2024年北京高一數(shù)學(xué)試題分類匯編：正弦定理和余弦定理（7種?？碱}型歸類）解析版

專題05正弦定理和余弦定理7種常考題型歸類

題型歸納

題型一利用余弦定理解三角形

II

I經(jīng)典基礎(chǔ)題I

利用余弦定理解三角形

1.（2018春?海淀區(qū)期中）在A48C中，已知N=60。，a=/7,6=3,貝I]c=

【解析】A4BC中，/=60。，q=6=3,

貝!Ja2=b2+c2-2bccosN,

7=9+c2—3c,

解得c=l或c=2；

經(jīng)驗(yàn)證，0=1或°=2都滿足題意，

；.c的值為1或2.

故答案為：1或2.

2.(2023秋?昌平區(qū)校級(jí)期中)在A48c中，若a=7,6=8,cos5=-,則N4的大小為

7

()

A.-B.-C.—D.乙或網(wǎng)

63633

【解析】./4=7,b=8,cosB=—,

7

sinB=cos2B=3E,

7

7x巡

?小TP昉空加HT徂A-a'sinB_____2_=且

b82

*:a<b,A為銳角,

A,.——兀.

3

故選：B.

3.（2022春?西城區(qū)校級(jí)期中）在ZUBC中，6=7,c=5,/B=一,貝lja=.

3

?TT

【解析】???6=7,c=5,/B=——，

3

二.由余弦定理/=/一2QCCOSB,可得：49=Q2+25+5Q,即：tz2+5tz-24=0,

.??解得：a=3,或-8（舍去），

故答案為：3.

4.（2016春?西城區(qū)校級(jí)期中）在A4BC中，若6=3,c=l,cos/=L貝ija=（

3

A.273B.2V2C.8D.12

【解析】，：b=3,c=l,cosA=-,

3

二.由余弦定理可得：a2=b2+c2—2bccos^4=9+1—2x3xlx—=8,解得：a=2A/2.

3

故選：B.

5.（2021春?順義區(qū)校級(jí)期中）在A4BC中，AC=1,BC=3,4+5=60。，貝!JZB=

【解析】???/C=l,BC=3,4+5=60。，

/.C=120°,

由余弦定理可得：AB2=32+l2-2xlx3xcosl20°=13,

.,?解得：AB=A/T3.

故答案為：岳.

z~?/~c

6.（2023春?西城區(qū)校級(jí)期中）在A4BC中，cos—=—,BC=\,AC=5,貝I|48=

25

【解析】VCOS-^^,

25

2C3

cosC=2cos1=—9

25

vBC=\,AC=5,

由余弦定理可得：AB=y]BC2+AC2-25C./lC.cosC=Jl+25-2xlx5x（-1）=472.

故答案為：4夜.

7.（2019春?西城區(qū)校級(jí)期中）若A43c中，角4,B,。的對(duì)邊分別為a,b,c.若a=2,6=3,

c=4,則cosC=（）

A.--B.-C.--D.-

4433

?2+32-421

【解析】由余弦定理可得：cosC=二—卜.

2x2x34

故選：A.

8.（2017春?豐臺(tái)區(qū)期中）在A48C中，角/,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,a=3,6=2攻，

c=石，則最小角為（）

A.-B.-C.-D.—

36412

【解析】A4BC中，a>b>c,.?.角C最?。?/p>

由余弦定理得，

八a2+b2-c29+8-541

cosC----------------——------------產(chǎn)——，

lab2x3x2V22

又Ce（0,乃），

C=-,

4

即NABC中最小的角為2.

4

故選：C.

9.（2017春?東城區(qū)校級(jí)期中）邊長為5,7,8的三角形，邊長為7的邊所對(duì)角的大小是（）

A.30°B.60°C.120°D.150°

S2-I-R2-721

【解析】設(shè)邊長為7的邊所對(duì)角為a,則由已知利用余弦定理可得cosa=‘+"一’=一,

2x5x82

又a是三角形內(nèi)角，

所以a=60。.

故選：B.

10.（2018春?西城區(qū)校級(jí)期中）A48C的三邊長分別為4、5、6,若將三邊都減少x后構(gòu)成一個(gè)鈍

角三角形，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是—.

【解析】根據(jù)題意，截取后三角形的三邊長為4-x,5-x,6-x,且長為6-x所對(duì)的角為a,a

為鈍角，

cosa<0,(4-x)2+(5—x)2-(6-x)2<0,

整理得：(x-l)(x-5)<0,

解得：l<x<5,

—x>0,5—x>0,6-x>0,JzL4—x+5—x>6-x,

0<x<3,

x的取值范圍是1<x<3.

故答案為：(1,3).

11.(2018春?西城區(qū)校級(jí)期中)已知?jiǎng)t以3,5,〃為邊長的鈍角三角形的個(gè)數(shù)是—.

【解析】鈍角三角形中，其中一邊的平方大于另兩邊的平方和，

由題意，當(dāng)5為鈍角三角形的最大邊時(shí)，有：32+?2<52,解得：0<〃<4,由三角形三邊關(guān)系可

得J3+”>5,得2<〃<8,所以2<”<4,由于止匕時(shí)，〃=3；

[3+5>?

當(dāng)”為鈍角三角形的最大邊時(shí)，有：32+52<?2,解得：取<〃，

由三角形三邊關(guān)系可得尸+”>二得2<〃<8,

13+5>〃

所以加<8,由于〃eN*,此時(shí)，n=6,7；

故答案為：3.

利用正弦定理解三角形

12.(2022春?西城區(qū)校級(jí)期中)在A4BC中，a=2,6=3,cosB==,貝lJ/4=()

71

A.-B.C.—TDV.一兀―或p-一n

6T666

"a

【解析】因?yàn)閍=2,6=3,

4

_______o

所以sinB=\l-cos2B=—，

4

因?yàn)橛烧叶ɡ砜傻谩?二b

sinAsinB

2x_

所以sm/=3包且=3=L

b32

又b>a,可得4為銳角，

所以/=工.

6

故選：A.

13.（2022春?海淀區(qū)校級(jí)期中）在A4BC中，若BC=母,AC=2,5=45。，則角力等于（）

A.60°B.30°C.60。或120。D.30。或150。

【解析】?.?5C=后，AC=2,sin5=sin45°=—,

2

Cx叵

+工田BCAC-21

由正弦定理----=----得：sm4=----------,

sinAsin522

vBC<AC,:.A<B,

則4=30。.

故選：B.

14.（2022秋?西城區(qū)校級(jí)期中）在AASC中，若6=3,c=&,。=￡，則角8的大小為（）

A兀21—.TC_p.27r

A.—D.一或——

6B-T~T33

【解析】?：b=3,c-yj~6,C=—,

4

由正弦定理可得，上=[J,

sinBsinC

3x

fesinC

sinB=

?:b>c,

B>C,

1需27r

..BD=-71--,

33

故選：D.

15.（2021春?昌平區(qū)校級(jí)期中）在AASC中，內(nèi)角4、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c,如果Q=10,

ZA=30°,ZC=105°,那么6等于（）

5h

A.—B.572C.10V2D.20V2

2

【解析】由題可得28=180。-30。-105。=45。，

由正弦定理可得，一=—"，則6:淚叱「O"2

sin/sin5sin4

2

故選：C.

16.（2022春?東城區(qū)校級(jí)期中）在A45C中，根據(jù)下列條件解三角形，其中有兩個(gè)解的是（）

A.6=10,4=45。，。=70。B.a=60,c=48,5=60。

C.。=8,b=5,4=80。D.a=U,6=16,4=45。

【解析】對(duì)于選項(xiàng)4:6=10,4=45。，C=70。,所以5=65。，直接利用正弦定理的應(yīng)用：

—=—=—,解得。和C的值是唯一的，故該三角形有唯一解，故錯(cuò)誤.

sinAsinBsinC

對(duì)于選項(xiàng)3:a=60,c=48,B=60°,利用余弦定理的應(yīng)用：b2=a2+c2-2accosB,解得6是唯

一的，所以該三角形有唯一解，故錯(cuò)誤.

對(duì)于選項(xiàng)C：由于。=8,b=5,4=80。，利用正弦定理的應(yīng)用：=由于。>6,解得

sinAsinB

2唯一，故三角形有唯一解，故錯(cuò)誤.

對(duì)于選項(xiàng)。：由于：。=13,6=16,4=45。，滿足6>a>6sin/,故三角形有兩解，

故選：D.

期型03余弦定理的應(yīng)用

17.(2022春?東城區(qū)校級(jí)期中)在ZUBC中，若ac=8,a+c=7,B=g貝!］6=()

A.25B.5C.4D.V5

【解析】由余弦定理知，b2=a2+c2-2accosB=(a+c>-2ac—2accos8=49-2x8-2x8xg=25,

所以6=5.

故選：B.

18.(2015春?北京校級(jí)期中)在A42c中，(a+c)(a-c)=6(6+c),貝！I//=.

［解析］,/(a+c)(a-c)=b(b+c)t

a2-c2=b2+be,即a2=b2+c2+be①，

又在A45C中，由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA?,

由①②得：cos4=—；,又ZE(0,4),

27r

../=——

3

故答案為：—.

3

19.(2018春?西城區(qū)校級(jí)期中)A45C中，若6=c,/=2〃(1—sin/),則4=

【解析】?.》=c,

/.a2=b2+c2-2bccosA=2b2-2b2cosA=2b2(1-cosA),

?/a2=2b2(1-sinA)，

二.1一cos4=l—sin/,

則sinA=cosA,即tan4=1,

即4=工，

4

故答案為：

4

20.（2019春?西城區(qū)校級(jí)期中）在ZUBC中，a2^b2+c2-bc,則//的取值范圍是（）

JTTTTTTT

A.(0,-]B.片,乃)C.(0,-]D.片")

oo55

【解析】,.,/?62+。2一6°,

772226+C-Cl-7-n

be?b+c-a,---------------ru,

be

,〃+(?―/]

/.cos^4=---------------n—,且0<4<笈，

2bc2

0<A>—,

3

；.乙4的取值范圍是(o,g.

故選：c.

21.(2022春?豐臺(tái)區(qū)期中)在A45c中，b2+c2=a2-41bc,S.b=—a,貝ljB=

2

222

【解析】A45c中，b+c=a-yJ2bcf

222

r4曰彳b+c-a~^2bc_V2

可得cosZ=--------------

2bc2bc~~~T

由b=可得sinB=^^sinZ=L,

222

由于6<a,可得8<N,則2=30。，

故答案為：30°.

22.（2013春?海淀區(qū)期中）在A43C中，角/,B,。所對(duì)的邊分別為a,b,c.若「-3-。）=],

be

則//的大小是（）

A.-B.-C.-D.—

6433

【解析】已知等式變形得：a1-b-+2bc-c2=bc,BPb2+c2-a2=bc,

由余弦定理得：cos//_+。?=L

2bc2

為三角形的內(nèi)角，；./=工.

3

故選：C.

23.（2023春?東城區(qū)校級(jí)期中）在AZ8C中，若a?-d=kab,/C是銳角，則左的一個(gè)取值

可以為—.

【解析】若/+/-，2=版6,/C是銳角，

所以0〈一左<1,

2

故?！醋?lt;2,

則k的一個(gè)值為1.

故答案為：1（答案不唯一）.

24.（2023春?東城區(qū)校級(jí)期中）在A48C中，角/,B,C的對(duì)邊分別為.，b,c,S,a2=b2-c2-ac,

則角3的大小是（）

A.45°B.60°C.120°D.150°

【解析】a1=b2-c2~ac^>a2+c1+ac=bz=a1+c1-2accos2?=>cos5=--,

2

?1-0°<5<180°,.-.5=120°.

故選：C.

[題型04]正弦定理的應(yīng)用

25.（2019春?海淀區(qū)校級(jí)期中）在A48c中，若6cosc=（3a-c）cos8,貝!|cosB=.

【解析】,.,6COSC=(3Q-C)COS8,

由正弦定理可得：sinBcosC=3sin^4cos5-sinCcosB，

sin(8+C)=3sin/cosB,

/.sin4=3sin^4cos5，

,/sin4w0,

cos5=—.

3

故答案為：

3

26.(2022春?大興區(qū)期中)在A45C中，〃=4,6=5,

1

AB.C.1D.2

-z2

2

25+36-16_3

【解析】由余弦定理知，cos/」0a

2bc2x5x6~4

sin4a42

由正弦定理知,

sinCc63

所以sin4cos/_2*3_1

sinC342

故選：B.

27.（2019春?西城區(qū)校級(jí)期中）在A4BC中，a=2,c=41sinB+sin/(sinC-cosC)=0,則ZC=(

)

D-t

【解析】A43c中,,?,已知sinB+sin4?(sinC—cosC)=0,

又sin8=sin(/+C)=sinAcosC+cos4sinC,

sinB+sin4(sinC-cosC)=0,

sinAcosC+cos4sinC+sinAsinC-sinAcosC=0,

/.cos/sinC+sin/sinC=0.

?「sinCwO,/.cosA=-sinA,/.tanA=-1.

■.■0<A<^,:.A=—

4

由正弦定理可得「一

sinCsinA

.「c?sinA

sinC=---------

a

'：a=2,c=V2，sinC=—.

2

一兀

?;a>c,C——?

6

故選：B.

28.（2022春?豐臺(tái)區(qū)校級(jí)期中）在A4BC中，內(nèi)角4,B,。所對(duì)的邊分別是a,b,c,且Q=1,

B=2A,則6的可能取值為（）

13

A.-B.1C.-D.2

22

【解析】v—=-^,=——-——,6=2cos/,

sin4sin5sin4sin24sin42sin/cos4

7T

0<A+B<7i,「.0<34<4,/.0<A<—,

3

—<cosA<1,1<2cosA<2,1<b<2.

2

故選：C.

29.（2022春?東城區(qū)校級(jí)期中）在銳角三角形/BC中，/=2B，則絲的取值范圍是.

AC

【解析】在銳角A43c中，ZA=2NB,N8e（30。,45。），

°/0V3.2D13、

cosBE.（2，2），cosBG（—,—）,

,....ABcsinCsin353sinB-4sin3B_.42“11小

所以由正弦定理可知：——=-=--=———=--------------------=3-44sm2Bn=4cosB-le（1,2）.

ACbsin3sin3sin5

故答案為：（1,2）.

正余弦定理的綜合

30.（2016秋?海淀區(qū)期中）在AASC中，cosA=—,7a=3b9

14

13

【解析】???在A45C中，cosA=—,

14

/.sinA=cos2A=,

14

7a=3b,

,_bsinA73A/3密

..sinB——x—，

a3142

BG（0/），

,5=工或網(wǎng).

33

故答案為：生或紅.

33

31.（2022春?東城區(qū)校級(jí)期中）在A48c中，若7Q=56,8sin/=5sinC,貝！J/5=（）

A.30°B.45°C.60°D.120°

【解析】???8sin4=5sinC,

Q

二.由正弦定理可得，8〃=5c,即C=—Q,

5

7

又7a=56,則/?二—〃，

5

6449

2.2r2a2H----C2l------Cl21

由余弦定理可得，cos8=°—=——2525=1,

lacc82

2a■—a

5

又3為AA8C的內(nèi)角，則8=60。，

故選：C.

32.（2022秋?通州區(qū)校級(jí)期中）在AA8C中，C=60。，a+2b=8,sinN=6sin2,則c=（）

A.V35B.V3lC.6D.5

【解析】在AA8C中，sinN=6sinB,

利用正弦定理得：a=6b,

?…1a+26=8\a=6

所以3,解zc得a…,

[a=6b[b=l

利用余弦定理。2=/+/—2qbcosC=36+l—2xlx6><L=31,

2

故c=-x/Jl.

故選：B.

33.（2021秋?豐臺(tái)區(qū)校級(jí)期中）在A48c中，內(nèi)角4,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,若sinC=2sin/,

b1-a1=—ac,貝!Jsin5等于.

2

【解析】由sinC=2sinZ得c=2a,

5^,—a2=—ac，彳導(dǎo)62—a2=—dx2。—/,

22

BPb2=2a2,則6=缶，

/+4〃2—2/3a23

由余弦定理得cos5="一十

2Ca=c"2。?2〃

34.(2022春?東城區(qū)校級(jí)期中)在AABC中，內(nèi)角N,B,。所對(duì)的邊分別為a,b,且

a=2sin4b=2gcos3；則角3=；a的取值范圍為

【解析】由。=2sin/可得一日一=2,

sin4

lil/)=2V3cosB=y/3cosBx—,

sin4

由正弦定理，得sin5=Gcos5義包上=gcosB,

sin4

有tan5二百，又B￡(0,4)，故5=(；

71

q=2sinZ=2sin[7T-(B+C)]=2sin(5+C)=2sin(y+C),

因?yàn)?=工，所以?！?(),紜)，則。+工￡(工，兀)，

3333

TT

所以sin(C+§)e(0,1],即ae(0,2].

故答案為：I；(0,2].

35.(2021春?率臺(tái)區(qū)校級(jí)期中)銳角AABC中滿足(a-6)(sin4+sin8)=(c-=sinC,其中a,b,

c分別為內(nèi)角N,B,。的對(duì)邊.

(I)求角/；

(II)若a=G，求6+c的取值范圍.

【解析】(I)銳角A48C中滿足(4-6)(sinN+sin3)=(c-6)sinC,

利用正弦定理：(。-6)(〃+6)=(c-b)c，

整理得左，

故cos/二“=!_

2bc2

由于0<4〈工,

2

故/小

a_V3_

(H)由(I)的2R=------一―尸~2，

sin4V3

2

所以b+c=2sinB+2sinC=2sin(C+—)+2sinC=2^3sin(C+—)，

由于

63

故sin(C+—)e(-^-,1]，

62

故6+CE(3,2G].

36.(2022秋?城關(guān)區(qū)校級(jí)期中)在A4BC中，內(nèi)角4,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且

bsin/=43acosB.

(1)求角5的大?。?/p>

(2)若b=3,sinC=2sinA,求a,c的值.

【解析】(1):bsinZ=VJacosB,

由正弦定理可得sinBsinA=43sinAcosB,

即得tanB=百，

由于：。＜B＜兀，

B「=—九.

3

(2)sinC=2sin^4,

由正弦定理得C=2Q,

由余弦定理/=a2+c2-2accosB,

22萬

9=。+4。-2。?2。cos—,

解得。二百,

1.c=2a=2.

故a=V3，c=2^3.

II

題型06判斷三角形的形狀

■?

37.(2023春?西城區(qū)校級(jí)期中)在A4BC中，若sin/cosB=1—cos/sinB,則這個(gè)三角形是___三

角形.

【解析】sinAcosB=1~cosAsinB,sinAcosB+cosAs,\nB=\,即sin(/+3)=sinC=l,

A48c是直角三角形.

故答案為：直角.

38.（2021秋?順義區(qū)校級(jí)期中）AA8C的內(nèi)角/,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c且滿足

acosB-bcosA=c,貝!］入43（7是（）

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.等腰三角形

【解析】利用正弦定理［==上=，化簡(jiǎn)已知的等式得：

sinAsinBsinC

sinAcosB-sinBcosA=sinC,即sin（4-B）=sinC,

?.?/、B、C為三角形的內(nèi)角，

JT

:.A-B=C,A=B+C=-,

2

則AX8C為直角三角形.

故選：B.

39.（2021春?東城區(qū)校級(jí)期中）已知AABC中，a,b,c分別是角/,B,C的對(duì)邊，且滿足

6cosc=a+ccos3,則該三角形的形狀是（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等邊三角形D.等腰或直角三角形

【解析】已知AA8C中，滿足6cosc=a+ccosB,

利用正弦定理整理得：sin3cosc=sinA+sinCeos5,

轉(zhuǎn)換為sin（5-C）=sin（5+C）,

故3-C=3+C,整理得C=0,與三角形的內(nèi)角相矛盾，

^B-C=7t-B-C,

整理得：22=乃，解得8=工.

2

故A43C為直角三角形,

故選：B.

40.（2021春?順義區(qū)校級(jí)期中）在AA8C中,角4,B,C所對(duì)邊分別為a,b,c,若

a-b=------—,則AA5C的形狀為（）

tanBtanA

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形

ari日bcosBacosA

【解析】因?yàn)椤?6=———，口」得〃-76=-；-----------

tanBtanAsinBs:inA

山十士用..sin5cossinZcosZ”.

所以由正弦定理可得sin/—sinB=---；------------------------=cosB一cosA，

sin8si;n4

所以sin4+cosZ=sin5+cos5,兩邊平方，得l+2sin力cos力=l+2sin5cos/,BPsin2A=sinIB,

TT

所以24=25或24+25=4,即4=5或/+8=一

2

所以AABC的形狀為等腰或直角三角形.

故選：D.

三角形的面積問題

41.（2021春?海淀區(qū)校級(jí)期中）在A45c中,AC=1,BC=3,C=60。，則NABC的面積為（）

A.-V3CD.3

2-I

【解析】因?yàn)?C=2,BC=3,C=60°,

所以A/iBC的面積S=-CB-CA-sinC=-x3x2x—=—

2222

故選：A.

42.（2023春?東城區(qū)校級(jí)期中）在A18C中，若a=3,c=42,B=-,則A42c的面積為

4

【解析】因?yàn)椤?3，c叵,B」

4

故S^BC=-acsin5=Lx3x6x旦=L

2222

3

故答案為:

2

43.（2023秋?順義區(qū)校級(jí)期中）在A48c中，a+b=\\,再從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選

擇一個(gè)作為已知，求:

（1）。的值;

(2)sinC和ZUBC的面積.

iio

條件①：c=7,cosA=——；條件②：cosA=-,cos5=—.

7816

【解析】選條件①:

(1)由余弦定理可得/=〃+/一2bccos4,b=11—a,c=7,

貝(()；

1]/=1—)2+49_2i]_ax7x(_),即24a=192,

解得4=8；

(2)因?yàn)閏os/=-J，AG(0,7i),所以sin4=^^

77

由正弦定理‘一=^^可得sinC=20=——^-=—

sinAsinCa82

由(1)可知6=11—a=3,

所以%3c=；QbsinC=gx8x3x/=66.

選條件②：

(1)因?yàn)镃OS4=L,所以/￡(0,王)，則sin4=^^,

828

因?yàn)镃OS5=2,所以BE(0,2)，所以sinB=3①,

16216

由正弦定理^=—竺可得J==u善，解得4=6,

sin/sin53V75V7

~T~~\6~

(2)sinC=sin(〃-A-B)=sin(Z+5)=sinAcosB+cos4sin5二—，

4

因?yàn)閍+b=ll,q=6,所以6=5,

所以S^BC=—absinC=—x6x5x——=-------

2244

44.（2023春?通州區(qū)期中）AA8C的內(nèi)角/,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,向量應(yīng)=（凡樨）

與力=(sin-cos^4)垂直.

(1)求4；

⑵若。=近，6=2,求A4BC的面積.

【解析】（1）向量而=（Q,百6）與云=（sinB,-cos4）垂直,

可得比?力=asinB-y/3bcosA=0,

由正弦定理可得sin/sinB=JJsinBcos/，(sin5>0)，

即有sin4=V3COSA，

貝UtanA=V3(0<A<TI),

可得4=工；

3

(2)a—y/1,b=2,

可得=/+。2一2bccos/,

即為7=4+/—4C?L

2

解得c=3(-1舍去)，

則三角形的面積為S=LbcsinN

2

1…G3G

222

45.(2022春?東城區(qū)校級(jí)期中)在A45c中，asinC+ccos/=0,b=42c；”屈.

(1)求4；

(2)求A48c的面積.

【解析】(1)在A45c中，asinC+ccosA=0.b=41c；a=V10.

由正弦定理可得：sin^4sinC+sinCcosA=0,

又sinC〉0,

即sinA+cos4=0,

即tanA=-1,

^A=—,

4

(2)已知6=①，a=M.

由余弦定理/=/+/—2bccos/可得：b=2,c=V2,

iiB

貝(IS^BC=—besin^4=—x2x^2x-^-=1,

即AABC的面積為1.

46.（2019春?西城區(qū)校級(jí)期中）AA8C中，角4,B,C的對(duì)邊分別是。，b,c且滿足

(2a-c)cosB=bcosC,

(1)求角8的大?。?/p>

(2)若A4BC的面積為地且6=6，求a+c的值.

4

【解析】(1)又/+8+。="，即C+8=?r-N,

/.sin(C+B)=sin(乃-A)=sinA,

將(2a-c)cosB二bcosC,利用正弦定理化簡(jiǎn)得：(2sin4-sinC)cos5=sin3cosC,

2sinAcos5=sinCcos5+sin5cosC=sin(C+B)=sinA,

1jr

在AASC中，0<4<4,sin4〉0,「.cosB=—,又0<B<兀，則8=—

23

(2)?「A45C的面積為之①，sinB=sin—=—,

432

1.石3出FT711

Sc=—acsmB=——ac=-----,/.ac=3,乂vb=73,cos5=cos—=一,

24432

/.由余弦定理/=a2+c2-laccos5得：a1+c2-ac=(a+c)2-3ac=(a+c)2-9=3,

/.(a+c)2=12,貝Ua+c=2A/3

47.(2021春?東城區(qū)校級(jí)期中)在ZU5C中，角4,B,。所對(duì)的邊分別為a,b,c,且滿足

3(心cos/)=儡.

sinC

(1)求角C;

(2)若。=2,求A45C面積的最大值.

【解析】(1)因?yàn)橛?=技，

sinC

所以3(sinB-sinCcos4)=6sinZsinC,

所以3sin5=gsin/sinC+3sinCcos24=3sin(4+C),

所以3sin/cosC+3sinCcos/二百sin4sinC+3sinCcosA,

整理得3sinAcosC二百sin/sinC,

因?yàn)閟in^4>0,

所以sinC=GcosC,即tanC二百，

由。為三角形內(nèi)角得，C=~,

3

(2)由余弦定理得，一仍開qb,當(dāng)且僅當(dāng)Q=b時(shí)取等號(hào)，

故QZ)*4,S^BC=—obsinC?—x4x——=6,

故A48C面積的最大值G.

優(yōu)選提升題

48.（2022春?豐臺(tái)區(qū)期中）在AA5C中，若々=屈，6=3,A=60°,則c的值為（）

A.1B.4C.1或4D.無解

2222

1A+c_aQ+c-13

【解析】由余弦定理，得COS/=L="二"",

22bc6c

解得c=4.

故選：B.

49.（2021春?豐臺(tái)區(qū)期中）在AASC中，a=?,b=&,則最大角的余弦值為.

【解析】Va=42b,b=yl3c,

a=y[6c,

二。最大，/角最大,

b2+c2-a23c2+c2-6c2V3

.?.根據(jù)余弦定理,cos/=

2bc2任23

故答案為：上.

3

50.（2022春?大興區(qū)期中）已知A48C的面積為G，ZC=120°,c=2bcosB,則NC邊的中線

的長為（）

A.V3B.3C.V7D.4

【解析】根據(jù)正弦定理由c=26cos3,可得sinC=2sin8cos8,可得sinC=sin28,

因?yàn)?,Ce(0,180°),

所以C=28,或C+28=180。，

當(dāng)C=2B時(shí)，2=60。，不符合三角形內(nèi)角和定理，

當(dāng)C+28=180。時(shí)，3=30°,因此4=30。,

因止匕q=6,

因?yàn)锳45C的面積為百，

所以有?18=百，可得。=2,負(fù)值舍去，

22

即Q=b=2,

由余弦定理可知：AB=AC1+BC2-2ACCBcosZACB=，4+4—2x2x2x(-1)=273,

設(shè)/C邊的中點(diǎn)為D,所以有麗=g(數(shù)+麗)，

因止匕|BD|=^(BC+BA)2=^BC2+BA+2BC-BA=+12+2X2X2A/3X(9)=近.

故選：C.

51.