高中數(shù)學復習專題07 概率與統(tǒng)計中的熱點問題（解析版）

專題專題7概率與統(tǒng)計中的熱點問題【方法綜述】概率與統(tǒng)計的問題在高考中的地位相對穩(wěn)定，而由于概率與統(tǒng)計具有較強的現(xiàn)實應用背景，在近幾年的高考中，概率與統(tǒng)計問題在高考中所占的地位有向壓軸題變化的趨勢。概率與統(tǒng)計的熱點問題主要表現(xiàn)在一是：以數(shù)學文化和時代發(fā)展為背景設置概率統(tǒng)計問題，二是概率統(tǒng)計與函數(shù)、方程、不等式及數(shù)列等相結合的問題。此類問題的解決，需要考生由較強的閱讀理解能力，體現(xiàn)考生的數(shù)學建模、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學運算及邏輯推理等核心素養(yǎng)。先就此類問題進行分析、歸類，以幫助考生提升應試能力。【解答策略】類型一以數(shù)學文化和時代發(fā)展為背景的概率統(tǒng)計問題【例1】（2020?淮南一模）如圖為我國數(shù)學家趙爽（約3世紀初）在為《周髀算經(jīng)》作注時驗證勾股定理的示意圖，現(xiàn)在提供5種顏色給其中5個小區(qū)域涂色，規(guī)定每個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不同，則A、C區(qū)域涂色不相同的概率為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】提供5種顏色給其中5個小區(qū)域涂色，規(guī)定每個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不同，利用分步計數(shù)原理求出不同的涂色方案有420種，其中，A、C區(qū)域涂色不相同的情況有240種，由此能求出A、C區(qū)域涂色不相同的概率．解：提供5種顏色給其中5個小區(qū)域涂色，規(guī)定每個區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不同，根據(jù)題意，如圖，設5個區(qū)域依次為A、B、C、D、E，分4步進行分析：①，對于區(qū)域A，有5種顏色可選；②，對于區(qū)域B，與A區(qū)域相鄰，有4種顏色可選；③，對于區(qū)域E，與A、B區(qū)域相鄰，有3種顏色可選；④，對于區(qū)域D、C，若D與B顏色相同，C區(qū)域有3種顏色可選，若D與B顏色不相同，D區(qū)域有2種顏色可選，C區(qū)域有2種顏色可選，則區(qū)域D、C有3+2×2＝7種選擇，則不同的涂色方案有5×4×3×7＝420種，其中，A、C區(qū)域涂色不相同的情況有：若A，C不同色，則ABCE兩兩不同色，涂色方案有5×4×3×2種，涂D時只要和AEC不同色即可，有2種，故共有240種，∴A、C區(qū)域涂色不相同的概率為p＝＝．故選：D．【例2】（2020全國模擬）冠狀病毒是一個大型病毒家族，己知可引起感冒以及中東呼吸綜合征（）和嚴重急性呼吸綜合征（）等較嚴重疾病.而今年出現(xiàn)在湖北武漢的新型冠狀病毒（）是以前從未在人體中發(fā)現(xiàn)的冠狀病毒新毒株.人感染了新型冠狀病毒后常見體征有呼吸道癥狀、發(fā)熱、咳嗽、氣促和呼吸困難等.在較嚴重病例中，感染可導致肺炎、嚴重急性呼吸綜合征、腎衰竭，甚至死亡.某醫(yī)院為篩查冠狀病毒，需要檢驗血液是否為陽性，現(xiàn)有n（）份血液樣本，有以下兩種檢驗方式：方式一：逐份檢驗，則需要檢驗n次.方式二：混合檢驗，將其中k（且）份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗.若檢驗結果為陰性，這k份的血液全為陰性，因而這k份血液樣本只要檢驗一次就夠了，如果檢驗結果為陽性，為了明確這k份血液究竟哪幾份為陽性，就要對這k份再逐份檢驗，此時這k份血液的檢驗次數(shù)總共為.假設在接受檢驗的血液樣本中，每份樣本的檢驗結果是陽性還是陰性都是獨立的，且每份樣本是陽性結果的概率為p（）.現(xiàn)取其中k（且）份血液樣本，記采用逐份檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數(shù)為，采用混合檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數(shù)為.（1）若，試求p關于k的函數(shù)關系式；（2）若p與干擾素計量相關，其中（）是不同的正實數(shù)，滿足且（）都有成立.（i）求證：數(shù)列等比數(shù)列；（ii）當時，采用混合檢驗方式可以使得樣本需要檢驗的總次數(shù)的期望值比逐份檢驗的總次數(shù)的期望值更少，求k的最大值【答案】（1），（，且）.（2）（i）見解析（ii）最大值為4.【解析】（1）解：由已知，，，得，的所有可能取值為1，，∴，.∴.若，則，，∴，∴.∴p關于k的函數(shù)關系式為，（，且）.（2）（i）∵證明：當時，，∴，令，則，∵，∴下面證明對任意的正整數(shù)n，.①當，2時，顯然成立；②假設對任意的時，，下面證明時，；由題意，得，∴，∴，，∴，.∴或（負值舍去）.∴成立.∴由①②可知，為等比數(shù)列，.（ii）解：由（i）知，，，∴，得，∴.設（），，∴當時，，即在上單調減.又，，∴；，.∴.∴k的最大值為4.【舉一反三】1．（2020·寧夏高考模擬（理））根據(jù)黨中央關于“精準”脫貧的要求，我市某農(nóng)業(yè)經(jīng)濟部門派四位專家對三個縣區(qū)進行調研，每個縣區(qū)至少派一位專家，則甲，乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)的概率為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】每個縣區(qū)至少派一位專家，基本事件總數(shù)，甲，乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)包含的基本事件個數(shù)，由此能求出甲，乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)的概率.【詳解】派四位專家對三個縣區(qū)進行調研，每個縣區(qū)至少派一位專家基本事件總數(shù)：甲，乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)包含的基本事件個數(shù)：甲，乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)的概率為：，本題正確選項：2.（2020·河北高三期末（理））我國歷法中將一年分為春、夏、秋、冬四個季節(jié)，每個季節(jié)有六個節(jié)氣，如夏季包含立夏、小滿、芒種、夏至、小暑以及大暑.某美術學院甲、乙、丙、丁四位同學接到繪制二十四節(jié)氣的彩繪任務，現(xiàn)四位同學抽簽確定各自完成哪個季節(jié)中的六幅彩繪，在制簽及抽簽公平的前提下，甲沒有抽到繪制春季六幅彩繪任務且乙沒有抽到繪制夏季六幅彩繪任務的概率為_________.【答案】【解析】【分析】先分類討論求出所求事件數(shù)，再利用古典概型的方法計算概率即可.【詳解】將“甲沒有抽到繪制春季六幅彩繪任務且乙沒有抽到繪制夏季六幅彩繪任務”這一事件可以分為兩類：第一類：甲抽到夏季六幅彩繪任務的事件數(shù)為：，第二類：甲抽不到夏季六幅彩繪任務的事件數(shù)為：,總的事件數(shù)為：，故所求概率為：.故答案為：.3．（2020?湖北模擬）據(jù)《孫子算經(jīng)》中記載，中國古代諸侯的等級從低到高分為：男、子、伯、候、公，共五級．現(xiàn)有每個級別的諸侯各一人，共五人要把80個橘子分完且每人都要分到橘子，級別每高一級就多分m個（m為正整數(shù)），若按這種方法分橘子，“公”恰好分得30個橘子的概率是【答案】【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列前n項和公式得出首項與公差m的關系，列舉得出所有的分配方案，從而得出結論．解：由題意可知等級從低到高的5個諸侯所分的橘子個數(shù)組成等差為m的等差數(shù)列，設“男”分的橘子個數(shù)為a1，其前n項和為Sn，則S5＝5a1+＝80，即a1+2m＝16，且a1，m均為正整數(shù)，若a1＝2，則m＝7，此時a5＝30，若a1＝4，m＝6，此時a5＝28，若a1＝6，m＝5，此時a5＝26，若a1＝8，m＝4，此時a5＝24，若a1＝10，m＝3，此時a5＝22，若a1＝12，m＝2，此時a5＝20，若a1＝14，m＝1，此時a5＝18，∴“公”恰好分得30個橘子的概率為．類型二概率統(tǒng)計與函數(shù)、方程、不等式及數(shù)列等相結合的問題【例3】．（2020?浙江模擬）甲乙兩人進行乒乓球比賽，現(xiàn)采用三局兩勝的比賽制度，規(guī)定每一局比賽都沒有平局（必須分出勝負），且每一局甲贏的概率都是p，隨機變量X表示最終的比賽局數(shù)，若0＜p＜，則（）A．E（X）＝ B．E（X）＞ C．D（X）＞ D．D（X）＜【答案】【解析】【分析】X的可能取值為2，3，求出每個變量對應的概率，即可得到E（X），E（X2），進而得到D（X）．求導，研究函數(shù)在（0，）上的單調性，即可求出D（X）的最大值．解：X的可能取值為2，3，P（X＝2）＝p2+（1﹣p）2＝2p2﹣2p+1，P（X＝3）＝＝2p﹣2p2，E（X）＝2×（2p2﹣2p+1）+3（2p﹣2p2）＝﹣2p2+2p+2，E（X2）＝4×（2P2﹣2p+1）+9×（2p﹣2p2）＝﹣10p2+10p+4，D（X）＝E（X2）﹣E2（X）＝﹣10p2+10p+4﹣（﹣2p2+2p+2）2＝﹣4p4+8p3﹣6p2+2p，因為E（X）以p＝為對稱軸，開口向下，所以E（X）在p∈（0，）時，E（X）單調遞增，所以E（X）≤＝，排除A，B．D′（X）＝﹣16p3+24p2﹣12p+2，D″（X）＝﹣12（2p﹣1）2≤0，所以D′（X）在p∈（0，1）上單調遞減，又當p＝時，D′（X）＝＞0，所以當p∈（0，1）時，D′（X）＞0，所以p∈（0，1）時D（X）單調遞增，所以D（X）＜﹣4×＝．故選：D．【例4】．（2020?開福區(qū)模擬）設一個正三棱柱ABC﹣DEF，每條棱長都相等，一只螞蟻從上底面ABC的某頂點出發(fā)，每次只沿著棱爬行并爬到另一個頂點，算一次爬行，若它選擇三個方向爬行的概率相等，若螞蟻爬行10次，仍然在上底面的概率為P10，則P10為（）A． B． C． D．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意假設螞蟻爬n次仍在上底面的概率為Pn，那么它前一步只有兩種情況：也許本來就在上底面，再走一步要想不掉下去，只有兩條路，其概率是Pn﹣1；也許是上一步在下底面，則第n﹣1步不再上底面的概率是1﹣Pn﹣1，如果爬上來，其概率應是（1﹣Pn﹣1）．兩件事情是互斥的，因此，，整理得，Pn＝Pn﹣1+；構造等比數(shù)列{Pn﹣}，即可得Pn＝（）n+．解：設螞蟻爬n次仍在上底面的概率為Pn，那么它前一步只有兩種情況：A：如果本來就在上底面，再走一步要想不掉下去，只有兩條路，其概率是Pn﹣1；B：如果是上一步在下底面，則第n﹣1步不再上底面的概率是1﹣Pn﹣1，如果爬上來，其概率應是（1﹣Pn﹣1）．A，B事件互斥，因此，；整理得，；即Pn﹣＝（Pn﹣1﹣）；構造等比數(shù)列{Pn﹣}，公比為，首項為P1﹣＝﹣＝，可得Pn＝（）n+．因此第10次仍然在上底面的概率P10＝（）10+．故選：D．【舉一反三】1．（2020?越城區(qū)模擬）隨機變量ξ有四個不同的取值，且其分布列如下：ξ2sinαsinβ3cosαsinβ3sinαcosβPt則E（ξ）的最大值為（）A．﹣1 B．﹣ C． D．1【答案】C【解析】【分析】依題意，t＝1﹣×＝，所以E（ξ）＝（2sinαsinβ+3cosαsinβ+3sinαcosβ）+＝（+）+（+）＝sin（α+β）+cos（α﹣β），根據(jù)α，β的情況討論即可得到E（ξ）的最大值．解：依題意，t＝1﹣×＝，所以E（ξ）＝（2sinαsinβ+3cosαsinβ+3sinαcosβ）+＝（+）+（+）＝sin（α+β）+cos（α﹣β），所以當α+β＝，α﹣β＝2kπ，（k∈z）時，即（k∈Z）時，E（ξ）取得最大值＝1．故選：D．2．（2020?天心區(qū)模擬）已知函數(shù)f（x）＝，若，則方程[f（x）]2﹣af（x）+b＝0有五個不同根的概率為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】畫出函數(shù)f（x）的圖象，結合圖象求得由方程[f（x）]2﹣af（x）+b＝0有五個不同的實數(shù)根時f（x）的取值范圍；再構造函數(shù)，利用二次函數(shù)的圖象與性質求出關于a、b的不等式組表示的平面區(qū)域，計算平面區(qū)域面積比即可．解：畫出函數(shù)f（x）＝的圖象，如圖1所示；令f（x）＝t，由方程[f（x）]2﹣af（x）+b＝0有五個不同的實數(shù)根，即方程t2﹣at+b＝0有兩個不同的實數(shù)根t1、t2，由f（x）的圖象知，t1＜0，且0＜t2＜1；設g（t）＝t2﹣at+b，由二次函數(shù)g（t）的圖象與性質可得，又不等式組表示的平面區(qū)域為邊長為2的正方形，其面積為4，且滿足條件的區(qū)域如陰影部分，其面積2﹣＝，如圖2所示；則所求的概率值為P＝＝．故選：B．3．（2019?湛江一模）已知空間直角坐標系中的四個點A（4，1，1），B（4，﹣2，﹣1），C（﹣2，﹣2，﹣1），D（﹣2，1，﹣1）．經(jīng)過A，B，C，D四點的球記作球M．從球M內部任取一點P，則點P落在三棱錐A﹣BCD內部的概率是．【答案】【解析】【分析】由A，B，C，D四點的坐標知，BCD三點在平行于xoy坐標面的平面上，且三角形BCD是以C為直角頂點的直角三角形，故球心在過BD中點且垂直于xoy坐標面的直線上，設出球心坐標，即可求出球心，然后求出三棱錐的體積及球的體積，可得．解：依題意：BCD三點在平行于xoy坐標面的平面上，且滿足[[（4+2）2+（﹣2﹣1）1+（﹣1+1）2]＝[（4+2）2+（﹣2+2）2+（﹣1+1）2]+[（﹣2+2）2+（﹣2﹣1）2+（﹣1+1）2]，即BD2＝BC2+CD2，∴△BCD是以C為直角頂點的直角三角形，∴BD中點E（1，，﹣1）到△BCD三頂點的距離相等，又BCD三點在豎坐標皆為﹣1，故三點在平行于xoy坐標面的平面內，所以球心在過E且垂直于xoy坐標面的直線上，設球心F坐標為（1，﹣，z），則DF＝AF，即＝，得z＝0，所以球的半徑r＝，所以，球的體積V＝＝＝，三棱錐A﹣BCD是以直角三角形BCD為底，高為2的三棱錐，其體積V1＝＝＝6，點P落在三棱錐A﹣BCD內部的概率是：P＝＝＝．【強化訓練】1．（2020·安徽高考模擬（理））2019年5月22日具有“國家戰(zhàn)略”意義的“長三角一體化”會議在蕪湖舉行；長三角城市群包括：上海市以及江蘇省、浙江省、安徽省三省部分城市，簡稱“三省一市”.現(xiàn)有4名高三學生準備高考后到上海市、江蘇省、浙江省、安徽省四個地方旅游，假設每名同學均從這四個地方中任意選取一個去旅游，則恰有一個地方未被選中的概率為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)排列組合的知識分別求解出恰有一個地方未被選中的情況和所有情況，利用古典概型計算可得結果.【詳解】名同學去旅游的所有情況有：種恰有一個地方未被選中共有：種情況恰有一個地方未被選中的概率：本題正確選項：2.設函數(shù)，若是從三個數(shù)中任取一個，是從五個數(shù)中任取一個，那么恒成立的概率是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】思路：設事件為“從所給數(shù)中任取一個”，則，所求事件為事件，要計算所包含的基本事件個數(shù)，則需要確定的關系，從恒成立的不等式入手，恒成立，只需，而，當時，，所以當時，，所以，得到關系后即可選出符合條件的：共8個，當時，，所以符合條件，綜上可得，所以3．（2020·湖北高考模擬（理））生活中人們常用“通五經(jīng)貫六藝”形容一個人才識技藝過人，這里的“六藝”其實源于中國周朝的貴族教育體系，具體包括“禮、樂、射、御、書、數(shù)”.為弘揚中國傳統(tǒng)文化，某校在周末學生業(yè)余興趣活動中開展了“六藝”知識講座，每藝安排一節(jié)，連排六節(jié)，則滿足“數(shù)”必須排在前兩節(jié)，“禮”和“樂”必須分開安排的概率為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】分情況討論，由間接法得到“數(shù)”必須排在前兩節(jié)，“禮”和“樂”必須分開的事件個數(shù)，不考慮限制因素，總數(shù)有種，進而得到結果.【詳解】當“數(shù)”位于第一位時，禮和樂相鄰有4種情況，禮和樂順序有2種，其它剩下的有種情況，由間接法得到滿足條件的情況有當“數(shù)”在第二位時，禮和樂相鄰有3種情況，禮和樂順序有2種，其它剩下的有種，由間接法得到滿足條件的情況有共有：種情況，不考慮限制因素，總數(shù)有種，故滿足條件的事件的概率為：，故答案為：C.4．（2020?富陽區(qū)模擬）已知數(shù)列{an}滿足a1＝0，且對任意n∈N*，an+1等概率地取an+1或an﹣1，設an的值為隨機變量，則（）A．P（ξ3＝2）＝ B．E（ξ3）＝1 C．P（ξ5＝0）＜P（ξ5＝2） D．P（ξ5＝0）＜P（ξ3＝0）【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，分別分析出ξn當n分別取2，3，4，5時所對應的值，以及每個ξn的對應的概率，即可判斷出正確選項．解：依題意a2＝1或a2＝﹣1，且P（a2＝1）＝P（a2＝﹣1）＝，ξ3＝a3的可能取值為a2+1＝2，a2﹣1＝0，a2+1＝0，a2﹣1＝﹣2，P（ξ3＝2）＝×＝，P（ξ3＝0）＝2×＝，P（ξ3＝﹣2）＝＝，E（ξ3）＝2×+0×+（﹣2）×＝0，由此排除A和B；ξ4＝a4的可能取值為a3+1＝3，a3﹣1＝1，a3+1＝﹣1，a3﹣1＝﹣3，P（ξ4＝3）＝P（ξ3＝2）＝，P（ξ4＝1）＝＝，P（ξ4＝﹣1）＝＝，P（ξ4＝﹣3）＝P（ξ3＝﹣2）＝．．ξ5＝a5的可能取值為4，2，0，﹣2，﹣4．P（ξ5＝0）＝＝，P（ξ5＝2）＝＝，所以P（ξ5＝0）＞P（ξ5＝2），排除C．因為P（ξ5＝0）＝，P（ξ3＝0）＝，所以P（ξ5＝0）＜P（ξ3＝0），故選：D．5．（2020·全國高三模擬）某農(nóng)貿市場出售西紅柿，當價格上漲時，供給量相應增加，而需求量相應減少，具體調查結果如下表：表1市場供給量表2市場需求量單價

（元/kg）22.42.83.23.64單價

（元/kg）43.42.92.62.32供給量

（1000kg）506070758090需求量

（1000kg）50606707580根據(jù)以上提供的信息，市場供需平衡點（即供給量和需求量相等時的單價）應在區(qū)間（）A．（2.3，2.6）內 B．（2.4，2.6）內 C．（2.6，2.8）內 D．（2.8，2.9）內【答案】C【解析】由已知中表格所給的數(shù)據(jù)，我們結合答案中的四個區(qū)間，分別分析區(qū)間端點對應的供給量與需求量的關系，如果區(qū)間兩個端點的表示供給量與需求量的關系的不等號方向是相反的，則市場供需平衡點（即供給量和需求量相等時的單價）應在該區(qū)間．解答：解：∵單價等于2.8時，供給量=70∴當單價小于2.6時，由于2.6＜2.8∴供給量＜70而此時，需要量＞70故此時，供給量＜需要量而當單價等于2.6時，需求量=70∴當單價大于2.8時，∵2.8＞2.6∴供給量＞70而此時，需要量＜70故此時，供給量＞需要量綜上所述，市場供需平衡點（即供給量和需求量相等時的單價）應在區(qū)間（2.6，2.8）內，故選C6．（2019·四川成都七中高考模擬（理））如果不是等差數(shù)列，但若，使得，那么稱為“局部等差”數(shù)列.已知數(shù)列的項數(shù)為4，記事件：集合，事件：為“局部等差”數(shù)列，則條件概率（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】分別求出事件與事件的基本事件的個數(shù)，用=計算結果.【詳解】由題意知，事件共有=120個基本事件，事件“局部等差”數(shù)列共有以下24個基本事件，（1）其中含1，2，3的局部等差的分別為1，2，3，5和5，1，2，3和4，1，2，3共3個，含3，2，1的局部等差數(shù)列的同理也有3個，共6個.含3，4，5的和含5，4，3的與上述（1）相同，也有6個.含2，3，4的有5，2，3，4和2，3，4，1共2個，含4，3，2的同理也有2個.含1，3，5的有1，3，5，2和2，1，3，5和4，1，3，5和1，3，5，4共4個，含5，3，1的也有上述4個，共24個，=.故選C.7．（2020雁塔區(qū)校級模擬）為了解某次測驗成績，在全年級隨機地抽查了100名學生的成績，得到頻率分布直方圖（如圖），由于某種原因使部分數(shù)據(jù)丟失，但知道后5組的學生人數(shù)成等比數(shù)列，設90分以下人數(shù)為38，最大頻率為b，則b的值為．【答案】0.32【解析】【分析】由已知中抽查了100名學生的成績，90分以下人數(shù)為38，可得五組的累積頻數(shù)為62，設第四組的頻數(shù)為a，后5組的學生人數(shù)成等比數(shù)列的公比為q（0＜q＜1），結合最大頻率為b，根據(jù)等比數(shù)列的前n項和公式及＜62，求出q，a，進而得到答案．解：由抽查了100名學生的成績，90分以下人數(shù)為38，則90分以上人數(shù)為100﹣38＝62人，為后五組的累積頻數(shù)由于后5組的學生人數(shù)成等比數(shù)列，設第四組的頻數(shù)為a，公比為q（0＜q＜1），則S5＝＝a（q4+q3+q2+q+1）由各組人數(shù)均為整數(shù)，故＜62，故q＝，a＝32，則b＝＝0.32，故答案為：0.328．（2020?寧波校級模擬）某保險公司新開設了一項保險業(yè)務，規(guī)定該份保單在一年內如果事件E發(fā)生，則該公司要賠償a元，假若在一年內E發(fā)生的概率為p，為使公司受益的期望值不低于a的，公司應要求該份保單的顧客繳納的保險金最少為元．【答案】（p+0.1）a【解析】【分析】用隨機變量ξ表示此項業(yè)務的收益額，x表求顧客繳納的保險金，則ξ的所有可能取值為x，x﹣a，且P（ξ＝x）＝1﹣p，P（ξ＝x﹣a）＝p，Eξ＝x（1﹣p）+（x﹣a）p＝x﹣ap，由公司受益的期望值不低于a的，由求出公司應要求該份保單的顧客繳納的保險金最少金額．解：用隨機變量ξ表示此項業(yè)務的收益額，x表求顧客繳納的保險金，則ξ的所有可能取值為x，x﹣a，且P（ξ＝x）＝1﹣p，P（ξ＝x﹣a）＝p，∴Eξ＝x（1﹣p）+（x﹣a）p＝x﹣ap，∵公司受益的期望值不低于a的，∴x﹣ap≥，∴x≥（p+0.1）a（元）．故答案為：（p+0.1）a．9.“學習強國”學習平臺是由中宣部主管，以深入學習宣傳習近平新時代中國特色社會主義思想為主要內容，立足全體黨員、面向全社會的優(yōu)質平臺，現(xiàn)已日益成為老百姓了解國家動態(tài)，緊跟時代脈搏的熱門app.該款軟件主要設有“閱讀文章”和“視聽學習”兩個學習板塊和“每日答題”、“每周答題”、“專項答題”、“挑戰(zhàn)答題”四個答題板塊.某人在學習過程中，將六大板塊依次各完成一次，則“閱讀文章”與“視聽學習”兩大學習板塊之間最多間隔一個答題板塊的學習方法有________種.【答案】【解析】【分析】先分間隔一個與不間隔分類計數(shù)，再根據(jù)捆綁法求排列數(shù),最后求和得結果.【詳解】若“閱讀文章”與“視聽學習”兩大學習板塊相鄰，則學習方法有種;若“閱讀文章”與“視聽學習”兩大學習板塊之間間隔一個答題板塊的學習方法有種;因此共有種.故答案為：10．（2020?路南區(qū)校級月考）如圖來自古希臘數(shù)學家希波克拉底所研究的幾何圖形，此圖由三個半圓構成，三個半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC、直角邊AB、直角邊AC，△ABC的三邊所圍成的區(qū)域．若BC＝10，過點A作AD⊥BC于D，當△ABD面積最大時，黑色區(qū)域的面積為．【答案】【解析】【分析】△ABC的三邊所圍成的區(qū)域記為I，黑色部分記為II，其余部分記為III，由題意，計算△ABD的面積，求出面積取最大值時對應的θ值，再計算區(qū)域Ⅱ的面積SⅡ．解：因為BC＝10，設∠ABC＝，所以AB＝10cos，BD＝ABcos＝10cos2＝5（1+），AD＝ABsin＝10sincos＝5sinθ，所以S△ABD＝BD?AD＝×5sinθ?5（1+）＝（1+），設f（θ）＝（1+），θ∈（0，π），則f'（θ）＝2cos2θ+﹣1＝0，解得＝，得θ＝；當θ∈（0，）時，＞，f'（θ）＞0，f（θ）為增函數(shù)；當θ∈（，π）時，＜，f'（θ）＜0，f（θ）為減函數(shù)；所以，當θ＝時，f（θ）最大，△ABD面積最大，設△ABC的三邊所圍成的區(qū)域記為I，黑色部分記為II，其余部分記為III，此時，區(qū)域Ⅱ的面積為SII＝π?（）2+π?（）2﹣SⅢ＝π?（）2+π?（）2﹣[π?（）2﹣SⅠ]＝SⅠ，且SⅠ＝AB?AC＝×10sin×10cos＝25sinθ＝，故當△ABD面積最大時，區(qū)域Ⅱ的面積為．故答案為：．11．（2020·廣東模擬）水痘是一種傳染性很強的病毒性疾病，易在春天爆發(fā)．市疾控中心為了調查某校高一年級學生注射水癥疫苗的人數(shù)，在高一年級隨機抽取5個班級，每個班抽取