2024-2025學(xué)年上海市某中學(xué)高三年級上冊期中考試數(shù)學(xué)試卷6（含詳解）

格致中學(xué)二。二四學(xué)年度第一學(xué)期期中考試

高三年級數(shù)學(xué)試卷

（測試120分鐘內(nèi)完成，總分150分,試后交答題卷）

友情提示：昨天,你既然經(jīng)歷了艱苦的學(xué)習(xí),今天,你必將贏得可喜的收獲！

祝你：誠實守信，沉著冷靜，細致踏實，自信自強,去迎接勝利！

一,填空題：（本大題共有12題,滿分54分,第1?6題每題4分，第7?12題每題5分）考生在答題紙

的相應(yīng)位置直接填寫結(jié)果.

2-i

Z-

1.已知復(fù)數(shù)i（i為虛數(shù)單位），則z的虛部為.

2,函數(shù)了（力=百工+^”的定義域為

3.若直線4：2x+樞v+i=o與‘2i=3x—1垂直，則實數(shù)加=—

4.已知集合人=｛川"<"""+1｝,8=｛乂一4"*<。｝,若人口3,則實數(shù)。的取值范圍是.

+8

5.等比數(shù)列｛"/滿足q=1,02%+2。5=0,則=1，.

6.在一次為期30天的博覽會上，主辦方統(tǒng)計了每天的參觀人數(shù)（單位：千人），并繪制了莖葉圖（如圖），其中“莖”表

示十位，“葉”表示個位,則這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是.

211368

302244559

4111336789

502455889

2x+J

7.二項式I”x）的展開式的常數(shù)項是

8.已知尸（xo'yo）（°<xo<i）是曲線°：?+6=1上一點，作曲線°在點尸處的切線/,/與工軸，丁軸分別交于點

A,B,。為坐標原點，則儂+3卜.

9.如圖（1），在長方體ABCD—ERGH中，AB=BC=2,AE=1,。為上底面EEGH的中心.現(xiàn)將矩形EEGH繞

7T

點。在原平面內(nèi)順時針旋轉(zhuǎn)4角，連接AE,DE,AF,防，8G,CG,",得到如圖㈡）所示的

十面體,若這個十面體的各個頂點都在球”的球面上,則球以的表面積是.

H

GH

ABB

圖⑴圖(2)

10,已知/（"￥）=指5111（0%+9）（0〉0,0<夕<2兀），函數(shù),=/0）的部分圖像如圖所示，已知點A,。為y=/（x）的

。"o一ABDC=--\A^\

圖像與X軸的交點，其中134點3,C分別為y=/（x）的圖像的最高點和最低點，且21I,則

<P=.

二1

（x-k）2ek<—

11.已知人為常數(shù)，若關(guān)于1不等式e對任意的％6（6+°°）都成立,則實數(shù)左的取值范圍為

22

C:=+』=l（a〉6〉0）

12.從橢圓ab外一點PQo,Vo）向橢圓引兩條切線，切點分別為A,3,則直線A3稱作點P關(guān)于

至+迎=1

橢圓C的極線，其方程為/〃.現(xiàn)有如圖所示的兩個橢圓G,G,它們的中心都在坐標原點，對稱軸都是坐標

軸,離心率分別為6,‘2,C?在G內(nèi)，橢圓G上的任意一點M關(guān)于G的極線為加，若原點°到直線兀的距離為定值

二,選擇題：（本大題共4題，第13,14題每題4分，第15,16題每題5分,滿分18分）

13.己知?！ㄊ欠橇銓崝?shù),若。<》，則下列不等式一定成立的是（）

ooio11ba

A.a2<b1B.ab1<c^bC.—y<—7—D.—>—

ababab

14.己知事件A與3相互獨立，且0<P（A）尸（B）<1,則下列選項不一定成立是（

A.P（AnB）=（l-P（A））P（B）,B.P（AUB）=P（A）+P（B）.

C.P（AUB）=P⑸P⑻,D.P（A|B）P（B|A）=P（AnJB）.

15.已知圓錐S-O的底面半徑為2,高為4,點尸為圓錐底面上任意一點，點Q為圓錐側(cè)面（點。異于頂點S且不在底

面圓周上）上任意一點，則而?頁的取值范圍為（）

A.（-8,8）B.[0,8）C.[-4,4]D.（-4,4）

16.已知數(shù)列｛an｝,若存在數(shù)列也｝滿足對任意正整數(shù)〃，都有（見—2）（%+1—2+1）＜0,則稱數(shù)列也｝是｛an｝的交

錯數(shù)列.有下列兩個命題：①對任意給定的等差數(shù)列｛4｝,不存在等差數(shù)列出｝，使得也｝是｛“的交錯數(shù)列,②對任

意給定的等比數(shù)列｛4｝,都存在等比數(shù)列出｝，使得也｝是｛4｝的交錯數(shù)列.下列結(jié)論正確的是（）

A.①與②都是真命題，B.①為真命題,②為假命題.

C.①為假命題,②為真命題，D.①與②都是假命題.

三,解答題（本大題共有5題，滿分78分）解答下列各題必須在答題紙的相應(yīng)位置寫出必要的步驟.

17.如圖，在以45。,￡＞,石,尸為頂點五面體中，四邊形ABCD與四邊形CD所均為等腰梯形，AB//CD,EF//

CD,CD=2AB=2EF=4,AD=DE=5AE=2五.

（1）證明：平面ABCD1平面CDEE.

（2）若M為線段C￡＞上一點，且CM=1,求二面角A—石河―6余弦值.

18.已知/（x）=sin尤+G|COSX（XGR）.

（1）是否存在正數(shù)加，使得/（無）=/（加-%）對xeR都成立？若存在,求出加的一個值,若不存在,請說明理由.

（2）寫出函數(shù)y=/（%）的一個周期,并求函數(shù)y=/（x）的值域.

19.2024年某瓷器公司計劃向市場推出兩種高檔中國紅瓷杯A和3,己知A和5燒制成功率分別為80%和90%,燒制

成功一個A,盈利30元,否則虧損10元，燒制成功一個及盈利80元,否則虧損20元.

(1)設(shè)X為燒制一個A和一個3所得的利潤之和，求隨機變量X的分布和數(shù)學(xué)期望.

(2)求燒制4個A所得的利潤不少于80元的概率.

(3)公司將用戶對中國紅瓷器的喜歡程度分為“非常滿意”(得分不低于85分)和“滿意”(得分低于85分)兩類，通

過調(diào)查完成下表.

[75,80)[80,85)[85,90)[90,95)[95,100)

年齡低于45歲61442317

年齡不低于45歲4647358

根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)完成下列2x2列聯(lián)表,并依據(jù)顯著性水平?=0.05的獨立性檢驗,判斷居民對瓷器的喜歡程度是否與年

齡有關(guān)聯(lián)?

非常滿意滿意合計

年齡低于45歲

年齡不低于45歲

合計

附：/=…(U)("d)，〃=a+'+c+乩「與k的若干對應(yīng)數(shù)值見下表:

a0.250.050.005

k13233.8417.879

20.己知橢圓+二=1(。＞人＞0)的離心率為B,A,B分別為橢圓r的左,右頂點.過點C(l,0)作斜率為

a2b-2

K優(yōu)。0)的動直線/交橢圓r于M,N兩點，當(dāng)k［變化時，&ABM面積的最大值為2.

(1)求橢圓「的標準方程.

(2)當(dāng)仁=1時，求A4AW的面積.

(3)如圖,設(shè)河關(guān)于原點。的對稱點為尸，直線"，BN交于點。，設(shè)直線OQ的斜率為心，試探究片是否為定值？

化1

若是定值,請求出該定值,若不是定值,請說明理由.

21.函數(shù)y=/(X)的導(dǎo)函數(shù)為y=/'(X),令g(x)=，稱y=g(x)是y=f(x)的特征函數(shù).若g(x)＞。對一

切xe(w)恒成立,則稱函數(shù)y=/(x)是(瓶,〃)上的絕對增函數(shù).

(1)已知/(x)=xe"，判斷函數(shù)y=/(x)是否是(0,+s)上的絕對增函數(shù),并說明理由.

⑵已知/(%)=sin(x+6?)，函數(shù)y=/(x)是1o,|J上的絕對增函數(shù),求0的直

(3)函數(shù)y=/(x)是(m,力上的絕對增函數(shù),其特征函數(shù)y=g(x)在(m,n)上有唯一的零點%,求證：x0是函數(shù)

y=/(x)的極值點?

格致中學(xué)二。二四學(xué)年度第一學(xué)期期中考試

高三年級數(shù)學(xué)試卷

一,填空題：（本大題共有12題,滿分54分,第1?6題每題4分，第7?12題每題5分）考生在答題紙

的相應(yīng)位置直接填寫結(jié)果.

2-i

Z-

1.已知復(fù)數(shù)i（i為虛數(shù)單位），則z的虛部為.

【答案】—2

【分析】根據(jù)除法運算可得z=-1-2i,進而可得虛部.

【詳解】因為復(fù)數(shù)z=2二=—1—2i,所以z的虛部為—2.

1

故答案為：一2.

2.函數(shù)"%）=，1-x2+lnx的定義域為

【答案】（0,1]

【分析】

-2

根據(jù)解析式可得不等式組1解不等式組,即可得答案.

x>0,

l-x2>0,

【詳解nO<xWl.

x>0,

故答案為：（0,1].

3.若直線4:2%+切+1=0與6:y=3x—l垂直，則實數(shù)m=_.

【答案】6

【分析】根據(jù)兩直線垂直時,斜率乘積為-1,解方程求得m的值.

21

【詳解】由直線小2%+切+1=0且斜率存在,則直線4：y=——x——.

mm

2

由直線乙：2%+歿+1=0與A:y=3九一1垂直，則——義3=—1解得m=6.

m

故答案為：6.

4.已知集合A={x\a?%?0+1},5={乂—44%<0},若418,則實數(shù)a的取值范圍是.

【答案】{?M<a<-l}

【分析】分析可知Aw0,結(jié)合包含關(guān)系列式求解即可.

【詳解】因為集合4={乂。<%?。+1},6={%]-44%<0},顯然A/0.

a>-4

若416,則〈1C,解得TVav—1.

a+l<0

所以實數(shù)。的取值范圍是

故答案為：｛a|—4<a<-1｝.

J~oo,

5.等比數(shù)列｛4｝滿足q=1,+2%=0,貝!J￡4=.

i=l

【答案】2

3

【分析】求出q值，再由無窮遞縮等比數(shù)列的求和公式計算.

【詳解】。2%+2。5=0，貝1。；/+2。悶4=0,即/+2q4=0,即q3(i+2q)=o.

因為q#0,則4=一；.

￡412

2

故答案為：二.

3

6.在一次為期30天的博覽會上，主辦方統(tǒng)計了每天的參觀人數(shù)(單位：千人)，并繪制了莖葉圖(如圖)，其中“莖”表

示十位，“葉”表示個位,則這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是.

211368

302244559

4111336789

502455889

【答案】50

【分析】分析可知這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是第23位數(shù),結(jié)合莖葉圖即可得結(jié)果.

【詳解】因為30x0.75=22.5,可知這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是第23位數(shù).

結(jié)合莖葉圖可知第23位數(shù)是50,所以這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是50.

故答案為：50.

7.的展開式的常數(shù)項是

【答案】H2

44

【分析】寫出二項式展開式的通項=2~瑪小丁，令8-§廠=0即可得到答案.

【詳解】二項式展開式的通項為(產(chǎn)()丫8--r4

+1=/(2%%3,令8——r=0.

3

得r=6,所以4=22《=112.

故答案為：H2.

【點睛】本題考查二項式定理的應(yīng)用，涉及到求展開式中的特殊項,只需準確寫出通項公式即可.

8.已知尸（Xo，%））（O<Xo<1）是曲線。：4+打=1上一點，作曲線c在點尸處的切線/,/與x軸，y軸分別交于點

A,B,0為坐標原點，則|C網(wǎng)+|?；?

【答案】1

【分析】先將曲線C：?+打=1轉(zhuǎn)化為y=l-2jl+x,（0<x<l）,利用導(dǎo)數(shù)求出曲線C在點尸處的切線斜率，得

切線I的方程及/在天軸，y軸上的截距，化簡31+31即得結(jié)果.

【詳解】因為網(wǎng)飛,為）（0</<1）在曲線。：?+6=1上，則指'+=1

由\[x+yj~y=1得yj~y=1-\[x,平方，得y=1-2-x/x+x,(0<x<1)

_i]左=y'I=1—

y=i-2戶j=,)卜=與r-

I)7x7入。

???曲線。在點尸處的切線/：y—%=1-

/

令％=0,y—%=1-

/

令y=o,—%=1-

??OA|+|oz?|=不+1-J尤o=1.

故答案為：1.

9.如圖（1），在長方體ABCD-EFGH中，AB=BC=2,AE=\,。為上底面EEGH的中心.現(xiàn)將矩形EEGH繞

7T

點。在原平面內(nèi)順時針旋轉(zhuǎn)8（0<8?一）角，連接AE,DE,AF,BF,BG,CG,CH,得到如圖（2）所示的

4

十面體,若這個十面體的各個頂點都在球〃的球面上,則球〃的表面積是

H

B

圖⑴圖(2)

【答案】9兀

【分析】首先確定球心,再求球心到頂點的距離,即可求得外接球的半徑,再代入球的表面積公式.

【詳解】該十面體的外接球的球心是上下底面中心連線的中點,該點到該十面體每個頂點的距離均為

所以這個十面體的外接球的半徑為|,從而其表面積s=4兀?=9限

故答案為：971

10.已知/（x）=3^11（（?*+夕）（＜?〉0,0＜夕＜2兀），函數(shù)y=/（x）的部分圖像如圖所示，已知點A,。為y=/（x）的

圖像與X軸的交點，其中點瓦C分別為y=/（x）的圖像的最高點和最低點，且:W?加=-T/2,貝U

0=.

5兀

【答案】—

6

【分析】結(jié)合正弦函數(shù)的周期及向量數(shù)量積公式計算可得。，再由函數(shù)零點即可得。.

【詳解】因為。且6y＞0,可知的最小正周期T=@.

UJco

一71

又力＞0,所以=—.

2

又因為:是“X）遞減區(qū)間內(nèi)的零點.

JT1SJT

則5又§+0=2左兀+兀（左GZ）,解得夕=7+2左兀（左GZ）.

571

因為。＜。＜2兀，所以0=—.

故答案為：--.

6

21

11.已知k為常數(shù),若關(guān)于X的不等式(x—k)2ek<-對任意的x€(0,+8)都成立,則實數(shù)k的取值范圍為.

e

【答案】18，一g

2x[

【分析】分析可知左<0,整理可得1-1I/——7?0,換元令。=注<0,構(gòu)建/(。=("1)建'一盤/<0,利用

導(dǎo)數(shù)求其最值,并結(jié)合恒成立問題分析求解.

【詳解】顯然左H0.

若左>0,當(dāng)X趨近于+00,y=(》_4)2/趨近于+00,不合題意.

可知左<0,因為(X-左)2/W!，可得(彳―1]e%—J<0.

jryi

由尤>0,可得二<0,令/=土<0,可得(/—1)e'—一-1<0.

kkek

原題意等價于(?-1)2ef——!<0對任意的t0)都成立.

ek

構(gòu)建〃。=(/_1)2占_+/<0,則-?)=,2_1此

令/'(。>0,解得/<一1,令/'(。<0,解得一1</<0.

可知/(/)在(―8,—1)內(nèi)單調(diào)遞增，在(—1,0)內(nèi)單調(diào)遞減.

41<0,解得上<—工.

則/⑺V/（T）=&_彘T

2

所以實數(shù)左的取值范圍為「叫-g

故答案為：f-oo,--

12.從橢圓C：二+二=1(?！?〉0)外一點PQo,y0)向橢圓引兩條切線,切點分別為A,3,則直線AB稱作點P關(guān)于

ab

橢圓c的極線,其方程為警+邛=1.現(xiàn)有如圖所示的兩個橢圓G，c2I它們的中心都在坐標原點,對稱軸都是坐標

ab

軸,離心率分別為6,02,C?在G內(nèi)，橢圓G上的任意一點M關(guān)于G的極線為I.M，若原點。到直線Q的距離為定值

1,則e；-4的最大值為.

【分析】根據(jù)定義寫出極線的方程，由點到直線距離公式列出一個方程,再結(jié)合點在橢圓上找到02的關(guān)系再進行求解.

【詳解】設(shè)M（九0,%）,橢圓G-^-+7T=1,橢圓G：=L

qa2b2

22

則有a：4+普=i①，由極線的定義得直線iM的方程為肉+萼=1.

"202

由原點到直線兒的距離公式Gy（及丫，化簡可得書+*=i②.

限產(chǎn)司的2

“22_,2,2,4（,2\（h2\

對比①②可得a；=片，所以e：=七=」一^~!-=1^-=1--1--\1+與=e；（2-e；）.

所以4一心e；（2—e；）—W=e；（l—《J,"/?]一

當(dāng)且僅當(dāng)e；=1—e；時，即e2=/"=”成立.

故答案為：—

4

二,選擇題：（本大題共4題，第13,14題每題4分，第15,16題每題5分,滿分18分）

13.已知〃，6是非零實數(shù)，若a<乩則下列不等式一定成立的是（）

11ba

A.a1<b2B.ab20<c^0bC.--7<—7—D.—>—

ababab

【答案】C

【分析】對于ABD：舉反例說明即可，對于C：利用作差法分析判斷即可.

【詳解】對于選項AD：例如。=-1乃=1,滿足“<乩但"=/=1,2=@=—],故八口錯誤.

ab

對于選項B：利用”=1,Z?=2,滿足avb,但〃Z?2故B錯誤.

對于選項C：因為白-￡=焉?

且〃<乩?是非零實數(shù),則

可得―71----17=~272~<。，即~~2<TT，故C正確.

ababababab

故選：c.

14.已知事件A與3相互獨立，且。（尸（A）尸（5）<1,則下列選項不一定成立的是（）

A.P（AnB）=（l-P（A））P（B）,B.P（AUB）=P（A）+P（B）.

C.P（AU§）=P⑻P⑻,D.P（A|B）P（B|A）=P（AnJB）.

【答案】B

【分析】根據(jù)相互獨立事件的乘法公式和條件概率公式,結(jié)合對立事件的定義逐一判斷即可.

【詳解】因為A與3相互獨立，所以A與否，了與3,］與豆也相互獨立.

A選項，P（AnB）=P（A）P（B）=（1-P（A））P（B）,故A一定成立.

B選項,P（AuB）=p（A）+P（B）-P（AB）.

而P（AB）=P（A）尸（B）>0,所以P（AuB）^P（A）+P（B）,故B不成立.

C選項,P（A<7B）=l-P（AoJB）=1-P（AB）-P（AJB）-P（AB）=P（AB）=P（A）P（B）,

故c一定成立.

D選項，唳忸）0（碼）=9渭常常嘰HAM）.

故D一定成立.

故選：B.

15.已知圓錐S-O的底面半徑為2,高為4,點尸為圓錐底面上任意一點，點Q為圓錐側(cè)面（點Q異于頂點S且不在底

面圓周上）上任意一點，則麗?貨的取值范圍為（）

C.[-4,4]D.(-4,4)

【答案】D

【分析】延長SQ交底面圓周于B,過。作。6_1底面圓于G點,利用空間向量的線性運算及數(shù)量積公式結(jié)合夾角余弦

的范圍計算即可.

【詳解】如圖所示，延長SQ交底面圓周于3,過。作QGL底面圓于G點.

顯然赤.宛=赤?（而+前+詼）=礪.旃K2cos（麗麗）|OG|.

由題意可知cosOP,OGe[-1,1],0<|OG|<2.

所以而?頁的取值范圍為（-4,4）.

16.已知數(shù)列｛an｝,若存在數(shù)列也｝滿足對任意正整數(shù)n,都有（見—2）（%+1-2+1）<0,則稱數(shù)列也｝是｛??｝的交

錯數(shù)列.有下列兩個命題：①對任意給定的等差數(shù)列｛4｝,不存在等差數(shù)列出｝,使得也｝是｛??｝的交錯數(shù)列,②對任

意給定的等比數(shù)列｛4｝,都存在等比數(shù)列出｝，使得也｝是｛4｝的交錯數(shù)列.下列結(jié)論正確的是（）

A.①與②都是真命題，B.①為真命題,②為假命題.

C.①為假命題,②為真命題，D.①與②都是假命題.

【答案】A

【分析】對于①：根據(jù)等差數(shù)列通項公式為一次函數(shù)形式分析判斷，對于②：根據(jù)等比數(shù)列通項公式為指數(shù)型,并舉例

說明即可.

【詳解】對于①：因為數(shù)列｛4｝,｛2｝均為等差數(shù)列.

設(shè)=kn+m,bn=c〃+d,則an-bn=｛k—cjn+m—d.

rn—d

若左—c>0,可知當(dāng)〃〉——:一時，一〃〉0恒成立,不滿足交錯數(shù)列.

k-c

若左-c=0,可知4-仇的符號不變,不滿足交錯數(shù)列.

rrj—d

若女—c<0,可知當(dāng)〃〉-------時，4-2<0恒成立,不滿足交錯數(shù)列.

k-c

綜上所述：對任意等差數(shù)列｛4｝,｛2｝,｛4｝均不是｛4｝的交錯數(shù)列，故①正確.

對于②：因為數(shù)列｛叫為等比數(shù)列，設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為q

不妨假設(shè)a>0,q>0,bn=a（—2q）”,此時等比數(shù)列｛bn｝的公比為—2q<0

n

當(dāng)n為奇數(shù),則%=-aq-2"<aq“=an.

nn

當(dāng)n為偶數(shù),則bn=aq-2>aq"=an.

滿足也｝是｛%｝的交錯數(shù)列.

若等比數(shù)列｛??｝的公比為9<0,根據(jù)對稱結(jié)構(gòu),上述結(jié)論依然成立.

同理若a<0,根據(jù)對稱結(jié)構(gòu),上述結(jié)論依然成立.

綜上所述：對任意給定的等比數(shù)列｛4｝,都存在等比數(shù)列出｝，使得也｝是｛4｝的交錯數(shù)列,故②正確.

故選：A.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：數(shù)列是特殊的函數(shù),根據(jù)數(shù)列的特性,準確構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)，借助函數(shù)性質(zhì)分析求解是解題的關(guān)

鍵,背景函數(shù)的條件,應(yīng)緊扣題中的限制條件.

三,解答題(本大題共有5題，滿分78分)解答下列各題必須在答題紙的相應(yīng)位置寫出必要的步驟.

17.如圖，在以尸為頂點的五面體中，四邊形ABCD與四邊形CD跖均為等腰梯形，AB//CD,EF//

CD,CD=2AB=2EF=4,AD=DE=EAE=2日

(1)證明：平面ABCD1平面CDE7L

(2)若/為線段CD上一點，且CM=1,求二面角A—的余弦值.

【答案】(1)證明見解析

⑵旦

3

【分析】(1)通過勾股定理及全等得出線線垂直，應(yīng)用線面垂直判定定理得出平面ABCD,由OEu平面

CDEF進而得出面面垂直.

(2)由面面垂直建立空間直角坐標系,分別求出法向量再應(yīng)用向量夾角公式計算二面角余弦值

【小問1詳解】

證明：在平面CDEF內(nèi)，過E做EO垂直于CD交CD于點。.

由CDEF為等腰梯形,且CD=2砂=4,則。。=1,

又DE=#，所以O(shè)E=y]DE2-OD2=2.

連接AO,由小人￡>0三4￡。0,可知49,8且49=2.

所以在三角形Q4E中，AE^OE^OA2.

從而OELQ4.

又OE，CD,OAcCD=O,OA,CD<=平面ABCD,，所以O(shè)E_L平面ABCD.

又OEu平面CDEF,所以平面ABCD±平面CDEF

【小問2詳解】

由（1）知，OE,OC,QA兩兩垂直，以。為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系.

則A（0,0,2）,￡（2,0,0）,4（0,2,0）,3（0,2,2）.

AE=（2,0,-2）,W=（-2,2,0）,W=（0,0,2）.

設(shè)平面AEM的一個法向量為元=（%,y,z）.

n-AE-0f2%-2z=0

則〈_.，即〈

n-EM=01-2x+2y=0

取z=l,則為=（1,1,1）.

設(shè)平面BEM的一個法向量為初=（玉,％,4）.

m?MB-02Z]=0

則一,，即《

m?EM=0—2石+2%=0

取％=1,則慶=。,1,0）.

一一m-n2瓜

所以3私〃=麗=胡

由圖可以看出二面角A—石M—3為銳角，故二面角A—石M—5的余弦值為必

3

18.已知/(x)=sin尤+J^|cosx|(xeR).

(1)是否存在正數(shù)加，使得/(%)=/(m-%)對xeR都成立？若存在，求出加一個值，若不存在,請說明理由.

(2)寫出函數(shù)y=/(x)的一個周期,并求函數(shù)y=f{x}的值域.

【答案】(1)存在，根=兀(滿足機=2E+兀次eN即可)

(2)一個周期為2兀(滿足2億左eZ,人力0即可)，值域為［—1,2］

【分析】(1)根據(jù)題意利用誘導(dǎo)公式可得/(2E+兀—x)=/(x),即可得結(jié)果.

JTJT

(2)根據(jù)題意利用誘導(dǎo)公式可得/(2兀+%)=/(力，即可得周期，再結(jié)合對稱性取xe，取絕對值化簡整理,

結(jié)合正弦函數(shù)值域分析求解即可.

【小問1詳解】

對任意左GN,則/(2bi+7i-x)=sin(2E+兀-x)+|cos(2fai+兀一

=sin(兀-x)+G|cos(兀一x)|=sinj;+^|cosx\=/(%).

可得利=2E+兀，左eN,例如左=0,可得根=兀.

【小問2詳解】

因為f(2n+龍)=sin(2兀+龍)+6|cos(2兀+九)|=sin九+6|cosx|=/(x).

可知函數(shù)y=/(x)的一個周期為2兀.

jl371、

若求函數(shù)y=/(x)的值域，則取xe一萬,萬即可.

由(1)可知：/(%)=/(兀-X),即/(X)關(guān)于x=］對稱.

JIJI

若求函數(shù)y=/(x)的值域，則取X￡即可，此時cosxNO.

則fM=sinx+石|cosR=sinx+gcosx=2sin［x+g］.

,,「兀兀［i?！肛??！砡『./兀'「I〕

因為--57T，貝+-y?--，可得sinx+二e--J.

_22J3|_66」v37L2_

即/(x)=2sin卜+|?卜［―1,2］所以函數(shù)丁=/(x)的值域［-1,2］.

19.2024年某瓷器公司計劃向市場推出兩種高檔中國紅瓷杯A和5,已知A和5燒制成功率分別為80%和90%,燒制

成功一個A,盈利30元,否則虧損10元,燒制成功一個B,盈利80元,否則虧損20元.

(1)設(shè)X為燒制一個A和一個3所得的利潤之和，求隨機變量X的分布和數(shù)學(xué)期望.

(2)求燒制4個A所得的利潤不少于80元的概率.

(3)公司將用戶對中國紅瓷器的喜歡程度分為“非常滿意”(得分不低于85分)和“滿意”(得分低于85分)兩類，通

過調(diào)查完成下表.

[75,80)[80,85)[85,90)[90,95)[95,100)

年齡低于45歲61442317

年齡不低于45歲4647358

根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)完成下列2x2列聯(lián)表,并依據(jù)顯著性水平￡=0.05的獨立性檢驗,判斷居民對瓷器的喜歡程度是否與年

齡有關(guān)聯(lián)？

非常滿意滿意合計

年齡低于45歲

年齡不低于45歲

合計

附：Z2=------，、/“嗎、、----—,n-a+b+c+d,P(j2>k)^a,a與k的若干對應(yīng)數(shù)值見下表：

(tz+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.250.050.005

k1.3233.8417.879

【答案】⑴分布列見詳解，E(X)=92元

(2)0.8192(3)居民對瓷器的喜歡程度是否與年齡有關(guān)聯(lián)

【分析】(1)分析可知隨機變量X可能取值為-30,10,70,110,結(jié)合獨立事件概率求法求分布列，進而可得期望.

(2)設(shè)相應(yīng)隨機變量,分析可知。=40V-40,根據(jù)題意可得Y23,結(jié)合二項分布運算求解即可.

(3)完善列聯(lián)表，求并與臨界值對比分析即可.

【小問1詳解】

由題意可知：A和3燒制成功率分別為0.8和0.9.

隨機變量X的可能取值為-30,10,70,110,則有：

P(X=-30)=(1-0.8)x(1-0.9)=0.02,P(X=10)=0.8x(1-0.9)=0.08.

p(X=70)=(l-0.8)x0.9=0.18,P(X=110)=0.8x0.9=0.72.

所以隨機變量X的分布列為

X-301070110

P0.020.080.180.72

隨機變量X的期望￡（x）=—30x0.02+10x0.08+70x0.18+110x0.72=92（元）.

【小問2詳解】

設(shè)燒制4個A成功的件數(shù)為K則F：5（4,0.8）.

設(shè)燒制4個A所得的利潤為4,則J=30F—10（4—F）=407-40.

令J=40^—40280,解得Y23.

所以尸代280）=?（y23）=尸（r=3）+?（y=4）=C：X。忌X（1—0.8）+0U=0.8192.

【小問3詳解】

根據(jù)題意完善2x2列聯(lián)表可得：

非常滿意滿意合計

年齡低于45歲2080100

年齡不低于45歲1090100

合計30170200

零假設(shè)H。：居民對瓷器的喜歡程度是否與年齡沒有關(guān)聯(lián).

…喘XZ/等52…4L

依據(jù)顯著性水平e=0.05的獨立性檢驗,可知零假設(shè)Ho不成立.

所以居民對瓷器的喜歡程度是否與年齡有關(guān)聯(lián).

20.己知橢圓r：W+占=1（。＞人＞0）的離心率為昱,A,B分別為橢圓r的左,右頂點.過點C（1,0）作斜率為

a2b-2

人（《。0）的動直線/交橢圓「于M,N兩點，當(dāng)片變化時，AABM面積的最大值為2.

(1)求橢圓「的標準方程.

(2)當(dāng)匕=1時，求AAAW的面積.

k

(3)如圖，設(shè)“關(guān)于原點0的對稱點為尸，直線AP,5N交于點。，設(shè)直線32的斜率為右，試探究曾是否為定值?

￡

若是定值,請求出該定值,若不是定值,請說明理由.

無2

【答案】(1)—+y2=l

4

k3

⑶是定值，

【分析】(1)由題意可得工=走，由面積可得a匕=2,再結(jié)合a2=^+c2,即可得出答案.

a2

(2)直線MN的方程為％=y+1,聯(lián)立方程解出為,為，進而可求面積.

(3)設(shè)M(%,%),N(%,%)，。(一七，一%)，直線山的方程為尤=沖+1，聯(lián)立直線和橢圓方程,利用根與系數(shù)的關(guān)

系,斜率公式即可求得終為定值.

【小問1詳解】

依題意可知e=￡=立.

a2

當(dāng)M為短軸頂點時，△取到最大值-x2axb=ab=2.

2

c=V3

a2a—2

可得vab=2，解得＜b=l

a2=b2+c2c=y/3

所以橢圓r的標準方程三+y2=1.

4

【小問2詳解】

因為點c(i,o)在橢圓內(nèi)部「，可知直線/與橢圓r必相交，設(shè)/(4X),N(X2，%)?

若尤=1,則直線/：x=y+i.

x=y+i

2

聯(lián)立方程X,，消去X可得5y?+2y—3=0,解得必=2或%=-L

—+y=15

I4-

112

所以AAAW的面積SVAMN=1-|AC|-|J1-J2|=

255

【小問3詳解】

由⑵可設(shè)則。(一而,-%).

設(shè)直線MV的方程為x=/ny+l,此時勺.

m

x=my+1

聯(lián)立直線與橢圓方程《X22，消去X可得(m2+4)y2+2my-3=0.

—+V-=1\

14?

—2m-3

則%+%=—~~=—~~7

m+4m+4

不妨設(shè)。(1，%)，因為B,N,Q三點共線，則kBN=kBQ

%>2則入?！?_々2_〃少2—11

可得=m-----

XQ—2冗2—2%>2%%

因為AP,Q三點共線，則kAP=kAQ.

則為)+2_:一2_/沖］11

y0%

可得