2024年北京十二中高二（上）10月月考數(shù)學(xué)試題及答案

2024北京十二中高二10月月數(shù) 學(xué)4150120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題紙上，在試卷上作答無效.考試結(jié)束后，將答題紙交回.第一部分選擇題（共60分）一、單選題：本題共12小題，每小題5分，共60分.A0,1,B過

3,4兩點(diǎn)的直線的傾斜角為（ ）A.60 B.60 C.120 D.1502.已知直線l經(jīng)過點(diǎn)2),0)，平面的一個(gè)法向量為n(2,4)，則（ ）A.l∥C.l

B.lD.l與相交，但不垂直如圖，平行六面體ABCD中，E為BC的中點(diǎn)，AB=a，ADb，c，則（ ）aa1bca1bcaa3bc1a1bcC. D.2 2 2設(shè)點(diǎn)A2,4在xOy平面上的射影為B，則OB等于（ ）29513A. B.5 C.2 D.29513在以下4個(gè)命題中，不正確的命題的個(gè)數(shù)為（ ）①若abbc，則ac；②若三個(gè)向量a,b,c兩兩共面，則向量a,b,c共面；③若abc為空間的一個(gè)基底，則bbcca構(gòu)成空間的另一基底；④ab1個(gè)

abc.

2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)6.已知向量a,b，則“abab0”是“ab或ab”的（ ）條件.A.必要而不充分 B.充分而不必要 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件7.PA（21，﹣PB（﹣1，23PC（7，6，P，，B，Cλ＝（ ）A.9 B.﹣9 C.﹣3 D.3A，B，C，DABAC0ACAD是（ ）

，ABAD0，則BCDA.銳角三角形 B.鈍角三角形 C.直角三角形 D.不確定布達(dá)佩斯的伊帕姆維澤蒂博物館收藏的達(dá)·芬奇方磚，在正六邊形上畫了具有視覺效果的正方體圖案（如12331A到平面QGC的距離是（）A.1 B.14 222正多面體也稱柏拉圖立體，被譽(yù)為最有規(guī)律的立體結(jié)構(gòu)，是所有面都只由一種正多邊形構(gòu)成的多面體（各面都是全等的正多邊形）.數(shù)學(xué)家已經(jīng)證明世界上只存在五種柏拉圖立體，即正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體.如圖，已知一個(gè)正八面體ABCDEF的棱長(zhǎng)為2，M，N分別為AD，AC的中點(diǎn)，則直線BN和FM夾角的余弦值為（ ）5A.6C. 6

B. 6D. 61ABCDMNABCDP為正方體表面上及內(nèi)部的點(diǎn)，若點(diǎn)P滿足DPmDAnDMkDN，其中m,n,kR，且mnk1，則滿足條件的所有點(diǎn)P構(gòu)成的圖形的面積是（ ） 2824ADE菱形ABCD的邊長(zhǎng)為4，A60，E為AB的中點(diǎn)（如圖1將 ADE沿直線EADE3處（2BC'EBCD的體積為43BC的距離為（）

，點(diǎn)F為AD的中點(diǎn)，則F到直線224（90分）4二、填空題：本題共6小題，每小題5分，共30分.13.已知向量a2,1),bx,y),且a//b，則xy．已知i，j，k為空間兩兩垂直的單位向量，且ai2jk，bj4k，則ab.已知a2,2,3,b2，則向量a在向量b上的投影向量的坐標(biāo)為 .已知直線l斜率的取值范圍是3,1，則l的傾斜角的取值范圍是 ．長(zhǎng)方體ABCD中，ADAB4,E,F,G分別是棱,BC,的中點(diǎn)，M是該長(zhǎng)方體的面ABCD內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不包括邊界，直線1M與平面EFG平行，則11的最值為 .PABCDABCDPAABCDPAABPC的中點(diǎn)，M為△PBD內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)（不與P,B,D三點(diǎn)重合）.給出下列四個(gè)結(jié)論：①直線BC與PD所成角的大小為π；②AGBM；③GM的最小值為 3；④若AM 2，則點(diǎn)4 3 2πM的軌跡所圍成圖形的面積是6.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是 .三、解答題：本題共5小題，共60分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.19.已知空間中三點(diǎn)A2,0,2,B1,1,2,C3,0,3，設(shè)aAB,bAC.（1）求aab；（2）求向量a與向量b夾角的大小.ABCD中，以頂點(diǎn)A1，BAD90,DAA1BAA160,M為A1C1與B1D1的交點(diǎn).設(shè)ABa,ADb,AA1c.BM用abcBM，并求BMBM的值.

的值；ABCD2EBC的中點(diǎn).//DC1E；FDFDC1E所成角的正弦值.PABCDPDABCDAB∥CDADC90，且ADCDPD2AB2.ABPAD；PADPBC夾角的余弦值；PB上是否存在點(diǎn)G（GP,B不重合DGPBC2？若存3PG在，求PB

的值，若不存在，說明理由.學(xué)習(xí)閱讀以下材料，應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決下面的問題.類比于二維空間（即平面a可用二元有序數(shù)組1,a2nan元有序數(shù)組1,a2, ,an表示，記為a1,2, ,n，對(duì)于kR，任意a1,2, ,n,b1,2, ,n有：①數(shù)乘運(yùn)算：kaka1,ka2, ,kan；②加法運(yùn)算：ab11,22, ,ann；③數(shù)量積運(yùn)算：ab anbn；aa a2a21 2a2n,m⑤對(duì)于一組向量aii,m

；,m，若存在一組不同時(shí)為零的實(shí)數(shù)kii2, 使,mk2a2 kmam0，則稱這組向量線性相關(guān)，否則稱為線性無關(guān).⑥在n維向量空間中，基底是一組線性無關(guān)的向量1,2, ,n，并且在空間中的任意向量都可以由組基底線性表示，即 n，其中2, ,n是一組實(shí)數(shù).設(shè)是n元集合A2, ,n的子集，集合元素的個(gè)數(shù)記為

，若集合組, ,同時(shí)滿足以下2個(gè)條件，則稱集合組, ,具有性質(zhì)P：①

為奇數(shù)，其中i1,2,,m；②AiAj為偶數(shù)，其中i,j1,2,,m,ij.Aj當(dāng)n3時(shí)，集合組, ,具有性質(zhì)P，求m的最大值，并寫出相應(yīng)集合組；當(dāng)n8時(shí)，集合組, ,具有性質(zhì)P，求m的最大值；是n元集合A2, ,n的子集，若集合組, ,具有性質(zhì)P，求m的最大值.參考答案（60分12560分.【答案】B【分析】先根據(jù)兩點(diǎn)坐標(biāo)求出直線的斜率，再根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系求出傾斜角.【詳解】已知直線經(jīng)過A(0,1)和B(3,4)兩點(diǎn).ky21（其中(x,y)和(x,y)為直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)，xx

1 1 2 2

2 1413333413333ktan（為傾斜角，已知kAB

3，即tan .33又因?yàn)閮A斜角0180?，在這個(gè)區(qū)間內(nèi)，滿足tan 的60.33故選：B.【答案】B【分析】根據(jù)平面的法向量與直線l的方向向量的關(guān)系即可求解.【詳解】因?yàn)橹本€l經(jīng)過點(diǎn)A(1,1,2),B(0,1,0)，AB2)，又因?yàn)槠矫娴囊粋€(gè)法向量為n(24，n2AB，所以平面l的方向向量平行，則l，B.【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用空間向量的線性運(yùn)算求解即得.【詳解】在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，E為BC的中點(diǎn)，所以DEDAAAABBEADAAAB1ADa1bc.1 11 1 1 2 2故選：B【答案】D【分析】先得到B2,3,0，從而求出OB2,3,0，計(jì)算出模長(zhǎng).A24xOyB20OB20，OB 22OB 22320213故選：D【答案】C【分析】利用向量的數(shù)量積、向量共面與向量基底的定義和性質(zhì)，結(jié)合特殊向量法，逐一判斷各命題即可得解.【詳解】對(duì)于①，設(shè)b0a與caba00bc0c0，abbca不一定等于c，所以①不正確，abc，它們兩兩共面（兩兩垂直abcabbcca共面，則存在實(shí)數(shù)，使得ab(bc)(ca)，abab)c1由{abcabc不共面，則1

，這個(gè)方程組無解，abbcca不共面，{abbcca構(gòu)成空間的另一基底，③正確，對(duì)于④，|abcab||c|，而|ab|a||b||os|（a與b的夾角，所以|abca||b||cos||ca||b||c|，④不正確，3個(gè).故選：C.【答案】A【分析】結(jié)合向量的數(shù)量積，根據(jù)充分必要條件的定義判斷．a(chǎn)babab0ab0，則abab0，必要性滿足，若a0b，則abab0ab，即充分性不滿足，故題設(shè)條件關(guān)系為必要不充分條件．故選：A．【答案】B【分析】由已知可得PA,PB,PC共面，根據(jù)共面向量的基本定理，即可求解.P，A，B，CPBPC共面，PCxPAyPB(2xy,x2y,3x3y)(7,)，2xy7x2y63x3y

x4，解得y1 .9故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查空間四點(diǎn)共面的充要條件以及平面向量的基本定理，屬于基礎(chǔ)題.【答案】ABCBDAB02【分析】根據(jù)題意，得到BCACAB，BDBCBDAB02

，根據(jù)BCBDcosBBCBD，即可判斷B的大?。焕蒙鲜龇椒ㄇ蟮肈BDC0，CBCD0，即可判斷C和BCBDD的大小，進(jìn)而可以判斷出三角形的形狀.BCBDBCBD(ACAB)(ADAB)ACADACABABADABAB022cosB

BCBDBC

0，B為銳角，同理：DBDC0，CBCD0，D和C都為銳角，∴BCD為銳角三角形.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量的加減運(yùn)算法則與向量數(shù)量積的運(yùn)算，考查邏輯思維能力和運(yùn)算能力，屬于常考題.【答案】C【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求平面QGC的法向量，用點(diǎn)到平面的距離公式計(jì)算即可.【詳解】建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示：則C(02002G(02)0QC22)QG0AC0，設(shè)平面QGCn(x,y,z)，則nQC0，即x0

，則平面QGC的一個(gè)法向量為n(0,1,1)，A到平面QGCd

nQG0nnn22

x2y2z0故選：C【答案】D【分析】根據(jù)題意得到BN1ACAB，F(xiàn)M1ADAB，然后由向量的數(shù)量積公式分別求出2 2FMFMBN,FM,BN【詳解】如圖所示：由題意，可得BNANAB1ACAB，F(xiàn)MFDDMBADM1ADAB，2 2又由正八面體ABCDEF的棱長(zhǎng)都是2，且各個(gè)面都是等邊三角形，2在△ABD中，由ABAD2,BD2 ，可得AB2AD2BD2，所以，所以2FMBN1ADAB1ACAB 2 2 1ADAC1ADAB1ABACAB24 2 2122101221221145；4 2 2 2 2 2BNBN 1ACAB221AC2ACABAB241222122221421243FMFM 1ADAB221AD2ADABAB24122012204104FMBNFMBN所以cos

15，F(xiàn)M,FM,BN 5253即直線BN和FM夾角的余弦值為15.6故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：選取適當(dāng)?shù)幕紫蛄緼B,AC,AD，由已知條件可以求出它們的模以及兩兩之間的夾角，所以只需把FM,BN分解，然后由向量的夾角公式即可求解.【答案】APMN【詳解】因?yàn)镈PmDAnDMkDN，mnk1，

ACB1，然后可計(jì)算面積．PMNN

ACB1，2P2

ACB1，1

邊長(zhǎng)為 ，P構(gòu)成的圖形的面積為

3(2)2 3，4 2故選：A．【答案】ADEAEBAEBCDEEEBED所在的xyz軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解即可.【詳解】連接BD，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，且A60，所以△ABD為等邊三角形，AE因?yàn)镋為AB的中點(diǎn)，所以DEAB，所以DEEB,DEAEEB

，EB,AE平面AEB，所以DE平面AEB，因?yàn)榱庑蜛BCD的邊長(zhǎng)為4，所以ABADCDBC4,DE23,AEBE2，3BCDE1(24232

6 ，33AEBCDh164333所以hAE，所以AE平面BCDE，

，得h2，所以以E為原點(diǎn)，EB,ED,EA所在的直線分別為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則B(0,0),C(23,0),F(所以BC(23,2,0)，

3,，cBC 31 所以 , ,0,aFB(3,2,BC 2 2 aa 34122,ac31122FBCd故選：A

31，aaac 81224第二部分非選擇題（共90分）二、填空題：本題共6小題，每小題5分，共30分.【答案】-9【分析】3根據(jù)a//b，由

xy

，求得x,y即可.1 2 1【詳解】因?yàn)橄蛄縜(1,2,1),b(3,x,y),且a//b，所以3xy，1 2 1解得x6,y3，所以xy9.故答案為：-9【答案】3【分析】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算即可.abi2jk3ij4k3i22j24k23243.故答案為：-3.15.【答案】1,1,2【分析】根據(jù)投影向量公式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)閍2,2,3,b1,1,2，b 2262則向量a在向量b上的投影向量為 · · 1,2.b b故答案為：1,1,2.16.【答案】0, ,

114 1144 3 【分析】根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系即可求解.【詳解】因?yàn)橹本€l斜率的取值范圍是3,1，所以當(dāng)斜率0k1時(shí)，傾斜角0，433當(dāng)斜率 k0時(shí)，傾斜角3

，綜上傾斜角的取值范圍0, ,，4 3 故答案為：0, ,4 3 【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線的斜率，直線的傾斜角，屬于中檔題.11【答案】4【分析】作出截面EFG，由平行得出M點(diǎn)軌跡是線段AC，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出M點(diǎn)坐標(biāo)，用坐標(biāo)計(jì)算出數(shù)量積后，結(jié)合二次函數(shù)知識(shí)得最小值．【詳解】解法一：EFG分別是棱BCAB,HIJEFGEGFHIJ，如圖，C連接D1C,CA,AD1，則CD1//EG，又CD1平面EFG，EG平面EFG，同理ACC而AC

，AC,CD1平面ACD1，//EFGMAC//EFG，MAC，DCxyzD1(000，C(0,4,0)，在平面ABCD內(nèi)，設(shè)直線AC方程為xy1，即設(shè)M(a,44a,0)，(0a3)，3 4 3MB3a4aMDa44a，1 3 1 3

a(3a)4a(44a)925a225a925(a3)211，3 3 9 3 9 2 4所以a3時(shí)，MBMD取得最小值11，2 1 1 411故答案為： ．4解法二：如圖，分別以AB、AD、AA1方向?yàn)閤、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系可得：E2,3,3，F(xiàn)4,3,0，G4,3,3，D0,3,3，B4,0,3，設(shè)Mx,y,0， 2 2 1 1 EF3,3，F(xiàn)G3,3，DMx,y3， 2 22 1 EFGnxyz，2x3y3z0EFn0 2則FGn0，得3 3 ， y2 2

z0y1x3y1z1n31.4 4 由于直線D1M與平面EFG平行，則D1Mn0，得：3xy330，即：y3x.4 44x,y,3，x,3y,3，

4xxy3y9x24xy23y9，2x24x3x2

9x9

25x225

x9

5x2

11，4

4 16

16 4x04x2

取得最小值，最小值為 .411故答案為： ．4【答案】①②④【分析】根據(jù)異面直線所成的角即可判斷①，根據(jù)空間中的垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化即可證明AG平面PBD，即可求證線線垂直進(jìn)而判斷②，根據(jù)點(diǎn)到面的距離為最小值，利用等體積法即可求解③，根據(jù)圓的面積即可判斷④.BC//AD，所以PDABCPD所成的角或其補(bǔ)角，由于PA底面ABCD,AD平面ABCD，所以PAAD,又PAAD1，所以PDAπ，①正4確；由于PA底面ABCD,CD平面ABCD，所以PACD,又ADCD,PAADA,PA,AD平面PAD，所以CD平面PAD,取PD中點(diǎn)為N，連接NA,NG,由于GPCNG//CDNGPADPDPADNGPD，PAAD1PDNPDAN,ANNGNANNGANGPDANGAGANGPDAG,ACBDBD,PAACACPACBDPAC,AGPAC,BDAG,PD BDDPDBDPBDAGPBDMBPBD,所以AGBM，故②正確；當(dāng)GM平面PBD時(shí)，GM最小，設(shè)此時(shí)點(diǎn)G到平面PBD的距離為h，V V

1V

1V

1V

111111,GPBD DPBG

2DPBC

2PDBC

4PABCD

4 3 12所以VGPBD

13

h1,12AD2PDAD2

，故△PBD為等邊三角形，S 122 3 3,所以V

1

3h

1h

23，故③錯(cuò)誤；2

PBD

2 2 2GPBD

3 2 12 6由③得點(diǎn)G到平面PBD的距離為3，不妨設(shè)G在平面PBD的投影為H,6所以點(diǎn)C到平面PBD的距離為 3,3由于AC被BD平分，所以A到平面PBD的距離為 3,3由②知AG平面PBD，所以H,G三點(diǎn)共線，即AH 3，32AM2AH又AM ，所以2AM2AH2

, 2 2 322 2 36 62 π因此點(diǎn)M的軌跡圍成的圖形是以點(diǎn)H為圓心，以HM為半徑的圓，所以面積為π6

，故④正6確.故答案為：①②④

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查立體幾何中線面垂直關(guān)系的證明、異面直線所成角和點(diǎn)到面的距離的求解、截面面積的求解問題；求解點(diǎn)到面的距離的常用方法是采用體積橋的方式，將問題轉(zhuǎn)化為三棱錐高的問題的求解或者利用坐標(biāo)系，由法向量法求解..三、解答題：本題共5小題，共60分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.19.【答案（1）1 （2）120（（2）先求出a和b的坐標(biāo)，再借助坐標(biāo)運(yùn)算，數(shù)量積和夾角坐標(biāo)公式分別計(jì)算兩小問.【小問1詳解】A(202)2)C(30.aAB(1(2),122)0),bAC(3(2),00,32)(1,0,1),所以ab(1(1),10,01)(0,1,1),則a(ab)(1,1,0)(0,1,1)1011011.【小問2詳解】根據(jù)向量點(diǎn)積公式ab|a||b|cos，ab1(1)10011，|a||b

02 ，2(1)20212 2，2則cos所以120.【答案（1） 62

1，aab1|a||b| 22（2）2（1）abcBM公式求出|BM|的值；（2）先求出AC1，再根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算規(guī)則求出BMAC1的值.【小問1詳解】ABCDMM中點(diǎn)，又因?yàn)锳Ba,ADb,AA1c，且平行六面體中A1B1ABa，A1D1ADb，BM1BA1BM1BA1BCBC1BB1B1C1cb因?yàn)锽C1BB1B1C1cbBMBM1(ca)1(cb)1b1ac2 2 2 2BMBM|2(1b1ac)21b21a2c21abcbca2 2 4 4 2因?yàn)锽AD90，所以ab0，又|a||b||c|1，DAA1BAA160，所以cacb|c||a|cos601111，2 2|BM|21111110113，所以|4 4 2 2 2 2【小問2詳解】BMAC(c1a1b)BMAC(c1a1b)(abc)所以

6.BM|BM|321 2 2cacbc21a21ab1ac1ba1b21bc111100111112.2 2 2 2 2 2 2 2（1）證明見詳解；（2） 23【分析（1）連接，O，得OE//，則根據(jù)線面平行的判定定理即可證明//平面DC1E；（2）利用空間向量法，即可求直線DF與平面DC1E所成角的正弦值.【小問1詳解】連接，O，連接OE，OEBC的中點(diǎn)，OE//DC1EOEDC1E，BD1//平面DC1E；【小問2詳解】如圖所示，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA,DC,DD1所在直線為x,y,z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，D(00)C1(0220B(2002F，(0,2)，DE2,0)，DF設(shè)n(x,y,z)為平面DC1E的一個(gè)法向量，則nD102y2z0

，令x2，得n(2,1,1)，nDE0

x2y0設(shè)直線DF與平面DC1E所成角為，DFnDFnDFnDFn2116323故直線DF與平面DC1E所成角的正弦值為 2.3（1）證明過程見解析2（2）38（3）9【分析】（1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理，結(jié)合線面垂直的判定定理進(jìn)行證明即可；根據(jù)線面的垂直關(guān)系，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量平面間夾角公式進(jìn)行求解即可；利用空間向量線面角夾角公式進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】PDABCDABABCD，PDAB，又因?yàn)锳B∥CD,ADC90，所以ADAB，而AD PDD,AD,PD平面PAD所以AB平面PAD；【小問2詳解】PDABCDADCDABCD，PDCDPDAD，而CDAD，于是建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，D0,0,P0,2,A2,0,B2,1,0,C0,0，由（1）可知：AB平面PAD，所以平面PAD的法向量為AB0,1,0，PBC的法向量為=(??????B,,2,C,,2，則有mPB02xy2z0m,,2，mPC

2y2z0設(shè)平面PAD與平面PBC夾角為，cos

AB

2 2； ABm 1144 【小問3詳解】PGPB0,1，設(shè)Gxyz，于是有xyz22,12G222，DG2,,22，由（2）可知平面PBC的法向量為m1,2,2，假設(shè)DG與平面PBC所成角的正弦值為2，則有3DGmDGmDGm 3222441444222238即PG .8PB 9

89

，或0舍去，23（1）3（2）8（3）n（1）

分類討論，得到最大值的可能情況，舉例并驗(yàn)證滿足兩個(gè)條件即可；給出n8時(shí)具有性質(zhì)P的集合組：1,2,3, ，驗(yàn)證分析，再應(yīng)用反證法，借助向量運(yùn)證明m9時(shí)任意集合組不具有性質(zhì)P，從而得m最大值為8；給出具有性質(zhì)P的集合組：,n，驗(yàn)證分析，再應(yīng)用反證法，借助向量運(yùn)算證明mn1Pmn.【小問1詳解】當(dāng)n3時(shí)，A1,2,3.集合組, ,具有性質(zhì)P，則

為奇數(shù)，所以

1或3.

1時(shí)，則Ai可能是1,2,3.

3時(shí)，則Ai可能是1,2,3.若集合組, ,中包含2,，設(shè)則對(duì)于其他集合Aj(j，要使Aj為偶數(shù)，Aj所有可能集合為2,2故集合組, ,中不包含2,，具有性質(zhì)P的集合組中只可能包含1,2,3；

為奇數(shù).AjAi若集合組中存在兩個(gè)集合Ai,Aj相等，由AiAj,i,j1,2,3,AjAi

AjAi，則Ai

為奇數(shù)，不滿足條件②，故集合組, ,中任意兩個(gè)集合不相等，即至多含3個(gè)集合故m3.若集合組為：1,2,3，設(shè)A11,A22,A33，則有①Ai1為奇數(shù)，其中i1,2,3；Aj0為偶數(shù)，其中i,jij；所以集合組A1,A2,A3具有性質(zhì)P.綜上，m的最大值為3，相應(yīng)滿足條件的集合組為：A11,A22,A33.【小問2詳解】集合A,.設(shè)其子集A對(duì)應(yīng)向量(a,a, ,

)，其中ak，k2, ,n.i i i1 i2

ik 0,kAi

nni為奇數(shù)，則為奇數(shù)，即ik1

為奇數(shù)，i2, ,n；又由0001100,111可知，

nnAj為偶數(shù)，則ijaikajk為偶數(shù)，i,j2, ,n，且ij.Ajk1,n,i且由條件可知，，且Aj,i,j,n,i當(dāng)n8時(shí)，A,8.若集合組為：，設(shè),，則有①1為奇數(shù)，其中i2,,8；,8,ij②Aj0為偶數(shù)，其中i,j2,,8,ij所以集合組,,, ,具有性質(zhì)P，此時(shí)m8.,8,m9,8,設(shè),，

不符合題意.則10),20),3(0,0), ,8(0,.,8,,8,

具有性質(zhì)P，設(shè)集合對(duì)應(yīng)向量9x2, ,，其中x2, ,中有奇數(shù)個(gè)為1，其余為0，且(i2, ,8)不妨理解為這9個(gè)集合對(duì)應(yīng)8維空間中的9個(gè)向量1,2, ,9，,9,ij且ii為奇數(shù)，i2, ,9，ij為偶數(shù)，i,j,9,ij下面用反證法證明A2, ,A8,不具有性質(zhì)P.證明：假設(shè)A2, ,A8,具有性質(zhì)P，由由9x22 x88則911x221 x881若1時(shí)，則1為奇數(shù)，而x221 x881為偶數(shù)，則91為奇數(shù)，這與i所以x11，則x10；

i,j,i

j為偶數(shù)矛盾，.同理，由9i(i,8)為偶數(shù)，可得0(i2,,8).故90,,0，即，

0

為奇數(shù)矛盾.,8,,8,

不符合題意.下面證明任意集合組,, ,,都不具有性質(zhì)P.證明：假設(shè)存在一個(gè)集合組,, ,,具有性質(zhì)P.設(shè)集合組中, ,分別對(duì)應(yīng)8個(gè)向量1,2, ,8若1,2, ,8線性無關(guān)，則可為8維向量空間的基底，又由對(duì)應(yīng)向量i(ai1,2, ,ain)中aik1或0，k2, ,n，88則9ii，Q，且i不全為0,i2, ,8.i1即可轉(zhuǎn)化為存在不全為0的9個(gè)整數(shù)k1,k2, ,k9使得k22 k88k990，且其中向量等式中的整系數(shù)k1,k2, ,k9為最簡(jiǎn)形式（不可再約）.則1k221 k881k9910為偶數(shù)，其中11為奇數(shù)，k221 k881k991為偶數(shù)，若k1為奇數(shù)，則k111為奇數(shù)，則1k221 k881k991為奇數(shù)故這與1k221 k881k9910產(chǎn)生矛盾，所以k1為偶數(shù).同理可得ki均為偶數(shù)，i2,,9.這與9個(gè)整系數(shù)k1,k2, ,k9不全為0且不可約的最簡(jiǎn)形式矛盾.因此，若1,2, ,8線性無關(guān)，則集合組, ,不具有性質(zhì)P；設(shè)集合組中, ,分別對(duì)應(yīng)8個(gè)向量1,2, ,8若其中, ,對(duì)應(yīng)8個(gè)向量1,2, ,8線性相關(guān).又由對(duì)應(yīng)向量i(ai1,2, ,ai8)中aik1或0，k2, ,8.88則存在Q，且i不全為0,i2, ,8，使得ii0，i1即存在不全為0的8個(gè)整數(shù)t1,t2, ,t8，使得t22 t880且其中向量等式中的整系數(shù)t1,t2, ,t8為最簡(jiǎn)形式（不可再約）.則1t221 t8810為偶數(shù)，其中11為奇數(shù)，t221t331 t881為偶數(shù)，若為奇數(shù)，則1為奇數(shù)，則1t221這與1t221 t8810產(chǎn)生矛盾，所以為偶數(shù).同理可得ti均為偶數(shù)，i2,,8.

t881為奇數(shù)，這與8個(gè)整系數(shù)t1,t2, ,t8不全為0且不可約的最簡(jiǎn)形式矛盾.因此，若向量1,2, ,8線性相關(guān)，集合組, ,不具有性質(zhì)P由（i（i可知假設(shè)錯(cuò)誤，故任意集合組1,2, ,9都不具有性質(zhì)P.綜上所述，m的最大值為8.【小問3詳解】集合A,.若集合組為：,n，設(shè),，

1為奇數(shù)，其中i2,,n；②

Aj0為偶數(shù)，其中i,j2,；,n,i即滿足條件①②，所以集合組,, ,具有性質(zhì)P，此時(shí)m,n,i下面證明當(dāng)mn1時(shí)，任意集合，集合組：1,2,3, ,n,不具有性質(zhì)P.不妨設(shè),，則則1,0),2,0),3(0,,0), ,n(0,,若集合組為：1,2,3, ,n,