平面向量的數(shù)量積教學講義

平面向量的數(shù)量積教學講義11知識梳理⑥雙基自測ZHISHISHULISWUANGJIZlCE11知識梳理⑥雙基自測ZHISHISHULISWUANGJIZlCEZHISHISHULI知識梳理 ).向量的夾角兩個非零向量a與b，過。點作(OA=a,(OB=b,則NAOB叫做向量a與b的夾角；范圍是[0,n].a與b的夾角為n時，則a與b垂直，記作a±b..平面向量的數(shù)量積⑴定義：已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為仇則數(shù)量|a||b|cos6叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a-b，即a-b=|a||b|cos6，規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為0,即0a=0.(2)幾何意義：數(shù)量積a-b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos6的乘積..平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標表示(1)設向量a=(x1,%),b=(x2,%),6為向量a,b的夾角.①數(shù)量積：a-b=|a||b|cos6=x1x2+yp2.②模：|a|=%；a-a=■.Jxj土庫.③設A(x1,y1),B(x2，y2),則A,B兩點間的距離|AB|=|AB|=\.'(x]x)+依一y2)2.a-b x,x,+yy④夾角：c0s6=麗=訴飛正.⑤已知兩非零向量a與b,a±b臺a?b=0臺xIx2+y1y2=0；a〃b臺a?b=±|a||b|.(或|a|=|a|-|b|).⑥Qb|<|a||b|(當且僅當a〃b時等號成立)臺|x1x2+y1y2|Wx/x2+y2?\jx2+y2.(2)平面向量數(shù)量積的運算律①a?b=b?a(交換律).②丸a?b=丸(a?b)=a?(Xb)(結合律).③(a+b)?c=a?c+b?c(分配律).ZHONGYAOJIELUN重要結論).兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)..?.0?a=0而0a=0..數(shù)量積不滿足結合律(a世Wa?(b)c

.a臚的 不能省略.a-a=a2=\a\i..兩向量a與b的夾角為銳角臺〃或且〃與。不共線；兩向量a與b的夾角為鈍角臺a物，且a與。不共線.當〃、。為非零向量時a、。同向臺a務回|臼；a、。反向臺a辦一1all瓦.a在。方向上的投影=|0-cose=3p'SHUANGJIZICE雙基自測)(2018?遼寧鞍山一中模擬)向量a=(2,-1),b=(—1,2),則(2a+b)-a=(A)A.6 B.51 D.-6［解析］由題意知2a+b=(3,0),「.(2a+b)?a=(3,0)。，-1)=6,故選A.n2n2.(教材改編)已知向量a與b的夾角為n|a|=尬，則a在b方向上的投影為(C)<3c.*-..,23<3c.*-..,23D.-V乙［解析］:a在b方向上的投影為|a|-cosa,b 二飛12cos齊一.選C.J乙3.(2016?3.(2016?全國卷III)已知向量BA=(2,g),BC=(乎，1w,2),則NABC=(A)A.30°C.A.30°C.60°［解析］cosNABC二BA?BC二至|ba\\bC\2，所以NABC=30°.故選A.B.45°120°.(教材改編)已知向量a=(1,2),b=(3,4),若a+kb與a—kb互相垂直，則實數(shù)k=(D)［解析］由已知a=(1,2),b=(3,4)，若a+kb與a-kb互相垂直，則(a+kb)?(a-kb)=0,即a2-k2b2=0，即5-25k2-0，即k2=^,所以k=金^故選D..(2017?全國卷I)已知向量a,b的夾角為60°,|a|=2,|b|=1,則|a+2b|=2<3.［解析］由題意知|a+2b|=(a+2b)2

=\/22+4X2X1Xcos60°+4=2G.(教材改編)在圓O中，長度為\/2的弦AB不經(jīng)過圓心，則AO-AB的值為1.［解析］設向量AO，AB的夾角為8，則AO?AB=|AO||ABpcos"|AO|cos田AB|二；|AB|-|AB1=2義陋)2=1.考點1考點1平面向量數(shù)量積的運算——師生共研計例1(1)(2014?重慶)已知向量a與b的夾角為60°,且a=(—2,—6),|b|=＞，麗，則aDb=10.(2)(2015?廣東)在平面直角坐標系xOy中，已知四邊形ABCD是平行四邊形，AB=(1,—2),AD=(2,1),則AD?AC=(A)A.5 B.4C.3 D.2(3)已知點A,B,C滿足|AB|=3,|BC|=4,|CA|=5,則AB?bC+bC?CA+CA?AB的值是一25.［分析］(1)利用數(shù)量積的定義求解；(2)利用數(shù)量積的坐標公式求解；(3)由已知可得△ABC為Rt△，因此可用多種方法解決.［解析］(1):a=(-2,-6),?.|a|二.、卜2)2+(-6)2=2飛而??a\b=2-...'10X...1'TOcos60°=10.(2)在口ABCD中，:AB=(1,-2),AD=(2,1),?.AC=AB+AD=(3,-1)二(2,1)-(3,-1)=5.故選A._ _n 3 -(3)解法一：如圖，根據(jù)題意可得^ABC為直角二角形，且B=2,cosA=-,cosC=4=5，

??AB-BC+BC?CA+CA?AB二BC?CA+CA?AB=4X5cos(n-C)+5X3cos(n-A)=-20cosC-15cosA=-20X4-15x|=-25.解法二：如圖，建立平面直角坐標系，則A(3,0),B(0,0),C(0,4).?.B=(-3,0),BC=(0,4),CA=(3,-4).AB?B=-3X0+0X4=0,B?CA=0X3+4X(-4)=-16,CA?AB=3X(-3)+(-4)X0=-9.??AB?bC+BC?CA+CA?AB=-25.解法三：CA在C上的投影為數(shù)量CB,CA與AB上的投影為數(shù)量BA，因此BC?cA=-BC2=CA?AB=-AB2=-9,AB?BC=0.??AB?bC+BC?cA+CA?AB=-25.解法四：屈?BC+BC?CA+CA?AB=0+CA?(BC+沖)=CA?AC=-AC2=-25.解法五：:AB+BC+CA=0,將其兩邊平方可得B2+B2+CA2+2(B?B+AB?CA+B?CA)=0,故B?B+B?CA+BC?CA=-1(B2+B2+CA2)=-25.名師點撥爭向量數(shù)量積的四種計算方法⑴當已知向量的模和夾角e時，可利用定義法求解，即初。二|?||b|cos夕

(2)當已知向量的坐標時，可利用坐標法求解，即若a=(x1,y1),b=(x2,72)，則加b=x1x2+y1y2.(3)轉化法：當模和夾角都沒給出時，即用已知?；驃A角的向量作基底來表示要求數(shù)量積的向量求解．(4)坐標法：結合圖形特征適當建立坐標系，求出向量的坐標，進而求其數(shù)量積(如本例(3))．〔變式訓練1〕(1)(2018?課標全國II,4)已知向量a,b滿足|a|=1,a?b=-1,則a?(2a-b)=(B)TOC\o"1-5"\h\zA．4 B．3C．2 D．0(2)(2015?山東高考)已知菱形ABCD的邊長為a，/ABC=60°,則BD?CD=(D)A3 3A.12a2 B.—4a2八3 3C.4a2 D.2a2(3)(文)(2018?湖南五市十校教改共同體聯(lián)考)在平行四邊形ABCD中，AB=3,AD=4,則AC?DB=—7.(理)在菱形ABCD中，對角線AC=4,E為CD的中點，則AE?AC=(C)A.8 B.10C.12 D.14［解析］(1)本題考查數(shù)量積的定義和運算。(2a-b尸2|a|2-。力=2X12-(-1)=3.故選B.(2)解法一：如圖(2)解法一：如圖BD=BC+CD，又NABC=60°，??.NBCD=120°，從而可知BC與CD夾角為60°，又BC=CD二a「.BD?CD=(BC+CD)?CD=BC?CD+|CD|2二a?acos60°+a2=2a2故選D.?a?J23-|a2.故選D.解法二：由菱形ABCD的邊長為a，NABC=60°得NBCD=120°，NABD=30°，在^BCD中，由余弦定理得BD二承a，所以BD?CD=?a?J23-|a2.故選D.解法三：如圖建立平面直角坐標系，則C(。,0),A(a,容),B(0,0)，222a),又CD=B-(a,ga)「.BD-CD=(學，空)?(2,季尸苧+竽二竽，故選D.(3)(文)在平行四邊形ABCD中，AB-3,AD-4,AC-AB+AD,DB-AB-AD,則AC?DB-(B+AD)?(誦-AD)-AB2-B2-9-16--7.(理)解法一：轉化法：注意到菱形的對角線AC±BD.故用AC、BD表示花，由題意知成-AC+CE-AC+1CD-B+4(BD-B)-4BC+4BD??.AE?AC-(4AC+4BD)?AC-4|成|2+4BD?Ac-4|AC|2-12，故選C.解法二：坐標化：如圖建立平面直角坐標系，則A(-2,0)，C(2,0)，不妨設D(0,2a)，則E(1,??.AE-(3，a)，AC-(4,0)???AE?AC-(3，a)(4,0)-12，故選C.考點2向量的模、夾角——多維探究角度1向量的模2例2(1)(2018?四川綿陽一診)已知向量a=(x—1,2),b=(x,1),若a〃b，則|a+b|=(D)A.--.；2 B.2C.2\-'2 D.30(2)(2018?四川雙流中學月考)若平面向量a、b的夾角為60°,且a=(1,—\”)，|b|=3,則|2a一，|的值為(C)A.13 B.4C.\［13 D.1(3)(2018?云南昆明一中模擬)已知向量a=(2J),a多=10,|〃+臼=5啦,則|〃=￡.［分析］(1)由a〃。求出x,從而求a+A的坐標，進而求|a+〃；(2)求出同，再由|2a—。|=寸(2〃-〃)2求解;(3)由(僅+力)2=50求解.［解析］(l),.a=(x-1,2),b=(x,l)fia//b,■'-x-1=2x,.'.x=-1,.'a=(-2,2),b-{-1,1),；a+b-(-3,3),+b\=4-3)2+32=30.故選D.(2):”(1,-小)，.?.|a|=2..ab|?||A|cos60°=3,HX］a-b\=4(2a-b)2-yj4a2-4ab+岳-.故選C.(3),.'?=(2,1),.,.|?|=>75,又+〃=5y［2,.".\a\2+2ah\b\2=50,.a010,.*.5+20+\b\2=50,=5.名師點撥至平面向量的模的解題方法⑴若向量a是以坐標(％，V)形式出現(xiàn)的，求向量a的模可直接利用同=yjxi+yi.(2)若向量a,b是非坐標形式出現(xiàn)的，求向量a的?？蓱霉酵?二&=a截口±如=(?！?。)2二即±2優(yōu)3b2冼求向量模的平方，再通過向量數(shù)量積的運算求解.即“模的問題平方求解角度2向量的夾角例3(1)(2018?河北武邑中學調(diào)研)已知向量a=(2,l),A=(l,3),則向量2a—A與a的夾角為(A)A.135° B.60°C.45° D.30°(2)(2018?廣西梧州、柳州摸底)設平面向量mA滿足同=1,回=2,|a—2〃=仃.則向量用。的夾角的余弦值為(B)111 B.1C.一行 D.—［分析］利用夾角公式求解.［解析］(1)-.*?=(2,1),^=(1,3),，同二^22+1=^［5,2a-b=(3,-1),從而12a-b\=432+(-1)2-^/TO,且(2僅-b)a=(3,-1)(2,1)=5,記2a-。與優(yōu)的夾角為0,mil。Qa-b)a_ 5_也貝I」cos。= 二-^= 至二爺|2?-b\-\a\410X452又OWeWjr,：.Q-今,故選A.(2),.-|?-2b\=-^15,.,.|?|2-4ab41Al2=15,又同=1,回=2, ,乙記a、b的夾角為3,.'.cos0= ，故選B.\a\-\b\4［弓I申］本例⑵中〃在"+A方向上的投影為坐［解析］a/?'?1?+b\=yj\a\2+2ab\b\2=-^6.A1+lTOC\o"1-5"\h\z十，七石八M不。(。+辦)_同2+"2 2_&..q在?！ǚ较蛏系耐队盀? ―F-\a+b\\a+b\? 4名師點撥至求兩向量夾角的方法及注意事項(1)一般是利用夾角公式：cose⑵注意：數(shù)量積大于o說明不共線的兩向量的夾角為銳角，數(shù)量積等于。說明兩向量的夾角為直角，數(shù)量積小于o且兩向量不共線時兩向量的夾角為鈍角.

(3)a在b方向上的投影二|a|cos。=需；b在a方向上的投影二1b1cos。二代.”\b\ \a\角度3平面向量的垂直沖例4(1)(2018?廣東茂名五校聯(lián)盟聯(lián)考)已知向量a=(6,—2),b=(1,⑼，且a-Lb，則|a—2b|=4%,5.(2)(文)(2017?重慶)已知非零向量a,b滿足|b|=4|a|,且aL(2a+b)，則a與b的夾角為(C)D.D.5n

6(理(理)(2018?河南洛陽期中)向量a,b均為非零向量，為(A)(a—2b)La，(b—2a)Lb，則a，b的夾角an3Can3C型\^.D.5n

6［分析］(1)由aLb臺a*0求出m，從而可得a—2b的坐標，進而可求|a—2b|；(2)(文)由條件用|a|表示a,b用向量夾角公式求解；(理)由條件用a表示|a|、|b|,用夾角公式求解.[解析](1);a=(6,-2),b=(1,m),且aLb,「.a=6-2m=0,「.m=3,??a-2b=(4,-8),「.|a-2b|=.“2+(-8)2=4-..,15.(2)(文);a±(2a+b),「o(2a+b)=2|a|2+ab0,」.ab-2|a|2,記a、b的夾角為0，又|b|=4|a|ab-21a|2 1r；cbcu.cos0= = =-5,又0W0Wn,|a||b| |a|?4|a| 20=2n，故選C.(理)由題意可知(a-2b)?a=|a|2-2ab0,(b-2a)?b=|b|2-2ab0,即|a|2=2a b|b、記a、b的夾角為0，則cos0=-^=1,又0e[0,n],|a||b|20=^，故選A.

名師點撥爭平面向量垂直問題的解題思路解決向量垂直問題一般利用向量垂直的充要條件?b0求解.名師點撥爭平面向量垂直問題的解題思路解決向量垂直問題一般利用向量垂直的充要條件?b0求解.〔變式訓練2〕(1)(角度1)(2018?山西康杰中學五校期中)已知向量120°,則|a—2b|=(B)a、b滿足|b|=2|a|=2,a與b的夾角為A.?.川C.13B.D.21(2)(角度2)(2017?江西七校聯(lián)考)已知向量a=(1,\,13),b=(3,m),且b在a上的投影為一3,則向量a與b的夾角為年.(3)(角度2)(2018(3)(角度2)(2018?湖北黃岡質(zhì)檢)若向量a,b的夾角為^，且|a|=2,|b|=1則向量a+2b與向量a的夾角為(A)C2n向量a的夾角為(A)C2nC，35nD，石(4)(角度3)(2018?北京，9)設向量a=(1,0)b=(—1,m).若a±(ma-b),［解析］(1)|a|二1，|b|-2，ab-1,」|a-2b|=\；(a-2b)2=\：'|a|2-4a+4|b|2=飛5.故選B.ab3+■■■,'3m(2)由題意可知0-b-3，.=-~2~---3.\a\」m--3-Q」m--3-Q，」|b|=\：'32+(3-...13)2-6，記a與b的夾角為0，則cos0_a二二二\a\\b\ |b|0W0Wn，.」0二號.n(3)v|a|-2,|b|-1,a的夾角為］，?ab1，」.(a+2b)-a-|a|2+2ab6又|a+2b|=\(a+2b)2=--j'a2+4a+4b2=2、.j3記a+2b與a的夾角為0，則c0s”?邛，又0W0w…管，故選a?(4)本題主要考查平面向量數(shù)量積的坐標運算.丁a-(1,0)，b=(-1，m)，.」a2=1，a?b--1，由a±(ma-b)得a?(ma-b)=0，即ma2-a?b=0,即m-(-1)=0,「.m=-1.名師講壇?素養(yǎng)提升名師講壇?素養(yǎng)提升INGSHIJIANGTAMSUYANGTHSHENG函數(shù)思想與數(shù)形結合思想在數(shù)量積中的應用n例5設e1,e2為單位向量，非零向量b=xe1+ye2,x,y￡R.若e1,e2的夾角為6,x則x的最大值等于2.［解析］因為bW0,b=xe1+ye2，所以xW0或yW0.當x=