數(shù)學(xué)課堂探究：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運算（第課時）

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂探究探究一復(fù)數(shù)的加減法運算對復(fù)數(shù)進行加減運算時，要先分清復(fù)數(shù)的實部與虛部，然后將實部與實部、虛部與虛部分別相加減．若有括號,先計算括號內(nèi)的，若沒有括號，可從左到右依次進行．【典型例題1】計算：（1）（3－5i)＋（－4－i)－(3＋4i)；(2）(－7i＋5）－(9－8i)＋(3－2i）．思路分析:根據(jù)復(fù)數(shù)的加減法法則．解:（1）原式＝（3－4－3）＋（－5i－i－4i）＝－4－10i.（2）原式＝(5－9＋3）＋(－7i＋8i－2i）＝－1－i.溫馨提示進行復(fù)數(shù)加減運算時，把i看作一個字母，類比多項式加減運算中的合并同類項．探究二復(fù)數(shù)加減運算的幾何意義復(fù)數(shù)加法的幾何意義就是向量加法的平行四邊形法則,類比加法的幾何意義可知復(fù)數(shù)減法的幾何意義就是向量減法的三角形法則．【典型例題2】已知平行四邊形OABC的三個頂點O,A，C對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為0,3＋2i，－2＋4i。(1）求eq\o(AO，\s\up6(→)）表示的復(fù)數(shù);(2）求eq\o(CA,\s\up6(→）)表示的復(fù)數(shù);(3）求B點對應(yīng)的復(fù)數(shù)．思路分析:對于(1)，可由eq\o(AO，\s\up6（→)）＝－eq\o（OA，\s\up6(→))求得;對于（2），由eq\o(CA，\s\up6（→)）＝eq\o(OA,\s\up6(→））－eq\o(OC，\s\up6（→）)求得；對于（3）,可先求出eq\o（OB,\s\up6(→）)的坐標(biāo)，進而可知點B的坐標(biāo)．解:（1)∵eq\o（AO，\s\up6(→))＝－eq\o(OA,\s\up6（→)）,∴eq\o（AO,\s\up6（→))表示的復(fù)數(shù)為－(3＋2i），即－3－2i。（2）∵eq\o(CA，\s\up6(→))＝eq\o（OA,\s\up6(→））－eq\o（OC,\s\up6(→)），∴eq\o(CA，\s\up6（→)）表示的復(fù)數(shù)為（3＋2i)－(－2＋4i）＝5－2i。（3)∵eq\o（OB,\s\up6(→））＝eq\o（OA，\s\up6(→))＋eq\o（AB,\s\up6(→)）＝eq\o（OA，\s\up6（→））＋eq\o(OC，\s\up6(→)）,∴eq\o（OB，\s\up6（→))表示的復(fù)數(shù)為(3＋2i)＋(－2＋4i）＝1＋6i，即B點對應(yīng)的復(fù)數(shù)為1＋6i.探究三復(fù)數(shù)加減法的綜合應(yīng)用1．解決復(fù)數(shù)問題時，設(shè)出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式z＝x＋yi(x，y∈R）,利用復(fù)數(shù)相等或模的概念，列方程求實、虛部可把復(fù)數(shù)問題實數(shù)化．2．利用復(fù)數(shù)加減運算及模的幾何意義，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想,可以直觀簡便地解決復(fù)數(shù)問題．【典型例題3】設(shè)z1，z2∈C,已知｜z1｜＝｜z2｜＝1,|z1＋z2|＝eq\r（2），求｜z1－z2｜。思路分析：解答本題可利用“復(fù)數(shù)問題實數(shù)化”的思想或“數(shù)形結(jié)合”的思想求解．解法一:設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c,d∈R)，由題設(shè)知：a2＋b2＝1，c2＋d2＝1,（a＋c)2＋(b＋d）2＝2，∴2ac＋2bd＝0，∴|z1－z2｜2＝（a－c)2＋（b－d)2＝a2＋c2＋b2＋d2－2ac－2bd＝2，∴|z1－z2｜＝eq\r（2）。解法二：由復(fù)數(shù)加減法的幾何意義知:｜z1＋z2|與|z1－z2|恰為以z1,z2為鄰邊的正方形的兩條對角線長．故|z1－z2｜＝|z1＋z2｜＝eq\r(2）.溫馨提示掌握以下常用結(jié)論：在復(fù)平面內(nèi)，z1，z2對應(yīng)的點為A，B,z1＋z2對應(yīng)的點為C，O為坐標(biāo)原點，則四邊形OACB：（1）為平行四邊形；(2）若|z1＋z2|＝|z1－z2｜，則四邊形OACB為矩形；(3）若|z1｜＝|z2|，則四邊形OACB為菱形;（4）若|z1｜＝｜z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2｜，則四邊形OACB為正方形．探究四易錯辨析易錯點向量的終點對應(yīng)的復(fù)數(shù)與向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)混淆致錯【典型例題4】已知A(1，0),B（2,1）,C（－1,3），且eq\o(CD，\s\up6（→））＝eq\o（AB，\s\up6(→）)，求eq\o（CD,\s\up6(→）)及D點對應(yīng)的復(fù)數(shù)．錯解：設(shè)eq\o（CD,\s\up6(→)）,eq\o(AB，\s\up6（→)）及點D對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為z1，z2和z3。因為eq\o（AB，\s\up6(→)）＝(2，1)－(1，0）＝(1，1)，所以eq\o(AB，\s\up6(→)）對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z2＝1＋i.又因為eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o（AB,\s\up6(→)),所以eq\o(CD，\s\up6(→)）對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z1＝1＋i，即D點對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z3＝1＋i.錯解辨析：錯解中將D點對應(yīng)的復(fù)數(shù)與eq\o(CD,\s\up6(→)）對應(yīng)的復(fù)數(shù)混為一談，只有當(dāng)向量的起點在坐標(biāo)原點時，終點對應(yīng)的復(fù)數(shù)才和向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)相等．正解：設(shè)點A，B,C，D對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為z1,z2，z3,z4,所以z1＝1，z2＝2＋i，z3＝－1＋3i。所以eq\o(AB,\s\up6（→))對應(yīng)的復(fù)