2024-2025學(xué)年重慶某中學(xué)高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含答案）

2024-2025學(xué)年重慶十一中教育集團(tuán)高二(上)期中數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.直線1過P(b+c,6),Q(a+c,a)(a力6)兩點(diǎn)，則直線1的斜率為()

Aa+b

BTC.1D.-1

A。a+D

2.若平面a的法向量為?1=(4,-4,一2),方向向量為(x,2,l)的直線Z與平面a垂直，則實(shí)數(shù)無(wú)=()

A.4B.-4C.2D.-2

3.圓心為且過原點(diǎn)的圓的一般方程是()

A.x2+y2+2x—2y+1=0B,x2+y2—2x+2y+1=0

C.x2+y2+2x-2y=0D.x2+y2—2x+2y=0

4.橢圓號(hào)+言=1和岑+^=k(k>0)具有(

azb2azb2')

A.相同的離心率B.相同的焦點(diǎn)C.相同的頂點(diǎn)D.相同的長(zhǎng)、短軸

5.如圖，三棱錐。一48C中，OA=a,OB=b,芯=2,點(diǎn)N為BC中點(diǎn)，點(diǎn)M滿

足府=2耐，則麗=()

1—1-?

A-2a-3b~3C

B.一字+羅+后

C.-|?+^+?

D.-a--o+-c

6.若圓Cl：%2+y2=4與圓C2：(%-a)2+(%+a)2=1有公切線，則實(shí)數(shù)a的范圍是()

A.[-筆爭(zhēng)B.(-8,—爭(zhēng)U吟,+8)

C.(-00,-1]U[1,+00)D.[-14]

7.已知橢圓C:言+2=l(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為鼻,尸2，點(diǎn)P在橢圓。上，若離心率e=隔，

則橢圓C的離心率的取值范圍為()

A.(0,A/2-l)B.(0,爭(zhēng)C.爭(zhēng))D.[A/2-1,1)

2

8.已知好+M='+%=16(x1,x2,y1,y26R),且1冷+月丫2=0,則代數(shù)式(亞+x2)+O1+y*2卡■

產(chǎn)的最小值為()

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A.4避

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

9.已知直線八：ax+y+1=0,直線2%+ay-1=0,則下列說法正確的是()

A.若，i〃，2，則。-1或a=-1

B.若h1b，則。=。

C.直線A過定點(diǎn)(0,-1)

D.若直線L與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為《貝必=1

io.數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，例如：四葉草曲線就是其中一y

種，其方程為(x2+y2)3=/y2,則下列說法正確的是()廠、

A,四葉草曲線有四條對(duì)稱軸

B.設(shè)P為四葉草曲線上一點(diǎn)，且在第一象限內(nèi)，過P作兩坐標(biāo)軸的垂線，則兩/

垂線與兩坐標(biāo)軸圍成的矩形面積的最大值為：

C.四葉草曲線上的點(diǎn)到原點(diǎn)的最大距離為白

D.四葉草曲線的面積小于?

11.已知正方體力BCD-AiBiCi歷棱長(zhǎng)為1,動(dòng)點(diǎn)M滿足俞=尤荏+y前+zA,

AA.(x,y,zeR),則()

A.當(dāng)％=y=0,z=拊，則三棱錐M-4BD的體積為擊

B.當(dāng)％=y=1,z=5時(shí)，直線AMJ,平面/隹。

C.當(dāng)％=y=-,z=l時(shí)，直線AM〃平面MB。

77

D.當(dāng);c+y+z=1且AM=5時(shí)，點(diǎn)M的軌跡長(zhǎng)度為各

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.兩平行線=：%+2y-l=。與L：2x+4y+3=0之間的距離為

13.在四棱錐P-4BCD中，底面力BCD是正方形，側(cè)面PAD1底面2BCD,且△PAD

是正三角形，E是PC的中點(diǎn)，則異面直線DE與PB所成角的余弦值是.

14.已知P,Q為橢圓f|+哈=1上的動(dòng)點(diǎn)，直線PQ與圓M：Q—2)2+y2=i相切，

切點(diǎn)4恰為線段PQ的中點(diǎn)，當(dāng)直線PQ斜率存在時(shí)點(diǎn)4的橫坐標(biāo)為.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

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15.(本小題13分)

已知AABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為4(一2,4),B(-1,3),C(2,6).

(1)求邊4B的垂直平分線的勺方程；

(2)求三角形力BC的外接圓方程.

16.(本小題15分)

在直三棱柱ABC-AiBiCi中，AABC為等腰直角三角形，AB1AC,AB=AC,AAr=2AB,點(diǎn)M在側(cè)棱C

Ci上，且滿足由=［西.

(1)求證：BM14C；

(2)求直線與平面48M所成的角的正弦值.

17.(本小題15分)

己知橢圓E：g+^=l(a>b>0)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2避，且點(diǎn)M(也爭(zhēng)在橢圓E上.

(1)求橢圓E的方程；

(2)設(shè)直線y=kx+并與橢圓E相交于不同的兩點(diǎn)P和Q,當(dāng)|PQ|=G時(shí)，求實(shí)數(shù)k的值.

18.(本小題17分)

如圖1所示的圖形中，四邊形4BCD為菱形，/.BAD=60°,△24。和△BCQ均為直角三角形，

/.PDA=^QCB=90°,PD=AD=2CQ=2,現(xiàn)沿4。和BC將△PAD和△BCQ進(jìn)行翻折，使

PD〃QC(PD,QC在平面力BCD同側(cè))，如圖2(或圖3)

(1)證明：BQ〃平面PAD；

(2)如圖2,若PD，平面2BCD,求點(diǎn)Q到平面PBD距離；

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(3)如圖3,若二面角P-AD-B為120。時(shí)，判斷平面PBQ與平面PBD是否垂直？并說明理由.

19.(本小題17分)

已知橢圓已:+噲=1(6>0)的焦點(diǎn)在x軸，離心率e=冬點(diǎn)P在直線x=2上.

(1)求實(shí)數(shù)b的值；

(2)設(shè)尸是橢圓E的右焦點(diǎn)，若Q是橢圓E上一點(diǎn)，且滿足而?而=0,設(shè)直線PQ和直線OQ(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的

斜率分別為七，k2,證明：k1-k2=-|；

(3)若點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為看過P作直線/交橢圓E于不同的兩點(diǎn)M和N,在線段MN上取點(diǎn)H(異于M,N兩點(diǎn))滿足

鼠弱=晶胃，證明：點(diǎn)”在定直線上.

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參考答案

l.c

2.D

3.0

4.2

5.B

6.B

7.0

8.D

9.BC

1Q.ABD

11.ACD

12岑

13.]

14里

15.解:(1)因?yàn)?(—2,4),5(-1,3),可得力B的中點(diǎn)D(—|,今，

屈=(1,—1),由點(diǎn)法式方程可得A8的中垂線1的方程為：lx(x+§+(—l)(y—今=0,

整理可得：x-y+5=0；

(2)BC的中點(diǎn)E(翡),麗=(3,3),

由點(diǎn)法式方程可得BC的中垂線方程為3(x-》+3(y-|)=0,

整理可得：x+y-5=0,

聯(lián)立｛：Zo，解得％-0,y=5,

即AABC的外接圓的圓心為(0,5),

半徑r=&0—2產(chǎn)+(6—5)2=非,

所以原點(diǎn)方程為：%2+(y-5)2=5.

16.解：(1)證明：由題得，以力為坐標(biāo)原點(diǎn)，以荏，AC,嬴方向分別為小y、z軸的正方向，建立空間直

角坐標(biāo)系，

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如圖所示,

設(shè)4B=2,則B(2,0,0),M(0,2,l),4(0,0,4),C(0,2,0),

麗=(-2,2,1),=(0,2-4),

由前?布=2x2—4=0,

?*.BM_LA^C；

(2)由題得說=(2,0,0),俞=(0,2,1)，兩=(一2,0,4),

設(shè)平面的一個(gè)法向量為日=(x,y,z),

貝船需藍(lán),即像；屋＞

取7=(0,1,—2),

設(shè)直線B4i與平面4BM所成的角為仇

貝同加=需算=房而4

???直線艮的與平面4BM所成角的正弦值為去

f2a=2^/3

a=4

17.解：⑴由題可得:2,|1，解得:

—+—=1b=1

以2

所以橢圓E的方程為：f+y2=l；

(2)由題，設(shè)P(xi,y。,Q(%2，y2)，

'y=kx+

聯(lián)立正+y2=i,化簡(jiǎn)得：(1+3/)久2+6/依+3=0,

則4=72左2—12(1+3M)>0,即左2>[,

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則打+比2=一黑色'比1.久2=京欣'

所以IPQI="+的由一%2|

_/1TPI72k2—

7/(1+3k2)2l+3fc2

=y/3,

化簡(jiǎn)得：9k4+6肥—15=0,

解得：N=1或/=—表舍)，

所以k=±1,滿足左2＞今

即k的值為±1.

18.1?：(1)證明：由題意，PD//QC,

QCU平面PAD,PDu平面/MD,

.-.QC〃平面PAD,

四邊形4BCD為菱形，,-,BC//AD,

又BCC平面PAD,ADu平面PAD,

.-.8C〃平面P2D,

又QCCiBC=C,QC、BCu平面BCQ,

平面PAD〃平面8CQ,又BQu平面8CQ,

.-.BQ〃平面PAD；

(2)由題意：PD1平面力BCD,四邊形力BCD為菱形，^BAD=60°,

取BC中點(diǎn)E,連接DE,可得DE1BC,

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以ZM,DE,DP所在直線分別為x軸，y軸，z軸,

建立空間直角坐標(biāo)系，

則D(0,0,0),B(1)A/3,0),P(0,0,2),Q(-1,8,1),

DB=(l，73,0),DP=(0,0,2),DQ=(-1,73,1),

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設(shè)平面PBD的一個(gè)法向量為五=(%,y,z),

則由卜?加=0,可得12z=0，

令y=-1,可得(=(居TO),

.?■點(diǎn)Q到平面PBD的距離d=嗎辿=木；

I川

(3)平面PBQ與平面PBD不垂直，理由如下：

由四邊形為菱形，4BAD=60。，

△PAD和△BCQ均為直角三角形，

/.PDA=/-QCB=90。，???AD1PD,

取BC中點(diǎn)E,連接DE,可得DE1AD,

.-.二面角P—AD-B的平面角為NPDE,Z.PDE=120°,

以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以。40E所在直線分別為無(wú)軸，y軸,

過。作垂直于底面ABC。的z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

則。(0,0,0),5(1,73,0),P(O,-1,避)，Q(T避一：1)，

4Z

DB—(1,^/3,0),DP=(0,—1,^/3),BP=(―1,—1—^/3,^/3),BQ=(—2,一三尊),

設(shè)平面PBD的一個(gè)法向量為7n=

(拓.麗=0+避力=0

則由|布?加=0,可何1—九+晟1=0，

令Z1=1,可得范=(-3,避,1),

設(shè)平面PBQ的一個(gè)法向量為Z=(%2〃2/2)，

G?麗=o(-％2-(和+1)〃+=o

則由匕屈意。，可得12冷-6+爭(zhēng)2=。'

令及=3,可得2=(4,3,4+避)，

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因?yàn)閦n?Z=4+避W0,所以訪與t不垂直，

所以平面PBQ與平面尸8。不垂直.

19.(1)解：設(shè)橢圓E的焦距為2c,長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a,

fa="

由題意知，￡=*，解得6=1.

a2,_____

[b=^a2-c2

(2)證明：由⑴知，橢圓E的方程為苧+*=1,

設(shè)QQo,yo)，P(2,t),F(l,0),

則而=(—l,T),QF=(l-%o-yo)-

因?yàn)镻F,QF=0,所以—(1—x(j)+ty()=0,即ty°=l—劭,

由QQWo)在橢圓E上,知羽=1—率

2

t-yo.yotyo-yp1-X-(1-^)1

所以々1,々2==