2025年中考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)突破-圓的切線的證明(含詳解)

2025年中考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)突破——圓的切線的證明1．已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，連接AC，BD，若BD是⊙O的直徑，AC平分∠BCD，過(guò)A作∠BAE＝∠BDA，AE與CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E．(1)求證：AE是⊙O的切線；(2)若，，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留）．2．如圖，是的直徑，與相切于點(diǎn)，．(1)求證：；(2)若，求的半徑．3．如圖，已知是的直徑，點(diǎn)D在的延長(zhǎng)線上，為的切線，過(guò)D作，與的延長(zhǎng)線相交于E，，．（1）求證：；（2）求的半徑；（3）若的平分線與交于點(diǎn)F，P為的內(nèi)心，求的長(zhǎng)．4．如圖，是的直徑，與交于，弦平分，，垂足為．(1)判斷直線與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．(2)若的半徑為3，若，求線段．5．如圖，已知是的直徑，，連接交于點(diǎn)，切于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）連結(jié)，如果，，求的半徑．6．如圖，為⊙O的直徑，弦于，為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，交⊙O于點(diǎn)，連接，，，，．（1）求證：平分．（2）若，，⊙O的半徑為5，求的長(zhǎng)．7．如圖，已知在中，，以為直徑的分別交，于D，E兩點(diǎn)，于點(diǎn)F，且．

(1)求證：是的切線．(2)若，求的半徑．8．如圖，四邊形內(nèi)接于，，點(diǎn)E在的延長(zhǎng)線上，．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的半徑．9．如圖，是的直徑，點(diǎn)在上，，與相交于點(diǎn)，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，且．

(1)求證：是的切線；(2)若，，求的值．10．如圖，AB是的直徑，點(diǎn)是上的一點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)，重合），連接、，點(diǎn)是AB上的一點(diǎn)，，交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，且．

(1)求證：是的切線；(2)若的半徑為，，則的長(zhǎng)為_(kāi)_____．11．如圖，在△ACE中，以AC為直徑的⊙O交CE于點(diǎn)D，連接AD，且∠DAE＝∠ACE，連接OD并延長(zhǎng)交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，PB與⊙O相切于點(diǎn)B．(1)求證：AP是⊙O的切線；(2)連接AB交OP于點(diǎn)F，求證：△FAD∽△DAE；(3)若，求的值．12．如圖，是的外接圓，是的直徑，C是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，在上，連接，若．(1)求證：為的切線；(2)若，，求的長(zhǎng)．13．如圖，在中，，為外接圓的直徑，點(diǎn)為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接，且．

(1)求證：是的切線：(2)若，，求的長(zhǎng)．14．如圖，為圓O的直徑，C為圓O上一點(diǎn)，D為弦的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C的切線與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，連接．(1)求證：是圓O的切線；(2)當(dāng)，時(shí)，求線段的長(zhǎng)．15．如圖，內(nèi)接于，且為的直徑，的平分線交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)在左側(cè)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．

(1)求證：；(2)求證：是的切線；(3)若，，求線段的長(zhǎng)．參考答案：1．(1)見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）連接，如圖，AC平分∠BCD，，，，是直徑，，是等腰直角三角形，，，，，∠BAE＝∠BDA，，，，是上的點(diǎn)，則為半徑，是的切線（2）如圖，過(guò)點(diǎn)作，是等腰直角三角形是等腰直角三角形在中，2．(1)見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）證明：連接，是的直徑，與相切于點(diǎn)，，，，，，，，，，，；（2）解：由（1）得：，，，，，，，，，的半徑為．3．（1）證明見(jiàn)解析；（2）2；（3）．【詳解】證明：（1）如圖，連接，，，是的切線，，即，，，，，；（2）設(shè)的半徑為，則，，，由（1）已證：，，在中，，即，解得，即的半徑為2；（3）如圖，連接，是的直徑，，平分，，由圓周角定理得：，是等腰直角三角形，，，由（2）已得：，，解得，為的內(nèi)心，，，．4．(1)直線與相切，見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）解：直線與相切，理由如下：連接，平分，，，，，，，即，，即，是半徑，是的切線；（2）解：過(guò)作于，，，，，，，四邊形是菱形，，，，則，．5．（1）見(jiàn)解析；（2）5【詳解】解：（1）證明：連接OD，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵切于點(diǎn)，∴，∴，即．（2）∵，即∴設(shè)，，∴由勾股定理得，，∵，∴，∴，在中，，∴解得，∴OD=5∴圓的半徑等于5．6．（1）見(jiàn)解析；（2）【詳解】（1）證明：∵C、D、B、F四點(diǎn)共圓，∴∠EFB=∠CDB，∠BCD=∠DFB，∵CD⊥OA，∴CH=DH，∴BC=BD，∴∠BCD=∠CDB，∴∠EFB=∠DFB，∴BF平分∠DFE；（2）解：∵在△DFB和△EFB中，，∴△DFB≌△EFB（SAS），∴BD=BE，∵BE=8，∴BD=8，∵AB為⊙O直徑，CD⊥AB，∴∠ADB=∠DHB=90°，∵∠DBH=∠ABD，∴△DHB∽△ADB，∴，設(shè)AH=x，∵⊙O的半徑為5，BD=8，∴AB=10，BH=10-x，∴，解得：x=，即AH的長(zhǎng)是．7．(1)見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）證明：連接，

∵為的直徑，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，又為的半徑，∴是的切線；（2）連接，交于點(diǎn)，

∵為的直徑，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，∴是的中位線，∴，在中，，設(shè)的半徑為，則：，∴，在中，，即：，解得：．∴的半徑為．8．(1)見(jiàn)解析；(2)5．【詳解】（1）證明：如圖，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)M，連接．∵，∴．又∵，，∴．∵是的直徑，∴．∴．∴．∴．∴是的切線．（2）如圖，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)N，連接．∵，，，∴．．∴．∵是的直徑，∴．在中，，∴．∴的半徑為5．9．(1)見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）證明：∵，∴，，∴，則，∵是直徑，∴，∴，∵，則是等腰三角形，且，∴，，∴，∴，∴，又∵是直徑，∴是的切線．（2）解：如圖所示，連接，

∵，，∴，∴，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴．10．(1)證明見(jiàn)解析(2)8【詳解】（1）證明：是的直徑，，，，，，，，，，，即．為的直徑，是的切線；（2）解：，，，設(shè)，則，，，，，是的直徑，，，，解得：不合題意，舍去或．．故答案為：．11．(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析(3)【詳解】（1）證明：為的直徑，，，，，即，，是的切線．（2）證明：和都是的切線，垂直平分，，，，，，，在和中，，．（3）解：，，設(shè)，則，，，即，解得，，，由（2）已證：，，即，解得，則．12．(1)見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）解：證明：如圖1，連接．是的直徑，，．，．，，，，為的切線．（2）解：如圖2，設(shè)交于點(diǎn)H．，，，．，．設(shè)，則．，，，，解得，，，．13．(1)見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）證明：連接，

則，∵，∴，∵為直徑，∴，∴，∴，∴，∴．

∵為直徑．∴是的切線．（2）過(guò)作交于，

∵，，∴，∵，∴，

∴．∴，

∵，．∴，∴，在中，，

∵，．∴，，∵，

∴，∴，

∴，

∴，∴．14．(1)見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）證明：在中，∵D為弦的中點(diǎn)，∴，∴垂直平分，∴，∴，又∵，∴，∵是的切線，∴，∴，又∵為的直徑，∴是的切線；（2）解：∵為的直徑，∴，∵，，∴，∴，由（1）得，在中，設(shè)，∴，，∴，解得，∴線段的長(zhǎng)為