2025年中考數(shù)學(xué)高頻考點突破-圓的切線的證明(含詳解)

2025年中考數(shù)學(xué)高頻考點突破——圓的切線的證明1．已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，連接AC，BD，若BD是⊙O的直徑，AC平分∠BCD，過A作∠BAE＝∠BDA，AE與CB的延長線交于點E．(1)求證：AE是⊙O的切線；(2)若，，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保留）．2．如圖，是的直徑，與相切于點，．(1)求證：；(2)若，求的半徑．3．如圖，已知是的直徑，點D在的延長線上，為的切線，過D作，與的延長線相交于E，，．（1）求證：；（2）求的半徑；（3）若的平分線與交于點F，P為的內(nèi)心，求的長．4．如圖，是的直徑，與交于，弦平分，，垂足為．(1)判斷直線與的位置關(guān)系，并說明理由．(2)若的半徑為3，若，求線段．5．如圖，已知是的直徑，，連接交于點，切于點，交的延長線于點，交于點．（1）求證：；（2）連結(jié)，如果，，求的半徑．6．如圖，為⊙O的直徑，弦于，為延長線上一點，交⊙O于點，連接，，，，．（1）求證：平分．（2）若，，⊙O的半徑為5，求的長．7．如圖，已知在中，，以為直徑的分別交，于D，E兩點，于點F，且．

(1)求證：是的切線．(2)若，求的半徑．8．如圖，四邊形內(nèi)接于，，點E在的延長線上，．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的半徑．9．如圖，是的直徑，點在上，，與相交于點，點在的延長線上，且．

(1)求證：是的切線；(2)若，，求的值．10．如圖，AB是的直徑，點是上的一點（點不與點，重合），連接、，點是AB上的一點，，交CD的延長線于點，且．

(1)求證：是的切線；(2)若的半徑為，，則的長為______．11．如圖，在△ACE中，以AC為直徑的⊙O交CE于點D，連接AD，且∠DAE＝∠ACE，連接OD并延長交AE的延長線于點P，PB與⊙O相切于點B．(1)求證：AP是⊙O的切線；(2)連接AB交OP于點F，求證：△FAD∽△DAE；(3)若，求的值．12．如圖，是的外接圓，是的直徑，C是延長線上一點，在上，連接，若．(1)求證：為的切線；(2)若，，求的長．13．如圖，在中，，為外接圓的直徑，點為延長線上一點，連接，且．

(1)求證：是的切線：(2)若，，求的長．14．如圖，為圓O的直徑，C為圓O上一點，D為弦的中點，過點C的切線與的延長線相交于點E，連接．(1)求證：是圓O的切線；(2)當(dāng)，時，求線段的長．15．如圖，內(nèi)接于，且為的直徑，的平分線交于點，過點在左側(cè)作交的延長線于點，過點作于點．

(1)求證：；(2)求證：是的切線；(3)若，，求線段的長．參考答案：1．(1)見解析(2)【詳解】（1）連接，如圖，AC平分∠BCD，，，，是直徑，，是等腰直角三角形，，，，，∠BAE＝∠BDA，，，，是上的點，則為半徑，是的切線（2）如圖，過點作，是等腰直角三角形是等腰直角三角形在中，2．(1)見解析(2)【詳解】（1）證明：連接，是的直徑，與相切于點，，，，，，，，，，，；（2）解：由（1）得：，，，，，，，，，的半徑為．3．（1）證明見解析；（2）2；（3）．【詳解】證明：（1）如圖，連接，，，是的切線，，即，，，，，；（2）設(shè)的半徑為，則，，，由（1）已證：，，在中，，即，解得，即的半徑為2；（3）如圖，連接，是的直徑，，平分，，由圓周角定理得：，是等腰直角三角形，，，由（2）已得：，，解得，為的內(nèi)心，，，．4．(1)直線與相切，見解析(2)【詳解】（1）解：直線與相切，理由如下：連接，平分，，，，，，，即，，即，是半徑，是的切線；（2）解：過作于，，，，，，，四邊形是菱形，，，，則，．5．（1）見解析；（2）5【詳解】解：（1）證明：連接OD，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵切于點，∴，∴，即．（2）∵，即∴設(shè)，，∴由勾股定理得，，∵，∴，∴，在中，，∴解得，∴OD=5∴圓的半徑等于5．6．（1）見解析；（2）【詳解】（1）證明：∵C、D、B、F四點共圓，∴∠EFB=∠CDB，∠BCD=∠DFB，∵CD⊥OA，∴CH=DH，∴BC=BD，∴∠BCD=∠CDB，∴∠EFB=∠DFB，∴BF平分∠DFE；（2）解：∵在△DFB和△EFB中，，∴△DFB≌△EFB（SAS），∴BD=BE，∵BE=8，∴BD=8，∵AB為⊙O直徑，CD⊥AB，∴∠ADB=∠DHB=90°，∵∠DBH=∠ABD，∴△DHB∽△ADB，∴，設(shè)AH=x，∵⊙O的半徑為5，BD=8，∴AB=10，BH=10-x，∴，解得：x=，即AH的長是．7．(1)見解析(2)【詳解】（1）證明：連接，

∵為的直徑，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，又為的半徑，∴是的切線；（2）連接，交于點，

∵為的直徑，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，∴是的中位線，∴，在中，，設(shè)的半徑為，則：，∴，在中，，即：，解得：．∴的半徑為．8．(1)見解析；(2)5．【詳解】（1）證明：如圖，連接并延長交于點M，連接．∵，∴．又∵，，∴．∵是的直徑，∴．∴．∴．∴．∴是的切線．（2）如圖，連接并延長交于點N，連接．∵，，，∴．．∴．∵是的直徑，∴．在中，，∴．∴的半徑為5．9．(1)見解析(2)【詳解】（1）證明：∵，∴，，∴，則，∵是直徑，∴，∴，∵，則是等腰三角形，且，∴，，∴，∴，∴，又∵是直徑，∴是的切線．（2）解：如圖所示，連接，

∵，，∴，∴，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∴．10．(1)證明見解析(2)8【詳解】（1）證明：是的直徑，，，，，，，，，，，即．為的直徑，是的切線；（2）解：，，，設(shè)，則，，，，，是的直徑，，，，解得：不合題意，舍去或．．故答案為：．11．(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【詳解】（1）證明：為的直徑，，，，，即，，是的切線．（2）證明：和都是的切線，垂直平分，，，，，，，在和中，，．（3）解：，，設(shè)，則，，，即，解得，，，由（2）已證：，，即，解得，則．12．(1)見解析(2)【詳解】（1）解：證明：如圖1，連接．是的直徑，，．，．，，，，為的切線．（2）解：如圖2，設(shè)交于點H．，，，．，．設(shè)，則．，，，，解得，，，．13．(1)見解析(2)【詳解】（1）證明：連接，

則，∵，∴，∵為直徑，∴，∴，∴，∴，∴．

∵為直徑．∴是的切線．（2）過作交于，

∵，，∴，∵，∴，

∴．∴，

∵，．∴，∴，在中，，

∵，．∴，，∵，

∴，∴，

∴，

∴，∴．14．(1)見解析(2)【詳解】（1）證明：在中，∵D為弦的中點，∴，∴垂直平分，∴，∴，又∵，∴，∵是的切線，∴，∴，又∵為的直徑，∴是的切線；（2）解：∵為的直徑，∴，∵，，∴，∴，由（1）得，在中，設(shè)，∴，，∴，解得，∴線段的長為