北京市東城區(qū)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)期末考試試卷（含答案）

北京市東城區(qū)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)期末考試試卷姓名：__________班級(jí)：__________考號(hào)：__________題號(hào)一二三總分評(píng)分一、單選題1．已知向量a=(8，?2，1)，bA．12 B．?12 C．?22．已知直線x?y?3A．45 B．135 C．60 D．903．拋物線y2A．y=12 B．y=?1 C．x=14．2021年9月17日，北京2022年冬奧會(huì)和冬殘奧會(huì)主題口號(hào)正式對(duì)外發(fā)布——“一起向未來(lái)”（英文為：“TogetherforaSharedFuture”），這是中國(guó)向世界發(fā)出的誠(chéng)摯邀約，傳遞出14億中國(guó)人民的美好期待.“一起向未來(lái)”的英文表達(dá)是：“TogetherforaSharedFuture”，其字母出現(xiàn)頻數(shù)統(tǒng)計(jì)如下表：字母togehrfasdu頻數(shù)32142422112合計(jì)頻數(shù)為24，那么字母“e”出現(xiàn)的頻率是（）A．18 B．16 C．1125．設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a1A．4 B．5 C．7 D．96．已知在長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1中，A．66 B．356 C．337．如圖，點(diǎn)O是正方形ABCD兩條對(duì)角線的交點(diǎn).從這個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)中隨機(jī)選取兩個(gè)，那么這兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱的概率為（）A．15 B．14 C．138．圓心為(?1，2)，半徑A．(x?1)2+(y+2)C．(x?1)2+(y+2)9．已知正四棱錐P?ABCD的高為4，棱AB的長(zhǎng)為2，點(diǎn)H為側(cè)棱PC上一動(dòng)點(diǎn)，那么△HBD面積的最小值為（）A．2 B．32 C．23 10．拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，將第一次得到的點(diǎn)數(shù)記為x，第二次得到的點(diǎn)數(shù)記為y，那么事件“2x+yA．19 B．536 C．1611．地震預(yù)警是指在破壞性地震發(fā)生以后，在某些區(qū)域可以利用“電磁波”搶在“地震波”之前發(fā)出避險(xiǎn)警報(bào)信息，以減小相關(guān)預(yù)警區(qū)域的災(zāi)害損失.根據(jù)Rydelek和Pujol提出的雙臺(tái)子臺(tái)陣方法，在一次地震發(fā)生后，通過(guò)兩個(gè)地震臺(tái)站的位置和其接收到的信息，可以把震中的位置限制在雙曲線的一支上，這兩個(gè)地震臺(tái)站的位置就是該雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn).在一次地震預(yù)警中，兩地震臺(tái)A站和B站相距10km.根據(jù)它們收到的信息，可知震中到B站與震中到A站的距離之差為6km.據(jù)此可以判斷，震中到地震臺(tái)B站的距離至少為（）A．8km B．6km C．4km D．2km12．對(duì)于數(shù)列{an}，若存在正數(shù)M，使得對(duì)一切正整數(shù)n，都有|an|≤M，則稱數(shù)列{an}是有界的.若這樣的正數(shù)MA．若an=1B．若an=nsinC．若an=(?1)D．若an=2+1二、填空題13．已知空間向量a=(1，?1，0)，b=(m14．在等差數(shù)列{an}中，a1=2，15．兩條直線l1：3x?4y?2=0與l16．試寫(xiě)出一個(gè)中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，漸近線方程為y=±2x的雙曲線方程.17．已知點(diǎn)P是曲線ax2+by2=1（其中a，b為常數(shù)）上的一點(diǎn)，設(shè)M，N是直線①當(dāng)ab>0時(shí)，方程ax②當(dāng)ab<0時(shí)，方程ax③當(dāng)a=124，b=18，且t=4時(shí)，使得④當(dāng)a=124，b=18，且0<t<4時(shí)，使得18．某單位組織知識(shí)競(jìng)賽，按照比賽規(guī)則，每位參賽者從5道備選題中隨機(jī)抽取3道題作答.假設(shè)在5道備選題中，甲答對(duì)每道題的概率都是23，且每道題答對(duì)與否互不影響，則甲恰好答對(duì)其中兩道題的概率為；若乙能答對(duì)其中3道題且另外兩道題不能答對(duì)，則乙恰好答對(duì)兩道題的概率為三、解答題19．某超市有A，B，C三個(gè)收銀臺(tái)，顧客甲、乙兩人結(jié)賬時(shí)，選擇不同收銀臺(tái)的概率如下表所示，且兩人選擇哪個(gè)收銀臺(tái)相互獨(dú)立.收銀臺(tái)顧客A收銀臺(tái)B收銀臺(tái)C收銀臺(tái)甲a0.20.4乙0.3b0.3（1）求a，b的值；（2）求甲、乙兩人在結(jié)賬時(shí)都選擇C收銀臺(tái)的概率；（3）求甲、乙兩人在結(jié)賬時(shí)至少一人選擇C收銀臺(tái)的概率.20．在四棱雉P?ABCD中，底面ABCD是正方形，Q為棱PD的中點(diǎn)，PA⊥AD，PA=AB=2，再?gòu)南铝袃蓚€(gè)條件中任選一個(gè)作為已知，求解下列問(wèn)題.條件①：平面PAD⊥平面ABCD；條件②：PA⊥AB.注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.（1）求證：PA⊥平面ABCD；（2）求平面ACQ與平面ABCD夾角的余弦值；（3）求點(diǎn)B到平面ACQ的距離.21．已知圓C：x2+y（1）判斷圓C和圓C1（2）求經(jīng)過(guò)點(diǎn)P且與圓C相切的直線方程.22．已知橢圓E：x2a2（1）求橢圓E的方程；（2）若過(guò)點(diǎn)A的直線l與橢圓E的另一個(gè)交點(diǎn)為B，且|AB|=43223．已知無(wú)窮數(shù)列{yn}滿足公式y(tǒng)（1）若a=14，求（2）若y3=0，求（3）給定整數(shù)M(M≥3)，是否存在這樣的實(shí)數(shù)a，使數(shù)列{y①數(shù)列{yn}②數(shù)列{yn}若存在，請(qǐng)將所有這樣的實(shí)數(shù)a從小到大排列形成數(shù)列{an}

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】∵a//b，∴b=λ故答案為：B.

【分析】利用已知條件結(jié)合向量共線的坐標(biāo)表示得出實(shí)數(shù)k的值。2．【答案】A【解析】【解答】直線x?y?3=0的斜率為1，所以直線故答案為：A

【分析】利用合作條件結(jié)合直線的斜率與直線的傾斜角的關(guān)系式，進(jìn)而得出直線的傾斜角。3．【答案】C【解析】【解答】由拋物線方程可知其準(zhǔn)線方程為：x=??2故答案為：C.

【分析】利用已知條件結(jié)合拋物線的準(zhǔn)線方程求解方法，進(jìn)而得出拋物線的準(zhǔn)線方程。4．【答案】B【解析】【解答】由圖中表格可知，字母“e”出現(xiàn)的頻數(shù)為4，合計(jì)總頻數(shù)為24，所以字母“e”出現(xiàn)的頻率為424故答案為：B

【分析】利用已知條件結(jié)合頻率等于頻數(shù)除以樣本容量的公式，進(jìn)而得出字母"e"出現(xiàn)的頻率。5．【答案】A【解析】【解答】由Sn+1=Sn+故答案為：A.

【分析】利用已知條件結(jié)合an6．【答案】A【解析】【解答】根據(jù)長(zhǎng)方體性質(zhì)知：CD⊥面AA故∠CA1D為AAA所以sin∠C故答案為：A

【分析】由長(zhǎng)方體性質(zhì)知：CD⊥面AA1D1D，故∠CA1D為7．【答案】C【解析】【解答】從四個(gè)頂點(diǎn)選兩個(gè)的情況數(shù)為：C4選的兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于中心O對(duì)稱的情況有：A，C與所以所求概率為：P=2故答案為：C.

【分析】利用已知條件結(jié)合古典概型求概率公式，進(jìn)而得出從這個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)中隨機(jī)選取兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱的概率。8．【答案】B【解析】【解答】根據(jù)題意，圓心為(?1，2)，半徑圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1)2故答案為：B．

【分析】利用圓心坐標(biāo)和半徑長(zhǎng)得出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。9．【答案】D【解析】【解答】取BD中點(diǎn)O，連接OH、PO、OC，因?yàn)樗睦忮FP?ABCD為正四棱錐，所以PO⊥平面ABCD，DH=BH，因?yàn)镺為BD中點(diǎn)，所以O(shè)H⊥BD，因?yàn)镺C?平面ABCD，所以PO⊥OC，因?yàn)锳B=2，PO=4，所以BD=22，OC=在直角三角形POC中，當(dāng)OH⊥PC時(shí)，OH最小，為4×242+2=43，當(dāng)點(diǎn)HS△HBD=12×22×OH=故答案為：D.

【分析】取BD中點(diǎn)O，連接OH、PO、OC，利用四棱錐P?ABCD為正四棱錐，所以PO⊥平面ABCD，DH=BH，再利用O為BD中點(diǎn)結(jié)合等腰三角形三線合一，所以O(shè)H⊥BD，再利用OC?平面ABCD，所以PO⊥OC，再利用AB=2，PO=4，進(jìn)而得出BD，OC的長(zhǎng)，在直角三角形POC中，當(dāng)OH⊥PC時(shí)，OH最小，從而得出OH的最小值，當(dāng)點(diǎn)H和點(diǎn)P重合時(shí)，OH最大，進(jìn)而得出OH的最大值，從而得出OH的取值范圍，再利用三角形的面積公式和OH的取值范圍，進(jìn)而得出三角形△HBD的面積的最小值。10．【答案】C【解析】【解答】由題意第一次得到的點(diǎn)數(shù)記為x，第二次得到的點(diǎn)數(shù)記為y，記為(x，(1(3(5共36種，由2x+y≤16，即2x+y≤2所以x+y≤4，所以滿足條件的(x，(1，所以事件“2x+y≤16”的概率為：故答案為：C.

【分析】利用已知條件結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和古典概型求概率公式，進(jìn)而得出事件“2x+y11．【答案】A【解析】【解答】設(shè)震中為P，依題意有|PB|?|PA|=6<因?yàn)閨PA|+所以|PB|?6+所以震中到地震臺(tái)B站的距離至少為8km。故答案為：A

【分析】設(shè)震中為P，依題意有|PB|?|PA|=6<|AB|=10，再結(jié)合雙曲線的定義判斷出點(diǎn)P12．【答案】C【解析】【解答】對(duì)于A，∵|an|=|1n|=1∴數(shù)列{a對(duì)于B，|a∵|sinn|≤1，∴|an|≤n，即隨著n∴數(shù)列{a對(duì)于C，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Sn=0；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，∴|Sn|≤1，∴存在正數(shù)M=1∴數(shù)列{S對(duì)于D，1n∴=2n+4(1?1∵y=x?22x+1在(0，∴不存在正數(shù)M，使得|Sn|≤M恒成立，∴故答案為：C.

【分析】利用已知條件結(jié)合分類(lèi)討論的方法，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和不等式恒成立問(wèn)題求解方法，再結(jié)合數(shù)列的有界性和無(wú)界性，進(jìn)而找出結(jié)論正確的選項(xiàng)。13．【答案】1【解析】【解答】因?yàn)閍⊥所以a?故答案為：1。

【分析】利用已知條件結(jié)合數(shù)量積為0兩向量垂直的等價(jià)關(guān)系，再結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)表示得出實(shí)數(shù)m的值。14．【答案】3n?1【解析】【解答】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由a1=2，所以a1所以an故答案為：3n?1，(

【分析】利用已知條件結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而得出公差的值，再結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得出數(shù)列的通項(xiàng)公式。15．【答案】2【解析】【解答】由平行直線間距離公式可得：l1，l故答案為：2。

【分析】利用已知條件結(jié)合平行直線求距離的方法，進(jìn)而得出兩條平行直線的距離。16．【答案】x2?y【解析】【解答】中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，漸近線方程為y=±2x的雙曲線方程為x2故答案為：x2?y

【分析】利用已知條件結(jié)合焦點(diǎn)的位置和雙曲線的漸近線方程，從而結(jié)合雙曲線中a，b，c三者的關(guān)系式，進(jìn)而得出a，b的值，從而得出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。17．【答案】②③④【解析】【解答】方程ax2+by2=1中當(dāng)a=b>0時(shí)可表示圓，當(dāng)ab<0時(shí)，在③④中：橢圓方程為x224+設(shè)點(diǎn)P(26cosθd=對(duì)③：t=4時(shí)，(1)若P為直角頂點(diǎn)，如圖1，則|MN|=t=4，d=22<4圖1(2)若P不是直角頂點(diǎn)，如圖2，則|MN|=t=4，d=4，滿足△PMN圖2故t=4時(shí)，使得△MNP是等腰直角三角形的點(diǎn)P有6個(gè)，③正確；對(duì)④：0<t<4時(shí)，(1)若P為直角頂點(diǎn)，如圖1，則|MN|=t，d=t2(2)若P不是直角頂點(diǎn)，如圖3，則|MN|=t，d=t<4，滿足△MNP圖3故0<t<4時(shí)，使得△MNP是等腰直角三角形的點(diǎn)P有8個(gè)，④正確；故答案為：②③④.

【分析】利用已知條件結(jié)合橢圓的定義、雙曲線的定義、等腰三角形的定義，進(jìn)而找出結(jié)論正確的選項(xiàng)。18．【答案】40243；【解析】【解答】設(shè)甲能夠答對(duì)X道題目，X~所以P(X=2)=C解設(shè)乙能夠答對(duì)Y道題目，則P(Y=2)=C故答案為：402433

【分析】利用已知條件結(jié)合隨機(jī)變量X方差二項(xiàng)分布，從而結(jié)合二項(xiàng)分布求出隨機(jī)變量X的分布列，進(jìn)而得出甲恰好答對(duì)其中兩道題的概率和乙恰好答對(duì)兩道題的概率。19．【答案】（1）解：由表可知，甲選擇A收銀臺(tái)的概率為a=1?0.乙選擇B收銀臺(tái)的概率為b=1?0（2）解：設(shè)事件A為“甲選擇C收銀臺(tái)”，事件B為“乙選擇C收銀臺(tái)”，事件C為“甲，乙兩人在結(jié)賬時(shí)都選擇C收銀臺(tái)”.根據(jù)題意，P(A)所以P(（3）解：設(shè)事件D為“甲，乙兩人在結(jié)賬時(shí)至少一人選擇C收銀臺(tái)”，P(【解析】【分析】（1）利用已知條件結(jié)合對(duì)立事件求概率公式，進(jìn)而得出a，b的值。

（2）利用已知條件結(jié)合獨(dú)立事件乘法求概率公式得出甲、乙兩人在結(jié)賬時(shí)都選擇C收銀臺(tái)的概率。

（3）利用已知條件結(jié)合對(duì)立事件求概率公式和獨(dú)立事件乘法求概率公式，進(jìn)而得出甲、乙兩人在結(jié)賬時(shí)至少一人選擇C收銀臺(tái)的概率。20．【答案】（1）證明：條件①：平面PAD⊥平面ABCD證明：因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD，PA⊥AD，PA?平面PAD，平面PAD∩平面ABCD=AD，所以PA⊥平面ABCD.條件②：PA⊥AB證明：因?yàn)镻A⊥AD，PA⊥AB，且AB，AD?平面ABCD，所以PA⊥平面ABCD.（2）解：由（1）知PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB，以A為原點(diǎn)，AB，AD，則P(0，0，2)，A(0，0，0)，所以AC=(2，由（1）知平面ABCD的法向量AP=(0設(shè)平面ACQ的法向量為n=(x，y即x+y=0y+z=0，令y=1，則n設(shè)平面ACQ與平面ABCD夾角的為θ，則cosθ=所以平面ACQ與平面ABCD夾角的余弦值為3（3）解：由已知得B(2，0，所以點(diǎn)B到平面ACQ的距離為AB【解析】【分析】（1）條件①：平面PAD⊥平面ABCD；再利用平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥AD結(jié)合面面垂直的性質(zhì)定理證出線面垂直，從而證出直線PA⊥平面ABCD。條件②：PA⊥AB；利用PA⊥AD，PA⊥AB結(jié)合線線垂直證出線面垂直，從而證出直線PA⊥平面ABCD。（2）由（1）知PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AB，AD，AP兩兩垂直，以A為原點(diǎn)，AB，AD，AP分別所在的直線為x，(3)由已知得出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再結(jié)合向量的坐標(biāo)表示得出向量AB→的坐標(biāo)，再利用數(shù)量積求出點(diǎn)B到平面ACQ21．【答案】（1）解：圓C方程可整理為：(x?1)2+(y+2)2=9由圓C1方程可知：圓心C1(3∵|CC1|=(1?3)2+(?2?1)∴圓C和圓C1（2）解：當(dāng)過(guò)P(3，1)的直線斜率不存在，即為x=3時(shí)，其與圓∴可設(shè)所求切線方程為：y?1=k(x?3)，即kx?y?3k+1=0，∴圓心C到切線的距離d=|3?2k|k2解得：k=0或k=?12∴切線方程為：y=1或y?1=?125(x?3)，即y=1【