新高考數(shù)學二輪復習講練專題06 函數(shù)與導數(shù)常見經(jīng)典壓軸小題歸類（26大核心考點）（講義）（解析版）

專題06函數(shù)與導數(shù)常見經(jīng)典壓軸小題歸類【目錄】 2 3 3 6 12考點一：函數(shù)零點問題之分段分析法模型 12考點二：函數(shù)嵌套問題 14考點三：函數(shù)整數(shù)解問題 17考點四：唯一零點求值問題 20考點五：等高線問題 22考點六：分段函數(shù)零點問題 25考點七：函數(shù)對稱問題 29考點八：零點嵌套問題 31考點九：函數(shù)零點問題之三變量問題 34考點十：倍值函數(shù) 36考點十一：函數(shù)不動點問題 38考點十二：函數(shù)的旋轉(zhuǎn)問題 40考點十三：構(gòu)造函數(shù)解不等式 42考點十四：導數(shù)中的距離問題 45考點十五：導數(shù)的同構(gòu)思想 49考點十六：不等式恒成立之分離參數(shù)、分離函數(shù)、放縮法 51考點十七：三次函數(shù)問題 54考點十八：切線條數(shù)、公切線、切線重合與垂直問題 56考點十九：任意存在性問題 62考點二十：雙參數(shù)最值問題 65考點二十一：切線斜率與割線斜率 67考點二十二：最大值的最小值問題（平口單峰函數(shù)、鉛錘距離） 69考點二十三：兩邊夾問題和零點相同問題 72考點二十四：函數(shù)的伸縮變換問題 74考點二十五：V型函數(shù)和平底函數(shù) 76考點二十六：曼哈頓距離與折線距離 78有關(guān)函數(shù)與導數(shù)常見經(jīng)典壓軸小題的高考試題，考查重點是零點、不等式、恒成立等問題，通常與函數(shù)性質(zhì)、解析式、圖像等均相關(guān)，需要考生具有邏輯推理、直觀想象和數(shù)學運算核心素養(yǎng).同時，對于實際問題，需要考生具有數(shù)據(jù)分析、數(shù)學建模核心素養(yǎng).考點要求考題統(tǒng)計考情分析零點2023年II卷第11題，5分2022年I卷第10題，5分2021年I卷第7題，5分【命題預測】預測2024年高考，多以小題形式出現(xiàn)，也有可能會將其滲透在解答題的表達之中，相對獨立．具體估計為：（1）導數(shù)的計算和幾何意義是高考命題的熱點，多以選擇題、填空題形式考查，難度較?。?）應(yīng)用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值多在選擇題、填空題靠后的位置考查，難度中等偏上，屬綜合性問題．不等式2021年II卷第16題，5分三次函數(shù)2022年I卷第10題，5分2021年乙卷第12題，5分1、求分段函數(shù)的函數(shù)值，要先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間，然后代入該段的解析式求值，當出現(xiàn)的形式時，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值；當給出函數(shù)值求自變量的值時，先假設(shè)所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，然后求出相應(yīng)自變量的值，切記要代入檢驗，看所求的自變量的值是否滿足相應(yīng)段自變量的取值范圍．2、含有抽象函數(shù)的分段函數(shù)，在處理時首先要明確目標，即讓自變量向有具體解析式的部分靠攏，其次要理解抽象函數(shù)的含義和作用（或者對函數(shù)圖象的影響）．3、含分段函數(shù)的不等式在處理上通常有兩種方法：一種是利用代數(shù)手段，通過對進行分類討論將不等式轉(zhuǎn)變?yōu)榫唧w的不等式求解；另一種是通過作出分段函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合，利用圖象的特點解不等式．4、分段函數(shù)零點的求解與判斷方法：（1）直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)造關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成球函數(shù)值域的問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先將解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解．5、動態(tài)二次函數(shù)中靜態(tài)的值：解決這類問題主要考慮二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)及式子變形，注意二次函數(shù)的系數(shù)、圖象的開口、對稱軸是否存在不變的性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象是否過定點，從而簡化解題．6、動態(tài)二次函數(shù)零點個數(shù)和分布問題：通常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)二次函數(shù)的圖象與軸交點的個數(shù)問題，結(jié)合二次函數(shù)的圖象，通過對稱軸，根的判別式，相應(yīng)區(qū)間端點函數(shù)值等來考慮．7、求二次函數(shù)最值問題，應(yīng)結(jié)合二次函數(shù)的圖象求解，有三種常見類型：（1）對稱軸變動，區(qū)間固定；（2）對稱軸固定，區(qū)間變動；（3）對稱軸變動，區(qū)間也變動．這時要討論對稱軸何時在區(qū)間之內(nèi)，何時在區(qū)間之外．討論的目的是確定對稱軸和區(qū)間的關(guān)系，明確函數(shù)的單調(diào)情況，從而確定函數(shù)的最值．8、由于三次函數(shù)的導函數(shù)為我們最熟悉的二次函數(shù)，所以基本的研究思路是：借助導函數(shù)的圖象來研究原函數(shù)的圖象．如借助導函數(shù)的正負研究原函數(shù)的單調(diào)性；借助導函數(shù)的（變號）零點研究原函數(shù)的極值點（最值點）；綜合借助導函數(shù)的圖象畫出原函數(shù)的圖象并研究原函數(shù)的零點…具體來說，對于三次函數(shù)，其導函數(shù)為，根的判別式．判別式圖象單調(diào)性增區(qū)間：，；減區(qū)間：增區(qū)間：增區(qū)間：圖象（1）當時，恒成立，三次函數(shù)在上為增函數(shù)，沒有極值點，有且只有一個零點；（2）當時，有兩根，，不妨設(shè)，則，可得三次函數(shù)在，上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，則，分別為三次函數(shù)的兩個不相等的極值點，那么：①若，則有且只有個零點；②若，則有個零點；③若，則有個零點．特別地，若三次函數(shù)存在極值點，且，則地解析式為．同理，對于三次函數(shù)，其性質(zhì)也可類比得到．9、由于三次函數(shù)的導函數(shù)為二次函數(shù)，其圖象變化規(guī)律具有對稱性，所以三次函數(shù)圖象也應(yīng)當具有對稱性，其圖象對稱中心應(yīng)當為點，此結(jié)論可以由對稱性的定義加以證明．事實上，該圖象對稱中心的橫坐標正是三次函數(shù)導函數(shù)的極值點．10、對于三次函數(shù)圖象的切線問題，和一般函數(shù)的研究方法相同．導數(shù)的幾何意義就是求圖象在該店處切線的斜率，利用導數(shù)研究函數(shù)的切線問題，要區(qū)分“在”與“過”的不同，如果是過某一點，一定要設(shè)切點坐標，然后根據(jù)具體的條件得到方程，然后解出參數(shù)即可．11、恒成立（或存在性）問題常常運用分離參數(shù)法，轉(zhuǎn)化為求具體函數(shù)的最值問題．12、如果無法分離參數(shù)，可以考慮對參數(shù)或自變量進行分類討論，利用函數(shù)性質(zhì)求解，常見的是利用函數(shù)單調(diào)性求解函數(shù)的最大、最小值．13、當不能用分離參數(shù)法或借助于分類討論解決問題時，還可以考慮利用函數(shù)圖象來求解，即利用數(shù)形結(jié)合思想解決恒成立（或存在性）問題，此時應(yīng)先構(gòu)造函數(shù)，作出符合已知條件的圖形，再考慮在給定區(qū)間上函數(shù)圖象之間的關(guān)系，得出答案或列出條件，求出參數(shù)的范圍．14、兩類零點問題的不同處理方法利用零點存在性定理的條件為函數(shù)圖象在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且．．①直接法：判斷-一個零點時，若函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，則只需取值證明．②分類討論法：判斷幾個零點時，需要先結(jié)合單調(diào)性，確定分類討論的標準，再利用零點存在性定理，在每個單調(diào)區(qū)間內(nèi)取值證明．15、利用導數(shù)研究方程根（函數(shù)零點）的技巧（1）研究方程根的情況，可以通過導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值、變化趨勢等．（2）根據(jù)題目要求，畫出函數(shù)圖象的走勢規(guī)律，標明函數(shù)極（最）值的位置．（3）利用數(shù)形結(jié)合的思想去分析問題，可以使問題的求解有一個清晰、直觀的整體展現(xiàn)．16、已知函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)的常用方法（1）分離參數(shù)法：首先分離出參數(shù)，然后利用求導的方法求出構(gòu)造的新函數(shù)的最值，根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍．（2）分類討論法：結(jié)合單調(diào)性，先確定參數(shù)分類的標準，在每個小范圍內(nèi)研究零點的個數(shù)是否符合題意，將滿足題意的參數(shù)的各小范圍并在一起，即為所求參數(shù)范圍．1．（2021?新高考Ⅰ）若過點可以作曲線的兩條切線，則A． B． C． D．【答案】【解析】法一：函數(shù)是增函數(shù)，恒成立，函數(shù)的圖象如圖，，即切點坐標在軸上方，如果在軸下方，連線的斜率小于0，不成立．點在軸或下方時，只有一條切線．如果在曲線上，只有一條切線；在曲線上側(cè)，沒有切線；由圖象可知在圖象的下方，并且在軸上方時，有兩條切線，可知．故選：．法二：設(shè)過點的切線橫坐標為，則切線方程為，可得，設(shè)，可得，，，是增函數(shù)，，，是減函數(shù)，因此當且僅當時，上述關(guān)于的方程有兩個實數(shù)解，對應(yīng)兩條切線．故選：．2．（2021?乙卷）設(shè)，若為函數(shù)的極大值點，則A． B． C． D．【答案】【解析】令，解得或，即及是的兩個零點，當時，由三次函數(shù)的性質(zhì)可知，要使是的極大值點，則函數(shù)的大致圖象如下圖所示，則；當時，由三次函數(shù)的性質(zhì)可知，要使是的極大值點，則函數(shù)的大致圖象如下圖所示，則；綜上，．故選：．3．（多選題）（2023?新高考Ⅱ）若函數(shù)既有極大值也有極小值，則A． B． C． D．【答案】【解析】函數(shù)定義域為，且，由題意，方程即有兩個正根，設(shè)為，，則有，，△，，，，即．故選：．4．（多選題）（2022?新高考Ⅰ）已知函數(shù)，則A．有兩個極值點 B．有三個零點 C．點是曲線的對稱中心 D．直線是曲線的切線【答案】【解析】，令，解得或，令，解得，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，有兩個極值點，有且僅有一個零點，故選項正確，選項錯誤；又，則關(guān)于點對稱，故選項正確；假設(shè)是曲線的切線，設(shè)切點為，則，解得或，顯然和均不在曲線上，故選項錯誤．故選：．5．（2022?新高考Ⅰ）若曲線有兩條過坐標原點的切線，則的取值范圍是，，．【答案】，，．【解析】，設(shè)切點坐標為，，切線的斜率，切線方程為，又切線過原點，，整理得：，切線存在兩條，方程有兩個不等實根，△，解得或，即的取值范圍是，，，故答案為：，，．6．（2021?新高考Ⅱ）已知函數(shù)，，，函數(shù)的圖象在點，和點，的兩條切線互相垂直，且分別交軸于，兩點，則的取值范圍是．【答案】【解析】當時，，導數(shù)為，可得在點，處的斜率為，切線的方程為，令，可得，即，當時，，導數(shù)為，可得在點，處的斜率為，令，可得，即，由的圖象在，處的切線相互垂直，可得，即為，，，所以．故答案為：．7．（2023?乙卷）設(shè)，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是．【答案】的取值范圍是，．【解析】函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上恒成立，即，化簡可得在上恒成立，而在上，故有，由，化簡可得，即，，解答，故的取值范圍是，．故答案為：，．8．（2022?乙卷）已知和分別是函數(shù)且的極小值點和極大值點．若，則的取值范圍是．【答案】．【解析】對原函數(shù)求導，分析可知：在定義域內(nèi)至少有兩個變號零點，對其再求導可得：，當時，易知在上單調(diào)遞增，此時若存在使得，則在單調(diào)遞減，，單調(diào)遞增，此時若函數(shù)在和分別取極小值點和極大值點，應(yīng)滿足，不滿足題意；當時，易知在上單調(diào)遞減，此時若存在使得，則在單調(diào)遞增，，單調(diào)遞減，且，此時若函數(shù)在和分別取極小值點和極大值點，且，故僅需滿足，即：，解得：，又因為，故綜上所述：的取值范圍是．9．（2022?新高考Ⅱ）曲線過坐標原點的兩條切線的方程為，．【答案】，．【解析】當時，，設(shè)切點坐標為，，，切線的斜率，切線方程為，又切線過原點，，，切線方程為，即，當時，，與的圖像關(guān)于軸對稱，切線方程也關(guān)于軸對稱，切線方程為，綜上所述，曲線經(jīng)過坐標原點的兩條切線方程分別為，，故答案為：，．10．（2022?上海）已知函數(shù)為定義域為的奇函數(shù)，其圖像關(guān)于對稱，且當，時，，若將方程的正實數(shù)根從小到大依次記為，，，，，則．【答案】2．【解析】函數(shù)為定義域為的奇函數(shù)，其圖像關(guān)于對稱，且當，時，，是周期為4的周期函數(shù)，圖像如圖：將方程的正實數(shù)根從小到大依次記為，，，，，則的幾何意義是兩條漸近線之間的距離2，．故答案為：2．考點一：函數(shù)零點問題之分段分析法模型例1．（2023·浙江寧波·高三統(tǒng)考期末）若函數(shù)至少存在一個零點，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為函數(shù)至少存在一個零點所以有解即有解令，則因為，且由圖象可知，所以所以在上單調(diào)遞減，令得當時，單調(diào)遞增當時，單調(diào)遞減所以且當時所以的取值范圍為函數(shù)的值域，即故選：A例2．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）至少存在一個零點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】令，即令，則函數(shù)與函數(shù)的圖象至少有一個交點易知，函數(shù)表示開口向上，對稱軸為的二次函數(shù)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，作出函數(shù)與函數(shù)的草圖，如下圖所示由圖可知，要使得函數(shù)與函數(shù)的圖象至少有一個交點只需，即解得：故選：B例3．（2023·全國·高三校聯(lián)考專題練習）已知函數(shù)的圖象上存在三個不同點，且這三個點關(guān)于原點的對稱點在函數(shù)的圖象上，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】令，則由題意可得函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有三個交點，即方程有三個不同的實數(shù)根．由可得，即，令，則直線與函數(shù)的圖象有三個交點，易得，當或時，當時，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)的極小值為，極大值為．又，，所以當時，直線與函數(shù)的圖象有三個交點，故實數(shù)的取值范圍為．故選B．考點二：函數(shù)嵌套問題例4．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，設(shè)關(guān)于的方程有個不同的實數(shù)解，則的所有可能的值為A． B．或 C．或 D．或或【答案】A【解析】在和上單增，上單減，又當時，時，故的圖象大致為：令，則方程必有兩個根，且，不仿設(shè)，當時，恰有，此時，有個根，，有個根，當時必有，此時無根，有個根，當時必有，此時有個根，，有個根，綜上，對任意，方程均有個根，故選A.例5．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，設(shè)關(guān)于的方程有個不同的實數(shù)解，則的所有可能的值為（

）A．3 B．4 C．2或3或4或5 D．2或3或4或5或6【答案】A【解析】根據(jù)題意作出函數(shù)的圖象：，當，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，函數(shù)單調(diào)遞減，所以；函數(shù)，時單調(diào)遞減，所以，對于方程，令，則，所以，即方程必有兩個不同的實數(shù)根，且，當時，，3個交點；當時，，也是3個交點；故選：A．例6．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，設(shè)關(guān)于的方程有個不同的實數(shù)解，則的所有可能的值為（

）A．3 B．1或3 C．4或6 D．3或4或6【答案】B【解析】由已知，，令，解得或，則函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，極大值，最小值.f(x)的圖象如下：綜上可考查方程的根的情況如下：（1）當或時，有唯一實根；（2）當時，有三個實根；（3）當或時，有兩個實根；（4）當時，無實根.令，則由，得，當時，由，符號情況（1），此時原方程有1個根，由，而，符號情況（3），此時原方程有2個根，綜上得共有3個根；當時，由，又，符號情況（1）或（2），此時原方程有1個或三個根，由，又，符號情況（3），此時原方程有兩個根，綜上得共1個或3個根.綜上所述，的值為1或3.故選B.考點三：函數(shù)整數(shù)解問題例7．（2023·福建龍巖·高三上杭一中校考階段練習）若函數(shù)沒有零點，則整數(shù)的最大值是（

）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】C【解析】函數(shù)定義域為，函數(shù)沒有零點可轉(zhuǎn)化為方程沒有實根，設(shè)，則令，即①，又函數(shù)，，所以恒成立，所以在單調(diào)遞增，所以方程①即，即，有唯一的實數(shù)解且函數(shù)在上，單調(diào)遞減，在上，單調(diào)遞增，所以有最小值,又時，，所以方程沒有實根，可得則整數(shù)的最大值是1.故選：C.例8．（2023·福建泉州·高三泉州五中?？迹╆P(guān)于的不等式的解集中有且僅有兩個大于2的整數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】依題意，關(guān)于的不等式的解集中有且僅有兩個大于2的整數(shù)，即的解集中有且僅有兩個大于2的整數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，即的解集中有且僅有兩個大于2的整數(shù)，當時，對于，，即的解集中有無數(shù)個大于的整數(shù)，不符合題意.所以..若，即，設(shè)，，設(shè)，，在上遞減，且，所以當時，，遞減，由于，所以當時，，所以當時，遞減，所以，所以當時，恒成立，即的解集中有無數(shù)個大于的整數(shù)，不符合題意.所以，即，解得，所以的取值范圍是.故選：D例9．（2023·全國·高三專題練習）已知關(guān)于的不等式有且僅有兩個正整數(shù)解（其中為自然對數(shù)的底數(shù)），則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】當時，由，可得（），顯然當時，不等式在恒成立，不合題意；當時，令，則在上單調(diào)遞增，令，則，故上，上，∴在上遞增，在上遞減，又且趨向正無窮時趨向0，故，綜上，圖象如下：由圖知：要使有兩個正整數(shù)解，則，即，解得．故選：D考點四：唯一零點求值問題例10．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)有唯一零點，則負實數(shù)A． B． C． D．或【答案】A【解析】函數(shù)有唯一零點，設(shè)則函數(shù)有唯一零點，則設(shè)∴為偶函數(shù)，∵函數(shù)有唯一零點，∴與有唯一的交點，∴此交點的橫坐標為0，解得或（舍去），故選A．例11．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且，若函數(shù)有唯一零點，則正實數(shù)的值為（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【解析】由題設(shè)，，可得：，由，易知：關(guān)于對稱.當時，，則，所以單調(diào)遞增，故時單調(diào)遞減，且當趨向于正負無窮大時都趨向于正無窮大，所以僅有一個極小值點1，則要使函數(shù)只有一個零點，即，解得.故選：C例12．（2023春·遼寧·高三校聯(lián)考期末）已知函數(shù)，分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且，若函數(shù)有唯一零點，則實數(shù)的值為（

）A．或 B．1或 C．或 D．或1【答案】C【解析】由題意，函數(shù)，分別是奇函數(shù)和偶函數(shù)，且，可得，解得，則，所以為偶函數(shù)，又由函數(shù)關(guān)于直線對稱，且函數(shù)有唯一零點，可得，即，即，解得或.故選：C.例13．（2023春·福建泉州·高三福建省德化第一中學校考開學考試）已知函數(shù)有唯一零點，則（

）A． B． C． D．1【答案】B【解析】因為函數(shù)，令，則為偶函數(shù)，因為函數(shù)有唯一零點，所以有唯一零點，根據(jù)偶函數(shù)的對稱性，則，解得，故選：B考點五：等高線問題例14．（2023·全國·高三專題練習）已知定義域為的函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，當時，，若方程有四個不等實根，，，時，都有成立，則實數(shù)的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】作出函數(shù)的圖象，如圖，作直線，它與圖象的四個交點的橫坐標依次為，，，，因為函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，所以，，即，且，顯然，不等式變形為，，，所以，由勾形函數(shù)性質(zhì)知在時是增函數(shù)，所以，令，則，，，當時，，單調(diào)遞減，所以，所以，即的最小值是．故選：A．例15．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)（其中是自然對數(shù)的底數(shù)），若關(guān)于的方程恰有三個不等實根，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意設(shè)，根據(jù)方程恰有三個不等實根，即必有兩個不相等的實根，不妨設(shè)，則，作出的圖象，函數(shù)與三個不等實根，且，那么，可得，，所以，構(gòu)造新函數(shù)當時，在單調(diào)遞減；當時，在單調(diào)遞增；∴當時，取得最小值為，即的最小值為；故選：A例16．（2023·吉林長春·東北師大附中?？寄M預測）已知函數(shù)，（其中e是自然對數(shù)的底數(shù)），若關(guān)于x的方程恰有三個不同的零點，且，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由解析式，在上單調(diào)遞增且值域為，在上單調(diào)遞增且值域為，函數(shù)圖象如下：所以，的值域在上任意函數(shù)值都有兩個x值與之對應(yīng)，值域在上任意函數(shù)值都有一個x值與之對應(yīng)，要使恰有三個不同的零點，則與的交點橫坐標一個在上，另一個在上，由開口向下且對稱軸為，由上圖知：，此時且，，結(jié)合圖象及有，，則，所以，且，令且，則，當時，遞增；當時，遞減；所以，故最大值為.故選：A考點六：分段函數(shù)零點問題例17．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，若函數(shù)在內(nèi)恰有5個零點，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】當時，對任意的，在上至多個零點，不合乎題意，所以，.函數(shù)的對稱軸為直線，.所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且.①當時，即當時，則函數(shù)在上無零點，所以，函數(shù)在上有個零點，當時，，則，由題意可得，解得，此時不存在；②當時，即當時，函數(shù)在上只有一個零點，當時，，則，則函數(shù)在上只有個零點，此時，函數(shù)在上的零點個數(shù)為，不合乎題意；③當時，即當時，函數(shù)在上有個零點，則函數(shù)在上有個零點，則，解得，此時；④當時，即當時，函數(shù)在上有個零點，則函數(shù)在上有個零點，則，解得，此時，.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.故選：D.例18．（2023·全國·高三專題練習）已知定義在上的函數(shù)若函數(shù)恰有2個零點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】，故，則函數(shù)恰有2個零點等價于有兩個不同的解，故的圖象有兩個不同的交點，設(shè)又的圖象如圖所示，由圖象可得兩個函數(shù)的圖象均過原點，若，此時兩個函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，當時，考慮直線與的圖象相切，則由可得即，考慮直線與的圖象相切，由可得，則即.考慮直線與的圖象相切，由可得即，結(jié)合圖象可得當或時，兩個函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，綜上，或或，故選：B.例19．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】令，當時，且遞增，此時，當時，且遞減，此時，當時，且遞增，此時，當時，且遞增，此時，所以，的零點等價于與交點橫坐標對應(yīng)的值，如下圖示：由圖知：與有兩個交點，橫坐標、：當，即時，在、、上各有一個解；當，即時，在有一個解.綜上，的零點共有4個.故選：B考點七：函數(shù)對稱問題例20．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)（，為自然對數(shù)的底數(shù)）與的圖象上存在關(guān)于軸對稱的點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】設(shè)上一點，，且關(guān)于軸對稱點坐標為，在上，有解，即有解．令，則，，當時，；當時，，在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增，，，有解等價于與圖象有交點，

．故選：B例21．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習）已知函數(shù)f（x）＝x2＋ex－（x<0）與g（x）＝x2＋ln（x＋a）的圖象上存在關(guān)于y軸對稱的點，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．

B．C．

D．【答案】B【解析】關(guān)于軸對稱得到的函數(shù)為，依題意可知與在上有公共點，由得，．對于函數(shù)，在上單調(diào)遞減，且．對于函數(shù)，在上單調(diào)遞增．當時，的圖像向右平移個單位得到，與圖像在上必有個交點．當時，的圖像向左平移個單位得到，要使與圖像在上有交點，則需當時（也即軸上），的函數(shù)值小于的函數(shù)值，即，解得．綜上所述，的取值范圍是．故選：B．例22．（2023·廣西欽州·高一校考階段練習）若直角坐標平面內(nèi)的兩點、滿足條件：①、都在函數(shù)的圖象上；②、關(guān)于原點對稱，則稱點對是函數(shù)的一對“友好點對”（點對與看作同一對“友好點對”）．已知函數(shù)，則此函數(shù)的“友好點對”有（

）A．4對 B．3對 C．2對 D．1對【答案】C【解析】由題意，設(shè)點，則的坐標為，因為，所以此函數(shù)的“友好點對”的個數(shù)即方程在時的解的個數(shù)，作與的圖像如圖所示，兩函數(shù)圖像有兩個交點，所以此函數(shù)的“友好點對”有2對故選：C考點八：零點嵌套問題例23．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)有三個不同的零點.其中，則的值為（

）A．1 B． C． D．【答案】A【解析】令，則，故當時，，是增函數(shù)，當時，，是減函數(shù)，可得處取得最小值，，，畫出的圖象，由可化為，故結(jié)合題意可知，有兩個不同的根，故，故或，不妨設(shè)方程的兩個根分別為，，①若，，與相矛盾，故不成立；②若，則方程的兩個根，一正一負；不妨設(shè)，結(jié)合的性質(zhì)可得，，，，故又，，．故選：A．例24．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)有三個不同的零點（其中），則的值為A． B． C． D．【答案】A【解析】令，構(gòu)造，求導得，當時，；當時，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且時，，時，，，可畫出函數(shù)的圖象（見下圖），要使函數(shù)有三個不同的零點（其中），則方程需要有兩個不同的根（其中），則，解得或，且，若，即，則，則，且，故，若，即，由于，故，故不符合題意，舍去.故選A.例25．（2023·遼寧·校聯(lián)考二模）已知函數(shù)有三個不同的零點，，，且，則的值為（

）A．81 B．﹣81 C．﹣9 D．9【答案】A【解析】∴∴令，，則，∴令，解得∴時，，單調(diào)遞減；時，，單調(diào)遞增；∴，，∴a﹣3∴.設(shè)關(guān)于t的一元二次方程有兩實根，，∴，可得或.∵，故∴舍去∴6，.又∵，當且僅當時等號成立，由于，∴，（不妨設(shè)）.∵，可得，，.則可知，.∴.故選：A.考點九：函數(shù)零點問題之三變量問題例26．（2023·遼寧沈陽·高三沈陽二中?？茧A段練習）已知函數(shù)，若函數(shù)有三個不同的零點，且，則的取值范圍為A．(0，1] B．(0，1) C．(1，+∞) D．[1，+∞)【答案】C【解析】因為函數(shù)有三個不同的零點以及，所以根據(jù)函數(shù)的解析式可知，在區(qū)間上，在區(qū)間上，在區(qū)間上，即，由可知，即，因為以及在區(qū)間上，所以，即，故選C．例27．（2023·新疆阿克蘇·高三新疆維吾爾自治區(qū)阿克蘇地區(qū)第二中學校考階段練習）若存在兩個不相等正實數(shù)x,y,使得等式x+a(y-2ex)·(lny-lnx)=0成立,其中e為自然對數(shù)的底數(shù),則實數(shù)a的取值范圍是()A． B．C． D．(-∞,0)【答案】A【解析】由題意知,a=.設(shè)=t(t>0,且t≠1),則a==(2e-t)lnt.令f(t)=(2e-t)lnt,f(t)≠0,則f'(t)=-(1+lnt).令=1+lnt,得t=e.由數(shù)形結(jié)合可知,當t>e時,f'(t)<0;當0<t<e時,f'(t)>0.所以f(t)≤e,且f(t)≠0,所以0<≤e或<0,解得a<0或a≥.例28．（2023·全國·高三專題練習）若存在兩個正實數(shù)、，使得等式成立，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（

）．A．B．C．D．【答案】B【解析】由得，設(shè)，，則，則有解，設(shè)，為增函數(shù)，，當時，遞增，當時，遞減，所以當時函數(shù)取極小值，，即，若有解，則，即，所以或，故選：B．考點十：倍值函數(shù)例29．（2023春·浙江衢州·高二校聯(lián)考期中）設(shè)函數(shù)的定義域為，若存在閉區(qū)間，使得函數(shù)滿足：①在上是單調(diào)函數(shù)；②在上的值域是，則稱區(qū)間是函數(shù)的“和諧區(qū)間”．下列結(jié)論錯誤的是（

）A．函數(shù)存在“和諧區(qū)間”B．函數(shù)不存在“和諧區(qū)間”C．函數(shù)存在“和諧區(qū)間”D．函數(shù)（且）不存在“和諧區(qū)間”【答案】D【解析】對于選項A，存在區(qū)間，在上是單調(diào)增函數(shù)，在上的值域是，故A正確；對于選項B，假設(shè)存在區(qū)間，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，由在上的值域是，可得，解得，這與矛盾，故假設(shè)錯誤，所以選項B正確；對于選項C，由函數(shù)，可得，取區(qū)間，在此區(qū)間上，所以函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)．因為，，所以函數(shù)在區(qū)間上的值域為，所以選項C正確；對于選項D，不妨設(shè)，因為內(nèi)層函數(shù)為增函數(shù)，外層函數(shù)也為增函數(shù)，所以，函數(shù)在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，假設(shè)函數(shù)存在“和諧區(qū)間”，則由得，所以、是方程的兩個根，即、是方程的兩個根．令，可得，，設(shè)關(guān)于的二次方程的兩根分別為、，則，則、，即關(guān)于的二次方程有兩個正根，故函數(shù)存在“和諧區(qū)間”，D錯.故選：D.例30．（2023·上海金山·高一上海市金山中學?？计谀┰O(shè)函數(shù)的定義域為，若存在閉區(qū)間，使得函數(shù)滿足：（1）在上是單調(diào)函數(shù)；（2）在上的值域是，則稱區(qū)間是函數(shù)的“和諧區(qū)間”，下列結(jié)論錯誤的是A．函數(shù)存在“和諧區(qū)間”B．函數(shù)不存在“和諧區(qū)間”C．函數(shù)存在“和諧區(qū)間”D．函數(shù)（，）不存在“和諧區(qū)間”【答案】D【解析】函數(shù)中存在“和諧區(qū)間”,則①在內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；②或,若,若存在“和諧區(qū)間”,則此時函數(shù)單調(diào)遞增,則由,得存在“和諧區(qū)間”正確.若,若存在“和諧區(qū)間”,則此時函數(shù)單調(diào)遞增,則由,得,即是方程的兩個不等的實根,構(gòu)建函數(shù),所以函數(shù)在上單調(diào)減,在上單調(diào)增,函數(shù)在處取得極小值，且為最小值,,無解,故函數(shù)不存在“和諧區(qū)間”,正確.若函數(shù),,若存在“和諧區(qū)間”,則由,得,即存在“和諧區(qū)間”,正確.若函數(shù),不妨設(shè),則函數(shù)定義域內(nèi)為單調(diào)增函數(shù),若存在“和諧區(qū)間”,則由,得,即是方程的兩個根,即是方程的兩個根,由于該方程有兩個不等的正根，故存在“和諧區(qū)間”,結(jié)論錯誤,故選D.考點十一：函數(shù)不動點問題例31．（2023·全國·高三專題練習）設(shè)函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)），若曲線上存在點使得，則的取值范圍是A． B． C． D．【答案】D【解析】法一：由題意可得，，而由可知，當時，＝為增函數(shù)，∴時，．∴不存在使成立，故A，B錯；當時，＝，當時，只有時才有意義，而，故C錯．故選D．法二：顯然，函數(shù)是增函數(shù)，，由題意可得，，而由可知，于是，問題轉(zhuǎn)化為在上有解．由，得，分離變量，得，因為，，所以，函數(shù)在上是增函數(shù)，于是有，即，應(yīng)選D．例32．（2023·全國·高二專題練習）設(shè)函數(shù)（），為自然對數(shù)的底數(shù)，若曲線上存在點，使得，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵曲線上存在點∴函數(shù)（）在上是增函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性可證

即在上有解，分離參數(shù)，，，根據(jù)是增函數(shù)可知，只需故選A.例33．（2023·江西南昌·高三專題練習）設(shè)函數(shù)（，為自然對數(shù)的底數(shù)），若曲線上存在使得，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由，可得，其中是函數(shù)的反函數(shù)，若曲線上存在使得，因為函數(shù)（，為自然對數(shù)的底數(shù)），所以，，因為，所以，因此命題“若曲線上存在使成立”轉(zhuǎn)化為“存在，使”，即的圖像與函數(shù)的圖像在上有交點，∵的圖像與的圖像關(guān)于直線對稱，∴的圖像與函數(shù)的圖像的交點必定在直線上，由此可得，的圖像與直線的圖像在上有交點，根據(jù)，化簡整理得，記，在同一坐標系內(nèi)作出它們的圖像，可得，所以，解得，即實數(shù)的取值范圍為，故B，C，D錯誤.故選：A．考點十二：函數(shù)的旋轉(zhuǎn)問題例34．（2023·全國·高三專題練習）設(shè)是含數(shù)1的有限實數(shù)集，是定義在上的函數(shù)，若的圖象繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)后與原圖象重合，則在以下各項中的取值只可能是A． B．1 C． D．0【答案】B【解析】由題意可得：問題相當于圓上由6個點為一組，每次繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)個單位后與下一個點會重合．設(shè)處的點為，的圖象繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)后與原圖象重合，旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點也在的圖象上，同理的對應(yīng)點也在圖象上，以此類推，對應(yīng)的圖象可以為一個圓周上6等分的6個點，當（1）時，即，此時，不滿足函數(shù)定義；當（1）時，即，此時，不滿足函數(shù)定義；當（1）時，即，此時，，，，不滿足函數(shù)定義；故選．例35．（2023·上海楊浦·高三上海市控江中學?？茧A段練習）是定義在上的函數(shù)，且，若的圖像繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)后與原圖像重合，則在以下各項中，的可能取值只能是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】由題意得到：問題相當于圓上由12個點為一組，每次繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)個單位后與下一個點會重合．我們可以通過代入和賦值的方法當f（）=，，3時，此時得到的圓心角為，，，然而此時x=0或者x=時，都有2個y與之對應(yīng)，而我們知道函數(shù)的定義就是要求一個x只能對應(yīng)一個y，因此只有當=，此時旋轉(zhuǎn)，此時滿足一個x只會對應(yīng)一個y，故答案為：C例36．（2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·高一呼市二中?？计谀┰O(shè)D是含有數(shù)1的有限實數(shù)集，是定義在D上的函數(shù)，若的圖象繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)90°與原圖象重合，則的值一定不可能為（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【解析】對于上一點繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)90°后對應(yīng)點為，也在圖象上，所以，繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)90°后對應(yīng)點為，且繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)90°后對應(yīng)點為，均在圖象上，所以，在含有數(shù)1的有限實數(shù)集D中，若，則有，若，則有，若，則有，若，則有，顯然當時有2個y與之對應(yīng)，不符合函數(shù)的定義，的值一定不可能為1.故選：D.考點十三：構(gòu)造函數(shù)解不等式例37．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)是定義在的奇函數(shù)，當時，，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】令，當時，，當時，，在上單調(diào)遞減；又為的奇函數(shù)，，即為偶函數(shù)，在上單調(diào)遞增；又由不等式得，當，即時，不等式可化為，即，由在上單調(diào)遞減得，解得，故；當，即時，不等式可化為，即，由在上單調(diào)遞增得，解得，故；綜上所述，不等式的解集為：．故選：D．例38．（2023·全國·高三專題練習）已知定義在上的函數(shù)滿足為的導函數(shù)，當時，，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】令，所以，因為，所以，化簡得，所以是上的奇函數(shù)；，因為當時，，所以當時，，從而在上單調(diào)遞增，又是上的奇函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增；考慮到，由，得，即，由在上單調(diào)遞增，得解得，所以不等式的解集為，故選：B.例39．（2023·湖北孝感·高三校聯(lián)考階段練習）對于問題“求證方程只有一個解”，可采用如下方法進行證明“將方程化為，設(shè)，因為在上單調(diào)遞減，且，所以原方程只有一個解”.類比上述解題思路，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由不等式，得.設(shè)函數(shù)，則，所以在上單調(diào)遞增.因為，所以.解得或.故選：A.例40．（2023·全國·高三專題練習）是定義在上的函數(shù)，滿足，，則下列說法正確的是（

）A．在上有極大值 B．在上有極小值C．在上既有極大值又有極小值 D．在上沒有極值【答案】D【解析】根據(jù)題意，，故，又，得，故，令，則，即，記，所以，當時，，當時，，所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，所以，即，即，所以在上單調(diào)遞增，故在上沒有極值.故選項ABC說法錯誤，選項D說法正確.故選：D考點十四：導數(shù)中的距離問題例41．（2023·浙江·高三專題練習）已知函數(shù)，若對任意的正實數(shù)t，在R上都是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由題意在R上恒成立，其中，整理得對恒成立，所以對恒成立，，令，，時，，遞減，時，，遞增，所以，所以的最小值是16，所以．故選：D．例42．（2023·全國·高三專題練習）若對任意的正實數(shù)，函數(shù)在上都是增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．【答案】A【解析】因為函數(shù)在上都是增函數(shù)，所以恒成立，即對任意的實數(shù)，在上恒成立，所以，，，故只需的最小值．令，，由于時，；時，，即時，取得最小，故選：A例43．（2023·全國·高三專題練習）已知實數(shù)滿足，，則的最小值為（

）A． B．1 C． D．2【答案】D【解析】，令，則，其幾何意義為點A與點之間距離的平方，設(shè)，則點A和B分別在和的圖像上，如下圖，顯然和互為反函數(shù)，其圖像關(guān)于y=x對稱，則A與B的最短距離必然在直線y=x的垂線上，點A與點B關(guān)于y=x對稱，不妨設(shè)，則，，設(shè)，，當，，在x=1處取得最小值，即，∴當取最小值時，即是取得最小值，的最小值為；故選：D.例44．（2023·全國·高三專題練習）已知點為函數(shù)的圖象上任意一點，點為圓上任意一點，則線段的長度的最小值為A． B． C． D．【答案】A【解析】依題意，圓心為，設(shè)點的坐標為，由兩點間距離公式得，設(shè)，，令解得，由于，可知當時，遞增，時，，遞減，故當時取得極大值也是最大值為，故，故時，且，所以，函數(shù)單調(diào)遞減.當時，，，當時，，即單調(diào)遞增，且，即，單調(diào)遞增，而，故當時，函數(shù)單調(diào)遞增，故函數(shù)在處取得極小值也是最小值為，故的最小值為，此時.故選A.例45．（2023春·新疆烏魯木齊·高二烏魯木齊市第四中學?？计谥校┲本€分別與函數(shù)，交于，兩點，則的最小值為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】，且在上遞增；，且在上遞增.所以，且都有唯一解，，，構(gòu)造函數(shù)，所以在區(qū)間遞減；在區(qū)間遞增.所以的最小值為.所以的最小值為.故選：A考點十五：導數(shù)的同構(gòu)思想例46．（2023·全國·高三專題練習）若關(guān)于的不等式在上恒成立，則實數(shù)的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由已知可得，，由可得，所以，，構(gòu)造函數(shù)，其中，則，故函數(shù)在上為增函數(shù)，由可得，所以，，即，令，其中，則.當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，則，，解得，故實數(shù)的最大值為.故選：A.例47．（2023·上海·高三專題練習）若關(guān)于x的不等式對恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題設(shè)可得，令，則在上恒成立，由，在上；在上；所以在上遞增；在上遞減，且，在上，上，而，所以，只需在上恒成立，即恒成立，令，則，即在上遞增，故.故a的取值范圍為.故選：B例48．（2023·全國·高三專題練習）已知不等式對恒成立，則實數(shù)a的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，所以，即，構(gòu)造函數(shù)，所以，令，解得：，令，解得：，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當時，與1的大小不定，但當實數(shù)a最小時，只需考慮其為負數(shù)的情況，此時因為當時，單調(diào)遞減，故，兩邊取對數(shù)得：，令，則，令得：，令得：，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以故a的最小值是．故選：C考點十六：不等式恒成立之分離參數(shù)、分離函數(shù)、放縮法例49．（2023·全國·模擬預測）已知函數(shù)，對于恒成立，則滿足題意的a的取值集合為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為函數(shù)，對于恒成立，所以，對于恒成立，所以，對于恒成立，設(shè)，則為上的增函數(shù)，所以，則，對于恒成立，設(shè)，則，當時，恒成立，所以在上為增函數(shù)，因為，所以存在，使得，不滿足，對于恒成立；當時，令，得，所以當時，，為減函數(shù)，當時，，為增函數(shù)，所以，則，設(shè)，則，令，得，當時，，為增函數(shù)，當時，，為減函數(shù)，所以，當且僅當時，等號成立，又，所以，即.綜上所述：的取值集合為.故選：D例50．（2023·廣東·高三校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù)對任意的，恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，且恒成立，則在上恒成立，令，則，令，則，所以在上單調(diào)遞增，又因為，，所以存在，使得，當時，，也即，此時函數(shù)單調(diào)遞減；當時，，也即，此時函數(shù)單調(diào)遞增；故，因為，所以，則，令，則，所以在上單調(diào)遞增，則有，所以，所以，則，故選：.例51．（2023·四川南充·四川省南充高級中學?？寄M預測）若存在，使得對于任意，不等式恒成立，則實數(shù)的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】令，其中，則，當時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，令，則，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，，，所以，存在，使得，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，如下圖所示：由題意得，直線恒位于的圖象上方，的圖象下方，代表直線在軸上的截距，當直線變化時觀察得當直線過且與曲線相切時，最?。O(shè)切點為，則，整理可得，令，則，，而當時，，，所以，，所以當時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以有唯一的零點，所以，此時直線方程為，故.故選：C.考點十七：三次函數(shù)問題例52．（2023·全國·高三專題練習）函數(shù)的圖象關(guān)于點成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)．已知任意一個一元三次函數(shù)的圖象均為中心對稱圖形，若，則的值為（

）A．－4 B．－2 C．0 D．2【答案】A【解析】設(shè)的對稱中心為，設(shè)，則為奇函數(shù)，由題可知，且，所以，即，則，整理得，所以，解得，所以函數(shù)的對稱中心為；所以，．故選：A．例53．（2023秋·北京·高三?？茧A段練習）如圖是某高山滑雪場的一段滑道的示意圖，圖中該段滑道對應(yīng)的曲線可以近似看作某個三次函數(shù)圖像的一部分，A，B兩點分別是這段滑道的最高點和最低點（在這個三次函數(shù)的極值處）.在A，B兩點之間的滑道的最陡處，滑道的坡度為（坡度即坡面與水平面所成角的正切值），經(jīng)測量A，B兩點在水平方向的距離為90m，則它們在豎直方向上的距離約為（）A．20m

B．30m

C．45m

D．60m【答案】B【解析】把函數(shù)圖象平移到在軸，在軸上，如圖，新函數(shù)計算出的豎直方向上的距離與原函數(shù)結(jié)果相同，由題意題中三次函數(shù)的導函數(shù)是二次函數(shù)，記為，的最小值是，設(shè)，則，，，因此可設(shè)，，，，所以它們在豎直方向上的距離約為30m，故選：B．例54．（2023·全國·高三專題練習）一般地，對于一元三次函數(shù)，若，則為三次函數(shù)的對稱中心，已知函數(shù)圖象的對稱中心的橫坐標為（），且有三個零點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由函數(shù)求導得：，則，由解得，則有，，當或時，，當時，，則在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因此，當時，取得極大值，當時，取得極小值，因函數(shù)有三個零點，即函數(shù)的圖象與x軸有三個公共點，由三次函數(shù)圖象與性質(zhì)知，，于是得，解得，綜上得：，實數(shù)a的取值范圍是.故選：A.考點十八：切線條數(shù)、公切線、切線重合與垂直問題例55．（2023春·四川成都·高三樹德中學?？奸_學考試）已知函數(shù)．則下列四個說法中正確的個數(shù)為（

）①曲線上存在三條互相平行的切線；②函數(shù)有唯一極值點；③函數(shù)有兩個零點；

④過坐標原點O可作曲線的切線．A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【解析】，，，則當或，，，在，，.對①，大致圖象如圖所示，可知方程可能有三個根，即存在三個極值點，故存在三條互相平行的切線，①正確；對②，結(jié)合單調(diào)性及大致圖象，，則存在，使得，則當；，故②正確；對③，，則，則大致圖象如圖，故③正確；④設(shè)過原點的直線與相切于點，則有，，，消元整理可得，易知此方程無解，故④錯誤．綜上，正確的是①②③．故選：B.例56．（2023春·全國·高三校聯(lián)考開學考試）已知過點不可能作曲線的切線．對于滿足上述條件的任意的b，函數(shù)恒有兩個不同的極值點，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)是曲線上的任意一點，，所以在點處的切線方程為，代入點得，，由于過點不可能作曲線的切線，則直線與函數(shù)的圖象沒有公共點，，所以函數(shù)在區(qū)間上導數(shù)大于零，函數(shù)單調(diào)遞增；在區(qū)間上導數(shù)小于零，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當時，函數(shù)取得極大值也即是最大值，則．對于滿足此條件的任意的b，函數(shù)恒有兩個不同的極值點，等價于恒有兩個不同的變號零點，等價于方程有兩個不同的解．令，則，，即直線與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點．記，則，記，則，所以在上單調(diào)遞增．令，得．當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增．所以．所以．因為，所以，所以．即實數(shù)a的取值范圍是．故選：A例57．（2023秋·上海閔行·高三上海市七寶中學校考期末）若函數(shù)的圖像上存在兩個不同的點，使得在這兩點處的切線重合，則稱為“切線重合函數(shù)”，下列函數(shù)中不是“切線重合函數(shù)”的為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】對于A，顯然是偶函數(shù)，，當時，，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，當時，單調(diào)遞增；在時，，都取得極小值，由于是偶函數(shù)，在這兩點的切線是重合的，故A是“切線重合函數(shù)”；對于B，是正弦函數(shù)，顯然在頂點處切線是重合的，故B是“切線重合函數(shù)”；對于C，考察兩點處的切線方程，，兩點處的切線斜率都等于1，在A點處的切線方程為，化簡得：，在B點處的切線方程為，化簡得，顯然重合，C是“切線重合函數(shù)”；對于D，，令，則，是增函數(shù)，不存在時，，所以D不是“切線重合函數(shù)”；故選：D.例58．（2023秋·天津濱海新·高三大港一中?？茧A段練習）已知函數(shù)，其導函數(shù)為，設(shè)，下列四個說法：①；②當時，；③任意，都有；④若曲線上存在不同兩點，，且在點，處的切線斜率均為，則實數(shù)的取值范圍為.以上四個說法中，正確的個數(shù)為（

）A．3個 B．2個 C．1個 D．0個【答案】B【解析】對于①，函數(shù)，，，當時，取到等號，故①不正確；對于②，，設(shè)，，所以在恒成立，則在上單調(diào)遞減，故，即，又，則，所以，可得令，所以在恒成立，則在上單調(diào)遞減，故，即，所以，綜上，恒成立，故②正確；對于③，設(shè)，則，因為，所以，又，設(shè)，所以，又，所以，則恒成立，所以在上單調(diào)遞增，則，所以，單調(diào)遞減，則恒成立，所以，即，故③正確；對于④，因為，所以，令，則得，所以，，單調(diào)遞增，，，單調(diào)遞減，所以，又得，且則可以得的圖象如下：因為曲線上存在不同兩點，，且在點，處的切線斜率均為，所以，則與應(yīng)存在兩個不同的交點，所以，故④不正確.綜上，②③正確，①④不正確.故選：B.例59．（2023·全國·高三專題練習）若函數(shù)的圖象上存在兩條相互垂直的切線，則實數(shù)的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，所以，因為函數(shù)的圖象上存在兩條相互垂直的切線，不妨設(shè)函數(shù)在和的切線互相垂直，則，即①，因為a一定存在，即方程①一定有解，所以，即，解得或，又，所以或，，所以方程①變?yōu)?，所以，故A，B，D錯誤.故選：C.考點十九：任意存在性問題例60．（2023·全國·高三專題練習）某同學對函數(shù)進行研究后，得出以下結(jié)論，其中正確的有（）個.（1）函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱；（2）對定義域中的任意實數(shù)的值，恒有成立；（3）函數(shù)的圖像與x軸有無窮多個交點，且每相鄰兩交點間距離相等；（4）對任意常數(shù)，存在常數(shù)，使函數(shù)在上單調(diào)遞減，且.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】對于（1）：∵函數(shù)的定義域為，，∴為偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對稱，故（1）正確.對于（2）：由（1）知為偶函數(shù)，當時，∴令，∵，∴，所以在上單調(diào)遞增，∴，即恒成立.故（2）正確.對于（3）：函數(shù)的圖象與軸的交點坐標為，交點與的距離為，其余任意相鄰兩點的距離為，故（3）錯誤.對于（4）：，，當，時，，，每段區(qū)間的長度為，所以對任意常數(shù)，存在常數(shù)，，，使在上單調(diào)遞減且，故（4）正確.故選：C.例61．（2023·全國·高三專題練習）對于任意都有，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】，令，則，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，所以，所以，所以轉(zhuǎn)化為：，令，，①當時，，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以.②當時，您，所以，（i）當即時，，所以在上單調(diào)遞增，，所以.(ii)當即時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，所以，所以.綜上，的取值范圍為：.故選：B.例62．（2023·全國·高三專題練習）已知且，若任意，不等式均恒成立，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題設(shè)，，令，則恒成立，令，則，，當時，遞減；當時，遞增；所以，故遞增，當，即時，，不合題意；當，即時，要使恒成立，則恒成立，令且，則，，當時，遞減；當時，遞增；所以，故在上遞增，而，此時時，即恒成立.綜上，的取值范圍為.故選：A例63．（2023·吉林·長春十一高校聯(lián)考模擬預測）已知函數(shù)（，）在區(qū)間上總存在零點，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)為函數(shù)在區(qū)間上的零點，因為函數(shù)（，）在區(qū)間上總存在零點，所以，即，，則點是直線上的點，所以（），設(shè)（），則設(shè)，，則，，令，，則，當時，，所以在上是增函數(shù)，則，即當時，，所以在是增函數(shù)，則，即時，，所以在上是增函數(shù)，則，綜上：的最小值為，故選：A.考點二十：雙參數(shù)最值問題例64．（2023·全國·高三專題練習）已知在函數(shù)，，若對，恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意，令，則，恒成立，即恒成立，即令令，即在單調(diào)遞增；令，即在單調(diào)遞減.令令，即在單調(diào)遞增；令，即在單調(diào)遞減；故選：B例65．（2023·全國·高三專題練習）已知實數(shù)，滿足，則的值為A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)，，則，令，(m)=m<1,(m)>0,m>1,(m)<0,則在單調(diào)遞增單調(diào)遞減，令，則單調(diào)遞減，單調(diào)遞增由題意，，，，,故x+y=2故選A例66．（2023春·河南南陽·高二統(tǒng)考期中）已知e為自然對數(shù)的底數(shù)，a，b為實數(shù)，且不等式對任意的恒成立．則的最大值為______．【答案】【解析】依題意：不等式對任意的恒成立，即①對任意的恒成立，在上遞增，則，由①，令得，整理得.當時，，此時，①即，只需對任意的恒成立，令，所以在區(qū)間遞增；在區(qū)間遞減，所以.故答案為：考點二十一：切線斜率與割線斜率例67．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，在函數(shù)圖象上任取兩點，若直線的斜率的絕對值都不小于，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，在單調(diào)遞減，

設(shè).設(shè)則在上單調(diào)遞減，則對恒成立，則對恒成立，則，解之得或.又，所以.例68．（2023春·全國·高三校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù)，在函數(shù)圖象上任取兩點，若直線的斜率的絕對值都不小于，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】，在單調(diào)遞減設(shè)，則設(shè)，則在上單調(diào)遞減則對恒成立則對恒成立，因為，則，即解得或，又，所以.故選：B例69．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，在其圖象上任取兩個不同的點、，總能使得，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由以及，，所以，，構(gòu)造函數(shù)，則，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，由于，則對任意的恒成立，由，可得，當時，則，當且僅當時，等號成立，所以，，因此實數(shù)的取值范圍是.故選：B.考點二十二：最大值的最小值問題（平口單峰函數(shù)、鉛錘距離）例70．（2023·湖北·高一校聯(lián)考階段練習）設(shè)函數(shù)，若對任意的實數(shù)a，b，總存在使得成立，則實數(shù)的最大值為（

）A．－1 B．0 C． D．1【答案】C【解析】由已知得設(shè)構(gòu)造函數(shù)滿足，即，解得，則，令，則函數(shù)可以理解為函數(shù)與函數(shù)在橫坐標相等時，縱坐標的豎直距離，∵，且（當且僅當時取等號），∴若設(shè)直線的方程為，直線的方程為，由此可知當，直線位于直線和直線中間時，縱坐標的豎直距離取得最大值中的最小值，故，所以實數(shù)的最大值為.故選：.例71．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，若對任意的實數(shù)a，b，總存在，使得成立，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由存在，使得成立，故，又對任意的實數(shù)a，b，，則，可看作橫坐標相同時，函數(shù)與函數(shù)圖象上的縱向距離的最大值中的最小值，又，作示意圖如圖所示：設(shè)，則直線的方程，設(shè)與相切，則，得，有，得或，由圖知，切點，則，當直線與，平行且兩直線距離相等時，即恰好處于正中間時，函數(shù)與圖象上的縱向距離能取到最大值中的最小值，此時，，故.故選：B例72．（2023·全國·高三專題練習）設(shè)函數(shù)，當時，記的最大值為，若恒成立，則的最大值為（

）A．e B． C．0 D．【答案】C【解析】∵取絕對值后有以下四種情況:，，，設(shè),故在恒成立,∴函數(shù)在上單調(diào)遞增,函數(shù)在上單調(diào)遞減,又∵函數(shù)在上為增函數(shù),所以函數(shù)，在上為增函數(shù),函數(shù)，在上為減函數(shù),∴，，，∴∴，∴∵恒成立，∴，解得.∴的最大值為故選：C.例73．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，當時設(shè)的最大值為，則當取到最小值時（

）A．0 B．1 C．2 D．【答案】A【解析】，當時設(shè)的最大值，在端點處或最低點處取得，最小值為2，最小值為，最小值為4.5，最小值綜上可得，取到最小值時0.故選：A考點二十三：兩邊夾問題和零點相同問題例74．（2023·全國·高三專題練習）若存在正實數(shù)x，y使得不等式成立，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】記，當時，；當時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，．記，當時，；當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以．由題意，又因為，所以，故．故選：D.例75．（2023·全國·高三專題練習）已知實數(shù)，滿足，則的值為A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)，，則，令，(m)=m<1,(m)>0,m>1,(m)<0,則在單調(diào)遞增單調(diào)遞減，令，則單調(diào)遞減，單調(diào)遞增由題意，，，，,故x+y=2故選A例76．（2023·江蘇·高一專題練習）若不等式對任意實數(shù)恒成立，則（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】D【解析】