2024年北京一零一中高三（上）10月月考數(shù)學(xué)試題及答案

北京一零一中2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期高三數(shù)學(xué)統(tǒng)考二班級：＿＿＿＿＿學(xué)號：＿＿＿＿＿姓名：＿＿＿＿＿成績：＿＿＿＿＿選擇題共1011.已知集合A={?1,0,1,2},集合B={y|y=x+,x>0},則A∩({R)=(???)x(A){?1,0,1}(B){?1,0,1,2}(C){0,1}(D)(?∞,1]2.如圖,在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z,z對應(yīng)的點分別為Z,Z,則1212復(fù)數(shù)z·z的虛部為(???)12(A)?i(B)?1(C)?3i(D)?31ab1a1b3.若a<b<0,給出下列不等式:①a2+1>b2;②|1?a|>|b?1|;③確的個數(shù)是(???)>>.其中正(A)0(B)1(C)2(D)3π4.某同學(xué)用“五點法”畫函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)在某一個周期內(nèi)的圖象2時,列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù),如下表:π3πωx+φx00π2π22π5π6?535Asin(ωx+φ)0根據(jù)這些數(shù)據(jù),要得到函數(shù)y=Asinωx的圖象,需要將函數(shù)f(x)的圖象(???)π12π6π12π6(A)向左平移(C)向左平移個單位個單位(B)向右平移(D)向右平移個單位個單位5.在菱形ABCD中,∠DAB=60?,|AB|=2,則|+DC|=(???)√3√√2√(D)22(A)(B)23(C)北京一零一中2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期高三數(shù)學(xué)統(tǒng)考二?第1頁（共4頁）√√7,B=60?”是“cosA=”的(???)2776.在△ABC中,“a=2,b=(A)充分不必要條件(B)必要不充分條件(C)充分必要條件(D)既不充分也不必要條件d7.已知函數(shù)f(x)=(a,b,c,d∈R)的圖象如圖ax2+bx+c所示,則下列說法與圖象符合的是(???)(A)a>0,b>0,c<0,d>0(C)a<0,b>0,c>0,d>0(B)a<0,b>0,c<0,d>0(D)a>0,b<0,c>0,d>08.保護(hù)環(huán)境功在當(dāng)代,利在千秋,良好的生態(tài)環(huán)境既是自然財富,也是經(jīng)濟(jì)財富,關(guān)系社會發(fā)展的潛力和后勁.某工廠將生產(chǎn)產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過過濾后排放,已知過濾過程中的污染物的殘留數(shù)量P(單位:毫米/升)與過濾時間t(單位:小時)之間的函數(shù)關(guān)系為P=P·e?kt(t>0),其中k為常數(shù),k>0,P為原污染物數(shù)量.該工廠某次過濾廢氣時,若00前9個小時廢氣中的污染物恰好被過濾掉80%,那么再繼續(xù)過濾3小時,廢氣中污染物的殘留量約為原污染物的(???)()1315(參考數(shù)據(jù):≈0.585)(B)10%(A)12%(C)9%(D)6%(a2)x4a+,,x621?+9.已知f(x)=(a>0,a,1).若f(x)存在最小值,則實數(shù)a的2ax?1x>2,取值范圍為(???)13413(A)(0,](B)(0,](C)(0,]∪(1,2)(D)(0,]∪(1,2)42210.已知數(shù)列{a}滿足a+1<a<2a+2,a=1,S是{a}的前n項和.若S=2024,則nnn+1n1nnm正整數(shù)m的所有可能取值的個數(shù)為(???)(A)48(B)50(C)52(D)54填空題共5√1623#–11.若等邊三角形ABC的邊長為23,平面內(nèi)一點M滿足CM=CB+CA,則MA·#–MB=＿＿＿＿＿.北京一零一中2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期高三數(shù)學(xué)統(tǒng)考二?第2頁（共4頁）112.已知角α,β的終邊關(guān)于直線y=x對稱,且sin(α?β)=,則α,β的一組取值可以是2α=＿＿＿＿＿,β=＿＿＿＿＿.1213.在數(shù)列{a}中,a=,anan+1+1=an,n∈N?,則a2022=＿＿＿＿＿.n1a?sinxcosxππ314.若函數(shù)f(x)=在區(qū)間(,)上單調(diào)遞增,則實數(shù)a的取值范圍是＿＿＿＿＿.615.若函數(shù)f(x)=ax2?2x?|x2?ax+1|有且僅有兩個零點,則a的取值范圍為＿＿＿＿＿.解答題共616.已知數(shù)列{a}的前n項和為S,n∈N?,從條件①、條件②和條件③中選擇兩個作為已知,nn并完成解答:(1)求數(shù)列{an}的通項公式;(2)設(shè)等比數(shù)列滿足b=a,b=a,求數(shù)列{a+b}的前n項和T.n2437nnn條件①:a1=?3;條件②:an+1?an=2;條件③:S2=?4.x2√xx217.已知向量m=(cos,?1),n=(3sin,cos2),函數(shù)f(x)=m·n+1.2(1)求函數(shù)f(x)在[0,π]上的最值,并求此時x的值;12(2)將函數(shù)f(x)圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的(縱坐標(biāo)不變),再將所得圖象向π31左平移個單位長度并向下平移個單位長度,得到函數(shù)g(x)的圖象.若在△ABC中,2A12角A,,C的對邊分別為a,b,c,g()=,a=2,b+c=4,求△ABC的面積.2π418.如圖所示,已知△ABC中,D為上一點,∠A=,√AB=4,BD=10,AD>AB.(1)求sin∠ADB;(2)若sin∠=2sinC,求的長.x2?a(a+2)x19.已知函數(shù)f(x)=(a>0).x+1(1)當(dāng)a=1時,求f(x)在點(3,f(3))處的切線方程;(2)求函數(shù)f(x)在[0,2]上的最小值.北京一零一中2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期高三數(shù)學(xué)統(tǒng)考二?第3頁（共4頁）alnxx+1bx20.已知函數(shù)f(x)=(1)求a,b的值;+,曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為x+2y?3=0.lnxx?1kx(2)如果當(dāng)x>0,且x,1時,f(x)>+,求k的取值范圍.21.已知無窮數(shù)列{a}是首項為1,各項均為正整數(shù)的遞增數(shù)列,集合A={k∈N?|a<k<nna,n∈N?}.若對于集合A中的元素k,數(shù)列{a}中存在不相同的項a,a,···,a,使得n+1nii2im1a+a+···+a=k,則稱數(shù)列{a}具有性質(zhì)N(k),記集合B={k|數(shù)列{a}具有性質(zhì)iiimnn12N(k)}.(1)若數(shù)列{a}的通項公式為a=2n1n64,?,寫出集合A與集合;nnn+,6n4>.(2)若集合A與集合B都是非空集合,且集合A中的最小元素為t,集合B中的最小元素為s,當(dāng)t>3時,證明:t=s;(3)若{a}滿足2a>an+1,n∈N?,證明:A=.nn北京一零一中2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期高三數(shù)學(xué)統(tǒng)考二?第4頁（共4頁）北京一零一中2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期高三數(shù)學(xué)統(tǒng)考二參考答案1.A2.(2024海淀高三上期末2)D3.D4.Aππωφ=,+32π由表中的數(shù)據(jù)可得A=5,由解得ω=2,φ=?,所以f(x)=53π6πω+φ=62π6π6ππ125sin(2x?),y=5sin2x,將f(x)=5sin(2x?)=5sin[2(x?)]圖象向左平移單12位后得到y(tǒng)=5sin2x的圖象.5.B如圖,設(shè)菱形對角線交點為O,因為+=#–AD+=AC,∠DAB=60?,所以△ABD為等邊三角形.又因為AB=2,所以O(shè)B=1.在Rt△AOB中,√√√|AO|=|AB|2?|OB|2=3,所以|AC|=2|AO|=23.6.A7.B由題中圖象可知,x,1且x,5,因為ax2+bx+c,0,可知ax2+bx+c=0的兩根為bcx=1,x=5,由根與系數(shù)的關(guān)系得x+x=?=6,xx==5,所以a,b異號,a,c121212aadc同號,又因為f(0)=<0,所以c,d異號,結(jié)合四個選項,只有選項B符合題意,故選B.8.(2024房山高三上期末8)A11因為前9個小時廢氣中的污染物恰好被過濾掉80%,所以P0·e?9k=P0,即e?9k=,所551以e?3k=().再繼續(xù)過濾3小時,廢氣中污染物的殘留量約為P·e?=P×(e?)=1312k3k4005151543P0×()≈×0.585×P≈12%P.009.A由題意,不妨令g(x)=(a?2)x+4a+1,x∈(?∞,2];h(x)=2ax?1,x∈(2,+∞).①當(dāng)0<a<1時,g(x)=(a?2)x+4a+1在(?∞,2]上單調(diào)遞減,h(x)=2ax?1在(2,+∞)上北京一零一中2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期高三數(shù)學(xué)統(tǒng)考二參考答案?第1頁（共7頁）單調(diào)遞減,易知h(x)=2ax?1在(2,+∞)上的值域為(0,2a),又因為f(x)存在最小值,只1212需g(2)=(a?2)×2+4a+160,解得a6,又由0<a<1,從而0<a6;②當(dāng)1<a<2時,g(x)=(a?2)x+4a+1在(?∞,2]上單調(diào)遞減,h(x)=2ax?1在(2,+∞)上單調(diào)3遞增,又因為f(x)存在最小值,故g(2)6h(2),即(a?2)×2+4a+162a,解得a6,這49x62,,與1<a<2矛盾;③當(dāng)a=2時,f(x)=易知f(x)的值域為(4,+∞),顯然2>,2xx,f(x)無最小值;④當(dāng)a>2時,g(x)=(a?2)x+4a+1在(?∞,2]上單調(diào)遞增,h(x)=2ax?112在(2,+∞)上單調(diào)遞增,從而f(x)無最小值.綜上所述,實數(shù)a的取值范圍為(0,].10.D11.(2018三基小題訓(xùn)練(5)6)?2.ππ612.(2024東城一模13)α=,β=(答案不唯一).313.(2022石景山高二下期末14)2.11211由anan+1+1=an,可得an+1=1?,從而可得:a1=,a2=1?=?1,a3=1?a2=2,aan1112a4=1?=,故數(shù)列{an}是周期為3的數(shù)列,可得a2022=a3×674=a3=2.a314.[2,+∞).a?sinxcosxππ3ππ63因為函數(shù)f(x)=在區(qū)間(,)上單調(diào)遞增,所以f′(x)>0在區(qū)間(,)6=cosx·sinx?(a?sinx)·(?sinx)asinx?1cos2x1恒成立,f′(x)==.因為cos2x>0,所cos2xππππ以asinx?1>0在區(qū)間(,)恒成立,所以a>.因為x∈(63,),所以63sinx<2,所以a的取值范圍是[2,+∞).sinx√√1232331<sinx<?<215.(2023高考天津15)(?∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞).當(dāng)x2?ax+1>0時,f(x)=0?(a?1)x2+(a?2)x?1=0,即[(a?1)x?1](x+1)=0,1若a=1時,x=?1,此時x2?ax+1>0成立;若a,1時,x=或x=?1,若方a?11程有一根為x=?1,則1+a+1>0,即a>?2且a,1;若方程有一根為x=,a?1111則()2?a×+1>0,解得a62且a,1;若x==?時1=,a0,此時a?1a?1a?11+a+1>0成立.當(dāng)x2?ax+1<0時,f(x)=0?(a+1)x2?(a+2)x+1=0,即[(a+1)x?1](x?1)=0,1若a=?1時,x=1,顯然x2?ax+1<0不成立;若a,?1時,x=1或x=,a+1北京一零一中2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期高三數(shù)學(xué)統(tǒng)考二參考答案?第2頁（共7頁）1若方程有一根為x=1,則1?a+1<0,即a>2;若方程有一根為x=,則a+1111()2?a×+1<0,解得a<?2;若x==1時,a=0,顯然x2?ax+1<0a+1a+1a+1111不成立.綜上,當(dāng)a<?2時,零點為,;當(dāng)?26a<0時,零點為,?1;當(dāng)a+1a?1a?11a=0時,只有一個零點?1;當(dāng)0<a<1時,零點為?1;當(dāng)1<a62時,零點為點時,a,0且a,1.a的取值范圍為(?∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞).,?1;當(dāng)a=1時,只有一個零點a?11,?1;當(dāng)a>2時,零點為1,?1.所以,當(dāng)函數(shù)有兩個零a?116.選擇①②作為已知條件.(1)因為a1=?3,an+1?an=2,所以數(shù)列{a}是以a=?3為首項,公差d=2的等差數(shù)列.n1所以an=2n?5.選擇②③作為已知條件.(1)因為an+1?a=2,所以數(shù)列{a}是以a為首項,公差為d=2的等差數(shù)列.nn1因為S=?4,所以a+a=?4.所以2a+d=?4.所以a=?3.21211所以an=2n?5.(2)設(shè)等比數(shù)列的公比為q,則b=a=3,b=a=9,q=b3b2=3,n2437b2q33所以b1===1.所以等比數(shù)列的通項公式為b=bqn?1=3n?1.nn1所以a+b=(2n?5)+3n?1.nn所以T=(a+b)+(a+b)+···+(a+b)=(a+a+···+a)+(b+b+···+b)n1122nn12n12nn×[?3+(2n?5)]n1?3=[?3+(?1)+···+(2n?5)]+(1+3+···+3n?1)=+21?312=n2?4n+(3n1).?√2√xxx311π1217.(1)f(x)=3sincos?cos2+1=sinx?cosx+=sin(x?)+.222226π6π5π6因為x∈[0,π],所以x?∈[?,],6π6π所以當(dāng)x?=?,即x=0時,f(x)min=0,6π6π22π332當(dāng)x?=,即x=時,f(x)max=.2π332所以當(dāng)x=0時,f(x)min=0,當(dāng)x=時,f(x)max=.1(2)將f(x)圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的(縱坐標(biāo)不變),得到函數(shù)y=2π612π312sin(2x?)+的圖象,再將所得圖象向左平移個單位長度并向下平移個單位長北京一零一中2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期高三數(shù)學(xué)統(tǒng)考二參考答案?第3頁（共7頁）πππ度,得到函數(shù)g(x)=sin[2(x+)?]=sin(2x+)=cos2x的圖象.362A1π因為g()=cosA=,又0<A<π,所以A=.223在△ABC中,a2=b2+c2?2bccosA,12所以22=b2+c2?2bc×,所以4=(b+c)2?2bc?bc,即4=42?3bc,所以bc=4.√3√3√121π所以S=bcsinA=bcsin=bc=×4=3.△ABC234418.(2023海淀高一下期末17)ABBD(1)在△ABD中,由正弦定理可得=,sin∠ADBsin∠AAB所以sin∠ADB=sin∠A.BD√π又因為∠A=,AB=4,BD=10,4√2√5425所以sin∠ADB=√×=.210(2)因為AD>AB,所以∠ABD>∠ADB,所以∠ADB<90?,√55所以cos∠ADB=.sin∠BD方法一:由正弦定理可知=,又sin∠=2sinC,sinC√所以=2BD=210,由余弦定理可得BC2=BD2+DC2?2BD·cos∠√化簡整理得DC2+22?30=0,√解得=32.√255方法二:因為sin∠=sin∠ADB=且sin∠=2sinC,√sin∠5所以sinC==.25√25由題意可得C<∠ADB,所以cosC=,5所以sin∠DBC=sin(∠ADB?C)=sin∠ADB·cosC?cos∠ADB·sinC√√√5√55255255535=×?×=.BD在△中,由正弦定理可得=,sin∠DBCsinC3√√sin∠DBC55所以=BD=√×10=32.sinC519.(2010海淀高三上期中理19)北京一零一中2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期高三數(shù)學(xué)統(tǒng)考二參考答案?第4頁（共7頁）x2?3xx+1(1)當(dāng)a=1時,f(x)=x2+2x?3,f′(x)=,x,?1,(x+1)234所以f(x)在點(3,f(3))處的切線方程為y=(x?3),即3x?4y?9=0.x2+2x?a(a+2)[x+(a+2)](x?a)(2)x,?1,f′(x)==.(x+1)2(x+1)2x2+2x(x+1)2①當(dāng)a=0時,在(0,2]上導(dǎo)函數(shù)f′(x)=的最小值為f(0)=0;>0,所以f(x)在[0,2]上遞增,可得f(x)②當(dāng)0<a<2時,導(dǎo)函數(shù)f′(x)的符號如下表所示:x[0,a)?↘a0(a,2]+f′(x)f(x)極小↗a2?a2(a+2)a+1所以f(x)的最小值為f(a)==?a2;③當(dāng)a>2時,在[0,2)上導(dǎo)函數(shù)f′(x)<0,所以f(x)在[0,2]上遞減,所以f(x)的最小值4?2a(a+2)24343為f(2)==?a2?a+.3320.(2011高考課標(biāo)理21)x+1a(?lnx)xbx2(1)f′(x)=?.(x+1)21由于直線x+2y?3=0的斜率為?,且過點(1,1),2f(1)=,1b=,1a=,1故即解得a121f′(1)b?,??,b=,1==22lnxx+11(2)由(1)知f(x)=+,x(k?1)(x2?1)lnxk1?所以f(x)?(+)=[2lnx+].x?1x1x2x(k?1)(x2?1)(k?1)(x2+1)+2x設(shè)h(x)=2lnx+(x>0),則h′(x)=.xx2k(x+1)2?(x?1)2①若k60.由h′(x)=知,x2當(dāng)x,1時,h′(x)<0,h(x)單調(diào)遞減.1而h(1)=0,故當(dāng)x∈(0,1)時,h(x)>0,可得h(x)>0;1?x21當(dāng)x∈(1,+∞)時,h(x)<0,可得h(x)>0.1?x2北京一零一中2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期高三數(shù)學(xué)統(tǒng)考二參考答案?第5頁（共7頁）lnxkx從而當(dāng)x>0且x,1時,f(x)?(+)>0,x?1lnxk即f(x)>+.x?1x②若0<k<1.由于y=(k?1)(x2+1)+2x=(k?1)x2+2x+k?1的圖象開口向下,1且?=4?4(k?1)2>0,對稱軸x=>1.1?k11當(dāng)x∈(1,)時,(k?1)(x2+1)+2x>0,故h′(x)>0,而h(1)=0,故當(dāng)x∈(1,)1?k1?k1時,h(x)>0,可得h(x)<0,與題設(shè)矛盾.1?x21③設(shè)k>1,此時h′(x)>0,而h(1)=0,故當(dāng)x∈(1,+∞)時,h(x)>0,可得h(x)<0,1?x2與題設(shè)矛盾.綜上所述,k的取值范圍為(?∞,0].21.(2024房山一模21)(1)定義C={a,a,a,···,a,···},由題意可知A={C.123nN?2n1n64,?,若數(shù)列{a}的通項公式為a=可知C={1,3,5,7,11,12,13,···},4>.nnn+,6n所以A={N?C={2,4,6,8,9,10}.因為2只能寫成2=1+1,不合題意,即2<;4=1+3,符合題意,即4∈;6=1+5,符合題意,即6∈;8=1+7,符合題意,即8∈;9=1+3+5,符合題意,即9∈;10=3+7,符合題意,即10∈.所以B={4,6,8,9,10}.(2)因為t>3,由題意可知:1,2,···,t?1<A,且t6s,即1,2,···,t?1∈C.因為t=1+t?1,即存在不相同的項a=1,a=t?1,使得a+a=t,1K1K可知t∈,所以t=s.(3)因為a=1,2a>a,n∈N?,1nn+1令n=1,可得a62a=2,則a=2,即1,2∈C,212即集合A,B在(a,a)內(nèi)均不存在元素,此時我們認(rèn)為集合A,B在(a,a)內(nèi)的元素相同.1212①若集合A是空集,則B是空集,滿足A=;②若集合A不是空集,集合A中的最小元素為t,可知t>3,由(2)可知:集合B存在的最小元素為s,且t=s,北京一零一中2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期高三數(shù)學(xué)統(tǒng)考二參考答案?第6頁（共7頁）設(shè)存在n>2,n∈N?,使得26a<