共6個(gè)小題，每題5分，共30分．請(qǐng)將正確答案填在答題紙相應(yīng)的題號(hào)處)11.【答案】3,1,5yOzxyzP5計(jì)算即可得.【詳解】求一個(gè)點(diǎn)關(guān)于平面yOz的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)，xyzP5yOz平面的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為5.5.12.【答案】 ①.1 ②.312得到方程，解出即可.【詳解】空1：b2c8,8,7，則a(b2c)2838171；2kabk2232k3kk3，kab與c互相垂直，則kabc0，32k212k2k30，k3.5故答案為：1；3.5【答案】 ①.

②.1【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量減法、模和數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，求得所求的結(jié)果.【詳解】以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示，則C0,2,0,C10,2,1,B1,2,0,D10,0,1,A12,0,1.1405所以CC10,0,1,BD11,2,1,CA12,1405

0

，0,0,12,1.51）5

（2）1【點(diǎn)睛】本小題主要考查空間向量的減法、模和數(shù)量積的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.【答案】 24【分析】利用正四棱錐的性質(zhì)可得EFO為側(cè)面與底面所成二面角的平面角，在直角三角形EFO中即求．EABCDABCD中心OABF，EOEF、OF，EOABCDOFABEFAB，所以EFO為側(cè)面與底面所成二面角的平面角，因?yàn)檎睦忮F的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為3，1221AD122cosEFOOF 2AE2AE2AF2故答案為： 2．4

1 2，3232123【答案】 ①.垂直 ②.3【分析】根據(jù)線面垂直的的性質(zhì)定理，判定定理，可證AE平面PBC，根據(jù)面面垂直的判定定理，即可得證.分析可得，當(dāng)點(diǎn)F位于點(diǎn)C時(shí)，面積最大，代入數(shù)據(jù)，即可得答案.PAABCDBCABCD，PABC，ABCDABBC，又AB PAA，AB,PA平面PAB，BCPABAEPAB，又PAAB2，所以PABEPBAEPB，又BCPBB，BC,PB平面PBC，所以AE平面PBC，因?yàn)锳E平面AEF，所以平面AEF與平面PBC.AEPBCEF，所以當(dāng)EF最大時(shí)，△AEF的面積的最大，EB2BC663當(dāng)F位于點(diǎn)C時(shí)，EF最大且EB2BC663所以△AEF的面積的最大為12

2 .3故答案為：垂直；3【答案】①③④【分析】建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系后，借助空間向量研究位置關(guān)系，結(jié)合距離公式、三棱錐體積公式逐項(xiàng)判斷即可得.【詳解】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)FBD，則有??(0,0,0)F0B00D02、C02E0，P0mnQst0，其中0mnt20s1，Q s2tm2Q s2tm2n2PQ144當(dāng)s1，tnPQ144故存在點(diǎn)P,Q，使PQ3，故①正確；sn2CQst2EP1mn，若CQ//EP，則有sm2t2sn2

，3，由0mnt20s1sn2s1n2，m2t2mt4mt2，此時(shí)Q與E重合，P與C重合，故不存在點(diǎn)P,Q，使CQ//EP，故②錯(cuò)誤；n2對(duì)③：點(diǎn)P到直線AD的距離為m，點(diǎn)Pn2

，即m2n21，由0mn2，PAP0mnEP1mn，PAPEmm2n20n21m2,，又S

1S21

1121，21 1故VPAQE3SAQEn3113，故④正確.故答案為：①③④.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第④個(gè)結(jié)論的關(guān)鍵點(diǎn)在于借助四面體的體積公式，分別求出高與底面三角形的最大值.三、解答題(共3個(gè)小題，共50分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟，請(qǐng)將正確答案填在答題紙相應(yīng)的題號(hào)處)（1）證明見(jiàn)解析（2） 33（3） 66【分析】（1）由線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理可得AD平面PAB，即可證明ADPM；PBPCD的法向量，利用向量夾角公式求結(jié)論；APD的法向量，利用向量夾角公式求結(jié)論；【小問(wèn)1詳解】PAABCD,ADABCDPAAD，PAABABPAB，ADPABMABPMPABADPM.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)镻A平面ABCD,ABAD，所以以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)镻AABBC2AD2，A00D0B20C20P02，因?yàn)镻B2,0,2,DC2,1,0,PD0,1,2，PCDnx,y,z，則nDC2xy0，nPDy2z03y2xz1n12,1，PBPCD所成角的大小為，3所以sincosPB,n

PB

4 ，PBn

226 3直線PB和平面PCD所成角的正弦值 3.3【小問(wèn)3詳解】平面APD的法向量為m1,0,0,設(shè)二面角APDC的平面角大小為，所以cosn

mn1 6，mn 6 6因?yàn)槎娼茿PDC的平面角為鈍角，所以二面角APDC的余弦值 6.6（1）證明見(jiàn)解析（2）01（3）3【分析】（1）借助線面平行的性質(zhì)定理推導(dǎo)即可得；弦值；M位置，再結(jié)合空間點(diǎn)到面距離公式進(jìn)行求解即可.【小問(wèn)1詳解】ABC////ABC；【小問(wèn)2詳解】ABCABACABCABACABAC，故AB,AC,AA1兩兩垂直，故可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz：0),0C(0,10),，由BC1AB11110110，故BC1AB1，故直線BC與直線AB所成角的余弦值為cosπ0；1 1 2【小問(wèn)3詳解】M(0a